Mathematik. Zusatzheft zu den Abituraufgaben mit Lösungen. detaillierte Abfolge der Tastenkombinationen. für den GTR: TI 83, TI 84

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1 y 1 zeichnen lassen, danach: 2nd Calc maximum um das Maximum zu berechnen, danach 2nd Calc minimum für das Minimum. TR.08.10: f(x) ist unter y 1 eingespeichert. y=22 wird unter y 2=22 eingegeben. Nun bestimmt man den Schnittpunkt von y 1 mit y 2. Also: TR.08.11: Unter y 1 ist noch f(x) eingespeichert. (y 2 kann gelöscht werden) f (x) wird unter y 2 eingegeben. y 2=nDeriv(y 1,x,x) y 1 ausblenden. (Markierung vom = mit der Enter-Taste wegmachen) Nun bestimmt man den Hochpunkt von y 2. Also: 2nd Calc maximum TR.08.12: Im y-editor haben wir die Funktion f(x) noch unter y 1 gespeichert, also können wir ins Haupt-Menü wechseln ( 2nd QUIT ) und das Integral eingeben: 1/(18 6)*fnInt(y 1,x,6,18) TR.08.13: f(x) ist noch unter y 1 gespeichert, g(x) speichern wir unter y 2 ein. y 2=3*sin(π/12*(x 12))+18 Nun geben wir die Differenz ein: y 3 =abs(y 1 y 2 ) Die Funktionen f(x) und g(x) müssen nicht angezeigt werden, also blenden wir y 1 und y 2 aus. (Markierung vom = mit der Enter-Taste wegmachen) Nun können wir ins Grafik -Menü wechseln ( Graph ), lassen uns y 3 anzeigen und bestimmen davon das Maximum. Also: 2nd Calc maximum TR.08.14: f(x) unter Y1 einspeichern, also Y1= e^(-0.01x) Nun kann man ins Haupt-Menü wechseln ( 2nd QUIT ) und das Integral eingeben: 1 (1 0)*fnInt(y 1,x,0,1) TR.08.15: Wir geben die Volumenfunktion ein: y 1=x*(60 10x)/6*10 (Gute Fenster-Einstellung: x ist b. b kann nicht negativ werden [b ist eine Quaderbreite] und kann auch nicht größer als 10 sein [der Würfel ist nur 10LE breit]) Damit kann b=x nur Werte zwischen 0 und 10 annehmen x min=0, x max=10. Um zu schauen, welche y- Werte vorkommen, lässt man sich die Wertetabelle anzeigen. Im Bereich 0 10 tauchen da y-werte im Bereich von 0 bis 150 auf. y min=-10, y max=160) Das Schaubild ist das einer umgekehrten Parabel. Da ein Quadervolumen nicht negativ sein kann, liegen die möglichen Werte des Volumens zwischen 0 und dem y-wert des Hochpunktes. Also berechnen wir den Hochpunkt. Hochpunktberechnung: 2nd Calc maximum Der x-wert ist uninteressant, der y-wert liegt bei 150. Damit nimmt das Quadervolumen Werte zwischen 0 und 150 an. havonixkompaktwissen Zusatzheft zu den Abituraufgaben mit Lösungen Mathematik detaillierte Abfolge der Tastenkombinationen für den GTR: TI 83, TI 84 (altes Menü: Classic ) allgemein bildende Gymnasien, Baden-Württemberg h[x]= havonix Mit uns kann man rechnen Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 16

2 Katalog:Tastenkombinationen für die wichtigsten Funktionen nderiv Ableitung Math nderiv( abs Betrag Math Num abs Y 1, Y 2,... Funktionen des Y-Editors Vars Y-Vars Function Y 1 (oder eben Y 2 ) fnint Integral Math fnint dy/dx Steigung 2nd Calc dy/dx value y-wert 2nd Calc value binompdf Binomialverteilung 2nd VARS binompdf( binomcdf kumulierte Binomialverteilung 2nd VARS binomcdf( Funktion zeichnen Graph Wertetabelle 2nd Table Winkelmaß umstellen Mode RADIAN bzw. Mode DEGREE (eine Bedienungsableitung des GTR kann auch unter: > Downloads heruntergeladen werden) TR.08.02: TR.08.03: Den y-wert erhält man, indem man die Ableitung y 2 wieder ausblendet, die Funktion y 1 wieder einblendet, im Grafik-Menü unter 2nd Calc value den x-wert x=2 eingibt und den y-wert y=- 1,125 erhält. Die Ableitung f (x) ist immer noch unter unter y 2 eingespeichert. Da f (x)=-1,5 sein soll, geben wir noch y 3=-1,5 ein und bestimmen den Schnittpunkt von y 2 mit y 3. Also:. Man erhält den x-wert x=-0,828. Den y-wert erhält man wieder, indem man die Ableitung y 2 ausblendet, die Funktion y 1 wieder einblendet, im Grafik-Menü unter 2nd Calc value den x-wert x=-0,828 eingibt und den y-wert y=-2,54 erhält. Die Funktion f(x) wieder einblenden, falls nicht