Aufgabe 1: Interferenz von Teilchen und Wellen

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1 Lösungsvorschlag Übung 6 Aufgabe 1: Interferenz von Teilchen un Wellen a) Konstruktive bzw. estruktive Interferenz beschreibt ie Tatsache, ass sich überlagerne Wellen gegenseitig verstärken bzw. auslöschen können. Diese beien Phänomene sin in en Abbilungen 1-1 un 1- argestellt. Abbilung 1-1: Konstruktive Interferenz zweier Sinuswellen mit gleicher Wellenlänge. Der Phasenunnuswellen mit gleicher Wellenlänge. Hier ist er Abbilung 1-: Destruktive Interferenz zweier Siterschie beträgt nπ, n Z. Phasenunterschie (n+1)π mit n Z. b) Damit ie Interferenz konstruktiv ist, muss er Wegunterschie er beien Wellen ein ganzzahliges Vielfaches er Wellenlänge sein, also nλ (n0,1,,...). Damit ergibt sich Für kleine θ gilt: sin θ nλ un (1.1) tan θ x L. (1.) sin θ tan θ nλ x L. (1.3) Für ie Position er Beugungsmaxima gilt aher x nλl. (1.4) c) Die Lichtintensität an einer bestimmten Stelle er Beugungsfigur ergibt sich aus er Summe er Intensitäten er interferierenen Lichtwellen. Die Intensität einer Lichtwelle ist proportional zum Quarat er Amplitue. Wir betrachten hier monochromatisches Licht mit einer bestimmten Wellenlänge. Da sich alle Lichtwellen mit konstanter Geschwinigkeit ausbreiten, hängt ie Phasenifferenz un ie Amplitue er Lichtwelle von er 1

2 zurückgelegten Strecke ab. Für einen Punkt in er Beugungsfigur mit fixem Abstan zu er Lichtquelle ist eshalb ie Intensität zeitlich konstant. ) Konstruktive Interferenz (.h. Beugungsmaxima) treten auf, wenn Für kleine θ gilt: sin θ nλ un (1.5) tan θ x L. (1.6) sin θ tan θ nλ x L. (1.7) So lässt sich er Abstan x es Interferenzmaximums nter Ornung vom Interferenzmaximum 0. Ornung nach x nλl (1.8) berechnen. Dies unterscheiet sich von er Beugung am Einzelspalt urch einen Faktor. Dieser Unterschie kommt aher, ass beim Doppelspaltexperiment Wellen mit em Abstan betrachtet weren, un bei er Beugung am Einzelspalt Wellen mit em Abstan. e) Mittels Gl. (1.8) lassen sich ie Positionen er Maxima berechnen. Die Resultate sin in Tabelle 1.1 zusammengefasst. Ornung Abstan zur Leinwan 5 m 10 m 100 m mm 1.33 mm 13.3 mm mm.66 mm 6.6 mm mm 3.99 mm 39.9 mm Tabelle 1.1: Abstan er Interferenzmaxima Ornung vom Interferenzmaximum 0. Ornung. Abbilung 1-3 zeigt schematisch ie zu erwartene Intensitätsverteilung. Zusatzinformation: Bei er schematischen Darstellung in Abbilung 1-3 wure angenommen, ass ie Beugung an en einzelnen Spalten vernachlässigt weren kann. Dies ist ann er Fall, wenn (wie zum Beispiel bei em in er Vorlesung gezeigten Experiment) ie Breite eines einzelnen Spaltes sehr viel kleiner als er Abstan er beien Spalte ist. Wenn iese Voraussetzung nicht erfüllt ist, führt ie Beugung an en einzelnen Spalten azu, ass ie Intensitäten er Interferenzmaxima nach aussen hin abfallen. f) Wenn grösser wir, wir x kleiner (x 1 ). g) Das C 60 -Molekül mit p mv 0 hat ie folgene De Broglie-Wellenlänge λ (wobei h as Plancksche Wirkungsquantum ist): λ h p h mv 0. (1.9) h) Setzt man nun ie Wellenlänge es C 60 -Moleküls aus Gl. (1.9) in Gl. (1.8) ein, erhält man: x nlh mv 0. (1.10)

