Lage- und Streuungsmaße

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1 Statstk 1 für SozologIe Lage- ud Streuugsmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec

2 Beschrebug quattatver Date Um de emprsche Vertelug ees quattatve Merkmals zu beschrebe, betrachte wr Parameter, de ee Verdchtug der Iformato des Datesatzes bzw. seer Vertelug ermöglche. De wchtgste Parameter sd de sog. Lageparameter, de das absolute Nveau (de Größeordug) der Date beschrebe sowe de Streuugsparameter, de messe, we sehr de ezele Beobachtuge um das Zetrum kozetrere Lagemaße Allgemee Lagemaße: Mmum, Maxmum, Quatle Zetrale Lagemaße: Arthmetsches Mttel, Meda, (Modalwert) Streuugsmaße Spawete, Quartlsabstad, G-Koeffzet Varaz, Stadardabwechug, Varatoskoeffzet 2 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

3 Lagemaßzahle (1) Statstsche Maßzahle, welche de absolute Lage der Vertelug beschrebe Mmum Der kleste Wert ees quattatve Merkmals m(x 1,,x ) Maxmum Quatle Der größte Wert ees quattatve Merkmals max(x 1,,x ) Wert eer quattatve Varable, welcher de geordete Date Gruppe utertelt, so dass e bestmmter Prozetsatz darüber ud e bestmmter Prozetsatz daruter legt (sehe Kaptel 2) 3 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

4 Zetrale Lagemaßzahle (1) Arthmetsches Mttel (mea) Mttelwert; Summe der Werte aller Beobachtuge (Merkmalssumme) getelt durch de Azahl der Beobachtuge(Fälle) Modalwert x 1 1 Der am häufgste auftretede Wert. Nur relevat be u-modale Verteluge bzw. auch be dskrete Date x 4 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

5 Zetrale Lagemaßzahle (2) Meda Der Meda oder Zetralwert ees (zumdest ordal-skalerte) Merkmals st der Wert jeer Beobachtug, de der ach desem Merkmal geordete Gesamthet der Mtte zu lege kommt. ~ x0,5 1 2 x x x () sd de geordete Beobachtuge 1 / 2 2 x / 2 / 2, ugerade, gerade 5 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

6 Mttelwert oder Meda? Das arthmetsche Mttel reagert sehr sesbel auf ezele Extremwerte Der Meda erwest sch gegeüber extreme Beobachtuge als relatv robust Ee statstsche Methode st robust, we se auch be Vorlege fehlerbehafteter Date verüftge Ergebsse lefert Robusthet muss ma der Regel durch Ebuße be der Präzso erkaufe 6 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

7 Bespel =5 Beobachtuge 7, 5, 4, 8, 6 Summe = 30 arth. Mttel = 6 Geordete Beobachtuge: 4, 5, 6, 7, 8 Meda=6 =5 Beobachtuge 7, 5, 4, 80, 6 Summe = 102 arth. Mttel = 20,4 Geordete Beobachtuge: 4, 5, 6, 7, 80 Meda=6 7 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

8 Mttelwert versus Meda Das arthmetsche Mttel reagert sehr sesbel auf ezele Extremwerte Der Meda erwest sch gegeüber extreme Beobachtuge als relatv robust Rchter Note Rchter Note Rchter Note A 19 A 12 A 12 B 18,5 B 18,5 B 12 C 19,5 C 19,5 C 19,5 D 19 D 19 D 19 E 19 E 19 E 19 Arth. Mttel 19 Arth. Mttel 17,6 Arth. Mttel 16,3 Meda 19 Meda 19 Meda 19 Trmmed Mea 19 Trmmed Mea 18,83 Trmmed Mea 16,67 8 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

9 a-trmmed Mea Grudgedake: etfere vor der Mttelug de extreme Beobachtuge, de das Ergebs stark beeflusse köe Der Datesatz wrd um *a Beobachtuge reduzert. Es werde also de *a/2 kleste ud de *a/2 größte Beobachtuge vo der Mttelwertsbldug ausgeschlosse =20 ud a=0,2 4 Beobachtuge werde elmert (de 2 größte ud de 2 kleste) 9 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

10 Bespel zu a-trmmed Mea Bespel: =40 a-trmmed Mea mt a=10% Ausgeschlosse werde dem Bespel de ver extreme Beobachtuge: x (1), x (2),x (39), x (40) ud x 2 1 x a 0,1 ( ) 4 3 I Excel Fukto: GESTUTZTMITTEL Allgemees Przp umfasst ee Famle vo Lagemaßzahle: a=0 ergbt das Arthmetsche Mttel a100% ergbt de Meda 10 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

