Zwei unbekannte Zahlen und alle vier Rechenarten

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1 Zwei unekannte Zahlen und alle vier Rechenarten HELMUT MALLAS Online-Ergänzung MNU 8/1 ( ) Seiten 1, ISSN , Verlag Klaus Seeerger, Neuss 1

2 HELMUT MALLAS Zwei unekannte Zahlen und alle vier Rechenarten Gesucht sind zwei natürliche Zahlen. Bildet man ihre Summe, ihre Differenz, ihr Produkt und ihren Quotienten und addiert diese vier Terme, erhält man 19. a) Bestimme alle Lösungen. ) Formuliere Bedingungen, die dazu führen, dass die Lösung eindeutig ist und ewerte diese Bedingungen. Nenne weitere Zahlen, die anstelle der Zahl 19 unter den gleichen Bedingungen zu einer eindeutigen Lösung führen. S. I S. I + II S. II gc MNU 8/1 ( ), ISSN , Verlag Klaus Seeerger, Neuss

3 Lösung a) Man kann z.b. durch systematisches Proieren Lösungen finden. Weil für die Sutraktion und für die Division kein Kommutativgesetz gilt, sind die eiden Zahlen nicht gleicherechtigt. Als Sutrahend spielt die zweite Zahl keine Rolle, aer als Divisor. Das spricht dafür, die zweite Zahl systematisch zu verändern und die erste Zahl passend zu suchen. Damit sich eine natürliche Zahl wie 19 ergit, muss die erste Zahl ein Vielfaches der zweiten sein. a a + a a a : Ta. 1. Lösung durch systematisches Proieren MNU 8/1 ( ), ISSN , Verlag Klaus Seeerger, Neuss 3

4 Bereits die erste Zeile führt auf eine Lösung. In den nächsten Zeilen verfehlt die Summe den Wert 19. Sofern es keine Lösung git, sind für jeden Wert von jeweils die eiden Werte von a angegeen, mit denen sich eine ganzzahlige Summe ergit, die die 19 gerade üer- zw. unterschreitet. Mit anderen Werten der ersten Zahl wäre es zwar möglich, näher an die 19 zu gelangen, aer nicht ganzzahlig. Durch diesen Verzicht auf eine essere, aer nicht ganzzahlige Annäherung wird erkennar, wann man die Suche einstellen kann: ei der Lösung a = 13, = 13. Ist größer als 13, ergit sich für den zu kleinen Wert von a nur noch 0, womit a keine natürliche Zahl mehr ist. Das nächstgrößere Vielfache von ist 1. Dieser Wert von a ist schon zu groß; damit ergeen sich oerhal von 13 nur noch Quadratzahlen größer als 19. Es kann also jenseits der Lösung a = 13, =13 keine weiteren Lösungen mehr geen. Gezielter lassen sich die Lösungen mit einer Gleichung estimmen. Seien a und die eiden natürlichen Zahlen. Dann ist a ( a + ) + ( a ) + a + = 19. Das vereinfacht sich zu a a + a + =19 und auf den gleichen Nenner geracht a + a + a = 19, Ausklammern ergit a ( + + 1) = 19 und mit der ersten inomischen Formel a ( + 1) = 19. Die Primfaktorzerlegung von 19 ist 19 = 7. a = = = Ta.. Algeraische Lösung 4 MNU 8/1 ( ), ISSN , Verlag Klaus Seeerger, Neuss

5 Quadratzahl 3 = = = = = = = = = = = = 441 Ta. 3. Gleiche Aufgaenstellung für Quadratzahlen, die in zwei verschiedene Primzahlen in zweiter Potenz zerlegt werden können Die Taelle zeigt die Lösungen. Auch ei diesem Lösungsweg leit noch zu zeigen, dass dies die einzigen Lösungen sind. Der Zähler a ( +1) muss die Primfaktoren der Zahl 19 enthalten. Daei kann der Faktor ( +1) nur die Werte 7 oder oder 7 annehmen. Der Wert 1 ist nicht möglich, weil dann = 0 wäre. Der Faktor ( +1) kann auch keine anderen Primfaktoren außer und 7 enthalten, weil sich diese nur durch Kürzen mit eliminieren ließen. Es git aer nur eine einzige Möglichkeit, dass ( +1) durch teilar ist, + 1 nämlich +1= und = 1; für alle größeren Werte von ergit keine ganze Zahl als Quotient, sondern eine rationale Zahl, die sich von kommend der Zahl 1 annähert. Der Zähler muss um den Faktor größer sein als 19, damit sich durch Kürzen 19 ergit, also a ( + 1) = 19. Dieser Faktor muss in enthalten sein. Auflösen nach ergit 19 a =. ( + 1) MNU 8/1 ( ), ISSN , Verlag Klaus Seeerger, Neuss 5

6 ) Durch geeignete Formulierungen lässt sich jede der drei Lösungen eindeutig machen, in der Reihenfolge von oen nach unten z.b. "genau eine der eiden Zahlen ist eine Quadratzahl", "die eiden Zahlen sollen verschieden und größer als 1 sein", "die eiden Zahlen sollen gleich sein". Am esten ist daei die mittlere Formulierung, denn sie verrät am wenigsten üer die Lösung. Anstelle der Zahl 19 sind alle Quadratzahlen geeignet, die je zwei verschiedene Primfaktoren in zweiter Potenz enthalten. Wenn man = 1 und a = ausschließt, ist ei diesen Quadratzahlen nur die in der Taelle dargestellte Aufteilung der Primfaktoren möglich. htt p://www.mathema. math.uni-kiel.de HELMUT MALLAS, MNU 8/1 ( ), ISSN , Verlag Klaus Seeerger, Neuss

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