4 Resonatoren. 4.0 Lernziele des Kapitels. 4.1 Resonatoren mit ebenen Spiegeln

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1 Resonatoren 53 4 Resonatoren 4.0 Lernziele des Kapitels In diesem Kapitel werden Sie die Eigenschaften von optischen Resonatoren kennenlernen wie sie für Laser benutzt werden. Sie werden lernen, wie die Resonatorgeometrie die Eigenschaften der Laserstrahlung beeinflußt und wie die räumliche Intensitätsverteilung der Laserstrahlung gezielt verändert werden kann. Am Ende dieses Kapitels wissen Sie unter anderem, was - transversale Moden sind, - wie Moden höherer Ordnung entstehen, - wie der Laser in der transversalen Grundmode betrieben wird, - welche Resonatortypen es gibt, - woran man stabile Resonatoren erkennt - und was man unter einem Fabry-Pérot -Resonator versteht. Die verschiedenen Resonatortypen, die in diesem Kapitel diskutiert werden, finden Sie dann bei der Beschreibung der einzelnen Laserarten in Kapitel 7 wieder. 4. Resonatoren mit ebenen Spiegeln Der Wirkungsgrad eines Lasers und die Qualität der Emission (Strahldivergenz, spektrale Bandbreite) werden wesentlich durch den Resonator beeinflußt. Im Gegensatz zu den Resonatoren der Mechanik/Akustik und Hochfrequenztechnik sind optische Resonatoren im allgemeinen sehr groß gegen die Wellenlänge. Darüber hinaus handelt es sich außerdem durchweg um offene Resonatoren, d. h. um Resonatoren, die nur teilweise durch reflektierende Wände (im optischen Bereich sind das die Spiegel) begrenzt werden. Die Struktur des Strahlungsfeldes wird im wesentlichen durch Beugungseffekte bestimmt. Um zunächst einmal die Resonanzeigenschaften eines optischen Resonators zu verstehen, wird der unendlich ausgedehnte, plan-parallele Resonator, auch Fabry- Pérot -Resonator genannt, betrachtet. Er besteht im einfachsten Fall aus zwei unendlich ausgedehnten planparallelen Spiegeln im Abstand L. Die elektromagnetische Welle wird zwischen den beiden Spiegeln hin- und herreflektiert. Um die exakte Feldverteilung innerhalb des Resonators zu bestimmen, müßte man die Maxwell-Gleichungen mit den entsprechenden Randbedingungen (unendlich ausgedehnte plan-parallele Spiegel) lösen. Die Lösungen sind Fabry-Pérot-Resonator

2 54 Resonatoren stationäre Feldverteilungen innerhalb des Resonators. Als Randbedingung wird angenommen, daß die transversale Komponente des elektrischen Feldes an der Spiegeloberfläche verschwindet. E t 0 für z 0, L (4-) Moden eines Resonators Diese stationären Feldverteilungen nennt man auch Moden eines Resonators. Die Moden lassen sich als stehende Welle in einem Resonator darstellen, wie in Abb. 4. gezeigt. z z=0 z=l Abb. 4. Stehende Welle eines Resonators Betrachten wir die ortsabhängige Komponente einer linear polarisierten Welle (z. B. in x-richtung) E x (z,t) = E x (z), dann läßt sich die longitudinale Feldverteilung innerhalb des Resonators darstellen als: 2 Ez ( ) E0sin kz E0sin z (4-2) mit kl q, q 023,,,... (4-3) Der Einfachheit halber ist der Index x für die x-komponente wegge-lassen. In den weiteren Betrachtungen bezieht sich E, wenn nicht anders definiert, immer auf diese Komponente. Die Größe q gibt die Anzahl der Knoten des elektrischen Feldes längs der Resonatorachse an:

3 Resonatoren 55 q L 2 (4-4) Bezeichnet man mit k q den Wellenvektor einer stehenden Welle mit q Knoten im Resonator, dann läßt sich eine beliebige Resonatormode als Überlagerung einzelner stehender Wellen mit der longitudinalen Feldverteilung E q darstellen: q q0 q (4-5) q q Ez ( ) E E sin kz Die Resonanzbedingung (4-3) schränkt die möglichen Frequenzen (bzw. Wellenlängen), die für eine bestimmte Resonatorlänge erlaubt sind, ein: Resonanzbedingung c k c 2 (4-6) Mit Gleichung (4-3) folgt: q c q (4-7) 2 L Der Frequenzabstand zweier benachbarter Moden, also zweier stationärer Feldverteilungen, ist nur abhängig von der Länge des Resonators: q q q q FSR c 2L (4-8) Dieser Frequenzabstand FSR wird auch als Freier Spektralbereich des Resonators bezeichnet.

