3. Deskriptive Statistik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "3. Deskriptive Statistik"

Transkript

1 3. Deskriptive Statistik Eindimensionale (univariate) Daten: Pro Objekt wird ein Merkmal durch Messung / Befragung/ Beobachtung erhoben. Resultat ist jeweils ein Wert (Merkmalsausprägung) x i : - Gewicht einer Person, - Gehalt einer Person, - Wohngegend Zweidimensionale (bivariate) Daten: Pro Objekt werden zwei Merkmale erhoben: (Gewicht und Größe einer Person) (Ausbildung, Gehalt) (Wohngegend, Wagentyp) 1

2 3.1. Univariate Verteilungen, grafische Darstellungen und Kenngrößen Selbststudium Ausgangspunkt: Urliste Häufigkeiten: x 1, x 2,..., x n H i... Anzahl oder absolute Häufigkeit des Auftretens der Merkmalsausprägung a i, i = 1,..., l Darstellung in Strichlisten, Häufigkeitstabellen, Balkenoder Stabdiagrammen bei zu vielen Ausprägungen (und ordinalen Daten): Klasseneinteilung; subjektiv, Manipulationsmöglichkeit! h i = H i /n... relative Häufigkeit von a i, i = 1,..., l. Darstellung in Kreisdiagrammen bei ordinalen Daten: kumulierte absolute und relative Häufigkeiten: K i = i j=1 H j, k i = i h j j=1 Darstellung in Summenkurven (Summenpolygon) 2

3 Kenngrößen eindimensionaler Verteilungen Charakterisierung von Verteilungen durch statistische Maßzahlen (Kenngrößen, Parameter), die die Eigenschaften (Zentrum, Ausbreitung, Form) der Verteilung widerspiegeln wichtigste Maßzahlen sind Lage- und Streuungsparameter Wichtig: Skalierungsniveau beachten Lageparameter: Der Modalwert = die am häufigsten auftretende Merkmalsausprägung = die Klasse (Klassenmitte) mit der größten Häufigkeit bei gruppierten Daten (Klassen) Mehrere Maxima: kein Modalwert Eigenschaften und Interpretation: Wert, der am ehesten zu beobachten ist (sprachl. Formulierungen wie: Diese Krankheit dauert normalerweise 3 Tage., Die Fahrzeit beträgt normalerweise 2 Stunden. ) unempfindlich gegenüber Ausreißern (extremen Werten) 3

4 Median mindestens ordinale Daten Median heißt jede Merkmalsausprägung a, für die gilt: h i 1/2, h i 1/2 i : x i a i : x i a oberhalb und unterhalb der Mediane befinden sich gleichviele Elemente der Stichprobe Bei metrischen Daten wird häufig der Mittelwert der Mediane als Median angegeben. Eigenschaften und Interpretation: zentraler Wert bei ordinalen Merkmalen unempfindlich gegenüber Ausreißern Minimaleigenschaft bez. absoluter Abweichungen (metrische Daten), jeder Median löst n x i z min 4

5 Das arithmetische Mittel metrische Daten x = 1 n n x i = l j=1 a j h j Eigenschaften und Interpretation: Schwerpunkt der Verteilung, empfindlich gegenüber Ausreißern (vgl. Median), Minimaleigenschaft bezüglich quadratischer Abweichungen: n hat die Lösung z = x (x i z) 2 min (Beweis: Übung). bei gruppierten Daten mit Klassenmitten x i Klassenhäufigkeiten n i : und x = 1 n k n i x i gewichtetes Mittel der Klassenmitten Im Gegensatz zum Median kann das arithmetische Mittel bei gruppierten Daten mit offenen Randklassen nicht berechnet werden. 5

6 Streuungsparameter (Variabilitätsparameter) Maßzahlen zur Bewertung der Variabilität der Messwerte, der Breite einer Verteilung, der Abweichungen vom Mittelwert Ziel von Analysen: Zerlegung der Variabilität der Messwerte nach verschiedenen Ursachen (Faktoren, Fehler des Messgerätes usw.), Analyse der Wirkung des Zufalls Streuungsparameter für metrische Daten Spannweite: v = x max x min empirische Varianz: s 2 s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2 = 1 ( n n 1 mittlere quadratische Abweichung 1 n 1 2 ( ) Dimension von s 2 : ist z.b. x i eine Konzentration, dann mg 2 /l 2 x 2 i n x 2 ) Eigentlich müsste durch n geteilt werden. Grund für die Division durch n 1 ist die Anwendung der so erhaltenen Größe in der schließenden Statistik. Standardabweichung s = s 2, gleiche Dimension wie x i. Variationskoeffizient v = 100% s x dimensionslos 6

7 Quartilsabstand Grundgedanke: Ähnlich der Spannweite (s.o.) wird die Spannweite der mittleren 50% der Werte berechnet. Unteres Quartil q 0.25 heißt jede Merkmalsausprägung a, für die gilt: i : x i a h i 1/4, i : x i a h i 3/4. Oberes Quartil q 0.75 heißt jede Merkmalsausprägung a, für die gilt: i : x i a h i 3/4, i : x i a h i 1/4. q 0.25 und q 0.75 sind i.a. nicht eindeutig bestimmt. Falls doch, dann heißt q 0.75 q 0.25 (empirischer) Quartilsabstand, Interquartilbereich, IQR. In Statistiksoftware sind unterschiedliche Interpolationsregeln für die Quartile realisiert. 7

8 Veranschaulichung von Median, Quartilen, IQR, Minimum, Maximum im Boxplot: Ausreißer (mit Fallnummer) maximale Zaunlänge = 1,5 Boxlänge oberes Quartil unteres Quartil Median kleinster Wert, der nicht als Ausreißer erkannt wird Beispiel: ALLBUS, Monatliches Haushalt-Nettoeinkommen (die ersten 300 Fälle, nur 178 haben geantwortet). 8

1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,17 1,17 1,18

1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,17 1,17 1,18 3. Deskriptive Statistik Ziel der deskriptiven (beschreibenden) Statistik (explorativen Datenanalyse) ist die übersichtliche Darstellung der wesentlichen in den erhobenen Daten enthaltene Informationen

Mehr

Charakterisierung der Daten: Sind es genug? Sind alle notwendig? Was ist naturgegeben, was von Menschen beeinflusst (beeinflussbar)?

