Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

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Elvira Hertz
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1 Bden-Würemberg: Abiur 04 Anlysis Hupprüfung Abiurprüfung 04 (ohne CAS) Bden-Würemberg Anlysis Hilfsmiel: GTR, Formelsmmlung berufliche Gymnsien (AG, BTG, EG, SG, TG, WG) Alexnder Schwrz Augus 04

2 Bden-Würemberg: Abiur 04 Anlysis Für jedes is die Funkion f gegeben durch 3 f (x) = x 3x + 4( )x + 0 ; x Ds Schubild von f is K-.. Besimmen Sie die Schnipunke von K mi den Koordinenchsen. Berechnen Sie von Hnd die Koordinen der Exrempunke von K. Zeichnen Sie K. (9 Punke).. Berchen Sie nun Gerden mi negiver Seigung, die den Hochpunk von K enhlen und mi K zwei Flächensücke einschließen.... Zeichnen Sie eine dieser Gerden in ds Koordinensysem von.. ein und geben Sie die Gleichung dieser Gerden n. ( Punke)... Besimmen Sie lle Were der Seigungen dieser Gerden, sodss diese drei Eigenschfen erfüll sind. (4 Punke)..3 Zeigen Sie, dss für lle ds Schubild K zwei Exrempunke besiz. Berechnen Sie die Orskurve der Wendepunke von K. (8 Punke)..4 F is eine Smmfunkion von f. Unersuchen Sie, ob es einen Wer für gib, sodss F n der Selle x = -4 eine Wendeselle besiz und ds Schubild von F in S(0/0) die Seigung 0 h. Geben Sie gegebenenflls diese Smmfunkion F n. (6 Punke)

3 Bden-Würemberg: Abiur 04 Anlysis Für jedes 0 is die Funkion g gegeben durch g (x) = + cos(x) mi x [ π; π ]... Prüfen Sie für jede der folgenden Abbildungen, ob die dor gezeigen Schubilder zu einer Funkion g gehören können. Begründen Sie jeweils, und ermieln Sie gegebenenflls den zugehörigen Wer von. (6 Punke).. Für 0< u<π bilden die Punke O(0/0), P(u/0), Q(u/g (u)) und R(0/) ein Viereck. Für welchen Wer von u wird der Flächeninhl dieses Vierecks mximl? (5 Punke)..3 Ds Schubild der Funkion g schließ mi der x-achse eine Fläche ein. Diese Fläche roier um die x-achse. Für welche Were von beräg ds Volumen des Drehkörpers 0 Volumeneinheien? (5 Punke) 3

4 Bden-Würemberg: Abiur 04 Anlysis Lösungen.. 3 Es is f (x) = x 3x + 0 Schnipunke mi den Koordinenchsen: f (x) = 0 Schnipunk mi der y-achse: S y(0/0) Schnipunke mi der x-achse: N (,6/0) N (,34/0) N 3(5,8/0) Exrempunke von K : Nowendige und hinreichende Bedingung: f (x) = 0 und f (x) 0 Es is = und f (x),5x 6x f (x) = 3x 6 = = x (,5x 6) = 0 f (x) 0,5x 6x 0 Lösung mi dem Sz vom Nullproduk: x = 0 oder x = 4 f (0) = 6< 0 H(0/0) f (4) = 6> 0 T(4/f(4)) = T(4/ 6) Zeichnung von K 4

5 Bden-Würemberg: Abiur 04 Anlysis Die gesrichele Gerde is eine mögliche Gerde. Gleichung der Gerde: y= mx+ c Es is c = 0 (y-achsenbschni) und m = -4(Seigung). Die Gerdengleichung lue y= 4x Die Seigungen der beiden eingezeichneen Gerden (gepunkee wgreche Gerde im Hochpunk und die gesrichele Tngene n K ) sellen die jeweiligen Grenzen des gesuchen Werebereichs der Seigungen dr..bedingung: m < 0. Für die.bedingung muss von H(0/0) us eine Tngene n ds Schubild K geleg werden. 5

