Gewichtetes arithmetisches Mittel und Streuung

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1 Dpl.-Kaufm. Wolfgang Schmtt u mener Skrptenrehe: " Kene ngt vor... " ugewählte Themen der dekrptven Stattk Gewchtete arthmetche Mttel und Streuung Modellaufgabe Übungen Löungen

2 Modellaufgabe: Gewchtete arthmetche Mttel Streuung 1 Da Unternehmen "Excluv-Wellne" möchte ene exkluve Wellne-Center eröffnen. E tehen Standorte zur uwahl, -Stadt oder -Stadt. Ene Voraukalkulaton ergab enen erforderlchen Tageentrttpre von 350,00 uro pro Peron. Da Unternehmen möchte dejenge Stadt auwählen, n der e genügend Leute gbt, de ch deen hohen Entrttpre leten können Um den Entchedungproze über den Standort zu erlechtern wrd ene repräentatve Umfrage zum monatlchen Nettoenkommen n uro n beden Städten n uftrag gegeben. De Umfrage be je 100 Hauhaltungen n -Stadt und n -Stadt ergab folgende Ergebn: -Stadt -Stadt Enkommen x Häufgket f der Hauhalte Enkommen x Häufgket f der Hauhalte Für welchen Standort wrd ch da Unternehmen entcheden? 1. erechnen Se da gewogene arthmetche Mttel de Enkommen n -Stadt und n -Stadt.. eurtelen Se ohne wetere erechnung dee Mttelwerte zur Standortwahl. 3. erechnen Se de durchchnttlche quadratche bwechung der enzelnen Merkmale von den errechneten Mttelwerten. 4. eurtelen Se erneut de uagekraft der Mttelwerte zur Standortwahl. 5. erechnen Se den Varatonkoeffzenten und beurtelen Se erneut de uagekraft der beden Mttelwerte. 6. etätgen oder verwerfen Se mt Hlfe de Schefemaße k von Pearen Yule de Entchedung über de Standortwahl.

3 Löungen zur Modellaufgabe zu 1. De Merkmalauprägungen (Enkommen x) treten mehrfach (Häufgketen f) auf. Dehalb müen de Enkommen mt deren Häufgketen gewchtet werden. Da Ergebn wrd durch de Summe der Häufgketen dvdert. De zu verwendende Formel für da gewchtete (ncht gewogenen) arthmetche Mttel lautet Σxf x = (prch x-quer) Σf Exkur: Manchmal fndet man antelle von x auch den grechchen uchtaben μ (mü) al Symbol für da arthmetche Mttel. μ glt jedoch nur für de Grundgeamthet aller Merkmale. Wr haben e aber mt Stchproben zu tun und dehalb verwenden wr da Symbol x. Zur Löung benötgen wr ene rbettabelle. Her betet ch Excel an. -Stadt -Stadt Enkommen Häufgket Enkommen Häufgket x f x f x f x f Summen: De durchchnttlchen Enkommen n den beden Städten betragen: x = = 1866, x = = 1866,

4 zu. De durchchnttlchen Enkommen n den beden Städten nd nahezu dentch. Dee Werte nd kene Hlfe zur Standortwahl. 3 zu 3. erechnung der durchchnttlchen quadratchen bwechung der enzelnen Merkmale von den errechneten Mttelwerten. Wr benötgen da Streuungmaß Varanz Σ(x - x) f Σf = Exkur: Manchmal fndet man antelle von auch den grechchen uchtaben σ (klene Sgma) al Symbol für de Varanz. σ glt jedoch nur für de Grundgeamthet aller Merkmale. Wr haben e aber mt Stchproben zu tun und dehalb verwenden wr da Symbol für de Varanz. Zur erechnung der Varanz werden de Enzeldfferenzen quadrert. Der Grund für da Quadreren t, daß große bwechungen > 1 und < -1 noch größer und bwechungen zwchen -1 und +1 noch klener werden. Damt wrd de uagekraft der Streuung betont. Wr ergänzen de rbettabellen: -Stadt Enkommen Häufgket x f x f x - x (x - x) (x - x) f Summen:

5 4 -Stadt Enkommen Häufgket x f x f x - x (x - x) (x - x) f ,5 7508, , ,5 44,5 44, ,5 178, ,5 111, , , , ,3 Summen: De Varanzen lauten: = = = = 30340, zu 4. t gnfkant größer al. Da bedeutet, da n -Stadt de Enzelenkommen be wetem wenger um den Mttelwert treuen al n -Stadt. Man könnte agen, n -Stadt haben alle mehr oder wenger en gleche Enkommen. Da heßt auch, da e n -Stadt erheblch mehr "Reche" geben könnte, de ch den hohen Entrttpre n Wellne-Center leten könnten al n -Stadt. -Stadt wrd al neuer Standort favorert.

6 zu 5. Der Varatonkoeffzent V x 100 gbt an, um wevel % de Enzelwerte m Durchchntt um hren Mttelwert treuen. = t de Standardabwechung. 5 Her t und omt: = 3494 = 185, 19 und = 30340, 75 = 1741, , 19 V = 100 = 100 = 9, 9% x 1866 und: 1741, 8446 V = 100 = 100 = 93, 3% x 1866, 50 De Enzelenkommen n -Stadt treuen durchchnttlch mt 9,9% und de n -Stadt mt 93,3% um hre Mttelwerte. Fazt: In -Stadt werden wegen der gnfkant größeren Streuung hoffentlch genügend Leute dabe en, de ch enen teuren ufenthalt m Wellne-Center leten können. Da Wellne-Center wrd wahrchenlch n -Stadt eröffnet. zu 6. 3 ( x - Z) Da Schefemaß k (kewne) nach Pearen-Yule k = getattet e fetzutellen, ob de Häufgketvertelung bezüglch von x lnklatg oder rechtlatg t. Für k > 0 t de Vertelung lnklatg, für k < 0 rechtlatg und für k = 0 ymmetrch. Z t der Zentralwert der Vertelung. Zentral heßt, genau n der Mtte legend. Dazu müen de Merkmalauprägungen (Enkommen x) der Größe nach ortert werden. De t her beret der Fall. De Tabelle zegt de Rechenchrtte.

7 6 Erklärung: Spalte C3 C7: kumulerte Häufgketen Zelle C8: = n / Zelle C 3/4 zegt de Poton von Z (zwchen 0 und 71) Zelle G3: zegt de Mtte zwchen 1700 und = Z x und haben wr beret berechnet. 3 ( ) k = = 1, , 19 Jetzt nd Se n der Lage, elbtändg k = 1,49 zu berechnen. uwertung: ede Schefemaße zegen en k > 0, alo nd bede Vertelungen lnklatg. Man eht jedoch: k > k. lo gbt e n -Stadt deutlch mehr Leute, deren Enkommen unterhalb von x = 1866 legt al n -Stadt. lo t -Stadt "recher". Mut zur Entchedung: Wr eröffnen da Wellne-Center n -Stadt.

8 Übungaufgaben 7 1. Für de folgende Rehe (x), 6, 8, 5, 3, 4 nd zu betmmen: a) arthmetche Mttel; b)varanz, c) Standardabwechung, d)varatonkoeffzent. Gegeben t de Rehe (x) 5, 3,,,, 4, 3 Zu betmmen nd: a) arthmetche Mttel; b) Varanz und c) V. 3. Ene Spedtonfrma ermttelt zum Jahreende da lter hrer n Gebrauch tehenden Latkraftwagen. E ergab ch: Zu berechnen nd: a) durchchnttlche lter der LKW', b) de Streuung der Enzelwerte um da Durchchnttalter. 4. e ener Prüfungklauur erhelten von den Telnehmern Note 1: 4 %; Note : 1%; Note 3: 18 %, Note 4: 3%. Ncht betanden hatten 5 % (Note 5 oder 6). Zu berechnen t de Durchchnttnote x und de Streuung der enzelnen Noten um de Durchchnttnote 5. Da lter der ehechleßenden Frauen n S-H zegte n enem der letzten Jahre nebentehende Vertelung. Da Durchchnttalter der Ehechleßenden t zu berechnen. Ferner de Streuung der enzelnen Werte um den Mttelwert.

9 Löungen 8 Vorau: De Rechenchrtte können anhand der Modellaufgabe lecht nachvollzogen werden. Mene Löungen nd ohne Gewähr für de Rchtgket. zu 1: x = 4,67 = 3,86 = 1,96 V = 4% zu. x = 3 = 1,143 = 1,069 V = 36,7% zu 3. x t de jewelge Klaenmtte x = 4,05 = 5,3119 =,3 V = 57% zu 4. x = 3,53 = 1,4091 = 1,19 V = 33,7% zu 5. x1 = 17,5 x7 = 65; ont Klaenmtten berechnen: x = 8, = 69,385 = 8,33 V = 9%