Charakterisierung der Daten: Sind es genug? Sind alle notwendig? Was ist naturgegeben, was von Menschen beeinflusst (beeinflussbar)? 3 Beschreibende Statistik 3.1. Daten, Datentypen, Skalen Daten Datum, Daten (data) das Gegebene Fragen über Daten Datenerhebung: Was wurde gemessen, erfragt? Warum? Wie wurden die Daten erhalten? Versuchsplanung:

Mehr

Kapitel 1 Beschreibende Statistik

Kapitel 1 Beschreibende Statistik Beispiel 1.25: fiktive Aktienkurse Zeitpunkt i 0 1 2 Aktienkurs x i 100 160 100 Frage: Wie hoch ist die durchschnittliche Wachstumsrate? Dr. Karsten Webel 53 Beispiel 1.25: fiktive Aktienkurse (Fortsetzung)

Mehr

Deskription, Statistische Testverfahren und Regression. Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien

Deskription, Statistische Testverfahren und Regression. Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien Deskription, Statistische Testverfahren und Regression Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik: beschreibende Statistik, empirische

Mehr

Häufigkeitsverteilungen und Statistische Maßzahlen. Häufigkeitsverteilungen und Statistische Maßzahlen. Variablentypen. Stichprobe und Grundgesamtheit

Häufigkeitsverteilungen und Statistische Maßzahlen. Häufigkeitsverteilungen und Statistische Maßzahlen. Variablentypen. Stichprobe und Grundgesamtheit TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN-WEIHENSTEPHAN MATHEMATIK UND STATISTIK INFORMATIONS- UND DOKUMENTATIONSZENTRUM R. Häufigkeitsverteilungen und Statistische Maßzahlen Statistik SS Variablentypen Qualitative

Mehr

Empirische Verteilungsfunktion

Empirische Verteilungsfunktion Empirische Verteilungsfunktion H(x) := Anzahl der Werte x ist. Deskriptive

Mehr

Univariate Häufigkeitsverteilungen Kühnel, Krebs 2001: Statistik für die Sozialwissenschaften, S.41-66

Univariate Häufigkeitsverteilungen Kühnel, Krebs 2001: Statistik für die Sozialwissenschaften, S.41-66 Univariate Häufigkeitsverteilungen Kühnel, Krebs 2001: Statistik für die Sozialwissenschaften, S.41-66 Gabriele Doblhammer: Empirische Sozialforschung Teil II, SS 2004 1/19 Skalenniveaus Skalenniveau Relation

Mehr

4 Statistische Maßzahlen

4 Statistische Maßzahlen 4 Statistische Maßzahlen 4.1 Maßzahlen der mittleren Lage 4.2 Weitere Maßzahlen der Lage 4.3 Maßzahlen der Streuung 4.4 Lineare Transformationen, Schiefemaße 4.5 Der Box Plot Ziel: Charakterisierung einer

Mehr

Deskriptive Statistik Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Deskriptive Statistik Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Deskriptive Statistik Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Georg Bol bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter, hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de Agenda 1. Ziele 2. Lageparameter 3.

Mehr

Fachrechnen für Tierpfleger

Fachrechnen für Tierpfleger Z.B.: Fachrechnen für Tierpfleger A10. Statistik 10.1 Allgemeines Was ist Statistik? 1. Daten sammeln: Durch Umfragen, Zählung, Messung,... 2. Daten präsentieren: Tabellen, Grafiken 3. Daten beschreiben/charakterisieren:

Mehr

Grundlagen der Statistik I

Grundlagen der Statistik I NWB-Studienbücher Wirtschaftswissenschaften Grundlagen der Statistik I Beschreibende Verfahren Von Professor Dr. Jochen Schwarze 10. Auflage Verlag Neue Wirtschafts-Briefe Herne/Berlin Inhaltsverzeichnis

Mehr

Herzlich willkommen zur Vorlesung Statistik. Streuungsmaße oder die Unterschiedlichkeit der Daten nebst kurzen Ausführungen zu Schiefe und Wölbung

Herzlich willkommen zur Vorlesung Statistik. Streuungsmaße oder die Unterschiedlichkeit der Daten nebst kurzen Ausführungen zu Schiefe und Wölbung FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 1 Herzlich willkommen zur Vorlesung Statistik smaße oder die Unterschiedlichkeit der Daten nebst kurzen Ausführungen zu Schiefe und Wölbung FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer

Mehr

1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, , 31, 46, 35, 31, 42, 51, , 42, 33, 46, 33, 44, 43

1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, , 31, 46, 35, 31, 42, 51, , 42, 33, 46, 33, 44, 43 1) Ermittle jeweils das arithmetische Mittel. Ordne die Datenerhebungen nach der Größe der arithmetischen Mittel. Beginne mit dem Größten. 1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, 31 2 35, 31, 46, 35, 31, 42, 51,