11 Hwes zur Defto: a-trmmed Mea I mache Bücher wrd das a-trmmed Mea Bezug auf de Bedeutug des Parameters a aders defert. Es wrd da der Datesatz um 2**a Beobachtuge reduzert, wobe de *a kleste ud de *a größte Beobachtuge vo der Mttelwertsbldug ausgeschlosse werde. Usere Defto st a de Excel-Fukto GESTUTZTMITTEL ageleht De Prozedure EXAMINE bzw. Exploratve Dateaalyse SPSS west e 5% Trmmed Mea aus. Dort werde de 5% kleste ud 5% größte Beobachtuge elmert. Etsprcht userer Termologe eem 10% Trmmed Mea 11 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

12 Awedugsbespel für Trmmed Mea EURIBOR: Euro Iterbak Offered Rate; wrd täglch um 11 Uhr Brüsseler Zet als ugewchteter Durchschtt aus Brefsätze vo Iterbakelage erstklassger Isttute auf Bass der Trasaktoe vo 57 Bake, daruter 47 aus dem Euroraum, 4 aus sostge EU- Läder ud aus 6 teratoale Bake, berechet. Dabe werde de jewels 15% höchste ud tefste Werte elmert. Es hadelt sch also um e 30%-Trmmed Mea 12 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

13 Lagemaße Quatl Wert eer quattatve Varable, welcher de geordete Date Gruppe utertelt, so dass e bestmmter Prozetsatz darüber ud e bestmmter Prozetsatz daruter legt Quartl (0%, 25%, 50%, 75%, 100%) Dezl (0%, 10%, 20%, 30%,... 90%,100%) Zwe Kozepte a) Emprsches Quatl zum Nveau a: x(k) (sehe Kaptel 2) wobe (k-1) < a* k b) Alpha-Quatl: Iterpolato (z.b. Excel) ~ x 13 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

14 Bespel mt Excel Schüler Wochezet für Hausaufgabe h x Wochezet für Hausaufgabe h x () 1 4,25 (1) 0, ,50 (2) 3, ,75 (3) 4, ,75 (4) 5,50 5 6,75 (5) 6,75 <=== emprsches 1.Quartl 6 3,25 (6) 9, ,00 (7) 10, ,50 (8) 12,75 9 0,75 (9) 13, ,75 (10) 13, ,25 (11) 13, ,75 (12) 13, ,75 (13) 13, ,25 (14) 15, ,50 (15) 21,00 <=== emprsches 3.Quartl 16 22,00 (16) 21, ,25 (17) 21, ,50 (18) 22, ,50 (19) 23, ,00 (20) 23,50 Summe = 269,00 Mttelwert = 13,45 Meda = 13,625 Mmum = 0,75 1. Quartl = 8,625 Maxmum = 23,50 3.Quartl = 21, Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

15 Bespel mt SPSS (Deskrptve Statstke) Deskrptve Statstk Zet für Hausaufgabe h pro Woche Gültge Werte (Lstewese) N Mmum Maxmum Mttelwert 20,75 23,50 13, Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

16 Bespel mt SPSS (Häufgkete) Statstke Zet f ür Hausauf gabe h pro Woche N Mt telwert Meda Modus Mmum Maxmum Gült g Fehled , , ,75,75 23,50 Perzetle , , , Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

17 Bespel mt SPSS (Exploratve Dateaalyse) 17 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

18 Ee falsche Beobachtug Schüler Wochezet für Hausaufgabe h x alpha Trmmed Mea 0% 22,90 Trmmed Mea 10% 13,74 Trmmed Mea 99% 13,63 Bem Trmmed Mea (gestutztes Mttel) werde de größte ud de kleste a/2- Prozet abgeschtte ud das Mttel der verblebede 1-a Prozet berechet. 1 4, , , ,75 5 6,75 6 3, , ,50 9 0, , , , , , , , , , , ,00 Summe = 458,00 Mttelwert = 22,90 Meda = 13,63 18 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

19 4 Egeschafte des arthmetsche Mttels 1) (x x) ) x c m! für c x 3) y a bx y a bx Leartät 4) 2 Te lg esamthete A,B: A x, x,, x mt x B y, y,, y mt y A Arthmetsche Mttel der Grudgesamthet A B : x y A B z bzw. z ha x hb y A B falls A z (x y) / 2 B Summe der Abwechuge st glech Null! Przp der Kleste Quadrate 19 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle B

