Beschreibende Statistik Mittelwert

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1 Beschrebende Statstk Mttelwert Unter dem arthmetschen Mttel (Mttelwert) x von n Zahlen verstehen wr: x = n = x = n (x +x +...+x n ) Desen Mttelwert untersuchen wr etwas genauer.. Zege für n = 3: (x x ) = 0 = d. h. de Summe der Abwechungen vom Mttelwert st Null.. x kann als Schwerpunkt nterpretert werden, erläutere des. x <x s (x s x ) = x s<x (x x s ) = x s = n = x 3. x = x mnmert de quadratsche Funkton. f(x) = (x x ) = d.h. de Summe der quadratschen Abwechungen wrd für x = x mnmal. Dese Egenschaft benötgen wr, um de Regressonsgerade zu ermtteln. Da ene Parabel vorlegt, wrd der x-wert des Schetels berechnet, und zwar durch Bestmmung von Nullstellen, wobe der konstante Summand (Verschebung n y-rchtung) entfallen kann. Nun st y = ax +bx+c y = ax +bx f(x) = (x x ) = = 0 = ax +bx 0 = x(ax+b) = x = 0 x = b = x a Schetel = b a (x xx +x ) = nx x x + x = = = x Schetel = n x =

2 Regressonsgerade x x x x 3... x n y y y y 3... y n Bem Auswerten von Messrehen wrd häufg ene durch theoretsche Überlegungen nahegelegte lneare Bezehung zwschen den x- und y- Werten gesucht, d.h. ene Gerade y = mx +b (Regressonsgerade), de de Datenpunkte möglchst gut approxmert. 3 y r = 0, x Als Abwechungsmaß kann (nach Gauss) de Summe der Quadrate der Dfferenzen Q = (mx +b y ) + (mx +b y ) (mx n +b y n ) genommen werden. Herbe werden m und b so gewählt, dass Q enen klensten Wert annmmt. Q kann als quadratsche Funkton der Varablen m bzw. b betrachtet werden. Q = (mx +b y ) De Summe erstreckt sch stets von bs n. Q(b) = (b (y mx )) sehe 3., vorherge Sete = b mn = n (y mx ) = = y = mx+b Mttelwerte x = x, y = y n n P(x y) legt auf der Ausglechsgeraden. m st noch zu bestmmen. Um de Rechnung enfach zu halten, wählen wr den Schwerpunkt als Ursprung: d = x x e = y y b st dann Null, de Stegung hat sch ncht verändert. Q(m) = (md e ) = (m d md e +e ) = m m e + e = m mn = d e sehe 3., vorherge Sete m = (x x)(y y) (x x) ( = (x x)(y n y) σx = Cov xy σ x ) De Glechung der Regressonsgeraden lautet daher: y = m(x x)+y Cov Kovaranz

3 Regressonsgerade y = m(x x)+y, anschaulch y P x Es erschent plausbel, dass der Schwerpunkt P(x y) auf der Ausglechsgeraden legt, x = x, y = y. n n Aber auch de Stegung m = kann veranschaulcht werden. (x x)(y y) (x x) y Q(x y ) P(x y) x Herzu betrachte man den Term (x x)(y y) (x x), den Inhalt des grauen Rechtecks, y x und fasse de Summenbldung als ene Art Durchschnttsbldung auf. 3

4 Korrelatonskoeffzent Wr benötgen en Maß dafür, we stark de Datenpunkte um de Regressonsgerade streuen. Dazu rechnen wr de quadratsche Abwechung aus. Q = (e md ) m = e d = (e e md +(md ) ) = e m e +m = e ( e d ) = e ( e d ) + ( e d ) ( ) kürzen durch Je klener der Term ( e d ) st, desto größer st de Quadratsumme. Dese st Null, falls ( e d ) = e st. Da Q 0 st, folgt 0 ( e d ) e = 0 ( e d ) e Der mttlere Term heßt Bestmmthetsmaß. Gebräuchlcher st der Korrelatonskoeffzent e d r = (x x)(y d = y) e (x x) ( = (y y) (x x)(y n y) σ x σ y = Cov xy σ x σ y ) r st de Wurzel aus dem Bestmmthetsmaß und hat m Gegensatz zu desem stets dasselbe Vorzechen we de Stegung m (lecht zu sehen). Es st: r. Für r = 0 st de Stegung m auch Null. Es legt ken lnearer Zusammenhang vor, für r = und r = legen de Datenpunkte auf der Regressonsgeraden. Mt den Termen für m und r erhalten wr unmttelbar den Zusammenhang: m = r σy σ x. Zu beachten st, dass en hoher Korrelatonskoeffzent ncht ene kausale Abhänggket bedeuten muss. In Excel können Ausglechsgeraden ohne Aufwand ausgegeben werden: Auf enen Datenpunkt klcken, mt rechter Maustaste Trendlne hnzufügen, Trendlne formateren, Optonen, Glechung und Bestmmthetsmaß m Dagramm darstellen. 4

5 Bestmmthetsmaß (x y ) (x y) (x y ) (x y) Um de Güte der Regresson zu beurtelen, snd de Dfferenzen y y zu betrachten, mt y = m(x x)+y. Nun glt: (y y) = (y y )+( y y) Je besser de Regresson, umso klener st (y y ) oder um so mehr glecht sch ( y y) der Abwechung (y y) an. De Bezehung kann quadrert und aufsummert werden. Des ergbt: (y y) = (y y ) + ( y y) Herbe st zu beachten, dass der entstehende mttlere Term (y y )( y y) null ergbt. Durch Umformen und Ensetzen der Stegung der Regressonsgeraden kann des überprüft werden. Das Bestmmthetsmaß B st nun der Antel von ( y y) an der Gesamtstreuung (y y). oder B = B = ( y y) (y y) (y y) (y y ) (y y) (= Streuung, de sch aus der Regresson ergbt/gesamtstreuung) (y y = ) (y y) (= Streuung, de trotz Regresson verblebt/ Gesamtstreuung) Es kann nun gezegt werden, dass B mt r überenstmmt. Aus der Rechnung auf der vorgen Sete entnehmen wr: (e md ) = e ( e d ) : e (e md ) e = ( e d ) e ( e d ) (e md = ) e d }{{ e }}{{ } r B 5 d = x x e = y y

6 In der Korrelatonsanalyse wrd der zumest lneare Zusammenhang zweer Merkmale untersucht. En Maß für de Stärke der Abhänggket st der Korrelatonskoeffzent. In der Regressonsanalyse wrd de Art des Zusammenhangs durch ene Funkton erfasst. 6