Mehr

Beispiel 2 (Einige Aufgaben zu Lageparametern) Aufgabe 1 (Lageparameter)

Beispiel 2 (Einige Aufgaben zu Lageparametern) Aufgabe 1 (Lageparameter) Beispiel (Einige Aufgaben zu Lageparametern) Aufgabe 1 (Lageparameter) 1 Ein Statistiker ist zu früh zu einer Verabredung gekommen und vertreibt sich nun die Zeit damit, daß er die Anzahl X der Stockwerke

Mehr

Deskriptive Statistik Auswertung durch Informationsreduktion

Deskriptive Statistik Auswertung durch Informationsreduktion Deskriptive Statistik Auswertung durch Informationsreduktion Gliederung Ø Grundbegriffe der Datenerhebung Total-/Stichprobenerhebung, qualitatives/quantitatives Merkmal Einteilung der Daten (Skalierung,

Mehr

Günther Bourier. Beschreibende Statistik. Praxisorientierte Einführung - Mit. Aufgaben und Lösungen. 12., überarbeitete und aktualisierte Auflage

Günther Bourier. Beschreibende Statistik. Praxisorientierte Einführung - Mit. Aufgaben und Lösungen. 12., überarbeitete und aktualisierte Auflage i Günther Bourier Beschreibende Statistik Praxisorientierte Einführung - Mit Aufgaben und Lösungen 12., überarbeitete und aktualisierte Auflage 4^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Vorwort V 1 Einführung

Mehr

Verteilungen und ihre Darstellungen

Verteilungen und ihre Darstellungen Verteilungen und ihre Darstellungen Übung: Stamm-Blatt-Diagramme Wie sind die gekennzeichneten Beobachtungswerte eweils zu lesen? Tragen Sie in beiden Diagrammen den Wert 0.452 an der richtigen Stelle

Mehr

Beispiel für Anwendung: z-tabelle kann genutzt werden, um z.b. Poissonverteilung näherungsweise zu integrieren. Beispiel: wie wahrscheinlich ist es

Beispiel für Anwendung: z-tabelle kann genutzt werden, um z.b. Poissonverteilung näherungsweise zu integrieren. Beispiel: wie wahrscheinlich ist es Beispiel für Anwendung: z-tabelle kann genutzt werden, um z.b. Poissonverteilung näherungsweise zu integrieren. Beispiel: wie wahrscheinlich ist es beim radioaktiven Zerfall, zwischen 100 und 110 Zerfälle

Mehr

Lage- und Streuungsparameter

Lage- und Streuungsparameter Lage- und Streuungsparameter Beziehen sich auf die Verteilung der Ausprägungen von intervall- und ratio-skalierten Variablen Versuchen, diese Verteilung durch Zahlen zu beschreiben, statt sie graphisch

Mehr

Bachelor BEE Statistik Übung: Blatt 1 Ostfalia - Hochschule für angewandte Wissenschaften Fakultät Versorgungstechnik Aufgabe (1.1): Gegeben sei die folgende Messreihe: Nr. ph-werte 1-10 6.4 6.3 6.7 6.5

Mehr

PROC MEANS. zum Berechnen statistischer Maßzahlen (für quantitative Merkmale)

PROC MEANS. zum Berechnen statistischer Maßzahlen (für quantitative Merkmale) PROC MEAS zum Berechnen statistischer Maßzahlen (für quantitative Merkmale) Allgemeine Form: PROC MEAS DATA=name Optionen ; VAR variablenliste ; CLASS vergleichsvariable ; Beispiel und Beschreibung der

Mehr

Anwendung A_0801_Quantile_Minimum_Maximum

Anwendung A_0801_Quantile_Minimum_Maximum 8. Lageparameter 63 8.3 Interaktive EXCEL-Anwendungen (CD-ROM) Anwendung A_080_Quantile_Minimum_Maimum Die Anwendung besteht aus einem Tabellenblatt Simulation : In der Simulation wird aus einer Urliste

Mehr

Beide Verteilungen der Zeiten sind leicht schief. Der Quartilsabstand für Zeiten zum Surfen ist kleiner als der zum Fernsehen.

Beide Verteilungen der Zeiten sind leicht schief. Der Quartilsabstand für Zeiten zum Surfen ist kleiner als der zum Fernsehen. Welche der folgenden Maßzahlen sind resistent gegenüber Ausreißer? Der Mittelwert und die Standardabweichung. Der und die Standardabweichung. Der und die Spannweite. Der und der Quartilsabstand. Die Spannweite

Mehr

Wahrscheinlichkeits - rechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeits - rechnung und Statistik Michael Sachs Mathematik-Studienhilfen Wahrscheinlichkeits - rechnung und Statistik für Ingenieurstudenten an Fachhochschulen 4., aktualisierte Auflage 2.2 Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen 19 absolute

Mehr

benötigen. Die Zeit wird dabei in Minuten angegeben und in einem Boxplot-Diagramm veranschaulicht.

benötigen. Die Zeit wird dabei in Minuten angegeben und in einem Boxplot-Diagramm veranschaulicht. , D 1 Kreuze die richtige Aussage an und stelle die anderen Aussagen richtig. A Das arithmetische Mittel kennzeichnet den mittleren Wert einer geordneten Datenliste. B Die Varianz erhält man, wenn man

Mehr

2. Beschreibung von eindimensionalen (univariaten) Stichproben

2. Beschreibung von eindimensionalen (univariaten) Stichproben 1 2. Beschreibung von eindimensionalen (univariaten) Stichproben Bei eindimensionalen (univariaten) Daten wird nur ein Merkmal untersucht. Der Fall von zwei- oder mehrdimensionalen Daten wird im nächsten