20 Bespele: ad 3) Leartät Das Durchschttsekomme eer bestmmte Gruppe vo Arbeter beträgt 1.000,- Im Zuge eer Tarfverhadlug wrd ee 4% Loherhöhug beschlosse. Glechzetg wrd beschlosse, dass vom eue Gehalt vo jedem Arbeter 10 für ee Soldartätsfod ebehalte werde. We hoch st das eue Durchschttsekomme? X... Ekomme bsher Y... Ekomme eu Y=1,04*X-10 Neues Durchschttsekomme y a bx 10 1,04 x Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

21 Bespele ad 4) I eem Uterehme sd 120 Persoe beschäftgt. De Lohsumme beträgt Das Durchschttsekomme der 40 mälche Agestellte se We hoch st das Durchschttsekomme der weblche Agestellte? Gesamtmttelwert: =(40* *X)/120 X= Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

22 Gewogees Arthmetsches Mttel De Merkmalsauspräguge werde be der Summato gewchtet. De gewchtete Summe wrd da cht durch de Azahl der Beobachtuge soder durch de Summe der Gewchte dvdert: x 1 wx W 1 Falls alle w =1 sd, ergbt sch das ugewchtete arthmetsche Mttel. Falls de Summe der Gewchte glech 1 st, reduzert sch de obge Glechug auf de Summebldug (z.b. relatve Häufgkete) 22 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

23 Arthmetsches Mttel be dskrete Date Aus vorgem Bespel ergebe sch folgede Formel: k... Azahl der verschedee Auspräguge absolute Häufgket des Vorkommes vo x h relatve Häufgket des Vorkommes vo x x 1 k x k 1 1 h x 23 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

24 Arthmetsches Mttel Be 12 Würfe mt dem Würfel wurde folgedes Ergebs beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5, 2, 6, 1, 4, 1, 3, 6 Der Durchschtt (das Arthmetsche Mttel) deser 12 Augezahle st 3, Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

25 Bespel Würfelwurf Das Ergebs des Würfelwurfs lässt sch auch eer Häufgketstabelle zusammefasse: x h x h x 1 2 2/12 2/ /12 2/ /12 6/ /12 8/ /12 15/ /12 12/12 12 Summe / /12 = 3,75 x 1 k x k 1 1 h x 25 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

26 Arthmetsches Mttel be klasserte Date Sd de ezele Merkmalswerte cht mehr bekat, so ka ma das arthmetsch Mttel ur mehr äherugswese bereche, dem ma als Approxmato de Klassemtte m verwedet k... Azahl der Klasse 1 k k x 1 m 1 h m 26 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

27 Arthmetsches Mttel be klasserte Date Bldet ma de Summe der 100 Ezelbeobachtuge so ergbt sch ud somt für das arthmetsche Mttel 174,4 cm. Legt ur och de Tabelle mt Häufgkete auf der Bass der Klasseetelug vor so verwedet ma de Klassemtte (sehe Rechug). Es ergbt sch ee klee Abwechug: 174,3 cm Beachte Wahl der Klassemtte! Klasse m m * ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ,3 27 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

28 Geometrsches Mttel Awedugsbespele: Wachstumsprozesse Beobachtuge x 1, x 2,..., x +1 Wachstumsfaktore: w x 1 bzw. x x w 1 x Verhälts vo zwe aufeaderfolgede Beobachtuge Wachstumsrate: x 1 x r bzw. r w 1 bzw. w r 1 x Relatve Äderug vo zwe aufeaderfolgede Beobachtuge 28 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

29 Mttleres Wachstum Der Wert der ächste Perode ergbt sch durch de aktuelle Wert multplzert mt dem Wachstumsfaktor x x w 1 Wedet ma dese Überlegug wederholt a, so ergbt sch für das Wachstum vo x 1 bs x +1 x x w x w w x w w w Das durchschttlche Wachstum st durch jee kostate Wachstumsfaktor charaktersert, der ausgehed vo x 1 zum selbe Edwert x +1 führt 29 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

30 Geometrsches Mttel x x w x w w x w w w x x w w w 1 1 geom geom geom geom w w w w w w geom Bespel zum geometrsche Mttel 1 w Startkaptal ,00 Verzsug 3 Jahre: +25%, +40%, -40% Was st de durchschttlche Verzsug? -te Wurzel aus dem Produkt der Wachstumsfaktore X t Bestadsgröße zum Zetpukt t W t Wachstumsfaktor vo t auf t+1 Forderug a de Mttelwert 30 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