3 Ornung L 5 m L 10 m L 100 m 3 I(x) / I x [mm] Abbilung 1-3: Schematische Darstellung es Interferenzmusters im Doppelspaltexperiment bei einer Wellenlänge λ 53 nm, einem Spaltabstan 0.40 cm un em Abstan er Leinwan von en Spalten L. Die Beugung an en einzelnen Spalten wure vernachlässigt. Der Abstan es Interferenzmaximums nter Ornung vom Interferenzmaximum 0. Ornung ist invers proportional zur Masse. Also gilt: je grösser ie Masse, esto näher liegen ie zwei Maxima beieinaner. Um ein Interferenzmuster einer grossen Masse zu beobachten, muss man aher en Abstan er beien Spalte verkleinern oer en Abstan zum Detektor erhöhen. i) Der Abstan es Maximums 1. Ornung vom Maximum 0. Ornung ist nlh mv m Js µm. (1.11) m kg 65 ms 1 Aufgabe : Elektromagnetische Wellen un ie Wellengleichung a) Da as Magnetfel B senkrecht auf em elektrischen Fel E un senkrecht auf em Wellenvektor k steht ( k E B), zeigt es in x-richtung, un ie entsprechene Wellengleichung für B x lautet ( ) ( ) B x (y, t) c B x (y, t). (.1) t y b) Man setzt ie gegebenen Funktionen in ie Differentialgleichung ein un versucht, Konstanten α, β, γ, δ, ω, k un E 0 zu finen, soass ie Gleichung für beliebige Werte von t un y gilt. Dabei muss beachtet weren, ass beim Bilen er partiellen Ableitungen / t un / y ie jeweils anere Grösse konstant gehalten wir. 3

4 i. E z (y, t) ln(αy + βt ) βt t (αy + βt ) (.) β(αy + βt ) 4β t t (αy + βt ) (.3) αy y (αy + βt ) (.4) α(αy + βt ) 4α y y (αy + βt ) (.5) Eingesetzt in ie Wellengleichung folgt ie Beingung c ( α(αy + βt ) 4α y ) β(αy + βt ) 4β t c ( α y + αβt 4α y ) β(αy + βt βt ) c ( α y + αβt ) β(αy βt ) c ( α(βt αy ) ) β ( βt αy ) c α β β c i α. (.6) Man erkennt, ass ie Grössen α, β un c nicht von en Variablen t un y abhängen. Die Funktion E z (y, t) ln(αy + βt ) ist aher eine Lösung er Wellengleichung. ii. E z (y, t) E 0 sin(ω t + k y + φ) Daraus folgt ie Beingung ω E 0 cos(ω t + k y + φ) t (.7) t t (ω E 0 cos(ω t + k y + φ)) (.8) ω E 0 sin(ω t + k y + φ) ω E z (y, t) (.9) k E 0 cos(ω t + k y + φ) y (.10) y y (k E 0 cos(ω t + k y + φ)) (.11) ie für alle Orte y un Zeiten t erfüllt sein muss. k E 0 sin(ω t + k y + φ) k E z (y, t) (.1) ω c k ω ±c k, (.13) 4

5 iii. E z (y, t) E 0 e γ(y δt) y y t t (γδt γyt)e 0 e γ(y δt) (.14) ( γ + 4γ y 8γ δyt + 4γ δ t )E 0 e γ(y δt) (.15) (γδy γδ yt)e 0 e γ(y δt) (.16) ( γδ + 4γ δ y 8γ δ 3 yt + 4γ δ 4 t )E 0 e γ(y δt) (.17) (.18) Die Wellengleichung ist also erfüllt für alle y un t, wenn δ c bzw. δ ±c. c) Die Wellenlänge λ bezeichnet en örtliche Abstan zweier Maxima, ie Perioe T en zeitlichen Abstan zweier Maxima. Deren mathematische Beschreibungen können irekt aus en Graphen -1a un -1b abgelesen weren. Aus Abbilung -1a ist erkennbar, ass ie Wellenlänge λ π k (.19) beträgt. k wir als Wellenzahl bezeichnet un ist er Betrag es Wellenvektors k, er ie Ausbreitungsrichtung er Welle beschreibt. Ebenso sieht man in Abbilung -1b, ass ie zeitliche Perioe Abbilung -1: Darstellung er Funktion E z (y, t) E 0 sin(ωt + ky + φ) für t 0 s, φ 0 (a) un y 0 m, φ 0 (b), wobei ie Wellenlänge λ sowie ie Perioe T eingetragen sin. bzw. ie Frequenz T π ω ν 1 T ω π (.0) (.1) 5

