Reconstruction and simplification of surfaces from contoures

Transkript

1 CG Seminar Reconstruction and simplification of surfaces from contoures Nach Klein, Schilling und Straßer Referent Thomas Kowalski

2 Anfangssituation - Punktdaten Das zu rekonstruierende Objekt besteht aus Punkten Eine Menge von Punkten bilden eine Kontur Eine Menge von Konturen bilden einen Schnitt Mehrere Schnitte bilden ein Objekt Aufgabe: Das Triangulieren benachbarter Schnitte

3 Aufbau des Algorithmus 1. Rekonstruktion Welche Schnitte verbinden? (branching( problem) Welche Punkte aus 2 Schnitten werden miteinander verbunden? (correspondence( problem) Standardalgorithmus: Marching Cubes Liefert viele Dreiecke 2. Simplifizierung Welche Dreiecke können k entfernt werden?

4 Beispiel: Branching Problem n Konturen im Schnitt P werden m Konturen im benachbarten Schnitt Q zugewiesen Eine eindeutige Zuordnung ist nicht möglich / schwierig

5 Vorteile des Algorithmus von Klein, Schilling und Straßer Standard 3D-Hardware wird zur Berechnung verwendet Sehr schnell Erzeugt wenig Polygone Robust und numerisch stabil Relativ einfach zu implementieren, da keine Spezialfälle behandelt werden müssenm

6 Struktur: Rekonstruktion 1. Die einzelnen Konturen werden vereinfacht (->( > max. Nährungsfehler N bekannt) 2. Berechnen des 2D-Distanzfeldes Distanzfeldes mit Zugehörigkeiten 3. Die mediale Achse berechnen 4. Oberflächentriangulierung

7 Begriff: Distanzfeld Pro Schnitt gibt es ein Distanzfeld Es ist eine Bitmap dessen Pixel den Abstand von sich selbst zu den Konturen des Schnittes angeben. Innerhalb einer Kontur ist das Vorzeichen negativ, außerhalb positiv Distanzen sind exakt, nicht nur Distanz bis zum Rasterpunkt der Kontur Oben: Ein Schema eines Distanzfeldes. Unten: Beispiel eines Distanzfeldes für f r eine einfache Kontur. Der Eindruck, dass die Bereiche hin zu den Ecken

8 Begriff: Distanzfeld (2) Zusätzlich zu dem Abstand wird noch gespeichert welches der nächste n Punkt ist. Diese Information ist in der Farbe der Pixels kodiert. Hier ein Beispiel für f r die Kodierung des nächsten n Nachbars mithilfe der Farbe. Im Allgemeinen wird in der Farbe auch das Vorzeichen des Abstands mitkodiert (innen negativ, außen positiv). Hier wurde darauf zu Gunsten des Verständnisses verzichtet.

10 Berechnung des Distanzfeldes Erfolgt mit Hilfe der 3D- Grafikhardware In den Punkten der Kontur werden Kegel gerendert Auf den Kanten werden Dächer (verschobene Kegel) gerendert Die Geometrien haben einen Öffnungswinkel von 45, so dass gilt: b = h Diese Art der Berechnug deformiert das Voronoi- Diagramm (Aufgrund von Ungenauigkeiten) aber ändert es nicht

11 Berechnung des Distanzfeldes (2) Verschiede Ansichten einer Kontur und der Kegel in der Punkten dieser

12 Berechnung des Distanzfeldes (3) Darstellungen der beiden Geometrietypen Bild 1: Nur Kegel Bild 2: Nur DächerD Bild 3: Kegel und DächerD Unten: Eine Draufsicht auf die Geometrie die das am Anfang gezeigte Distanzfeld erzeugt hat

13 Problem: Approximation der Kegel Die Kegel werden durch Dreiecke approximiert. Die Genauigkeit ist abhängig von dem kleinsten Abstand eines Punktes zu allen nicht inzidenten Kanten Problem: Ein Pixel kann durch diese Ungenauigkeit einem falschen Punkt zugeordnet werden