bereits geschehen (unter y 1). Die Nullstellen berechnet man mit 2nd Calc zero. TR.08.04: Die Grenzen der Funktion sind die Nullstellen. Man wechselt also ins Run-Menü ( 2nd QUIT ) Integral eingeben:fnint(y 1,x,-1.791,2.791) TR.08.05: Die linke Seite der Gleichung geben wir als y 2=-3,125 ein. (die Ableitung, die bisher unter y 2 eingespeichert war, brauchen wir nicht mehr) Die rechte Seite der Gleichung geben wir unter y 3 ein, also: y 3=nDerive(y 1,x,x)*(0 x)+y 1. Die Funktion f(x), welche unter y 1 gespeichert ist, kann ausgeblendet werden. Nun bestimmen wir den Schnittpunkt der beiden Funktionen. Also: Der Schnittpunkt der beiden Funktionen ist ( 3-3,125 ) Der x-wert x=3 ist das gesuchte u. Der Berührpunkt hat den x-wert x=3. Der y-wert ist nicht sehr wichtig. TR.08.06: Im Grafik -Menü: 2nd Draw Tangent( Den x-wert 3 eintippen. Die Tangente wird gezeichnet, am unteren Bildschirmrand wird vor allem die Tangentengleichung auch noch angezeigt. Jetzt keine Taste mehr drücken, sondern diese Gleichung erst einmal abschreiben. y Tan=1,125x 3,125 TR.08.07: Ins Grafik Run-Menü wechseln,( Graph ) y 1 zeichnen lassen, danach: 2nd Calc maximum TR.08.08: Im Grafik -Menü: 2nd Draw Tangent( Den x-wert 2 eintippen. Die Tangente wird gezeichnet, am unteren Bildschirmrand wird die Tangentengleichung angezeigt. y Tan=1,5x 4,125 TR.08.09: f(x) unter y 1 einspeichern, also y 1=8sin( /12(x 8,5))+21 (Gute Fenster-Einstellung: x min=0, x max=24, y min=0, y max=30) Der GTR muss unter Mode auf RADIAN gestellt sein. Ins Grafik Run-Menü wechseln,( Graph ) Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 2 Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 15

3 Dieses berechnet man mit 2nd Calc maximum. TR.09.09: f(t) ist noch unter y 1 eingespeichert. Unter y 2 geben wir die Ableitung von f(t) ein: y 2 =nderive(y 1,x,x) y 1 kann ausgeblendet werden, y 2 lässt man zeichnen. Natürlich sieht man keine Funktion. Die Fenstereinstellung muss für das Schaubild der Ableitung geändert werden. [ x min=0, x max=50 kann unverändert bleiben, y min=-5 und y max=5 ist eine ganz gute Einstellung.] Nun kann man das Minimum von y 2 bestimmen. 2nd Calc maximum TR.09.10: f(t) (unter y 1 eingespeichert) blenden wieder ein, y 2 kann man löschen. (Window wieder auf x min=0, x max=50, y min=35 und y max=4 stellen.) Unter y 2 gibt man y=37 ein: y 2=37. Nun bestimmt man die Schnittpunkte von y 1 mit y 2. 2nd Calc intersect TR.09.11: Ins Run -Menü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben:1/45*fnint(y 1,x,0,45) TR.09.12: In den y-editor wechseln Y= Die Funktion f(t), die unter y 1 eingespeichert ist, kann ausgeblendet bleiben. Zu lösen ist die Gleichung: f(t+2) f(t)=1 Die linke Seite der Gleichung unter y 2 eingeben: y 2=y 1(x+2) y 1(x) Die rechte Seite der Gleichung unter y 3 eingeben: y 3=1 y 1 ausblenden, die anderen beiden zeichnen lassen. Erst mal sieht man keine Funktion. Die Fenstereinstellung muss geändert werden. [x min=0, x max=50 kann unverändert bleiben, y min=-5 und y max=5 ist ganz gut.] Nun bestimmt man die Schnittpunkte von y 2 mit y 3. TR.09.13: In den y-editor wechseln Y= g(t) geben wir unter y 2 ein: y 2= *e^(-0.234x) Zu lösen ist die Gleichung: f(t) g(t)=1 Die linke Seite der Gleichung unter y 3 eingeben: y 3=y 1 y 2 Die rechte Seite der Gleichung unter y 4 eingeben: y 4=1 y 1 und y 2 ausblenden, die anderen beiden zeichnen lassen. Nun bestimmt man die Schnittpunkte von y 3 mit y 4. TR.09.14: Wir geben in den y-editor den Abstand als Funktion ein y 1 = ((11 x)^2+(-18+4x)^2+x^2) Nun berechnen wir davon das Minimum mit: 2nd Calc minimum Abitur-Prüfungen des Jahres 2008 TR.08.01: f(x) unter y 1 einspeichern, also y 1 =-0,125x³+0,75x² 3,125 Die Ableitung von f(x) unter y 2 einspeichern: y 2=-0,375x²+1,5x y 1 ausblenden. Das Maximum von y 2 bestimmen. Dieses berechnet man mit 2nd Calc maximum. Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 14 Abitur-Prüfungen des Jahres 2014 TR.14.01: Man gibt f(x) unter Y 1 ein: Y 1 =10xe^(-0,5x) (Eine mögliche, gute Fenster-Einstellung ist : x min=-1 x max=10 y min=-1 y max=10) Koordinatensystem zeichnen und diese dann Punkte verbinden. TR.14.02: Die Funktion im Grafikmenü zeichnen lassen, dann TR.14.03: In den y-editor wechseln Y= Y 1 ausblenden. (Markierung vom = mit der Enter-Taste wegmachen ), Neue Funktionen eingeben unter: Y 2=1/2*X*Y 1 und Y 3=8 Y 2 und Y 3 zeichnen lassen und dann schneiden: Man erhält die Lösungen x 1=-0.988, x 2=2,183 und x 3=6,621 TR.14.04: In den y-editor wechseln Y= Y 1 wieder einblenden, Y 3 löschen. Neue Funktionen eingeben unter: Y 2=X Man erhält die Lösungen x 1=0 und x 2=4,605 TR.14.05: Unter Y 1 ist die Funktion f(x) bereits eingespeichert. Ins Haupt-Menü wechseln ( 2nd QUIT ) Nun rät man die Integralgrenzen so lange, bis im Ergebnis ca. 2,2 rauskommt. Die obere Grenze ist immer 3 mehr als die untere: z.b.: 1/3* fnint(y 1,X,0,3) liefert 5,89 (das ist zu viel) z.b.: 1/3* fnint(y 1,X,2,5) liefert 5,97 (das ist zu viel) z.b.: 1/3* fnint(y 1,X,4,7) liefert 3,60 (besser, aber zu viel) z.b.: 1/3* fnint(y 1,X,5,8) liefert 2,61 (ein bisschen zu viel) z.b.: 1/3* fnint(y 1,X,6,9) liefert 1,84 (besser, aber zu viel) z.b.: 1/3* fnint(y 1,X,5.5,8.5) liefert 2,198 (ziemlich gut) TR.14.06: In den y-editor wechseln Y= Y 1 ausblenden. (Markierung vom = mit der Enter-Taste wegmachen ), Neue Funktionen eingeben: Y 2= ( 4X^2+16/9*X^6) und Y 3=13 Y 2 und Y 3 zeichnen lassen und dann schneiden: Man erhält die Lösungen x 1=-2.098, x 2=2,098 TR.14.07: Man gibt f(x) unter Y 1 ein: Y 1=( X)/(X^ ) (Eine mögliche, gute Fenster-Einstellung ist : x min=0 x max=30 y min=0 y max=400) Koordinatensystem zeichnen und diese dann Punkte verbinden. TR.14.08: Die Funktion im Grafikmenü zeichnen lassen, dann TR.14.09: Ins Hauptmenü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben: fnint(y 1,X,0,6) TR.14.10: In den y-editor wechseln Y= Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 3

4 Neue Funktionen eingeben unter: Y 2=110 Man erhält die Lösungen x 1=2.542 und x 2=21,860 TR.14.11: Ins Hauptmenü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben: fnint(y 1 110,X,2.54,21.86) TR.14.12: In den y-editor wechseln Y= Neue Funktionen eingeben unter: Y 2=220 Man erhält die Lösungen (x 1=5.200 und) x 2= TR.14.13: Ins Hauptmenü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben: fnint(y 1 110,X,2.54,12)+fnInt(Y 1 220,X,12,15.9) Man erhält die Lösung: TR.14.14: Ins Hauptmenü wechseln ( 2nd QUIT ) kumulierte Binomialverteilung eingeben [mit 2nd VARS binomcdf( ] 1 binomcdf(20,0.6,11) Man erhält das Ergebnis: TR.14.15: Ins Hauptmenü wechseln ( 2nd QUIT ) kumulierte Binomialverteilung eingeben [wie bei T.14.14] binomcdf(800,0.05,30) Man erhält das Ergebnis: TR.14.16: In den y-editor wechseln Y= kumulierte Binomialverteilung eingeben: [wie bei T.14.14] Y 1=binomcdf(800,0.02,X) In die Wertetabelle wechseln: 2nd Table Ab X=24 wird das Ergebnis von 0.95 erstmalig überschritten. Abitur-Prüfungen des Jahres 2013 TR.13.01: Man gibt f(x) unter Y 1 ein: Y 1=0.02x^4 0,8x^2+8 (Eine mögliche, gute Fenster-Einstellung ist : x min=-4 x max=4 y min=-1 y max=9) Koordinatensystem zeichnen und diese dann Punkte verbinden. TR.13.02: Y 1 ausblenden. (Im y-editor die Sel Taste) Die Ableitungsfunktion unter y 2 einspeichern. Y 2 = nderiv(y 1,X,X) Minimum berechnen: 2nd Calc minimum TR.13.03: Ins Hauptmenü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben: fnint(y 1,X,-4,4) TR.13.04: In den y-editor wechseln Y= Y 2 ausblenden. (Markierung vom = mit der Enter-Taste wegmachen ), Y 1 einblenden. Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 4 Abitur-Prüfungen des Jahres 2009 TR.09.01: f(x) unter y 1 einspeichern, also y 1=6 100/(x^2 16)^2 Die Nullstellen berechnet man mit 2nd Calc zero. TR.09.02: Ins Run -Menü wechseln ( 2nd QUIT ) A 1: Integral eingeben: fnint(y 1,x,-7,-4.48) A 2: Integral eingeben: fnint(y 1,x,-3.45,3.45) TR.09.03: In den y-editor des Grafik-Menüs wechseln. f(x) ist noch unter y 1 eingespeichert, den Abstand geben wir unter y 2 ein. y 2 = ((1.5 x)^2+(4 y 1)²) y 1 blenden wir aus (Markierung vom = mit der Enter-Taste wegmachen) Nun lassen wir die Abstandsfunktion y 2 zeichnen und bestimmen das Minimum über 2nd Calc minimum TR.09.04: Die Funktion f(x) speichert man unter y 1 ein: y 1=2*(sin( /2*x))^2 Die rechte Seite der Gleichung gibt man unter y 2 ein: y 2=1 Nun kann man den Schnittpunkt von y 1 und y 2 berechnen lassen. Also zweimal:. Da nur der Bereich 0 x 2 interessiert, erhält man die x-werte x=0,5 und x=1,5. TR.09.05: Matrix eingeben mit: 2nd Matrix Edit 4 5 LGS eingeben,[ ] [ ] [ ] [ ] danach wieder raus mit 2nd QUIT TR.09.06: TR.09.07: TR.09.08: 2nd Matrix Math rref 2nd Matrix A (oder B oder so) ) Enter In der rechten Spalte erscheint die Lösung. In den y-editor des Grafik-Menüs wechseln. f(x) ist noch unter y 1 eingespeichert, g(x) geben wir unter y 2 ein:y 2=4x^3 18x^2+24x 8 Die Differenz geben wir unter y 3 ein: y 3=abs(y 1 y 2) y 1 und y 2 blenden wir aus, y 3 lassen wir zeichnen. (Vermutlich sieht man kein Maximum im Display. Man sollte also die Window-Einstellung ändern. z.b. y min =0 y max =1.) Nun kann man die beiden Maxima von y 3 bestimmen. Diese berechnet man mit 2nd Calc maximum. f(x) unter y 1 einspeichern, also y 1=100*h/ (h^2+25)^3 Das Maximum von y 1 bestimmen. Dieses berechnet man mit 2nd Calc maximum. Man gibt f(t) unter y 1 ein: y 1=36.5+x*e^(-0,1*x) (Gute Fenster-Einstellung: x ist t. t ist großer als Null und nimmt Werte von mindestens 48 an [in Teilaufgabe a) ist von 48 Stunden die Rede]. x min=0, x max=50. Um zu schauen, welche y-werte vorkommen, lässt man sich die Wertetabelle anzeigen. Im Bereich 0 50 tauchen da y-werte im Bereich von ca. 36 bis 41 auf. y min=35, y max=45) Das Maximum von y 1 bestimmen. Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 13

5 TR.10.18: TR.10.19: Davon lässt man den Hochpunkt mit 2nd Calc maximum berechnen. Die Funktion g(x) ist immer noch unter y 2 gespeichert. Ins Haupt-Menü wechseln ( 2nd QUIT ) und das Integral eingeben: 1/4*fnInt(y 2,x,0,4) k(x) muss noch eingegeben werden. y 4=0.2*cos(4.71x 9.25)+0.2 Ins Haupt-Menü wechseln ( 2nd QUIT ) und das Integral eingeben: 1/4*fnInt(y 4,x,0,4) TR.10.20: Man gibt f(x) unter y 1 ein: y 1 =960*e^(-x) 960*e^(-2x) Den Hochpunkt erhält man nun mit: 2nd Calc maximum TR.10.21: Man gibt die Ableitung ein mit: y2=nderiv(y1,x,x) Nun blendet man y 1 aus (Markierung vom = mit der Enter-Taste wegmachen) aus und kann sich die Ableitung zeichnen lassen. (Da die Ableitung auch negativ werden kann, muss man die y-wert der Fenstereinstellung ändern. Geschickt ist y min=-200 y max=200). Danach mit 2nd Calc minimum das Minimum berechnen lassen. TR.10.22: Die Funktion v(t) ist immer noch unter y 1 gespeichert. Ins Run -Menü wechseln ( 2nd QUIT ) und das Integral eingeben: 1/5*fnInt(y 1,x,0,5) TR.10.23: Im GTR y 1 wieder ein- und y 2 wieder ausblenden. Man gibt auch noch die andere Funktion ein: y 3=160 (Die Fenstereinstellung wieder zurück stellen. y min=0 y max=250). Beides zeichnen lassen und dann die Schnittpunkte davon berechnen. TR.10.24: Ins Run -Menü wechseln ( 2nd QUIT ) und das Integral eingeben: fnint(y 1,x,0,2) TR.10.25: Die linke Seite der Gleichung ist s M(t), wir speichern sie unter y 4 y 4 = -960*e^(-x)+480*e^(-2x)+480 Die rechte Seite der Gleichung ist s S(t), wir speichern sie unter y 5 y 1, y 2, y 3 sollten alle ausgeblendet sein. y 4 und y 5 zeichnen lassen. Nun können wir die Schnittpunkte beider Funktionen bestimmen. TR.10.26: Im Grafik -Menü: 2nd Draw Tangent( Den x-wert 2.55 eintippen. Die Tangente wird gezeichnet, am unteren Bildschirmrand