6 ist. Die Frequenz ν gibt an, wieviel Mal pro Sekune ie Welle oszilliert. ω wir Kreisfrequenz genannt, a es von ν genau um en Faktor π verschieen ist un somit er Änerung es Winkels pro Zeiteinheit bei einer Kreisbewegung mit Frequenz ν entspricht. ) Schliesslich ergibt sich ie Beziehung zwischen λ un ν aus ω (.13) c k (.19) c π λ (.) un zu π ν c π λ ω (.1) π ν (.3) λ ν c. (.4) Anmerkung: Die Energie un er Impuls eines Photons sin urch E ω, (.5) p k (resp. p k) (.6) gegeben. Sie stehen via E p c zueinaner in Beziehung, was nichts aneres als ω c k ist. Aufgabe 3: Flugzeit im Doppelspaltexperiment a) Die Geschwinigkeit eines Photons ist ie Lichtgeschwinigkeit mit em Wert v Photon c m/s. Die Flugzeit t Flug eines Photons urch ie Strecke mit er Länge l 0.5 m berechnet sich über l c t Flug zu t Flug l c 0.5 m m s s. (3.1) b) Der mittlere zeitliche Abstan t zwischen zwei Photonen berechnet sich über ie Zeit t ges 0.05 s, ie er Detektor braucht, um N400 Photonen zu messen. t t ges N 0.05 s s. (3.) c) Den Faktor x zwischen er Zeit t Flug, ie ein Photon braucht, um ie Strecke zurückzulegen, un em mittleren zeitlichen Abstan zweier Photonen, t, erhält man über x t Flug t: x t t Flug s s (3.3) Wie man an iesem Ergebnis sehen kann, ist ie Apparatur meistens leer. Die einzelnen Photonen fliegen mit so hoher Geschwinigkeit urch ie Strecke, ass er zeitliche Abstan zum nachfolgenen Photon viel grösser ist als ie Zeit, ie sie brauchen um ie Strecke zurückzulegen. 6

7 Aufgabe 4: Photonenichte a) Mit Intensität I un Oberfläche A, gilt für ie Anzahl an Photonen n Photon : wobei E Photon h c λ n Photon I A t E Photon, (4.1) ie Energie eines Photons bei er Wellenlänge λ ist. Damit n Photon I A t h c λ I A t λ 1370 J m 1s m sm h c Js m s (4.) b) Die Photonenichte ρ Photon entspricht er Anzahl Photonen n in einem Volumenelement V. Zuerst wählen wir ein beliebiges Zeitintervall t, wobei as erste Photon bei t 0s un as letzte bei t 1s emittiert wir. Mit er Strecke l, ie in t 1s urchlaufen wir, berechnet sich as Volumenelement zu V A Laser l A Laser c t. (4.3) Die Fläche A Laser ist ie Querschnittsfläche es Laserstrahls A Laser π r π ( ). Die Anzahl Photonen, ie in t 1s emittiert weren, berechnet sich aus er Gesamtenergie es Laserstrahls E un er Photonenenergie E Photon zu (ie Leistung sei hier mit L bezeichnet) n Photon Somit ergibt sich für ie Photonenichte E L t. (4.4) E h c Photon ρ Photon n Photon L t λ 1 V h c A c t L λ h c A J/s m Js ( m s ) ( m) π λ 14 Photonen (4.5) m 3 7