15 Begriff: Mediale Achse Die Mediale Achse befindet zwischen zwei benachbarten Schnitten. Sie ist also ein Zwischenschnitt der die Veränderung von Schnitt A zu Schnitt B interpoliert Jeder Punkt der medialen Achse hat einen nächsten n Punkt in Schnitt / Kontur A und in Schnitt / Kontur B Der Abstand mediale Achse bis Kontur A und der Abstand mediale Achse bis Kontur B ist gleich (jeder Punkt der medialen Achse befindet sich genau zwischen den beiden Schnitten/Konturen)

16 Berechnen der medialen Achse Addiert man die Distanzfelder zweier aufeinander folgender Schnitte und dividiert diesen Wert in jedem Pixel durch 2 so erhält man ein neues Distanzfeld Dieses Distanzfeld entspricht der medialen Achse Es besteht aus geschlossen Flächen mit positiven bzw. negativen Vorzeichen (und Nullen). Ein Vorzeichenwechsel signalisiert eine Konturkante. Unser Algorithmus scannt das Feld nach diesen und markiert die Pixel. Für F r jede mediale Achse wird ein Pointer auf einen ihrer Pixel gespeichert.

18 Die Triangulierung Die Pixel der medialen Achse werden gescannt und die Zuordnung zu den beiden benachbarten Konturen (P,Q) überprüft. Ändert sich die Zuordnung, z.b. von Kante P i zu P i+1 so wird der Punkt P i+1 auf dem Stack gespeichert. Folgt auf einen Punkt aus P ein Punkt Q so werden die Punkte verbunden und die restlichen Punkte (aus P) vom Stack gelöscht und mit dem nächsten n Punkt (auf Q) der anderen Kontur verbunden.

19 Ausnahmefall Was passiert wenn zwei nicht aufeinander folgende Kanten gefunden werden? Es wird ein Punkt auf der medialen Achse eingefügt gt an der Stelle wo der Sprung stattfand Dazu werden im minimalen Abstand Punkte auf den benachbarten Konturen erzeugt. Der weiße e / leere Bereich wird gesondert trianguliert.

20 Weitere Zwischenschnitte Zur Verbesserung der Qualität t können k neue Zwischenschnitte berechnet werden. Zum Lösen L des Branching- Problems kann das Verfahren bis zu einer bestimmten Tiefe rekursiv wiederholt werden. Restliche Bereiche werden gesondert (z.b. Delauney) trianguliert Die mediale Achse ist nicht Teil der Triangulierung D.h. es werden sehr wenige Polygone erzeugt

21 Rekonstruktion beendet Damit ist die Triangulierung der Schnitte beendet Es kann nun unter Zuhilfenahme der 2D-Distanzfelder Distanzfelder im Anschluss das generierte Modell vereinfacht werden

22 Einleitung Simplifizierung Viele Algorithmen, aber nur wenige garantieren einen Abweichungsfehler wenn dann sehr langsam oder überschätzen den NährungsfehlerN D.h. die Modelle sind nicht geeignet für f r Multiresolution Modelle für f r ansichtsabhängiges ngiges Refinement In den meisten Algorithmen erfolgt die Vereinfachung mit Hilfe einer Priority-Queue Qualität t der Vereinfachung hängt h hauptsächlich von der Reihenfolge und nicht von der Art der Transformationen ab Es wird eine Kostenfunktion benutzt die die zumachende Veränderung gegenüber dem Original bewertet Teuerste Operation beim Vereinfachen ist die Auswertung der Kostenfunktion

23 Die Idee Kehren den Vereinfachungsprozess um => selektive Verfeinerung Es wird eine Reihe von Edge Collapse- Transformationen angewendet bis ein sehr grobes Modell entsteht Dabei wird eine Hierarchie / Baum der Operationen oder der mit den Operationen assoziierten Dreiecke erstellt Diese Information wird benutzt, um herauszufinden ob eine Verfeinerungsoperation möglich m ist. Operationen können k nicht übersprungen werden, da eine Kante die nicht existiert nicht aufgeteilt werden kann