Mehr

Einfache statistische Auswertungen mit dem TI-Nspire

Einfache statistische Auswertungen mit dem TI-Nspire 1. Neues Dokument und darin eine neue Seite anlegen Als Typ 6: Lists & Spreadsheet wählen. Darin die Messwerte in einer Spalte erfassen. Dies ergibt die Urliste. Wenn mehrere Messwerte vorliegen, die diejenigen,

Mehr

Graphische Darstellung einer univariaten Verteilung:

Graphische Darstellung einer univariaten Verteilung: Graphische Darstellung einer univariaten Verteilung: Die graphische Darstellung einer univariaten Verteilung hängt von dem Messniveau der Variablen ab. Bei einer graphischen Darstellung wird die Häufigkeit

Mehr

Deskriptive Statistik & grafische Darstellung

Deskriptive Statistik & grafische Darstellung Deskriptive Statistik & grafische Darstellung Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) Deskriptive

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine Universität Düsseldorf 19. Oktober 2009 Hinweise Internetseite zur Vorlesung: http://blog.ruediger-braun.net Dort können Sie Materialien

Mehr

absolute Häufigkeit h: Anzahl einer bestimmten Note relative Häufigkeit r: Anzahl einer bestimmten Note, gemessen an der Gesamtzahl der Noten

absolute Häufigkeit h: Anzahl einer bestimmten Note relative Häufigkeit r: Anzahl einer bestimmten Note, gemessen an der Gesamtzahl der Noten Statistik Eine Aufgabe der Statistik ist es, Datenmengen zusammenzufassen und darzustellen. Man verwendet dazu bestimmte Kennzahlen und wertet Stichproben aus, um zu Aussagen bzw. Prognosen über die Gesamtheit

Mehr

WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK

WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF DR ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesungsprogramm 23042013 Datenlagen und Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen

Mehr

Kapitel 5 Kenngrößen empirischer Verteilungen 5.1. Lagemaße. x mod (lies: x-mod) Wofür? Lageparameter. Modus/ Modalwert Zentrum. Median Zentralwert

Kapitel 5 Kenngrößen empirischer Verteilungen 5.1. Lagemaße. x mod (lies: x-mod) Wofür? Lageparameter. Modus/ Modalwert Zentrum. Median Zentralwert Kapitel 5 Kenngrößen empirischer Verteilungen 5.1. Lagemaße Wofür? Lageparameter Modus/ Modalwert Zentrum Median Zentralwert Im Datensatz stehende Informationen auf wenige Kenngrößen verdichten ermöglicht

Mehr

3.2 Streuungsmaße. 3 Lage- und Streuungsmaße 133. mittlere Variabilität. geringe Variabilität. große Variabilität 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.

3.2 Streuungsmaße. 3 Lage- und Streuungsmaße 133. mittlere Variabilität. geringe Variabilität. große Variabilität 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Eine Verteilung ist durch die Angabe von einem oder mehreren Mittelwerten nur unzureichend beschrieben. Beispiel: Häufigkeitsverteilungen mit gleicher zentraler Tendenz: geringe Variabilität mittlere Variabilität

Mehr

Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist.

Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist. .3. Stochastik Grundlagen Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist. Die RELATIVE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an mit welchem Anteil

Mehr

Deskriptive Statistik

Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik [descriptive statistics] Ziel der deskriptiven (beschreibenden) Statistik einschließlich der explorativen Datenanalyse [exploratory data analysis] ist zunächst die übersichtliche

Mehr

Statistikpraktikum. Carsten Rezny. Sommersemester Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn

Statistikpraktikum. Carsten Rezny. Sommersemester Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn Statistikpraktikum Carsten Rezny Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn Sommersemester 2016 Anmeldung in Basis: 06. 10.06.2016 Organisatorisches Einführung Statistik Analyse empirischer Daten

Mehr

Statistik I für Humanund Sozialwissenschaften

Statistik I für Humanund Sozialwissenschaften Statistik I für Humanund Sozialwissenschaften 1 Übung Lösungsvorschlag Gruppenübung G 1 Auf einer Touristeninsel in der Karibik wurden in den letzten beiden Juliwochen morgens zur gleichen Zeit die folgenden

Mehr

Häufigkeitsauszählungen, zentrale statistische Kennwerte und Mittelwertvergleiche

Häufigkeitsauszählungen, zentrale statistische Kennwerte und Mittelwertvergleiche Lehrveranstaltung Empirische Forschung und Politikberatung der Universität Bonn, WS 2007/2008 Häufigkeitsauszählungen, zentrale statistische Kennwerte und Mittelwertvergleiche 30. November 2007 Michael

Mehr

Anteile Häufigkeiten Verteilungen Lagemaße Streuungsmaße Merkmale von Verteilungen. Anteile Häufigkeiten Verteilungen

Anteile Häufigkeiten Verteilungen Lagemaße Streuungsmaße Merkmale von Verteilungen. Anteile Häufigkeiten Verteilungen DAS THEMA: VERTEILUNGEN LAGEMAßE - STREUUUNGSMAßE Anteile Häufigkeiten Verteilungen Lagemaße Streuungsmaße Merkmale von Verteilungen Anteile Häufigkeiten Verteilungen Anteile und Häufigkeiten Darstellung

Mehr

1) Warum ist die Lage einer Verteilung für das Ergebnis einer statistischen Analyse von Bedeutung?

