Herzlich willkommen zur Vorlesung Statistik. Streuungsmaße oder die Unterschiedlichkeit der Daten nebst kurzen Ausführungen zu Schiefe und Wölbung

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1 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 1 Herzlich willkommen zur Vorlesung Statistik smaße oder die Unterschiedlichkeit der Daten nebst kurzen Ausführungen zu Schiefe und Wölbung

2 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 2 smaße Ihr Ziel ist, zu zeigen, wie nahe die Daten insgesamt am Zentrum liegen (oder auch nicht). Noch mehr als bei den n kann es sinnvoll sein, differenziert zu arbeiten (nicht nur eine einzige Kennzahl).

3 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 3 (Range) bzw. Minimum und Maximum Minimum: Kleinster Wert der Urliste Maximum: Größter Wert der Urliste : Max Min Im Beispiel (Einkommensdaten): Min = 620, Max = = Da alle anderen Datenwerte vernachlässigt werden, sind diese Angaben nur beschränkt von Interesse.

4 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 4 Quartile und Quartilabstand Quartile trennen (geordnete) Datenwerte in vier gleich große Gruppen: ¼ der Datenwerte sind kleiner oder gleich dem Wert des 25-%-Quartils (Q 1 ) Die Hälfte der Datenwerte ist kleiner oder gleich dem Wert des 50-%-Quartils (Q 2 ) liegt (= =...). 3/4 der Datenwerte sind kleiner oder gleich dem Wert des 75-%-Quartils (Q 3 ) Der Quartilabstand (oder Interquartilabstand, IQR) ist die Differenz Q 3 -Q 1.

5 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 5 Quartile und Quartilabstand Im Beispiel: Q 1 = 3860 DM Q 2 = 4625 DM Q 3 = 5935 DM Interquartilabstand (IQR): 2075 DM IQR von englisch InterQuartile Range

6 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 6 Five-Point Point-Summary (Tukey) Neben den Quartilwerten werden Min und Max angegeben. Min Q 1 Q 2 Q 3 Max

7 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 7 Allgemein: Perzentile (oder Quantile), insbesondere Dezile Im Prinzip kann man Werte für jedes beliebige Perzentil bestimmen. Relativ häufig werden Dezile bestimmt. Dezile teilen die Daten in 10 gleich große Teile. Das unterste Dezil (Grenze zwischen den unteren 10 % und den oberen 90 % der Daten) heißt erstes Dezil, das oberste (Grenze zu den obersten 10 %) heißt neuntes Dezil.

8 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 8 Erstes und neuntes Dezil

9 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 9 Hinweis zu Perzentilen/Quantilen Wie beim Median, wird es auch bei anderen Quantilen oft vorkommen, dass der gesuchte Wert zwischen zwei Datenpunkten liegt. Eine mögliche Regel für den Umgang mit diesem Problem lautet wie folgt

10 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 10 Eine Regel zur Berechnung von Quantilen 1. Wir berechnen np, d.h. Stichprobenumfang mal gesuchtes Quantil p. Bsp. Q 1 : n=14, p=0,25. 14*0,25 = 3,5. 2. Ist das Ergebnis keine ganze Zahl, wird der Wert trunkiert und 1 hinzu addiert: 3[,5] [,5]+1=4 Q 1 =x (4) (d.h. der vierte Wert im geordneten Datensatz). 3. Ist das Ergebnis eine ganze Zahl, so liegt das Ergebnis zwischen x (np) und x (np+1). In diesem Fall muss interpoliert werden.

11 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 11 Eine Regel zur Berechnung von Quantilen Beispiel (nach Jann 2002, S. 36): (i) x Q 1 ist also der 4. Wert (x = 6). Das entspricht der Definition, dass mindestens 25 % der Daten kleiner oder gleich 6 und mindestens 75 % größer oder gleich 6 sind. Der Median liegt zwischen dem 7. und 8. Wert; nach der Regel aus der Vorlesung beträgt der Wert des Medians 9,5.

12 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 12 Abschließendes zu Perzentilen/Quantilen Es gibt eine Reihe anderer Regeln zur Berechnung, vielfach sind das Interpolationsregeln. Die Details müssen nur Spezialisten kennen...