24 Die Idee (2) Der Rückweg R durch den Baum sind die eigentlich interessanten Verfeinerungsoperationen Für r jedes Dreieck wird dann überprüft ob eine Verfeinerung nötig n ist oder nicht Vereinfachung ist Variante des Douglas- Peucker-Algorithmus Ein Punkt außen wird gewählt Ein weiterer Punkt maximal weit weg wird gewählt Konvexe-Hülle Hülle-Technik reduziert Aufwand O(nlogn)

25 Struktur: Vereinfachung 1. Berechnung des 3D-Distanzfeldes Distanzfeldes 2. Fehlerbestimmung/-messung messung

26 Das 3D-Distanzfeld Distanzfeld Das 3D-Distanzfeld Distanzfeld ist analog zu dem 2D-Distanzfeld Distanzfeld definiert Man misst den Abstand zu der Oberfläche des Objektes Benutzen spezielle Abstandsfunktion um die Berechnung zu vereinfachen Statt des Euklid schen Abstands sqrt((x 1 -x 2 ) 2 + (y 1 -y 2 ) 2 + (z 1 -z 2 ) 2 ) benutzen wir den Abstand sqrt((x 1 -x 2 ) 2 + (y 1 -y 2 ) 2 ) + z Damit ist wird aus der Einheitskugel ein Doppelkegel Wir können k damit das 3D-Distanzfeld Distanzfeld einfach aus den 2D-Distanzfeldern Distanzfeldern erzeugen

27 Das 3D-Distanzfeld Distanzfeld (2) 2D-Distanzfeld: Distanzfeld: Jeder Voxel enthält als Wert den euklidschen Abstand bis zum grauen Objekt im selben Schnitt 3D-Distanzfeld: Distanzfeld: Der 2. Voxel,, in der unteren Reihe, der eine 2D-Distanz Distanz von 5 hat, bekommt eine 3D- Distanz von 3 Distanz vom oberen Voxel + die Z-Z Distanz von 1 Alle Schnitte werden zweimal durchlaufen (unten -> > oben, oben -> > unten) Aus zwei 2D Aus zwei 2D-Distanzfeldern Distanzfeldern (horizontale Ansicht) wird ein 3D-Distanzfeld Distanzfeld erzeugt

28 Das 3D-Distanzfeld Distanzfeld (3) Wenn das Vorzeichen zweier benachbarter Voxel wechselt => Die Oberfläche befindet sich zwischen den Beiden In diesem Fall werden die anliegenden Voxel gewichtet mit der folgenden Funktion: Dist(A) ) = min (a, a/(a+b a+b) ) *s) Dist(B) ) = - min (b, b/(a+b a+b) ) *s) In unserem Beispiel: s=1 Dieses Vorgehen erhöht die Genauigkeit

29 Struktur: Vereinfachung 1. Berechnung des 3D-Distanzfeldes Distanzfeldes 2. Fehlerbestimmung/-messung messung

30 Das Messen des Fehlers Das Dreieck, das durch die Vereinfachung entsteht, wird in das 3D-Distanzfeld Distanzfeld scankonvertieren und maximalen Abstandswerte auslesen Dazu projizieren wir das Dreieck entlang seiner prinzipiellen Richtung Das ist die Richtung deren Koordinate im Normalenvektor am größten ist (Achse x, y oder z) Bsp: : Der Normalenvektor lautet (2,1,3) Die prinzipielle Richtung ist damit die Z-AchseZ

31 Das Messen des Fehlers (2) Der interpolierte Tiefenwert des Dreiecks wird benutzt um die entsprechenden Voxel des 3D-Distanzfeldes Distanzfeldes anzusprechen Mit Hilfe des Nachkommerteils des Z-Wertes Z kann zwischen 2 Voxel gewichtet werden Hier z.b. zwischen dem Voxel mit dem Wert 2 und Wert 2.2

32 Abschluss Das Vereinfachungsverfahren kann auch auf vorhandene Datensätze angewandt werden Dann ist jedoch müssen die 2D-Distanzfelder Distanzfelder in einem extra Schritt berechnet werden Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit