Nachholklausur Statistik: Lösungshinweise

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1 Nachholklausur Statistik: Lösungshinweise Prüfungsdatum: 14. Januar 2014 Prüfer: Etschberger/Jansen/Nebel Studiengang: BW, IM Aufgabe 1 An einer Hochschule sollen die Studierenden ihre Dozenten bezüglich der Qualität der Lehre beurteilen. Dazu können sie jeder von 9 Lehrpersonen eine Punktzahl zwischen 0 und 30 zuordnen. Die vergebene Punktzahl kann nicht als kardinal skalierte Ausprägung angesehen werden. Studentin A und Student B vergaben folgende Bewertungen: Dozent Punktzahl von A Punktzahl von B a) Berechnen Sie den Median zu den von Studentin A vergebenen Punktzahlen. b) Berechnen Sie für die Korrelation zwischen den beiden Bewertungsreihen den Rangkorrelationskoeffizient von Spearman. In einer Voruntersuchung wurden 50 Studenten aus vier Studienjahren befragt, und ein Dozent wurde bezüglich der Lehre als schlecht, mittel bzw. gut eingestuft. Folgende Häufigkeitstabelle fasst die Ergebnisse für einen bestimmten Dozenten zusammen: Hochschule Augsburg AW Nachholklausur Wintersemester 2013/14 Statistik 14. Januar 2014 (Seite 1 von 7) Studienjahr Bewertung schlecht mittel gut c) Berechnen Sie den Kontingenzkoeffizient zwischen der Zugehörigkeit zum Studienjahr und der vergebenen Bewertung. Studienjahr Bewertung schlecht mittel gut

2 Aufgabe 2 Herr Meier hat in fünf aufeinanderfolgenden Jahren jeweils im ersten Drittel (d.h. Januar bis April), im zweiten Drittel (Mai bis August) bzw. im dritten Drittel (September bis Dezember) des Jahres folgende Strecken (gemessen in 1000 km) mit dem Fahrrad zurückgelegt: Jahr Drittel Strecke 1,3 3,8 1,2 0,7 4,4 1,2 1,0 3,8 1,5 1,3 3,5 1,5 1,9 3,5 0,9 a) Unterstellen Sie das additive Zeitreihenmodell mit konstanter Saisonfigur und berechnen Sie die zugehörige saisonbereinigte Zeitreihe. b) Berechnen Sie für das erste Drittel des Jahres 3 den gleitenden Durchschnitt der Ordnung 6. c) Die von Herrn B. insgesamt im Jahr i (i D 1; : : : ;5) mit dem Fahrrad zurückgelegte Strecke werde mit z i bezeichnet. Ermitteln Sie die Regressionsgerade, wenn die z i als Werte der abhängigen und die i als Werte der unabhängigen Variablen angesetzt werden. a) Zu verwenden sind gleitende Durchschnitte der Ordnung 3. Dann: Hochschule Augsburg AW Nachholklausur Wintersemester 2013/14 Statistik 14. Januar 2014 (Seite 2 von 7) y t 1;3 3;8 1;2 0;7 4;4 1;2 1;0 3;8 1;5 1;3 3;5 1;5 1;9 3;5 0;9 y t 2;1 1;9 2;1 2;1 2;2 2;0 2;1 2;2 2;1 2;1 2;3 2;3 2;1 y t y t 1;7 0;7 1;4 2;3 1;0 1;0 1;7 0;7 0;8 1;4 0;8 0;4 1;4 y ij OS j 2;2 2;1 2;0 1;6 2;7 2;0 1;9 2;1 2;3 2;2 1;8 2;3 2;8 1;8 1;7 wobei: QS 1 D 0;9; QS 2 D 1;7; QS 3 D 0;8; 1; 2; 3 3P 1 3 jd1 b) ;7 C 4;4 C 1;2 C 1;0 C 3;8 C 1;5 C 1 2 1;3/ D 2;15 QS j D 0 ) OS j D QS j ; j D c) Wegen z 1 D z 2 D D z 5 D 6;3 D const. ist die Regressionsgerade: z D 6;3 (d.h. Oa D 6;3; O b D 0).

3 Aufgabe 3 Bei einer Klausur im Fach BWL gibt es zwei Gruppen von Teilnehmern: Könner (Gruppe K, Anteil: 40 %) und Nichtkönner (Gruppe NK, Anteil: 60 %). a) Die Wahrscheinlichkeit die Klausur zu bestehen, sei bei der Gruppe K gleich 0,9 und bei der Gruppe NK gleich 0,1. Wie wahrscheinlich ist es 1 die Klausur zu bestehen? 2 unter denjenigen, die sie bestehen, einen Nichtkönner anzutreffen? b) Führen Sie die gleiche Betrachtung für das Fach AWL durch, in dem die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten die Klausur zu bestehen bei Gruppe K 0,6 und bei Gruppe NK 0,3 sind und für das Fach CWL, in dem die Wahrscheinlichkeiten in beiden Gruppen gleich, nämlich 0,42 sind. P(K)=0,4, P(NK)=0,6 a) P.B j K/ D 0;9, P.B j NK/ D 0;1.1:/ P.B/ D P.B j K/ P.K/ C P.B j NK/ P.NK/ D 0;9 0;4 C 0;1 0;6 D 0;42.2:/ P.B j K/ P.K/ P.NK j B/ D D 1 P.B/ 7 0;1428 b) AWL:.1:/ P.B/ D 0 24 C 0 18 D 0 42,.2:/ P.NK j B/ 0;4286 CWL:.1:/ P.B/ D 0 42,.2:/ P.NK j B/ D 0;6 Hochschule Augsburg AW Nachholklausur Wintersemester 2013/14 Statistik 14. Januar 2014 (Seite 3 von 7)