wird vor allem die Tangentengleichung auch noch angezeigt. Jetzt keine Taste mehr drücken, sondern diese Gleichung erst einmal abschreiben. y Tan=-63,25x+230,39 TR.10.27: In den y-editor des Grafik-Menüs wechseln Unter y 1 eingespeichern: y 1= ((0.5+x)^2+(-6 2x)^2+(-0.5+x)^2) Unter y 1 ist nun die Abstandsfunktion eingespeichert. Davon braucht man das Minimum: 2nd Calc minimum Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 12 Neue Funktion eingeben unter: Y 3=1.7 Y 1 und Y 3 zeichnen lassen und dann schneiden: Man erhält die Lösungen x 1=-3.2 und x 2=3.2 TR.13.05: Ins Hauptmenü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben: fnint(y 1 Y 3,X,-3.2,3.2) TR.13.06: In den y-editor wechseln. Y 1, Y 2 bleiben ausgeblendet, die Abstandsformel unter Y 3 eingeben: Y 3= ((x)^2+(y 1 6)^2) Davon braucht man das Maximum: 2nd Calc maximum (Es gibt zwei x-werte bzw. u-werte: x 1=u 1=-1,3 und x 2=u 2=1,3 Abstand, beide betragen y=d=1,46.) Die y-werte sind der TR.13.07: In den y-editor wechseln Y= Neue Funktion eingeben unter: Y 3=2X Y 1 und Y 3 zeichnen lassen und dann schneiden: Man erhält die Lösung x=2.2 TR.13.08: Man gibt r(t) unter Y 1 ein: Y 1=10000(e^(-0,5x) e^(-x)) (Eine mögliche, gute Fenster-Einstellung ist : x min=0 x max=12 y min=0 y max=2500) Koordinatensystem zeichnen und diese dann Punkte verbinden. TR.13.09: Funktion wieder zeichnen lassen. TR.13.10: Funktion wieder zeichnen lassen. Zweite Funktion eingeben unter: Y 2=2000 Man erhält die Lösungen x 1 =0.6 und x 2 =2.6 TR.13.11: Y 1 ausblenden. (Markierung vom = mit der Enter-Taste wegmachen ) Die Ableitungsfunktion unter y 2 einspeichern. Y 2 = nderiv(y 1,X,X) Minimum berechnen: 2nd Calc minimum TR.13.12: Ins Hauptmenü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben: fnint(y 1,X,0,3) TR.13.13: In den y-editor wechseln Y= Y 1 ist immer noch ausgeblendet. Linke Seite der Gleichung eingeben: Y 2=e^(-x) 2e^(-0.5x) Rechte Seite der Gleichung eingeben: Y 3=-0.5 Y 2 und Y 3 zeichnen lassen und dann schneiden: TR.13.14: In den y-editor wechseln Y= Y 1 ist immer noch ausgeblendet. Linke Seite der Gleichung eingeben: Y 2=-20000e^(-0.5x)+10000e^(-x) Rechte Seite der Gleichung eingeben: Y 3=5000 Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 5

6 Y 2 und Y 3 zeichnen lassen und dann schneiden: (Eventuell muss man y max ändern auf mindestens 5000 ) TR.13.15: In den y-editor wechseln Y= r(t) ist unter Y 1 eingespeichert. Einblenden. Rechte Seite der Gleichung eingeben: Y 2=400 Y 3 ausblenden oder löschen. TR.13.16: In den y-editor wechseln Y= r(t) ist unter Y 1 eingespeichert. Da w(t)=r(t) 400, gibt man w(t) ein als: Y 2=Y Ins Hauptmenü wechseln ( 2nd QUIT ) Beide Integrale eingeben (man kann auch jedes einzeln eingeben) : fnint(y 1,X,0,3)+fnInt(Y 2,X,3,6.352) TR In den y-editor wechseln Y= Linke Seite der Gleichung eingeben: Y 1=0.9^x+x*0.1*0.9^(x 1) Rechte Seite der Gleichung eingeben: Y 2=0.5 (Eine mögliche, gute Fenster-Einstellung ist : x min=0 x max=20 oder mehr y min=0 y max=1) Man erhält x=16.44 TR In den y-editor wechseln Y= Summe der Binomialverteilungen eingeben: Y 1=binomcdf(500,1/36,X) In die Wertetabelle wechseln: 2nd Table Die beiden y-werte raussuchen, zwischen denen der Wert y=0,05 liegt. Uns interessieren dann die zugehörigen x-werte. Abitur-Prüfungen des Jahres 2012 TR.12.01: Man gibt f(x) unter Y 1 ein: Y 1=-0.1x^3 0.3x^2+0.4x+3.2 Koordinatensystem zeichnen. Punkte verbinden. Fertig isch Kurve. TR.12.02: Die Funktion im Grafikmenü zeichnen lassen, dann TR.12.03: Immer noch im Grafikmenü die Steigung anzeigen lassen mit 2nd Calc dy/dx, danach den x-wert eingeben (hier x=-3) Es sollte: dy/dx=-0,5 erscheinen. Das ist die Steigung. TR.12.04: Unter Y 1 ist die Funktion f(x) bereits eingespeichert. Man gibt g(x) unter Y 2 ein [falls nicht bereits geschehen]: Y 2=-0,5X+0,5 Ins Haupt-Menü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben: fnint(y 1 Y 2,X,-3,3) TR.12.05: Die Funktion f(x) ist bereits unter Y 1 eingespeichert. Y 2 [=g(x)] und Y 1 ausblenden. (Markierung vom = mit der Enter-Taste Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 6 2nd Calc value (anschließend x=-2.23 eintippen) TR.10.09: Der GTR muss auf Bogenmaß eingestellt sein( Mode, dann Radian ). Man gibt die Funktion ein: y 1= 1 5cos( x) und bestimmt eine Nullstelle mit 2nd Calc zero. (Der GTR hat oft Probleme Nullstellen zu erkennen, die gleichzeitig Berührpunkte mit der x-achse sind. Sollte der GTR also keine Nullstelle anzeigen, muss man ihn austricksen. Man lässt den GTR statt der Nullstellen einfach die Tiefpunkte berechnen.) TR.10.10: f(x) ist noch unter y 1 eingespeichert. g(x) geben wir unter y 2 ein: y 2=4*(4 x)*y 1 (Gute Fenster-Einstellung [=window]: x liegt laut Aufgabe zwischen 0 und 4. x min=0, TR.10.11: x max=4. y-werte sieht man in der Wertetabelle oder in der Zeichnung: Es gibt keine negativen y-werte und auch keine y-werte, die größer als 1 sind. y min=0, y max=1) Den Hochpunkt erhält man mit: 2nd Calc maximum Die Ableitung rechnet man nicht von Hand aus, die dürfte hässlich werden. Man lässt sie sich vom GTR zeichnen mit: y 3=nDeriv(y 2,x,x) Wenn man nun y 1 ausblendet (Markierung vom = mit der Enter- Taste wegmachen), kann man sich die Ableitung zeichnen lassen und dann davon das Maximum mit 2nd Calc maximum berechnen. TR.10.12: Es geht um einen Punkt, der auf g(x) liegt, welche unter y 2 gespeichert ist. y 2 wieder einblenden. y 3 ausblenden. Einen y-wert erhält man am einfachsten im Grafik-Menü. 2nd Calc value (anschließend x=0.44 eintippen) TR.10.13: Im GTR sollte theoretisch y 1 und y 3 ausgeblendet sein, y 2 eingeblendet. Man gibt auch noch die andere Funktion ein: y 4=0.05 Beides zeichnen lassen und dann die Schnittpunkte davon berechnen. TR.10.14: Ins Haupt-Menü wechseln ( 2nd QUIT ) und das Integral eingeben: fnint(0.05 y 1,x,1.78,2.25) TR.10.15: Ins Grafik -Menü wechseln und g(x) zeichnen lassen. ( Graph ) Steigung berechnen lassen mit: 2nd Calc dy/dx, jetzt den x- Wert (hier x=0.5) eingeben. Es sollte dy/dy 1... erscheinen. Das ist die Steigung. TR.10.16: Matrix eingeben unter: 2nd Matrix Edit 3 4 [ ] [ ], danach wieder raus mit 2nd QUIT [ ] TR.10.17: 2nd Matrix Math rref 2nd Matrix A (oder B oder so) ) Enter In der rechten Spalte erscheint die Lösung. y 1 und y 2 ausblenden, y 3 und y 4 braucht man eigentlich mehr, kann man löschen. p(x) muss man eingeben. y 3=-0.162x^ x 0.19 (Der Sichtbereich [window] muss umgestellt werden. Da P bei x=7 liegt, muss x min=0, x max=7 gesetzt werden, für den y-bereich probiert man ein bisschen y min=0 und y max=3 ist gut.) Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 11

7 TR.11.18: Y 2=-750*(x²+10x+50)*e^(-0,2x) Die andere Seite der Gleichung eingeben: Y 3 =20000 (Die Fenster-Einstellung muss geändert werden : y min=0, y max auf mindestens ) Y 2 und Y 3 zeichnen lassen und Schnittpunkt berechnen mit:. Man erhält: x 14 Die linke Seite der Gleichung geben wir unter Y 1 ein: Y 1= (1+x²) Die rechte Seite geben wir unter Y 2 ein: Y 2=abs(1+2x) Y 1 und Y 2 zeichnen lassen und Schnittpunkt berechnen Man erhält als Lösung x 1=a 1=-1,33 und x 2=a 2=0 a 2=0 interessiert nicht die Lösung ist a=-1,33 Abitur-Prüfungen des Jahres 2010 TR.10.01: Man gibt f(x) unter y 1 ein: y 1 =120/(x^2+20) 2 TR.10.02: Die Nullstellen berechnet man mit 2nd Calc zero. TR.10.03: Die Ableitung rechnet man natürlich nicht notwendigerweise von Hand aus, man lässt sie sich vom GTR zeichnen mit: y 2=nDeriv(Y 1,X,X) Wenn man nun y 1 ausblendet (Markierung vom = mit der Enter- Taste wegmachen), kann man sich die Ableitung zeichnen lassen und dann davon das Maximum mit 2nd Calc maximum berechnen lassen. TR.10.04: Für das Integral brauchen wir die Ableitung nicht. Die Ableitungsfunktion y 2 kann also