6 Bden-Würemberg: Abiur 04 Anlysis Allgemeine Tngenenformel: y= f (u) (x u) + f(u) Einsezen des beknnen Tngenenpunkes H(0/0): 0= f (u) ( u) + f(u) Berechnung von u mi dem GTR: Es is u = 3. Die Tngenenseigung is f (3) = 4,5.Bedingung: m > -4,5 Für die Seigung m der Gerden muss -4,5 < m < 0 gelen, dmi lle drei Eigenschfen erfüll sind f (x) = x 3x + 4( )x + 0 Ableiungsfunkionen: f (x) =,5x 6x + 4( ) und f (x) = 3x 6 und f (x) = 3 Nchweis, dss K zwei Exrempunke besiz: Nowendige und hinreichende Bedingung: f (x) = 0 und f (x) 0 f (x) = 0,5x 6x+ 4( ) = 0 6± 36 4,5 4( ) 6± + 4 x, = = 3 3 Ds Schubild der Ableiungsfunkion sell eine nch oben geöffnee Prbel dr. Diese Prbel besiz zwei Nullsellen, d die Diskriminne + 4 posiiv is. D die Nullsellen der Prbel jeweils einen Vorzeichenwechsel besizen, müssen n diesen beiden Sellen Exrempunke exisieren. Berechung der Wendepunke: Nowendige und hinreichende Bedingung: f (x) = 0 und f (x) 0 f (x) = 0 3x 6= 0 x= f () = 3 0 Wendeselle bei x = f () = ( ) + 0 = = 8+ 0 Koordinen des Wendepunkes: W(/ 8+ 0 )

7 Bden-Würemberg: Abiur 04 Anlysis Orskurve der Wendepunke: x= (*) und Aus (*) folg = 0,5x Einsezen in (**): y= 8+ 0 (**) y= 4x+ 0 (0,5x) y= 4x+,5x Allgemeine Smmfunkion: F(x) = x x + ( )x + 0 x+ C 8 Folgende Bedingungen sollen erfüll werden: F(0) = 0 C= 0 = = = =± F(0) f (0) F( 4) = f ( 4) = = 0 = Die Bedingungen sind für = - und C = 0 erfüll: Die gesuche Smmfunkion lue 4 3 F (x) = x + x + 0x Die Funkion g (x) = + cos(x) is eine Kosinusfunkion mi der Ampliude, die um Einheien in y-richung verschoben is. Abbildung : Ds Schubild h die Ampliude und is um Einheien nch oben verschoben. Für = gehör die Abbildung zu der Funkion g. Abbildung : Ds Schubild h die Ampliude,5 und is um,5 Einheien nch unen verschoben. Außerdem wurde die Kosinusfunkion n der x-achse gespiegel. Für = -,5 gehör die Abbildung zu der Funkion g. Abbildung 3: Ds Schubild h die Ampliude,5 und is um Einheien nch unen verschoben. Außerdem wurde die Kosinusfunkion n der x-achse gespiegel. Die Funkionsgleichung lue y=,5 cos(x) und gehör nich zu der Funkion g. Abbildung 4: Ds Schubild h die Ampliude,5 und is um,5 Einheien nch unen verschoben. Allerdings hndel es sich um eine Sinusfunkion (Nullselle im Ursprung nch Verschiebung um,5 Einheien nch oben), so dss diese nich zu der Funkion g gehör. 7

8 Bden-Würemberg: Abiur 04 Anlysis Es is g (x) = + cos(x) (ensprich Abbildung ) Ds Viereck is ein Trpez. A Trpez = (OR+ PQ) OP mi OR= und OP= u 0= u und PQ= g (u) 0= g (u) A(u) = (+ f(u)) u mi 0< u<π Gesuch is ds bsolue Mximum von A(u): A(u) h ein lokles Mximum bei u =,536 mi A(,536) =,357. Rndunersuchung: Es is A(0) = 0 und A( π ) =,57 <,357 Somi exisier bei u =,536 ein bsolues Mximum. Die mximle Fläche beräg,357fe...3 Zunächs benöig mn die Schnipunke von g mi der x-achse: g (x) = 0 + cos(x) = 0 cos(x) = x= π und x=π im Lösungsinervll [ π; π ] Volumen des Drehkörpers = π π π π (+ cos(x)) dx=π (+ cos(x)) dx= π (+ cos(x)) dx 9,6 π π π Es soll gelen: 9,6 = 0 ±,0 8

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