SBP Mathe Aufbaukurs 1. Absolute und relative Häufigkeit. Das arithmetische Mittel und seine Eigenschaften. Das arithmetische Mittel und Häufigkeit

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1 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Atwort Diese Lerkarte sid sorgfältig erstellt worde, erhebe aber weder Aspruch auf Richtigkeit och auf Vollstädigkeit. Das Lere mit Lerkarte fuktioiert ur we die Ihalte bereits eimal verstade worde sid. Ich ware davor diese Lerkarte ur stur auswedig zu lere. SBP Mathe Aufbaukurs 1 Diese ud adere Lerkarte köe vo herutergelade werde. Viel Erfolg bei der SBP Mathe Aufbaukurs 1 Prüfug! Clifford Wolf <clifford@clifford.at> Diese Lerkarte stehe uter der CC BY-NC-SA Lizez. SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 1 by Clifford Wolf # 1 Atwort Bei beobachtete Objekte mit k verschiedee Merkmalsauspräguge: Absolute ud relative Häufigkeit h i = H i mit i = 1, 2,..., k H i absolute Häufigkeit (H i [0; ]) h i relative Häufigkeit (h i [0; 1]) H i = ud h i = 1 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 2 by Clifford Wolf # 2 Atwort Das arithmetische Mittel x ist ei Zetralmass. Es sei x 1, x 2,..., x eie Liste reeller Zahle: Das arithmetische Mittel ud seie Eigeschafte x = x 1 + x x x = x 1 + x x = 1 x i (x i x) = 0 Vo keiem Wert ist die Summe der Abstadsquadrate der x i geriger als vom arithmetische Mittel, d.h.: (x i x) 2 hat a der Stelle x = x ei Miimum. SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 3 by Clifford Wolf # 3 Atwort Das arithmetische Mittel x ka icht ur direkt aus de beobachtete Objekte soder auch idirekt aus der Häufigkeit der Merkmalsauspräguge ermittelt werde: Das arithmetische Mittel ud Häufigkeit k a i H i h i x = 1 H i a i bzw. x = h i a i Azahl der beobachtete Objekte Azahl der verschiedee Merkmalsauspräguge Zahlemässige Werte der Merkmalsauspräguge absolute Häufigkeit relative Häufigkeit

2 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 4 by Clifford Wolf # 4 Atwort Das gewogee arithmetische Mittel ist ei Verfahre um ei arithmetisches Mittel aus bereits gemittelte Werte zu erreche: Das gewogee arithmetische Mittel x = 1 i x i mit = i k x i i Azahl der bereits gemittelte Werte Arithmetisches Mittel eier Liste mit i Elemete Azahl der beobachtete Objekte im Wert x i SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 5 by Clifford Wolf # 5 Atwort Für Größe die multiplikativ miteiader verküpft werde (z.b. Wachstumsrate wie Zise) wird als Zetralmass das geometrische Mittel ˆx verwedet: ˆx = x 1 x 2 x Das geometrische Mittel ud das harmoische Mittel Für Größe die idirekt Proportioal zu adere Größe sid (z.b. Geschwidigkeit zur Zeit) wird als Zetralmass das harmoische Mittel x verwedet: x = 1 x x x SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 6 by Clifford Wolf # 6 Atwort I eier Liste vo Variablewerte bezeichet ma de wert mit der höchste Häufigkeit als Modus (oder Modalwert). Media ud Modus Ordet ma eie Liste x 1, x 2,..., x der Größe ach, so heisst der i der Mitte stehede Wert m Media. Bei eier gerade Azahl vo Werte wählt ma das arithmetische Mittel der beide i der Mitte stehede Werte. Der Media ist jees Zetralmass, bei dem die Summe der Beträge der Abweichuge am kleiste ist, d.h.: x i x hat a der Stelle x = m ei Miimum. SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 7 by Clifford Wolf # 7 Atwort Nomialdate: Die Variablewerte (Begriffe oder über Zahle codiert). Drücke lediglich eie Verschiedeartigkeit aus. z.b.: Name, Geschlecht, Haarfarbe, usw. Statistische Skale Ordialdate: Die Variablewerte brige ebe der Verschiedeartigkeit auch eie Ragordug zum Ausdruck. z.b.: Güteklasse, Schulote u.ä. Metrische Date: Die Variablewerte lasse sich icht ur orde, soder es lasse sich auch Abstäde zwische Werte agebe ud sivoll iterpretiere. z.b.: Jahreszahle, Läge, Megeagabe, usw.