1) Warum ist die Lage einer Verteilung für das Ergebnis einer statistischen Analyse von Bedeutung? 86 8. Lageparameter Leitfragen 1) Warum ist die Lage einer Verteilung für das Ergebnis einer statistischen Analyse von Bedeutung? 2) Was ist der Unterschied zwischen Parametern der Lage und der Streuung?

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5 Inhaltsverzeichnis Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite 1.0 Erste Begriffsbildungen 1 1.1 Merkmale und Skalen 5 1.2 Von der Urliste zu Häufigkeitsverteilungen 9 1.2.0 Erste Ordnung

Mehr

Bitte am PC mit Windows anmelden!

Bitte am PC mit Windows anmelden! Einführung in SPSS Plan für heute: Grundlagen/ Vorwissen für SPSS Vergleich der Übungsaufgaben Einführung in SPSS http://weknowmemes.com/generator/uploads/generated/g1374774654830726655.jpg Standardnormalverteilung

Mehr

STATISTIK. Erinnere dich

STATISTIK. Erinnere dich Thema Nr.20 STATISTIK Erinnere dich Die Stichprobe Drei Schüler haben folgende Noten geschrieben : Johann : 4 6 18 7 17 12 12 18 Barbara : 13 13 12 10 12 3 14 12 14 15 Julia : 15 9 14 13 10 12 12 11 10

Mehr

Vorlesungsskript. Deskriptive Statistik. Prof. Dr. Günter Hellmig

Vorlesungsskript. Deskriptive Statistik. Prof. Dr. Günter Hellmig Vorlesungsskript Deskriptive Statistik Prof. Dr. Günter Hellmig Prof. Dr. Günter Hellmig Vorlesungsskript Deskriptive Statistik Erstes Kapitel Die Feingliederung des ersten Kapitels, welches sich mit einigen

Mehr

1. Maße der zentralen Tendenz Beispiel: Variable Anzahl der Geschwister aus Jugend '92. Valid Cum Value Frequency Percent Percent Percent

1. Maße der zentralen Tendenz Beispiel: Variable Anzahl der Geschwister aus Jugend '92. Valid Cum Value Frequency Percent Percent Percent Deskriptive Statistik 1. Verteilungsformen symmetrisch/asymmetrisch unimodal(eingipflig) / bimodal (zweigipflig schmalgipflig / breitgipflig linkssteil / rechtssteil U-förmig / abfallend Statistische Kennwerte

Mehr

Gundlagen empirischer Forschung & deskriptive Statistik. Statistische Methoden in der Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2008/09

Gundlagen empirischer Forschung & deskriptive Statistik. Statistische Methoden in der Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2008/09 Gundlagen empirischer Forschung & deskriptive Statistik Statistische Methoden in der Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2008/09 Grundlagen Vorbereitung einer empirischen Studie Allgemeine Beschreibung

Mehr

MATHEMATIK MTA 12 SCHULJAHR 07/08 STATISTIK

MATHEMATIK MTA 12 SCHULJAHR 07/08 STATISTIK MATHEMATIK MTA 12 SCHULJAHR 07/08 STATISTIK PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE Inhaltsverzeichnis 1. Merkmale 2 2. Urliste und Häufigkeitstabellen 9. Graphische Darstellung von Daten 10 4. Lageparameter 1

Mehr

Kapitel 1: Univariate Statistik

Kapitel 1: Univariate Statistik Kapitel 1: Univariate Statistik 1.1 Begriffsdefinitionen 1.1.1 Beobachtungseinheit, Merkmal Die kleinste Einheit einer statistischen Auswertung, an der Beobachtungen durchgeführt werden, ist die Beobachtungseinheit

Mehr

Wiederholung Statistik I. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.8

Wiederholung Statistik I. Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.8 Wiederholung Statistik I Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.8 Konstanten und Variablen Konstante: Merkmal hat nur eine Ausprägung Variable: Merkmal kann mehrere Ausprägungen annehmen Statistik

Mehr

D E S K R I P T I V E S T A T I S T I K

D E S K R I P T I V E S T A T I S T I K Dr. T. Deutler Seminar für Statistik Universität Mannheim Denkanstöße und Lernkontrollfragen zur Veranstaltung D E S K R I P T I V E S T A T I S T I K 1. Grundbegriffe, Darstellung statistischer Ergebnisse

Mehr

Verteilungsfunktion und dquantile

Verteilungsfunktion und dquantile Statistik 1 für SoziologInnen Verteilungsfunktion und dquantile Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Kumulierte Häufigkeiten Hinweis: Damit die Kumulation inhaltlich sinnvoll ist, muss das Merkmal zumindest ordinal

Mehr

4. Kumulierte Häufigkeiten und Quantile

4. Kumulierte Häufigkeiten und Quantile 4. Kumulierte Häufigkeiten und Quantile Kumulierte Häufigkeiten Oft ist man nicht an der Häufigkeit einzelner Merkmalsausprägungen interessiert, sondern an der Häufigkeit von Intervallen. Typische Fragestellung:

Mehr

Didaktik der Stochastik (Leitidee: Daten und Zufall)

Didaktik der Stochastik (Leitidee: Daten und Zufall) Didaktik der Geometrie und Stochastik WS 09 / 10 15. 1. 2010 Didaktik der Stochastik (Leitidee: Daten und Zufall) 7. Beschreibende Statistik 7.1 Zum Begriff Stochastik : Seit den Fünfziger Jahren werden

Mehr

Deskriptive Statistik

Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik In der beschreibenden Statistik werden Methoden behandelt, mit deren Hilfe man Daten übersichtlich darstellen und kennzeichnen kann. Die Urliste (=Daten in der Reihenfolge ihrer Erhebung)

Mehr

Verteilungsfunktion und Quantile

Verteilungsfunktion und Quantile Statistik 1 für SoziologInnen Verteilungsfunktion und Quantile Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Kumulierte Häufigkeiten Hinweis: Damit das Kumulieren inhaltlich sinnvoll ist, muss das Merkmal zumindest ordinal

Mehr

Skript 6 Häufigkeiten und Deskriptive Statistiken einer Variablen

Skript 6 Häufigkeiten und Deskriptive Statistiken einer Variablen Skript 6 Häufigkeiten und Deskriptive Statistiken einer Variablen Ziel: Charakterisierung der Verteilung einer Variablen. Je nach Variablentyp geschieht dies durch Häufigkeitsauszählung und Modus (Nominale

Mehr

1.1 Graphische Darstellung von Messdaten und unterschiedliche Mittelwerte. D. Horstmann: Oktober

1.1 Graphische Darstellung von Messdaten und unterschiedliche Mittelwerte. D. Horstmann: Oktober 1.1 Graphische Darstellung von Messdaten und unterschiedliche Mittelwerte D. Horstmann: Oktober 2014 4 Graphische Darstellung von Daten und unterschiedliche Mittelwerte Eine Umfrage nach der Körpergröße

Mehr

Statistik eindimensionaler Größen

Statistik eindimensionaler Größen Statistik eindimensionaler Größen Michael Spielmann Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe der eindimensionalen Statistik 2 2 Grundbegriffe 2 3 Aufbereiten der Stichprobe 3 4 Die Kennzahlen Mittelwert und Streuung,

Mehr

2 Statistische Maßzahlen

2 Statistische Maßzahlen 2 Statistische Maßzahlen Übersicht 2.1 Quantile, speziellmedian, QuartileundPerzentile... 25 2.2 Modus, Median, arithmetischesmittel... 28 2.3 Arithmetisches,geometrisches,harmonischesMittel... 31 2.4

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Dr. Jochen Köhler 26.02.2008 1 Warum Statistik und Wahrscheinlichkeits rechnung im Ingenieurwesen? Zusammenfassung der letzten Vorlesung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Dr. Reinhard Vonthein, Dipl. Statistiker (Univ.)

Dr. Reinhard Vonthein, Dipl. Statistiker (Univ.) Dr. Reinhard Vonthein, Dipl. Statistiker (Univ.) Reinhard.Vonthein@imbs.uni-luebeck.de Institut für Medizinische Biometrie und Statistik Universität zu Lübeck / Universitätsklinikums Schleswig-Holstein

Mehr

Mathematische Statistik. Zur Notation

Mathematische Statistik. Zur Notation Mathematische Statistik dient dazu, anhand von Stichproben Informationen zu gewinnen. Während die Wahrscheinlichkeitsrechnung Prognosen über das Eintreten zufälliger (zukünftiger) Ereignisse macht, werden

Mehr

Thema: Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung. Welche Informationen kann der Mittelwert geben?

Thema: Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung. Welche Informationen kann der Mittelwert geben? Thema: Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung Beispiel: Im Mittel werden deutsche Männer 75,1 Jahre alt; sie essen im Mittel pro Jahr 71 kg Kartoffel(-produkte) und trinken im Mittel pro Tag 0.35 l Bier.

Mehr

2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen

2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen 4. Datenanalyse und Modellbildung Deskriptive Statistik 2-1 2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen Für die Auswertung einer Messreihe, die in Form

Mehr

Statistische Grundlagen I

Statistische Grundlagen I Statistische Grundlagen I Arten der Statistik Zusammenfassung und Darstellung von Daten Beschäftigt sich mit der Untersuchung u. Beschreibung von Gesamtheiten oder Teilmengen von Gesamtheiten durch z.b.

Mehr

Tabellarische und graphie Darstellung von univariaten Daten

Tabellarische und graphie Darstellung von univariaten Daten Part I Wrums 1 Motivation und Einleitung Motivation Satz von Bayes Übersetzten mit Paralleltext Merkmale und Datentypen Skalentypen Norminal Ordinal Intervall Verältnis Merkmalstyp Diskret Stetig Tabellarische

Mehr

Lagemaße Übung. Zentrale Methodenlehre, Europa Universität - Flensburg

Lagemaße Übung. Zentrale Methodenlehre, Europa Universität - Flensburg Lagemaße Übung M O D U S, M E D I A N, M I T T E L W E R T, M O D A L K L A S S E, M E D I A N, K L A S S E, I N T E R P O L A T I O N D E R M E D I A N, K L A S S E M I T T E Zentrale Methodenlehre, Europa

Mehr

Grafische Darstellungen. Box-and-Whiskers-Plot (Boxplot) Grafische Darstellungen. Grafische Darstellungen

Grafische Darstellungen. Box-and-Whiskers-Plot (Boxplot) Grafische Darstellungen. Grafische Darstellungen Box-and-Whiskers-Plot (Boxplot) der Boxplot vereinigt bekannte deskriptive Kenngrößen zu einer grafischen Darstellung Box x 0.5, Median, x 0.75 vertikale Linien x 0.5 -.5 IQR x 0.75 +.5 IQR Extremwerte

Mehr

Beschreibung von Daten

Beschreibung von Daten Kapitel 1 Beschreibung von Daten 1.1 Beispiele zum Üben 1.1.1 Aufgaben Achtung: die Nummerierung ist nicht ident mit der im Buch; Bsp. 1-1 enspricht Bsp 2-20 im Buch, 1-2 2-21 im Buch usw. 1 1 In einem

Mehr

Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik

Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik VL MMS Wintersemester 2013/14 Professur für Prozessleittechnik L. Urbas; J. Pfeffer Ziele und Inhalt Statistik in der MMST Anwendungsgebiete Evaluationen

Mehr

Deskriptive Statistik

Deskriptive Statistik Dr. T. Deutler Seminar für Statistik UIVERSITÄT MAHEIM Beispiele, Tabellen, Grafiken und Formeln zur Veranstaltung Deskriptive Statistik Übersichtsschema Merkmalarten Merkmalart qualitativ quantitativ

Mehr

Univariate Kennwerte mit SPSS

Univariate Kennwerte mit SPSS Univariate Kennwerte mit SPSS In diesem Paper wird beschrieben, wie eindimensionale Tabellen und Kennwerte mit SPSS erzeugt werden. Eine Herleitung der Kennwerte und eine inhaltliche Interpretation der

Mehr

8. Statistik Beispiel Noten. Informationsbestände analysieren Statistik

8. Statistik Beispiel Noten. Informationsbestände analysieren Statistik Informationsbestände analysieren Statistik 8. Statistik Nebst der Darstellung von Datenreihen bildet die Statistik eine weitere Domäne für die Auswertung von Datenbestände. Sie ist ein Fachgebiet der Mathematik

Mehr

Lösungen zu Janssen/Laatz, Statistische Datenanalyse mit SPSS 1

Lösungen zu Janssen/Laatz, Statistische Datenanalyse mit SPSS 1 LÖSUNG 2C a) Lösungen zu Janssen/Laatz, Statistische Datenanalyse mit SPSS 1 Bei HHEINK handelt es sich um eine metrische Variable. Bei den Analysen sollen Extremwerte ausgeschlossen werden. Man sollte

Mehr

Lehrinhalte Statistik (Sozialwissenschaften)

Lehrinhalte Statistik (Sozialwissenschaften) Lehrinhalte Technische Universität Dresden Institut für Mathematische Stochastik Dresden, 13. November 2007 Seit 2004 Vorlesungen durch Klaus Th. Hess und Hans Otfried Müller. Statistik I: Beschreibende

Mehr

Eine computergestützte Einführung mit

Eine computergestützte Einführung mit Thomas Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA 3., überarbeitete und erweiterte Auflage ^ Springer Inhaltsverzeichnis 1 Statistik

Mehr

3 Lage- und Streuungsmaße

3 Lage- und Streuungsmaße 3 Lage- und Streuungsmaße Grafische Darstellungen geben einen allgemeinen Eindruck der Verteilung eines Merkmals, u.a. von Lage und Zentrum der Daten, Streuung der Daten um dieses Zentrum, Schiefe / Symmetrie

Mehr

Univariates Datenmaterial

Univariates Datenmaterial Univariates Datenmaterial 1.6.1 Deskriptive Statistik Zufallstichprobe: Umfang n, d.h. Stichprobe von n Zufallsvariablen o Merkmal/Zufallsvariablen: Y = {Y 1, Y 2,..., Y n } o Realisationen/Daten: x =

Mehr

Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik

Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik Statistische Methoden in der MMST: Deskriptive Statistik VL MMS Wintersemester 2014/15 Professur für Prozessleittechnik L. Urbas; J. Pfeffer Ziele und Inhalt Statistik in der MMST Anwendungsgebiete Evaluationen

Mehr

Einführung in die computergestützte Datenanalyse

Einführung in die computergestützte Datenanalyse Karlheinz Zwerenz Statistik Einführung in die computergestützte Datenanalyse 6., überarbeitete Auflage DE GRUYTER OLDENBOURG Vorwort Hinweise zu EXCEL und SPSS Hinweise zum Master-Projekt XI XII XII TEIL

Mehr

Statistik. Datenanalyse mit EXCEL und SPSS. R.01denbourg Verlag München Wien. Von Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz. 3., überarbeitete Auflage

Statistik. Datenanalyse mit EXCEL und SPSS. R.01denbourg Verlag München Wien. Von Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz. 3., überarbeitete Auflage Statistik Datenanalyse mit EXCEL und SPSS Von Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz 3., überarbeitete Auflage R.01denbourg Verlag München Wien Inhalt Vorwort Hinweise zu EXCEL und SPSS Hinweise zum Master-Projekt

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Aufgabenstellung und Ergebnisse Dr. Martin Becker Hinweise für die

Mehr

Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 1 von 10 Prof. Dr. Karin Melzer, Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen

Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Seite 1 von 10 Prof. Dr. Karin Melzer, Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen Inhaltsverzeichnis: 1. Aufgabenlösungen... Lösung zu Aufgabe 1:... Lösung zu Aufgabe... Lösung zu Aufgabe 3... Lösung zu Aufgabe 4... Lösung zu Aufgabe 5... 3 Lösung zu Aufgabe... 3 Lösung zu Aufgabe 7...

Mehr

WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK

WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF DR ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesungsprogramm 07052013 Mittelwerte und Lagemaße II 1 Anwendung und Berechnung

Mehr

Beschreibung univariater Verteilungen

Beschreibung univariater Verteilungen Inhaltsverzeichnis Beschreibung univariater Verteilungen... 2 Lernhinweise... 2 Einführung... 2 Theorie (1-4)... 4 1. Verteilungsformen... 4 2. Masse der zentralen Tendenz (Mittelwerte)... 5 Einleitung...