31 Korrekte Mttelug Bespel zum geometrsche Mttel Startkaptal ,00 Verzsug 3 Jahre: +25%, +40%, -40% Was st de durchschttlche Verzsug? Redte (Wachstumsrate) Wachstumsfaktor Edkaptal Probe 25,00% 1, , ,64 40,00% 1, , ,16-40,00% 0, , ,00 FALSCH 8,33% 1,0164 1,0164 RICHTIG 1,64% 31 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

32 Wachstumsprozess über mehrere Perode Bestmmug des Durchschtts auf der Bass vo Afags- ud Edwertes x x w w w w 1 x1 w geom x x 1 w 1 x1 32 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

33 Bespel aus der Sozalgeschchte 33 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

34 Logarthmere Durch Logarthmere köe Wachstumsprozesse learsert werde. Awedug des arthmetsche Mttels auf der logarthmsche Skala ud daach Rücktrasformato w geom 1 w 1 1 log(w ) log( w ) log( w ) log(w ) geom wgeom exp log(w ) 1 34 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

35 Sehe Bespel Populatosdyamk mt Excel Afagspopulato: Wachstumsratfaktor Wachstums- Reale Fktves l(reale l(wachstums- l(fktves Jahr Etwcklug Wachstum Etwcklug) Dfferez faktor) Wachstum) ,2103 9, ,05 1, ,2591 0, , , ,05 1, ,3079 0, , , ,05 1, ,3567 0, , , ,05 1, ,4055 0, , , ,05 1, ,4543 0, , , ,05 1, ,5031 0, , , ,05 1, ,5519 0, , , ,05 1, ,6007 0, , , ,05 1, ,6495 0, , , ,05 1, ,6982 0, , , ,10 1, ,7936 0, , , ,10 1, ,8889 0, , , ,10 1, ,9842 0, , , ,10 1, ,0795 0, , , ,10 1, ,1748 0, , , ,10 1, ,2701 0, , , ,10 1, ,3654 0, , , ,10 1, ,4607 0, , , ,10 1, ,5560 0, , , ,10 1, ,6513 0, , ,6513 Durchschttlches Wachstum 1, ,47% 0, , , Bevölkerugsetwcklug Reale Etwcklug Fktves Wachstum Bevölkerugsetwcklug mt logarthmerter y-achse 10, , , , ,0000 9,8000 9,6000 9,4000 9,2000 9,0000 l(reale Etwcklug) l(fktves Wachstum) Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

36 Bespel zum Geometrsche Mttel Jahr Umsatz Mo DM Wachstumsfaktor Wachstumsrate l(w.-faktor) ,4 1,200 20,0% 0, ,9 1,208 20,8% 0, ,7 0,931-6,9% -0, ,1 1,148 14,8% 0,1382 Produkt 1,550 0, Wurzel 1,116 11,6% 1,116 Arthmetsches Mttel der Wachstumsfaktore exp(0,1096) 36 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

37 Testaufgabe 1 Se fahre staubedgt ee Strecke vo 50km mt eer durchschttlche Resegeschwdgket vo 20km/h De ächste 50 km erzele Se ee durchschttlche Resegeschwdgket vo 100km/h. We hoch st de Durchschttsgeschwdgket für de gesamte Fahrt? 37 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

38 Berechug 38 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

39 Testaufgabe 2 Se plae ee Autofahrt auf der Autobah vo We ach Salzburg ud reche mt eer durchschttlche Resegeschwdgket vo 100km/h Auf der erste Hälfte der Strecke komme Se ee Stau, so dass Se für de halbe Weg ur ee Durchschttsgeschwdgket vo 50km/h erreche. We schell müsse Se de zwete Hälfte der Strecke zurücklege, damt Se och de geplate Geschwdgket vo 100km/h erreche? 39 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

40 Harmosches Mttel x x 1 bzw. 1 w W w 1 W x 1 1 Das utersuchte Merkmal se e Quotet: Dmeso-A/Dmeso-B Azahl (Gewchte) der Merkmalsträger: Dmeso-B: Mttelug durch arthmetsches Mttel Dmeso-A: Mttelug durch harmosches Mttel 40 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

41 Bespel zum Harmosche Mttel Geschw. Strecke 30 km/h 60km 90 km/h 60km / 2* 4 / / 2*( ) /120* 240 / 90 1/120*( ) Ugewchtetes Harmosches Mttel (ur zulässg, da bede Strecke glech lag sd) x 1 x W w 1 w 1 W x Gewchtetes Harmosches Mttel (Gewchte sd Strecke) x