3 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 8 by Clifford Wolf # 8 Atwort Bei eier Liste x 1, x 2,..., x et ma die Differez zwische dem grösste Wert x max ud dem kleiste Wert x mi die Spaweite. Spaweite ud Quartile Der Wert des Elemets aus der Liste der de utere ate Teil der Elemete vom obere (1 a)te Teil der Elemete tret wird x a geat. So ist z.b. x 0,50 der Media der Liste. De Wert x 0,25 et ma auch uteres Quartil Q 1. De Wert x 0,50 et ma auch mittleres Quartil Q 2 (oder Media). De Wert x 0,75 et ma auch oberes Quartil Q 3. Die Differez Q 3 Q 1 et ma Iterquartil-Spaweite. Sie umfasst (aäherd) die mittlere Hälfte der Date. SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 9 by Clifford Wolf # 9 Atwort Sei x 1, x 2,..., x eie Liste ud z ei Zetralmass: Mittlere absolute Abweichug s (miimal beim Media): s = 1 x i z Mittlere absolute ud quadratische Abweichug ud die empirische Stadardabweichug Mittlere quadratische Abweichug oder empirische Variaz s 2 (miimal beim arithmetische Mittel): s 2 = 1 (x i z) 2 Empirische Stadardabweichug s: s = s 2 = 1 (x i z) 2 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 10 by Clifford Wolf Berechug der empirische Stadardabweichug # 10 Atwort Sei x 1, x 2,..., x eie Liste, x das arithmetische Mittel, a i die auftretede Werte, H i die absolute Häufigkeit der Werte, h i die relative Häufigkeit der Werte ud s die empirische Stadardabweichug: s = 1 ( (x i x) 2 = 1 ) x 2 i x 2 s = 1 ( ) H i (a i x) 2 = 1 H i a 2 i x 2 s = k ( ) h i (a i x) 2 = h i a 2 i x 2 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 11 by Clifford Wolf # 11 Atwort Sei x 1, x 2,..., x eie Liste, z ei Zetralmass, a i die auftretede Werte, H i die absolute Häufigkeit der Werte, h i die relative Häufigkeit der Werte ud s die mittlere Abweichug vo z: Berechug der mittlere absolute Abweichug s = 1 x i z = s = 1 H i a i z = h i a i z

4 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 12 by Clifford Wolf # 12 Atwort Sei x das arithmetische Mittel eier Liste mit der Stadardabweichug s ud der mittlere absolute Abweichug s vom Zetralmass z: Vergleich vo Streuuge V = s x v = s z = Variatioskoeffiziet = Variabilitätskoeffiziet Variatioskoeffiziet ud Variabilitätskoeffiziet sid dimesioslos ud werde meist i Prozet agegebe. SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 13 by Clifford Wolf # 13 Atwort Sei G die edliche Grudgesamtheit mit g Elemete ud A G jee Teilmege vo G mit a Elemete die eie bestimmte Eigeschaft aufweise. Wahrscheilichkeit ud relativer Ateil h(a) = a g = der relative Ateil vo A i G Wird u ei Elemet aus G zufällig ausgewählt ud das Ereigis E bezeichet dabei die zufällige Auswahl eies Elemets aus A: P (E) = h(a) = die Wahrscheilichkeit vo E SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 14 by Clifford Wolf # 14 Atwort Sei E ei Ereigis ud P (E) die Wahrscheilichkeit des eitretes: 0 P (E) 1 Wertebereich vo Wahrscheilichkeite P (E) + P ( E) = 1 = P ( E) = 1 P (E) Additiosregel für eiader ausschließede Ereigisse: P (E 1 E 2 ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 15 by Clifford Wolf # 15 Atwort Seie E 1 ud E 2 Ereigisse: E 2 uter der Aahme das E 1 bereits eigetrete ist: E 2 E 1 Bedigte Wahrscheilichkeite Die Wahrscheilichkeit vom Eitrete vo E 2 uter der Aahme das E 1 bereits eigetrete ist: P (E 2 E 1 ) We E 1 ud E 2 voeiader uabhägig sid: P (E 2 E 1 ) = P (E 2 E 1 ) = P (E 2 )

