Mathematik Abitur 2014 Lösungen

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1 Mathematik Abitur Lösungen Richard Reindl Analysis Aufgabengruppe Teil A. f (x) = lnx (lnx), f (x) = = lnx = = x = e, f(e) = e < x < e : lnx < = f (x) < = f fallend x > e : lnx > = f (x) > = f steigend. (a) e x > = x+x = x(+x) = = x =, x = (b) F (x) = xe x +x e x = (x+x )e x = f(x) } = TP (e e) G(x) = F(x)+C, G() = e+c = e = C = e = G(x) = x e x +e. (a) (α) a beliebig, c = : g a, (x) = sin(ax)+ (β) a =, c = : g, (x) = sin(x) (b) g a,c(x) = acos(ax) = a g a,c(x) a. (a) x sei die Nullstelle. F (x) = f(x) = F (x) > für a < x < x und F (x) < für x < x < b, d.h. HP von F bei x. (b) An der Stelle des Tiefpunktes von f hat F einen Wendepunkt. Die Funktionswerte von F ergeben sich ungefähr durch Abzählen der Kästchen der von G f und der x- Achse eingeschlossenen Fläche. y x 9

2 Analysis Aufgabengruppe Teil A. (a) g(x) = sin( x) = sinx (b) h(x) = +sinx (c) k(x) = sinx. Siehe Aufgabengruppe. I, da zwei NS mit VZW.. A(x) = xf(x) = xlnx = A (x) = lnx, A (x ) = = x = e f(x ) =, d.h. Seitenlängen e und. Siehe Aufgabengruppe Stochastik Aufgabengruppe Teil A. (a) Mögliche Inhalte Urne A: rw rw rw rw rw rw rw rw rw rw rw rw rw rw rw rw rw (b) P(E) = +. P(X 9 =, P(E) = < P(E). E(X) = p + + +p =,+p, p = p =, p, = E(X),+, =, Stochastik Aufgabengruppe Teil A. Siehe Aufgabengruppe. (a) P(D) = = (b) P(C) P(D) = ( + ) = C D D P(C D) = P(C) P(D) (c) p statt = P(C) =, P(D) = p+ P(C) P(D) = ( p+ ) = P(C D) = C D D p+ = = p =

3 Geometrie Aufgabengruppe Teil A. (a) BF = =, BF = + + = (b) M( ), P( ), MP =, MK = y k MP MK = y k = = y k =. (a) n = = E ist parallel zur x -Achse (b) n = = < + = = d(z,e) = + Also schneidet die Kugel die Ebene E. Geometrie Aufgabengruppe Teil A. (a) a b = + = = a b a c t = t+t t = = a c t b ct = t+t = = b c t = Quader (b) a =, b =, c t = t = V = t = = t = ± 9. (a) MP =, Q = M MP = = + (b) r = MP = 9 = = d(m,x x Ebene) (x -Koordinate von M).

4 Analysis Aufgabengruppe Teil B. (a) ( (,), f(x) = = x = = ( ) lim =, f() = x (b) f (x) = x =, D f =],[ lim (x) = x x f senkrechte Tangente in ( ). (c) f (x) > = f in ganz D streng steigend. W f =],]. (d) f( ) = (e) D f = W f =],]. ( ) + = + = f (f(x)) = ( x) +( x)+ = = ( x+ x)+ x+ = = + x+x+ x = x. (a) x +x+ = x = x x = = (x ) = 9 = x = ± ( ), ( ) (b) h(x) = (x x ) = (x } x+ {{} ) = (x ) + (x ) oder über die Ableitung: h (x) = x+, h (x) = = x =, h() = A ) ]. (a) = (h(x) x)dx = ( x +x+ dx = [ x + x +x = = ++ + = = A = (b) t(x) t( ) x ( ) = t(x)+ x+ = h ( ) = = t(x) = x+ ϕ = (tan ) =,9 (c) I und II: stetig und glatt bei x =, III: Kurve bei x = geschlossen IV: kleinere Steigung als bei h y x