42 Bespel zum Harmosche Mttel Berechug der Durchschttsgeschwdgket: Geschw. Dauer 30 km/h 2h 90 km/h 2/3h Berechug mttels gewogeem arthmetsche Mttels: Gewchte sd Zetdauer (30*2 +90*2/3)/(2+2/3)=3*120/8=45 1 W 1 1 x w x W w 42 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

43 Perodscher Kauf vo Wertpapere Ver Käufe vo Wertpapere mt kostatem Budget vo Akauf Kurse , ,00??? Durchschttskurs des Käufers??? , ,00 Arthmetsches Mttel 6.250,00 st atürlch cht glech dem durchschtlche Akaufskurs Harmosches Mttel 5.581,40 st glech dem durchschtlche Akaufskurs Akauf Kurse 1/x ,00 0, , ,00 0, , ,00 0, ,00 0, ,00072 x x Akauf Kurse Mege Budget ,00 20, , ,00 16, , ,00 10, , ,00 25, ,00 SUMME 71, ,00 Gewogees Arthm. Mttel 5.581,40 Cost Average Effect 43 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

44 Streuugsmaße Statstsche Maßzahle, welche de Varabltät oder de Streubrete de Date messe. Se beschrebe de Abwechug vom Zetrum eer Häufgketsvertelug We eg lege de Merkmalsauspräguge ees quattatve Merkmals beeader? Maßzahle: Dfferez vo Quatle Summe der Abstäde aller Merkmalsauspräguge vo eem Lagemaß 44 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

45 Bespel: 2 Altersverteluge mt glechem Mttel Gruppe A Gruppe B Gruppe A Gruppe B Durchschtt 37,1 37,1 Mmum 21,0 21,0 Maxmum 57,0 57,0 Spawete 36,0 36,0 Varaz 144,6 37,0 Std.Abw. 12,0 6,1 VC 32% 16% 1.Quartl 28,5 35,0 2.Quartl 34,0 37,0 3.Quartl 51,5 38,3 Meda 34,0 37,0 IQ-Dstaz 23,0 3, bs bs bs bs bs Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

46 Verschedee Verteluge Alle 3 Verteluge sd umodal, symmetrsch ud wese Verschedee Normalverteluge de selbe Mttelwert auf N(0; 0,25) N(0; 1) N(0; 4) Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

47 Streuugsmaße (1) Spawete (rage) Dfferez zwsche größtem ud klestem Wert eer umersche Varable; Werteberech, dem alle Merkmalswerte lege R x x ( ) (1) Für de Praxs der Streuugsmessug oft ur weg aussagekräftg, da stark vo ezele Beobachtuge abhägg 47 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

48 Streuugsmaße (2) Quartlsabstad (IQ-rage) Dfferez zwsche drttem ud erstem Quartl; Ierhalb des Quartlsabstades lege 50% der Werte; uempfdlch gegeüber Extremwerte ~ x ~ x 0,75 0,25 Etsprcht der Boxläge m Boxplot 48 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

49 Abstäde vom arthmetsche Mttel Arthmetsche Mttel De postve ud egatve Abwechuge vom arthmetsche Mttel kompesere eader ud summere sch mmer zu ull. (x x) 0 x x Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

50 Mttlere Absolutabstäde vo eem Lagemaß Mttlere absolute Abwechug vom Meda (mea absolute devato (from the meda) - MD) 1 1 MD x x Mttlere absolute Abwechug vom arthmetsche Mttel (mea absolute devato (from the mea) - MAA) 1 1 MAA x x Meda der absolute Abwechuge vom Meda (meda absolute devato - MAD) MAD meda( x x ) 50 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

51 Mttlerer quadrerter Abstad vom Mttelwert Varaz (varace) s x x 1 De mttlere quadrerte Abwechug vom arthmetsche Mttel Häufg wrd der Praxs auch statt durch durch -1 dvdert. Des st v.a. da svoll, we ma auf der Bass eer Stchprobe Aussage für de Grudgesamthet treffe möchte (Erklärug folgt m 2.Semester) Excel-Fuktoe: Varaz bzw. Varaze 51 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