5 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 16 by Clifford Wolf # 16 Atwort Seie E 1 ud E 2 Ereigisse: Multiplikatiosregel für Wahrscheilichkeite P (E 1 E 2 ) = P (E 1 ) P (E 2 E 1 ) Bei uabhägige Eregiisse: P (E 1 E 2 ) = P (E 1 ) P (E 2 ) SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 17 by Clifford Wolf # 17 Atwort Seie E 1 ud E 2 Ereigisse: Additiosregel für Wahrscheilichkeite P (E 1 E 2 ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) P (E 1 E 2 ) Für eiader ausschliessede Eregiisse: P (E 1 E 2 ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 18 by Clifford Wolf # 18 Atwort Empirisches Gesetz der große Zahle Die relative Häufigkeit h(e) eies Ereigisses E stabilisiert sich mit zuehmeder Versuchsazahl um eie feste Wert. We E bei k vo Versuche eitritt, da ist: h(e) = k, h(e) P (E) SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 19 by Clifford Wolf # 19 Atwort Defiitio: Zufallsgröße ud Wahrscheilichkeitsverteilug Eie Fuktio, die jedem mögliche Ausgag eies Zufallsexperimets eie zahlemäßige Wert zuordet, et ma Zufallsgröße. Eie Fuktio, die jedem mögliche Wert a i der (diskrete) Zufallsgröße B eie Wahrscheilichkeit P (B = a i ) zuordet, et ma Wahrscheilichkeitsverteilug vo B.

6 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 20 by Clifford Wolf # 20 Atwort Die Fakultät vo, geschriebe als!, gesproche als Faktorielle, ist das Produkt aller Zahle vo 1 bis : Defiitio: Fakulät Spezialfall = 0:! = = 0! = 1 i Azahl der Permutatioe (mögliche voeiader verschiedee Aorduge der Elemete) eier Mege mit Elemete:! SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 21 by Clifford Wolf # 21 Atwort Permutatioe vo k aus = die Azahl Pr(, k) aller Mögliche Aorduge vo k verschiedee Elemete aus eier Mege mit Elemete. Permutatioe vo k aus Pr(, k) =! ( k)! = ( 1)... ( k+1) = i i= k+1 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 22 by Clifford Wolf # 22 Atwort Kombiatioe vo k aus = die Azahl Cr(, k) aller Mögliche Auswahle vo k verschiedee Elemete aus eier Mege mit Elemete, uabhäig vo der Reihefolge der Elemete. Kombiatioe vo k aus Cr(, k) = ( ) k =! k! ( k)! = Pr(, k) 1 k! Für ( k) sagt ma k aus oder auch über k. Die Fuktio ( k) wird Biomialkoeffiziet geat. SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 23 by Clifford Wolf # 23 Atwort Sei E ei Ereigis mit der Wahrscheilichkeit p i eiem Versuch der mal durchgeführt wird ud B die Azahl der Male i dee E eitritt, da ist die Wahrscheilichkeit das B gleich der Zahl k ist: Biomialverteilte Zufallsgröße P (B = k) =! k! ( k)! pk (1 p) k Ordet ma jedem mögliche Wert k der Zufallsgröße B eie Wahrscheilichkeit P (B = k) zu, so ist dadurch eie Wahrscheilichkeitsverteilug gegebe, die ma Biomialverteilug mit de Parameter ud p ( -p-biomialverteilug ) et; etspreched et ma B eie -p-biomialverteilte Zufallsgröße.

7 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 24 by Clifford Wolf # 24 Atwort Defiitio: γ-schätzbereich Ma et das Itervall, i dem die (relative) Häufigkeite der Stichprobe mit der Wahrscheilichkeit γ liege, de γ-schätzbereich für (relative) Häufigkeite. SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 25 by Clifford Wolf # 25 Atwort Sei Z eie diskrete Zufallsgröße mit de Werte a 1, a 2,..., a k, die mit de Wahrscheilichkeite p 1, p 2,..., p k ageomme werde. Erwartugswert ud Variaz vo diskrete Zufallsgröße µ = a i p i = Erwartugswert vo Z ( ) σ 2 = a 2 i p i µ 2 = Variaz vo Z σ = Stadardabweichug vo Z SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 26 by Clifford Wolf # 26 Atwort Sei B eie biomialverteilte Zufallsgröße mit de Parameter ud p. µ = p = Erwartugswert vo B Erwartugswert ud Variaz vo biomialverteilte Zufallsgröße σ 2 = p (1 p) = Variaz vo B σ = Stadardabweichug vo B SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 27 by Clifford Wolf # 27 Atwort σ = p (1 p) µ = p ϕ(z) = 1 2π e z2 2 Die Gaußsche Glockekurve µ µ σ µ + σ x z Φ(z 0 ) = z0 ϕ(z)dz z = x µ σ

8 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 28 by Clifford Wolf # 28 Atwort Eie kotiuierliche Zufallsgröße X heißt ormalverteilt mit de Parameter µ ud σ (µ-σ-ormalverteilt), we die Wahrscheilichkeitsverteilug durch die Gaußsche Glockekurve beschriebe wird. Für eie µ-σ-ormalverteilte Zufallsgröße X gilt: Normalverteilte Zufallsgröße P (X µ + z 0 σ) = Φ(z 0 ) = z0 ϕ(z)dz P (µ + z 1 σ X µ + z 2 σ) = Φ(z 2 ) Φ(z 1 ) P (µ z 0 σ X µ + z 0 σ) = 2Φ(z 0 ) 1 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 29 by Clifford Wolf # 29 Atwort Sei B eie -p-biomialverteilte Zufallsgröße (mit Erwartugswert µ ud Stadardabweichug σ), so ka die Gaußsche Glockekurve als Wahrscheilichkeitsverteilug ageomme werde, we die Laplace-Bedigug Laplace-Bedigug p (1 p) 9 σ 3 erfüllt ist. Es gilt i diese Fälle also: P (B µ + z 0 σ) Φ(z 0 ) SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 30 by Clifford Wolf γ-schätzbereich für ormalverteilte Zufallsgröße # 30 Atwort Zur Ermittlug des γ-schätzbereiches für eie (äherugsweise) ormalverteilte Zufallsgröße muss zuächst ei z 0 ermittel werde, so dass γ = 2Φ(z 0 ) 1 γ = Φ(z 0 ) ist. Da ist der γ-schätzbereich für die absolute Häufigkeit H: [µ z 0 σ; µ + z 0 σ] Ud der γ-schätzbereich für die relative Häufigkeit h: [ ] µ z0 σ µ + z 0 σ p (1 p) p (1 p) ; = p z 0 ; p + z 0 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 31 by Clifford Wolf # 31 Atwort Gegebe ist eie Hypothese über die relative Häufigkeit p eier Merkmalsausprägug i eier Grudgesamtheit. Diese Hypothese soll ahad eier Stichprobe getestet werde. Teste vo Hypothese über relative Ateile Dazu wird Ahad der der Stichprobegröße, der vermutete relative Häufigkeit (= Wahrscheilichkeit des Auftretes der Merkmalsausprägug) ud der gewüschte Sicherheit (bzw. Irrtumswahrscheilichkeit) ei γ-schätzbereich ermittelt. Liegt die vermutete Häufigkeit ierhalb des γ-schätzbereichs so ist die Vermutug mit dem Stichprobeergebis (mit der gewählte Irrtumswahrscheilichkeit) vereibahr. Aderfalls ist die Vermutug mit dem Stichprobeergebis (mit der gewählte Irrtumswahrscheilichkeit) uvereibahr.

9 SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 32 by Clifford Wolf # 32 Atwort Sei h die beobachtete relative Häufigkeit eier Merkmalsausprägug i eier Stichprobe mit Elemete ud γ eie (grosse) Wahrscheilichkeit. Kofidezitervall Die Mege aller p dere, dere γ-schätzbereich de Wert h ethält, et ma γ-kofidezitervall (γ-vertrauesitervall) für p: h z 0 h (1 h) p h + z 0 h (1 h) mit 2Φ(z 0 ) 1 γ SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 33 by Clifford Wolf Erforderlicher Stichprobeumfag # 33 Atwort Sei ɛ die vorgegebee halbe Läge des gesuchte Kofidezitervalls, h die erwartete relative Häufigkeit der zu utersuchede Merkmalsausprägug, γ = 2Φ(z 0 ) 1 die geforderte Sicherheit ud die Azahl der beötigte Elemete i der Stichprobe: = z2 0 h (1 h) ɛ2 Bzw. die maximal beötigte Stichprobegrösse we es keie Abschätzuge für h gibt: = z2 0 ɛ 2 ( ) 2 1 = z ɛ 2