wieder gelöscht werden und y 1 wird wieder eingeblendet. Nun kann man ins Haupt-Menü wechseln ( 2nd QUIT ) und das Integral eingeben: fnint(y 1,x,-6.32,6.32) TR.10.05: Im y-editor eine zweite Funktion eingeben: y 2=3 und anzeigen lassen. Die beiden Funktionen miteinander schneiden lassen. TR.10.06: Ins Run -Menü wechseln ( 2nd QUIT ) und das Integral eingeben: fnint(y 1 3,x,-2,2) TR.10.07: Die linke Seite der Gleichung ist f(p+3,98) bzw. f(x+3,98). Das tippen wir ein als: y 2= y 1(x+3.98) Die rechte Seite der Gleichung geben wir unter Y3 ein y 3 = y y 1 blenden wir aus und lassen beide Funktionen zeichnen. Nun können die Schnittpunkte beider Funktionen bestimmen. Der x-wert des Schnittpunkts ist unser gesuchter Wert von p. TR.10.08: Ich würde empfehlen, zuerst y 2 und y 3 zu löschen, da wir das nicht mehr brauchen und y 1 wieder einzublenden. Einen y-wert erhält man am einfachsten im Grafik-Menü. Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 10 TR.12.06: TR.12.07: wegmachen) Unter Y 3 geben wir die Tangentenformel ein: Y 3=nDeriv(Y 1,X,X)*(1,5 X)+Y 1 Für die Tangentenformel soll 3 rauskommen. Also noch eine Funktion eingeben: Y 4=3 Nun beide Funktionen schneiden: Man erhält drei Schnittstellen, wovon nur x=2 interessant ist. Im y-editor die Ableitung eingeben unter: Y 3 = nderiv(y 1,X,X) Noch eine Funktion eingeben: Y 4=-0,5 Y 3 und Y 4 zeichnen lassen und dann schneiden: Man erhält die Lösung x=1. Den y-wert bei x=1 erhält man am einfachsten über die Wertetabelle: 2nd Table In den y-editor wechseln. Y 1, Y 2 bleiben ausgeblendet, die Abstandsformel unter Y 3 eingeben: Y 3 = ((x 1)^2+(Y 2 3.2)^2) Davon braucht man das Maximum: 2nd Calc maximum (Der x-wert ist u x=u=-0,28. Der y-wert ist der Abstand d y=d=2,86.) TR.12.08: Man gibt f(x) unter Y1 ein: Y 1=(sin(x))^2 und g 1(x) unter Y 2: Y 2=sin(x) (Die Klammern sind wichtig!) (Eine mögliche, gute Fenster-Einstellung ist : x min=0 x max=π y min=-1 y max=2) TR.12.09: Y 2 ausblenden (Markierung vom = mit der Enter-Taste wegmachen ) Minima berechnen: 2nd Calc minimum TR.12.10: Differenzfunktion eingeben: Y 3=Y 2 Y 1 TR.12.11: In das Grafik-Menü wechseln, die Steigung anzeigen lassen: 2nd Calc dy/dx, danach den x-wert eingeben (hier x=0) Es sollte: dy/dx=0 erscheinen. Die Steigung ist Null. TR.12.12: Ins Hauptmenü wechseln ( 2nd QUIT ) TR.12.13: TR.12.14: TR.12.15: Integral eingeben: fnint(y 1,X,0,π) Wieder im Hauptmenü: Integral eingeben: fnint((y 2 2)^2,X,1.57,5.2) Man gibt f(x) unter Y 1 ein: Y 1=130*(e^(-0.2x) e^(-0.8x)) (Eine mögliche, gute Fenster-Einstellung ist: x min=0 x max=24 y min=-10 y max=70) Man gibt y=36 als zweite Funktion ein: Y 2=36 Y 1 und Y 2 zeichnen lassen, dann Schnittpunkt von beiden bestimmen: In den y-editor des Grafik-Menüs wechseln. Man gibt die Ableitung f'(x) unter Y 2 ein: Y 2 = nderiv(y 1,X,X) Y1 ausblenden Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 7

8 Minimum berechnen: 2nd Calc minimum TR.12.16: Ins Hauptmenü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben: 1/12*fnInt(Y 1,X,0,12) TR.12.17: In den y-editor wechseln. g(t) unter Y 1 speichern, g'(t) unter Y 2, und y=1 speichern Y 1=80*(1 e^(-0.05x)) und Y 2=nDeriv(Y 1,X,X) und Y 3=1 Y 1 ausblenden, Y 2 und Y 3 zeichnen lassen. Y 1 und Y 2 zeichnen lassen, dann Schnittpunkt von beiden bestimmen: TR.12.18: Y 1 bleibt unverändert und ausgeblendet. Differenzfunktion unter Y 2 eingeben: Y 2 =Y 1 (x+15) Y 1 y=30 speichern: Y 3=30 ergeben: Y 2 und Y 3 zeichnen lassen, dann Schnittpunkt von beiden bestimmen: Abitur-Prüfungen des Jahres 2011 TR.11.01: TR.11.02: TR.11.03: TR.11.04: TR.11.05: TR.11.06: TR.11.07: Man gibt f 2(x) unter Y 1 ein: Y 1=4/(x^3+8) (Die Klammer um den Nenner ist wichtig!) (Eine mögliche, gute Fenster-Einstellung ist : x min=-3 x max=4 y min=-2 y max=4) Man gibt zuerst die Ableitung f'(x) unter Y 2 ein: Y 2=nDeriv(Y 1,x,x) Ableitung zeichnen