52 Berechug vo Streuugsmaße Nr. Gruppe A Abwechug vom Mttel Absolute Abwechug vom Meda Quadraterte Abwechug vom Mttel Nr. Abwechug Gruppe B vom Mttel Absolute Abwechug vom Meda Quadraterte Abwechug vom Mttel ,1 10,0 170, ,1 16,0 257, ,1 0,0 9, ,1 2,0 4, ,1 0,0 9, ,1 3,0 9, ,1 1,0 4, ,0 0,0 0, ,1 11,0 197, ,1 2,0 4, ,1 2,0 25, ,1 1,0 1, ,1 13,0 257, ,0 0,0 0, ,1 2,0 1, ,1 3,0 9, ,1 4,0 49, ,1 2,0 4, ,1 2,0 25, ,0 2,0 3, ,1 0,0 9, ,0 20,0 398, ,0 4,0 0, ,0 0,0 0, ,1 12,0 226, ,1 1,0 1, ,0 19,0 254, ,0 1,0 0, ,0 20,0 287, ,0 0,0 0, ,0 17,0 194, ,1 3,0 9, ,1 11,0 197, ,0 1,0 0, ,0 23,0 398, ,0 2,0 3, ,0 20,0 287, ,0 3,0 8, ,0 20,0 287, ,0 5,0 24,5 Summe: 0,0 191,0 2893,0 Summe: 0,0 67,0 741,0 9,55 144,6 3,35 37,0 MD Varaz MD Varaz 52 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

53 Abgeletete Streuugsparameter Stadardabwechug (stadard devato) 1 s s x x Quadratwurzel aus der Varaz Ist weder derselbe Dmeso we de Beobachtuge ud st somt aschaulcher als de Varaz Varatoskoeffzet (coeffcet of varace) v s s bzw. v 100 x x Stadardabwechug ausgedrückt Ehete des Mttelwerts; dmesoslose Größe gut geeget für Vergleche 53 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

54 Bespel: 2 Altersverteluge mt glechem Mttel Gruppe A Gruppe B Gruppe A Gruppe B Durchschtt 37,1 37,1 Mmum 21,0 21,0 Maxmum 57,0 57,0 Spawete 36,0 36,0 Varaz 144,6 37,0 Std.Abw. 12,0 6,1 VC 32% 16% 1.Quartl 28,5 35,0 2.Quartl 34,0 37,0 3.Quartl 51,5 38,3 Meda 34,0 37,0 IQ-Dstaz 23,0 3, bs bs bs bs bs Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

55 Stadardabwechug & Itervalle De Stadardabwechug bldet de Ausgagspukt für Kofdezaussage (sehe WS) Itervalle sd oft relabler als puktuelle Aussage Falls de Date eer Normalvertelug folge (Glockekurve) lege etwa 95% der Date dem Itervall zwsche Mttelwert mus bzw. Mttelwert plus zwefacher Stadardabwechug; jedefalls aber 75%. 55 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

56 Bedeutug des Varatoskoeffzete Ee Stadardabwechug vo 300,- bem moatlche Ekomme st eer Gesellschaftsschcht mt eem Durchschttsekomme vo 1.500,- vo wesetlch größerer Bedeutug als eer Gruppe vo Ekommesbezeher, de m Moatsdurchschtt 2.400,- verdee. I der erste Gruppe st der Varatoskoeffzet 20%, währed er der zwete Gruppe ur 12,5% beträgt, obwohl de Stadardabwechug bede Gruppe glech groß st. 56 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

57 Volatltät De Volatltät glt als Eschätzug des küftge Rskos eer Akte. Als Maß für de Volatltät verwedet ma häufg de Varatoskoeffzete Bespel: Im Durchschtt über 250 Hadelstage betrug der mttlere Kurs eer Akte A 50,59 be eer Stadardabwechug vo 36,18. Über de selbe Verglechszetraum betrug der mttlere Kurs eer Akte B 396,10 be eer Stadardabwechug vo 182,96. Obwohl de Stadardabwechug der Akte A deutlch gerger st, muss e Ivestor her mt eem größere Rsko reche als be der Akte B, des wrd durch de Varatoskoeffzete quatfzert: VK A =36,18/50,59*100=72% VK B =182,96/396,10*100=46% 57 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

58 Rechebespel: Reaktoszete x x -xq abs(x -xq) abs(x -med) (x -xq)² 1 0,30 0,04 0,042 0,035 0, ,21-0,05 0,048 0,055 0, ,19-0,07 0,068 0,075 0, ,27 0,01 0,012 0,005 0, ,32 0,06 0,062 0,055 0, ,30 0,04 0,042 0,035 0, ,26 0,00 0,002 0,005 0, ,22-0,04 0,038 0,045 0, ,31 0,05 0,052 0,045 0, ,20-0,06 0,058 0,065 0,00336 Summe 2,58 0,00 0,424 0,420 0,02196 Arthmetsches Mttel (xq) Meda (med): 0,258 0,265 MD: 0,0420 Mttlere absolute Abwechug vom Meda MAA: 0,0424 Mttlere absolute Abwechug vom arthmetsche Mttel MAD: 0,0450 Meda der absolute Abwechuge vom Meda Varaz: 0, Stadardabwechug: 0, Varatoskoeffzet: 18,2% 58 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

59 Iterpretato De Agabe der Stadardabwechug erfolgt oft der Form x Im Bespel: 0,2580,047 Uter der Aahme eer Normalvertelug (Form der Häufgketsdchte etsprcht eer Glockekurve) lege ca. 95% der Datepukte eem Berech vo x2 59 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

60 Alteratve Berechugsformel (1) (2) (3) s x x x x s x x s x x Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle Mttelwert der quadrerte Werte mus dem Quadrat des Mttelwertes

61 Alteratve Berechugsformel m Bespel x x ² 1 0,30 0,09 2 0,21 0,04 3 0,19 0,04 4 0,27 0,07 =(1/10)*0,69-0,258² 5 0,32 0,10 0, ,30 0,09 7 0,26 0,07 8 0,22 0,05 9 0,31 0, ,20 0,04 Summe 2,58 0,69 Arthmetsches Mttel (xq) 1 1 s x x x x s x 1 1 x =(1/10)*(0,69-2,58²/10) 0,258 0, s x 2 x 1 =(1/10)*(0,69-10*0,258²) 0, Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle 2

62 Egeschafte der Varaz "Steer scher Verschebugssatz" 1 2 x a x x x a Auswrkug learer Trasformatoe y a bx s y b s x Verschebugs-Ivaraz 62 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

63 Varazermttlug aus 2 Telpopulatoe 2 Telgesamthete A,B: A x, x,, x mt x,s B x, x,, x mt x,s s 2 p A A A 1 2 B B s A s A A B B A A B x x x x A B p B A A B B A B B A B s p s p s p x x p x x A A B B A A B B Gesamte Varaz st das gewchtete Mttel der Telvaraze plus dem gewchtete Mttel der quadratsche Abwechuge der Gruppemttel vom Gesamtmttel (V total = V wth +V betwee ) x A B Gesamtmttelwert B 63 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

64 Bespel: Ermttlug des Mttelwertes aus 2 Telgesamthete Es lege Date aus 2 Betrebe A ud B vor: 400 Agestellte aus Betreb A verdee moatlch m Mttel 1.920, Agestellte aus Betreb B verdee moatlch m Mttel 2.012,17 Da beträgt der Gesamtmttelwert ach dem Przp des gewogee arthmetsche Mttels: 1.959,98 x Gesamt , , ,

65 Bespel: Ermttlug der Varaz aus 2 Telgesamthete Das Ekomme der 400 Agestellte aus Betreb A hat ee Stadardabwechug vo 220,32 Das Ekomme der 300 Agestellte aus Betreb B hat ee Stadardabwechug vo 411,98 Da beträgt de Stadardabwechug der Agestellte beder Betrebe zusamme: 320, ,32² ,98² s² (1920, ,98)² 300 (2012, ,98)² , 76 s , ,19

66 Stadardserug (z-trasformato) Gegebe see Beobachtuge x 1,..., x mt 2 Mttelwert x ud Varaz s x Gesucht st ee leare Trasformato z=a+bx, so dass für de trasformerte Date das arthmetsche Mttel 0 ud de Varaz 1 wrd. x x x 1 z s s s x x x x x 1 z s s x 0 s x x a b 1 s s x Uterschede: x -x (1) /(x () -x (1) ) bldet x [0,1] ab 2 z x 66 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

67 Bespel zur Stadardserug x x -xq z =(x -xq)/s z ² 1 0,30 0,04 0,8963 0, ,21-0,05-1,0243 1, ,19-0,07-1,4511 2, ,27 0,01 0,2561 0, ,32 0,06 1,3230 1, ,30 0,04 0,8963 0, ,26 0,00 0,0427 0, ,22-0,04-0,8109 0, ,31 0,05 1,1097 1, ,20-0,06-1,2377 1, Summe 2,58 0,00 0,00 10,00 Arthmetsches Mttel (xq): 0,258 Varaz(z): 1 Stadardabwechug (x): 0, Stadardabwechug (z): 1 67 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

68 SPSS 68 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

69 Ergebsse vo Descrptves Deskrptve Statstk Zet f ür Hausaufgabe h pro Woche Gült ge Werte (Lstewese) N Stat stk Stat stk Stat stk Stat stk Stat stk 20 22,75,75 23,50 13,4500 1, , , Spawe te Mmum Maxmum Mt telwert Stadard Varaz Stadardf abwechu ehler Stat stk Stat stk De Stadardabwechug msst de Varabltät vo Ezelbeobachtuge De Varabltät des Mttelwertes eer Gruppe vo Beobachtuge wrd durch de Stadardfehler quatfzert: S.E. 69 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