13 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 13 Einkommen Boxplot / Box-and and-whisker-plot Ausreißer Q3+1,5 IQR Y o u rte x t Q3 M edian Q1 0 Q1-1,5 IQR Ausreißer

14 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 14 Die Varianz Ein Maß, welches durch eine einzige Zahl die der Daten ausdrückt. Gleichzeitig werden alle Datenwerte berücksichtigt. Sie wird berechnet als durchschnittliche quadrierte Abweichung vom aríthmetischen Mittel: s n n x ( xi x) = n i= 1 n i= 1 = x 2 i x 2

15 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 15 Die Standardabweichung Als Folge der Quadrierens der Abweichungen hat die Varianz eine andere Dimension als die Ausgangswerte. In der Standardabweichung wird das Quadrieren wieder rückgängig gemacht. s = s 2 x x Man beachte: Varianz und Standardabweichung dürfen (ebenso wie die nachfolgenden Größen) nur bei metrischen Daten berechnet werden.

16 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 16 Varianz und Standardabweichung im Beispiel X i X i X quer (X i X quer )² Summe (0)! Ar. Mittel 3000 Varianz: Std.abw.: 1.304

17 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 17 Wichtiger Hinweis Die hier (nach K & K) angegebenen Formeln für die Varianz bzw. die Standardabweichung gelten nur, wenn diese die vorhandenen Daten beschreiben sollen. Sollen die Werte dieser beiden Größen jedoch für eine Grundgesamtheit geschätzt werden, muss die Varianz nach einer anderen Formel berechnet werden (s. nächste Seite).

18 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 18 ˆ σ Varianz und Standardabweichung als Schätzer für Wert in der Grundgesamtheit 2 x σ ˆ = x 1 n 1 1 n n 2 ( xi x) = i= 1 n 1 i= 1 = ˆ σ 2 x Beachte: SPSS berechnet Varianz und Standardabweichung nur als Schätzung für die GG; Excel erlaubt beide Berechnungen. x 2 i x 2

19 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 19 Varianz und Standardabweichung: Nachtrag zur Terminologie Die Terminologie der verschiedenen Bücher ist in diesem Punkt leider unterschiedlich. Die Varianz, die gegebene Daten charakterisiert, wird bei Fahrmeir et al. empirische Varianz genannt, heißt aber bei Kühnel & Krebs Stichprobenvarianz. Dieser Begriff wird in anderen Büchern (etwa bei Fahrmeir!) wiederum verwendet, um die geschätzte Varianz in der Grundgesamtheit zu kennzeichnen. Aus diesem Grund versuche ich, auf die Begriffe empirische Varianz und Stichprobenvarianz künftig ganz zu verzichten (Analoges gilt für die Standardabweichung). Statt dessen sprechen wir von Varianz der gegebenen Daten und geschätzte Populationsvarianz (oder Schätzung der Varianz in der Grundgesamtheit ).

20 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 20 Der Variationskoeffizient Verschiedene Merkmale können ganz unterschiedliche Größenordnungen aufweisen. Die Standardabweichungen können dann nicht sinnvoll verglichen werden. Der Variationskoeffizient V x = s x x drückt die Standardabweichung als Anteil des Mittelwerts aus (im Bsp.: ca. 0,43). Voraussetzung: Mittelwert > 0

21 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 21 Schiefe Die Schiefe einer Verteilung (einer metrischen Variablen) kann durch die Maßzahl n 1 n i= 1 ( x x) s 3 x 3 beschrieben werden ( Schiefekoeffizient ). Ist dieser größer als 0, ist die Verteilung rechtsschief, ist sie kleiner als 0, ist die Verteilung linksschief.

22 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 22 Steilheit, Wölbung, Exzess, Kurtosis Die Wölbung einer Verteilung kann durch die Maßzahl 1 n n i= 1 ( x x) s 4 x 4 3 beschrieben werden. Ist diese größer als 0, ist die Verteilung eher steil, ist sie kleiner als 0, ist die Verteilung flach.

23 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 23 Hinweis zu Schiefe und Wölbung Statistik-Software (u.a. SPSS und Excel) verwendet etwas andere Maßzahlen (die nicht immer [leicht zugänglich] dokumentiert sind!). Die Tendenz der Ergebnisse ist aber ähnlich wie bei den hier vorgestellten Formeln.

24 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 24 Epilog I Wozu das Alles? Weil alleine oft wenig aussagekräftig sind Die Grafik zeigt die Verteilung der Punkte, die bei einer Klausur erzielt wurden. 2 0 Std.abw. = 9,77 Mittel = 23,8 N = 60,00 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 PUNKTE

25 FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 25 Epilog II Das Buch von Kühnel & Krebs enthält ebenso wie andere Bücher Wege zur Berechnung vieler Größen im Falle gruppierter Daten. Diese sind nicht Gegenstand der Klausur.

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