lassen und dann mit 2nd Calc maximum das Maximum und mit 2nd Calc minimum das Minimum von f'(x) berechnen lassen. (Nur die x-werte beachten! Die y-werte kann man ignorieren.) Y 2 ausblenden oder löschen, Y 1 wieder zeichnen lassen. Den y-wert bei x 1=0 berechnen: 2nd Calc value (anschließend x=0 eintippen). Man erhält y 1=0.5 Den y-wert bei x 2=1,59 berechnen: 2nd Calc value (anschließend x=1.59 eintippen). Man erhält y 2 =0.33 Y 1 ausblenden, die Abstandsformel unter Y 2 eingeben: Y 2= ((x 1)^2+(Y 1)^2) Davon braucht man das Minimum: 2nd Calc minimum (Der x-wert ist u x=u=1,07. Der y-wert ist der Abstand d y=d=0,71.) Y 2 ausblenden oder löschen, Y 1 wieder zeichnen lassen. Den y-wert bei x 1=1,07 berechnen: 2nd Calc value (anschließend x=1.07 eintippen). Man erhält y 1=0,43 Unter Y 1 ist die Funktion f 2(x) bereits eingespeichert. Man gibt f 1(x) unter Y 2 ein: Y 2=4/(x^3+4) (Es ist geschickt beide Funktionen zeichnen zu lassen. Dabei stellt man z.b. fest, dass f 1(x) oberhalb von f 2(x) liegt. Das ist wichtig, um zu entscheiden, welche Funktion von welcher abgezogen wird.) Ins Run -Menü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben:π*fnint(y 22 -Y 12,x,0,2) Y 1 wieder zeichnen lassen. Den y-wert bei x=2 berechnen: 2nd Calc value (anschließend x=2 eintippen). Man erhält y=0,43 Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 8 TR.11.08: TR.11.09: TR.11.10: TR.11.11: Die Funktion f 1(x) ist bereits unter Y 2 eingespeichert. Unter Y 3 geben wir die Tangentenformel ein: Y 3=nDeriv(Y 2,x,x)*(3 x)+y 2 Y 1 und Y 2 blenden wir aus. Y 3 lassen wir zeichnen. Für die Tangentenformel soll Null rauskommen (die linke Seite der Gleichung ist 0), also suchen wir die Nullstellen von Y 3. Die Nullstellen berechnet man mit 2nd Calc zero. Man erhält die beiden Nullstellen x 1=2 und x 2=0,84 Das sind die gesuchten Werte für u. (x-werte des Berührpunktes) Y3 ausblenden oder löschen. Y2 wieder zeichnen lassen. Den y-wert bei x=0,84 berechnen: 2nd Calc value (anschließend x=0.84 eintippen). Man erhält y=0,87 Man gibt w(t) unter Y 1 ein: Y 1=50*sin(π/12*x)+60 (Eine gute Fenster-Einstellung ist : x min=0 x max=24 y min=0 y max=120) Als zweite Funktion gibt man ein: Y 2=100 Nun lässt man beide Funktionen zeichnen und berechnet den Schnittpunkt mit Man erhält x 1=3,54 und x 2=8,46. Man gibt zuerst die Ableitung w'(t) unter Y 2 ein: Y 2=nDeriv(Y 1,x,x) Ableitung zeichnen lassen und dann mit 2nd Calc minimum das Minimum von w'(t) berechnen lassen. (Nur die x-werte beachten! Die y-werte kann man ignorieren.) TR.11.12: Ins Run -Menü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben:fnint(y 1,x,0,24) (Man kann dieses Integral auch im Grafik-Menü mit 2nd-Calc- f(x)dx berechnen lassen.) TR.11.13: Y 2 ausblenden (falls nicht bereits geschehen) Die Stammfunktion W(t) eingeben unter Y 3: (Die Fenster-Einstellung ändern : y max=6500) Y 3=-600/π*cos(π/12*x)+60x+5191 Andere Seite der Gleichung eingeben: Y 4=6000 Zum Gleichsetzen, berechnet man den Schnittpunkt von Y 3 mit Y 4.. Man erhält: x=10,53 TR.11.14: Man gibt f(t) unter Y 1 ein: Y 1=150*x²*e^(-0,2x) (Eine gute Fenster-Einstellung ist : x min=0 x max=40 y min=0 y max=2500) Mit 2nd Calc maximum das Maximum bestimmen lassen. TR.11.15: Man gibt zuerst die Ableitung f'(t) unter Y 2 ein: Y 2=nDeriv(Y 1,x,x) (Die Fenster-Einstellung muss geändert werden : z.b. y min=-300 y max=500) Ableitung zeichnen lassen und dann mit 2nd Calc minimum das Minimum von f'(t) berechnen lassen. TR.11.16: Ins Haupt-Menü wechseln ( 2nd QUIT ) Integral eingeben:fnint(y 1,x,0,12) (Man kann dieses Integral auch im Grafik-Menü mit 2nd-Calc- f(x)dx berechnen lassen.) Man erhält (gerundet) Hier zählt man noch die anfänglich 100 gemeldeten Kranken dazu gemeldete Kranke. TR.11.17: Man gibt die Stammfunktion F(t) unter Y 2 ein: Havonix Detaillierte GTR-Eingaben für AbiAufgaben: TI83 - Seite 9