5 Analysis Aufgabengruppe Teil B. (a) x = = x = ±, f( x) = ( x) ( x) = x) x = f(x) NS: x =, lim =, Asymptoten: x =, x =, y = x ± (b) f (x) = (x ) x x x + (x ) = (x < für alle x ) ϕ = tan f () = tan (,) =, (c) y x 9 (d) Für jedes y gibt es zwei verschiedene x-werte x und x mit y = f(x ) = f(x ). f dagegen ist in D f streng monoton fallend. (e) A(s) = s s f(x)dx = x s (x ) x dx = x dx = [ln x ] s x = x > = A(s) = [ln(x ) ] s = ln s (f) ln s = = s (g) lim A(s) = ( ln ) = + s. (a) t() = + = (b) t = = e = s = e + = min, t() = + = Weg Geschwindigkeit, v hin = x+, v zurück = x, (c) Geschwindigkeit zu klein zum Zurückfahren. (d) t(x) = x+ + x +x+ = x (x+)(x ) = x x = f(x) (e) Siehe Zeichnung! t(x) = x x = = x x = km km h = h = min x x+ ( ) = = x = + ( ),

6 Stochastik Aufgabengruppe Teil B. (a) M J F 9 F 9 (b) P F (M) = 9 =,% P(M F) = = % (c) P(F) = 9 9, P(M) =, P(F M) = (d) i= P(F) P(M) = 9,% % = P(F) P(M) = abhängig B(;,;i) = F,() =,% Die Schülerinnen der 9. Jahrgangsstufe sind keine repräsentative Stichprobe aller Mädchen im Alter von bis 9 Jahren.. (a) Entscheidung für die Bewilligung der Finanzmittel, wenn die Zahl X der Computerbesitzer kleiner oder gleich k ist. Der Stadtrat entscheidet sich fälschlich für die Bewilligung, wenn der tatsächliche Anteil p der Computerbesitzer im Intervall [,9; ] liegt. Die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung ist für p =,9 am größten. Diese größte Wahrscheinlichkeit soll höchstens % betragen: P(X k) = F,9 (k), Den Tabellen entnimmt man k. Wir entscheiden uns für k =, weil für ein kleineres k die Wahrscheinlichkeit einer irrtümlichen Ablehnung größer wäre. (b) p = ( ) =,, P = B(;,; =,, =,%. Von Jugendlichen besitzen x beide Geräte, 99 eine Konsole und 9 ein Smartphone. Unter den Telefonlosen sind 99 x Konsolenbesitzer: x 9 > 99 x x muss also mindestens sein. = x > 9 9x = x > 9 = x >,

7 Stochastik Aufgabengruppe Teil B. (a) GZ(,) GZ(,) =! 9! = ! (b) p = =,9, B(;p;) = p =,9% (c) p = =,, P(X ) = P(X = ) =,9n >,99,9 n <, = n > ln, ln,9 =, = 9 Päckchen. (a) (++++)ϕ = ϕ = = ϕ = = P(X = ) = = (b) A : Auszahlung: E(A) = = Die durchschnittliche Auszahlung an den Spieler ist also, sein mittlerer Gewinn somit =. (c) Y: Gewinn des Supermarkts, Y i in - p i E(Y) = ++9+ = An den Kindergarten gehen also erwartungsgemäß =

8 Geometrie Aufgabengruppe Teil B (a) AB = =, A = (b) g : x = P +λ v = +λ AC = = AB AC = = x C g in E: λ+ λ+ λ = = λ =, R = P + v =, A x B x Die Menge aller Punkte von E mit drei positiven Koordinaten ist gleich der Menge aller Punkte von E, die im Inneren des Dreiecks ABC liegen. Da R drei positive Koordinaten hat... (c) Ein Normalenvektor von E ist n =. QP = S = Q + QP = + = = n = QP E Wegen ++ = liegt also der Mittelpunkt S( ) von [PQ] in E. (d) PR =,, =,, QR =,, =, Ein Normalenvektor von F ist n F = = = und somit auch n F = = F : n F ( x Q) = n F x n F Q = x }{{} +x =, n F n = = n n F und R F = Einfallslot F (e) α = α (Symmetrie), α = β (Scheitelwinkel) = α = β oder mit Skalarprodukt: cosα = RP n RP n = = = QR n QR n = cosβ P n α β R α E α = β, Q

9 Geometrie Aufgabengruppe Teil B (a) BG = + =, A = = (b) tanϕ = = ϕ =,9 > (c) Normalenvektor von E: n =, Richtungsvektor von t: v = (d) M = T = = ( ) E n v = = = v n = t E TH, v v = + } = t E TH v = = TH t = d = TH = = + + (e) Schnitt von E und F mit der x -Achse: x = x = =, =, x E = =, x F = 9, =,, x F x E =, und n E = n F = die Beh. (f) {N} = m F : (,+µ)+(, µ) 9, = = µ =,, N = M + =, L = N + =,, 9

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