Mehr

Übungsblatt 3 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker

Übungsblatt 3 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker Übungsblatt 3 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker 08.11.01 Modell Temperatur unter Last Anschluss in Grad Celsius in Grad Fahrenheit Corsair Force 10

Mehr

Streuungsmaße Worum geht es in diesem Modul? Allgemeines zu Streuungsmaßzahlen Spannweite und Interquartilsabstand

Streuungsmaße Worum geht es in diesem Modul? Allgemeines zu Streuungsmaßzahlen Spannweite und Interquartilsabstand Streuungsmaße Worum geht es in diesem Modul? Allgemeines zu Streuungsmaßzahlen Spannweite und Interquartilsabstand Berechnung der mittleren quadratischen Abweichung und der Varianz aus einer Urliste Standardabweichung

Mehr

Statistik. Datenanalyse mit EXCEL und SPSS. Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz. R.Oldenbourg Verlag München Wien. Von

Statistik. Datenanalyse mit EXCEL und SPSS. Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz. R.Oldenbourg Verlag München Wien. Von Statistik Datenanalyse mit EXCEL und SPSS Von Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz R.Oldenbourg Verlag München Wien Inhalt Vorwort Hinweise zu EXCEL und SPSS Hinweise zum Master-Projekt XI XII XII TEIL I GRUNDLAGEN

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Teil 1 Basiswissen und Werkzeuge, um Statistik anzuwenden

Inhaltsverzeichnis. Teil 1 Basiswissen und Werkzeuge, um Statistik anzuwenden Inhaltsverzeichnis Teil 1 Basiswissen und Werkzeuge, um Statistik anzuwenden 1 Statistik ist Spaß 3 Warum Statistik? 3 Checkpoints 4 Daten 4 Checkpoints 7 Skalen - lebenslang wichtig bei der Datenanalyse

Mehr

benötigt werden, wird es zu Exkursionen kommen. Falls ein Begriff neu oder fremd ist, bitte nachfragen.

benötigt werden, wird es zu Exkursionen kommen. Falls ein Begriff neu oder fremd ist, bitte nachfragen. Fehler- und Ausgleichsrechnung (basierend auf Abschnitt IV. von Papula; Bd.3 ) Da Begriffe und Formeln aus der Statistik Wahrscheinlichkeitslehre Kombinatorik Stochastik benötigt werden, wird es zu Exkursionen

Mehr

Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens

Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens in einige Teilbereiche der für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens Sommersemester 2014 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Finanzmathematik 2 Lineare Programme 3 Differentialgleichungen 4 Statistik:

Mehr

Deskriptive Statistik II. Statistische Methoden in der Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2008/09

Deskriptive Statistik II. Statistische Methoden in der Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2008/09 Deskriptive Statistik II Statistische Methoden in der Korpuslinguistik Heike Zinsmeister WS 2008/09 Übersicht Wiederholung Maße der zentralen Tendenz Streuungsmaße Zusammenfassung einer Verteilung tabellarisch

Mehr

1.8 Kolmogorov-Smirnov-Test auf Normalverteilung

1.8 Kolmogorov-Smirnov-Test auf Normalverteilung 1.8 Kolmogorov-Smirnov-Test auf Normalverteilung Der Kolmogorov-Smirnov-Test ist einer der klassischen Tests zum Überprüfen von Verteilungsvoraussetzungen. Der Test vergleicht die Abweichungen der empirischen

Mehr

Statistik, Geostatistik

Statistik, Geostatistik Geostatistik Statistik, Geostatistik Statistik Zusammenfassung von Methoden (Methodik), die sich mit der wahrscheinlichkeitsbezogenen Auswertung empirischer (d.h. beobachteter, gemessener) Daten befassen.

Mehr

1.6 Der Vorzeichentest

1.6 Der Vorzeichentest .6 Der Vorzeichentest In diesem Kapitel soll der Vorzeichentest bzw. Zeichentest vorgestellt werden, mit dem man Hypothesen bezüglich des Medians der unabhängig und identisch stetig verteilten Zufallsvariablen

Mehr

Statistik. Ludwig Fahrmeir Rita Künstler Iris Pigeot Gerhard Tutz. Der Weg zur Datenanalyse. Springer. Zweite, verbesserte Auflage

Statistik. Ludwig Fahrmeir Rita Künstler Iris Pigeot Gerhard Tutz. Der Weg zur Datenanalyse. Springer. Zweite, verbesserte Auflage Ludwig Fahrmeir Rita Künstler Iris Pigeot Gerhard Tutz Statistik Der Weg zur Datenanalyse Zweite, verbesserte Auflage Mit 165 Abbildungen und 34 Tabellen Springer Inhaltsverzeichnis Vorwort v 1 Einführung

Mehr

13,86. Schritt 4: Berechnung des Quartilsabstandes. Unteres Quartil! #5,5.

13,86. Schritt 4: Berechnung des Quartilsabstandes. Unteres Quartil! #5,5. Lösung Aufgabe A1 Detaillierter Lösungsweg: Schritt 1: Prüfung, ob die gegebene Messreihe sortiert ist, In diesem Beispiel ist dies der Fall und wir haben insgesamt 22 Messungen. Schritt 2: Berechnen des

Mehr

Grundlagen der Statistik

Grundlagen der Statistik Grundlagen der Statistik Übung 2 2010 FernUniversität in Hagen Alle Rechte vorbehalten Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Übersicht über die mit den Übungsaufgaben geprüften Lehrzielgruppen Lehrzielgruppe

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11.

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11. Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11 Namensschild Dr. Martin Becker Hinweise für die Klausurteilnehmer

Mehr