4 Aufgabe 4 12 Punkte Die Versicherungsgesellschaft Ollionz verlangt als Prämie das 1,3-fache des Erwartungswertes ihrer Zahlungen an den Versicherungsnehmer. Es werden einjährige Lebensversicherungen des folgenden Typs betrachtet: Der Betrag von ist zu zahlen, wenn der Versicherungsnehmer innerhalb eines Jahres nach Abschluss des Vertrages stirbt. Im Erlebensfall ist keine Zahlung zu leisten. Die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit betrage 0,006. a) Wie hoch ist die Prämie für einen derartigen Vertrag? b) Betrachten Sie den aus einem solchen Vertrag resultierenden Gewinn G. Wie hoch sind der Erwartungswert EŒG und die Varianz VarŒG des Gewinns? c) Berechnen Sie die Standardabweichung sowie das Intervall Œ 3I C3 (den Drei-Sigma- Bereich). Interpretieren Sie dieses Intervall. d) Die Versicherungsgesellschaft schließt derartige Verträge ab. Bestimmen Sie den Drei- Sigma-Bereich des durchschnittlichen Gewinns pro Vertrag G D ŒG 1 C G 2 C C G ; der aus den Verträgen resultiert und interpretieren Sie diese Zahl. Hinweis: Setzen Sie die Unabhängigkeit der Einzelgewinne G i voraus. Hochschule Augsburg AW Nachholklausur Wintersemester 2013/14 Statistik 14. Januar 2014 (Seite 4 von 7) a) Zahlung der Versicherung: X D ( mit Wahrscheinlichkeit 0;006 0 mit Wahrscheinlichkeit 0;994 Also ist der Erwartungswert EŒX D ;006 D 600 und damit die Prämie D 1;3 EŒX D 780 Euro. b) Gewinn: G D 780 X. Also: Erwartungswert des Gewinns: EŒG D EŒ780 X D 780 EŒX D 180. Varianz des Gewinns: 2 D VarŒG D VarŒX D EŒX 2 E 2 ŒX D ; D , D p Der 3-Bereich von G ist damit , d.h. [ ; ], enthält also auch negative Werte. Das Risiko mit einem einzigen Vertrag Verlust zu machen ist für die Versicherung also relativ groß. c) Sei G D G 1C:::CG n das arithmetische Mittel des Gewinns aller Verträge. Damit ergibt sich für Erwartungswert bzw. n Varianz: E G D EŒG D 180 Var G D VarŒG 1192;8 n 3 3 p 1192;8 103;61 3-Bereich D Œ ;61 D Œ76;39I 283;61 Das heißt, mit einer sehr hohen Wahrscheinlichkeit (von mehr als 99,8 %) macht die Versicherung pro Vertrag einen durchschnittlichen Gewinn von 76,39 bis zu 283,61 Euro.

5 Aufgabe 5 8 Punkte 9 durch Los bestimmte Schüler einer Schule unterziehen sich einem Intelligenztest. Dabei ergaben sich folgende Punktergebnisse: Es ist bekannt, dass das Punktergebnis dieses Tests normalverteilt ist. a) Berechnen Sie das Konfidenzintervall für die Standardabweichung des Punktergebnisses zum Konfidenzniveau 95 %. b) Testen Sie mit einem Signifikanzniveau von 1 %, ob die Hypothese H 0 W Standardabweichung der Punktergebnisse des Intelligenztests ist 15, also D 15 gegen H 1 W 15 aufgrund der Stichprobenergebnisse abgelehnt werden kann. Hochschule Augsburg AW Nachholklausur Wintersemester 2013/14 Statistik 14. Januar 2014 (Seite 5 von 7) a) 1. 1 D 0; / W c 1 D x =2 D x 0;025 2;18 c 2 D x 1 =2 D x 0;975 17;53 3. x P 100;11 x 2 i 9 x ;889 hq q i 4. KI D 1026;889 17;53 I 1026;889 Œ7;65I 21;71 2;18 b) 1. D 0;01 2. v D.9 1/s ; ; / W B D Œ0I x 0;005 / [.x 0;995 I 1/ Œ0I 1;34/ [.21;95I 1/ v 62 B ) H 0 kann nicht verworfen werden.

6 Aufgabe 6 Jedes Jahr im Juni findet in der Altstadt ein traditionelles Sommerfest statt. Da der örtlichen Polizei die feucht-fröhliche Natur dieses Festes wohlbekannt ist, beschließt sie, verstärkt Alkoholkontrollen durchzuführen. In 34 Fällen ergibt der Test einen Blutalkoholgehalt von mehr als 0,8 Promille (Fahruntauglichkeitsgrenze). Der Alkoholtest liefert für die 34 ertappten Fahruntauglichen folgende Werte: Blutalkohol (in Promille) 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 Anzahl a) Bestimmen Sie zum Konfidenzniveau 0,95 ein symmetrisches Schätzintervall für den Erwartungswert des Blutalkoholgehalts eines fahruntauglichen Autolenkers. b) Aufgrund der in a) angegebenen Messergebnisse äußert Oskar Obstler, Experte für Alkoholmißbrauch, die Vermutung, dass der Erwartungswert für den Blutalkoholgehalt eines fahruntauglichen Autolenkers bei etwa 1,0 Promille liegt. Begründen Sie, ob Sie die Hypothese H 0 W D 1;0.H 1 W 1;0/ unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus a) zum Signifikanzniveau 0,05 verwerfen würden. Hinweis: Interpolation von Fraktilswerten wird nicht verlangt. Hochschule Augsburg AW Nachholklausur Wintersemester 2013/14 Statistik 14. Januar 2014 (Seite 6 von 7)