70 Stadardabwechug vs. Stadardfehler Scorewerte zwsche 0 ud 100 be =100 Persoe gemesse Arthmetsches Mttel 49,6 Stadardabwechug 31,8 Varabltät der Ezelwerte Wr zehe 10-mal ee zufällge Stchprobe vo 9 Beobachtuge Sample-1 Sample-2 Sample-3 Sample-4 Sample-5 Sample-6 Sample-7 Sample-8 Sample-9 Sample arthm. Mttel 38,9 47,3 42,4 44,9 55,6 53,9 23,6 63,9 46,3 52,6 Stadardfehler 10,6 Std.Abw. der 10 Stchprobemttelwerte 10,4 Varabltät des Mttelwertes 70 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

71 Varaz be dskrete Date Trete ur k uterschedlche Werte x 1,..., x k mt zugehörge absolute Häufgkete 1,..., k bzw. relatve Häufgkete h 1,..., h k auf, so ergbt sch de Varaz als: 2 1 k 2 k x x ( x x) 2 h 1 1 k k ² x x² h x x² 71 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

72 Berechug Varaz dskrete Date Be 12 Würfe mt dem Würfel wurde folgedes Ergebs beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5, 2, 6, 1, 4, 1, 3, 6 De Summe der 12 Augezahle st 45. Der Durchschtt (das Arthmetsche Mttel) deser 12 Augezahle st 3,75. De Summe der quadrerte Augezahle beträgt =203 Demach st de Varaz: 1 s x x s /12(203 12*3, 75²) 2,85 72 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

73 Berechug mttels Häufgkete x h x h x x ² x -xq (x -xq)² (x -xq)²h (x -xq)² 1 2 0,17 0, ,75 7,56 1,26 15, ,08 0, ,75 3,06 0,26 3, ,17 0, ,75 0,56 0,09 1, ,17 0, ,25 0,06 0,01 0, ,25 1, ,25 1,56 0,39 4, ,17 1, ,25 5,06 0,84 10, ,00 3, ,85 34,25 Arthmetsches Mttel 3,75 Varaz 2,85 Alteratv: 203/12-3,75²=2,85 1 s x x k 2 ² ² 1 1 s x x x x h k 2 2 k 2 ( ) Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

74 Berechug be klassfzerte Date Sd de Date k Klasse egetelt, ka ma auch de Varaz ur äherugswese bereche, dem ma mt de Klassemttelwerte m 1,..., m k arbetet. 1 k 2 2 k 2 m x ( m x) h 1 1 bzw. 1 k k m x m h x Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

75 Rechebespel:Varaz be klassfzerte Date Vo Bs Azahl m h m *h m ² *h ,12 0,12 0, ,32 0,96 2, ,32 1,92 11, ,16 1, ,08 1,28 20,48 SUMME ,88 51 Varaz 16,4 =(51-5,88²) Stadardabwechug 4,05 Varatoskoeffzet 0,69 75 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

76 Bespel Körpergröße vo 100 Studete Klasse h m m h m ²h bs ,00 ( ] 3 0, ,59 702,27 ( ] 4 0, ,32 998,56 ( ] 10 0, , ,90 ( ] 16 0, , ,84 ( ] 23 0, , ,67 ( ] 20 0, , ,80 ( ] 11 0, , ,79 ( ] 10 0, , ,40 ( ] 1 0, ,93 372,49 ( ] 2 0, ,96 784, , ,80 Mttelwert= 174,30 Varaz= ,8-174,3²=88,31 Korrektur 86,23 Stadardabwechug= 9,40 9,29 Exakte Berechuge auf Bass der Urlste = 100 Summe x = Summe x² = Arthmetsches Mttel = 174,4 Varaz= 83,78 Stadardabwechug= 9,15 76 Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

77 Sheppard-Korrektur Es lässt sch theoretsch zege, dass be eer umodale Vertelug de auf der Bass der klassfzerte Date berechete Varaz größer st als de aus de Orgaldate. Be eer Klasseetelug mt kostater Brete D ka der Fehler mt der sog. Sheppard-Korrektur aäherd ausgeglche werde: 2 D ² korr. ² ² korr. 88,31 86, Statstk 1 - Lage- ud Streuugsmaßzahle

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