4 56 Resonatoren - Die longitudinale Feldverteilung des elektrischen Feldes in einem offenen Resonator läßt sich durch eine Überlagerung von stehenden Wellen beschreiben. - Die Länge des Resonators ist ein ganzzahliges Vielfaches q der halben Wellenlänge einer Mode. - Der Frequenzabstand der einzelnen Moden hängt nur von der Resonatorlänge ab. L Resonanzwellenlänge: q 2 q Freier Spektralbereich: FSR c 2L Das ideale Modenspektrum eines Resonators zeigt Abb Hier ist die Intensität der elektromagnetischen Welle innerhalb des Resonators als Funktion der Frequenz der Welle aufgetragen. I FSR = c 2L Abb. 4.2 Frequenzspektrum eines idealen Resonators Für die Resonanzfrequenzen (Resonatorlänge = ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge) ist die resonatorinterne Intensität maximal, außerhalb der Resonanzfrequenz gleich Null. Beispiel Der Resonator eines HeNe-Lasers = 633 nm) hat eine Länge von 30 cm. Unter der Voraussetzung, daß nur eine einzige Mode der exakten Wellenlänge 633 nm oszilliert, hat die sich ausbildende stehende Welle etwa q

5 Resonatoren 57 Knoten in longitudinaler Richtung innerhalb des Resonators. Der Frequenzabstand der longitudinalen Moden beträgt: 6 FSR s MHz. In der Praxis gibt es solche idealisierte Resonatoren natürlich nicht. Jeder Resonator hat endliche Verluste, z. B. durch das endliche Reflexionsvermögen R ( R ) der Resonatorspiegel. Unter dem Reflexionsvermögen versteht man das Verhältnis der einfallenden (I 0 ) zur reflektierten (I r ) Intensität: Reflexionsvermögen R I I r 0 (4-9) Oft benutzt man auch das Amplitudenreflexionsvermögen r zur Beschreibung der Spiegeleigenschaften: r E 0 (4-0) E r mit R r 2 (4-) Durch diese Verluste und andere Verluste wie Streuung und Absorption in anderen Resonatorelementen werden die unendlich schmalen Resonanzstellen des Resonators verbreitert. Die Intensität im Inneren des Resonators ändert sich dann als Funktion der Frequenz : I I max 2 F 2 sin 2 FSR (4-2) Die in Gleichung (4-2) dargestellte Abhängigkeit wird auch als Airy- Funktion bezeichnet. Airy-Funktion

6 58 Resonatoren Dabei nennt man r F r (4-3) Finesse die Finesse F. Die Finesse ist ein Maß für die Güte des Resonators und bestimmt die Breite der Resonanzfrequenzen und die Lebensdauer der Photonen im Resonator. Die Intensität als Funktion der Frequenz ist in Abb. 4.3 für einen realen Resonator mit endlichem Reflexionsvermögen gezeigt. I FSR = c 2L FSR F q-2 q- q q+ q+2 Abb. 4.3 Resonatorinterne Intensität eines realen Resonators Dieser Resonator hat die folgenden Eigenschaften:. Die maximale Intensität I max tritt auf bei den Resonanzfrequenzen q : I I max für q (4-4) q FSR 2. Zwischen den Maxima gibt es Bereiche kleiner Intensität. Die minimale Intensität innerhalb des Resonators erhält man bei der Frequenz: 2q I I min für FSR (4-5) 2 Dabei gilt für die minimale Intensität I min :

7 Resonatoren 59 I min Imax F 2 (4-6) Der Kontrast, d. h. der Unterschied zwischen I max und I min wird umso größer, je größer die Finesse F des Resonators ist. Der Kontrast wird oft durch die sogenannte Visibility v ausgedrückt: v I I max max I I min min (4-7) Die Visibility kann Werte zwischen Null und Eins annehmen: 0 v für I I max min 0 v 0 für I I (4-8) max v für I min 0 min 3. Die Halbwertsbreite der Resonanzen wird bestimmt durch das Verhältnis von freiem Spektralbereich FSR zur Finesse F: FSR F (4-9) Beispiel Der Resonator eines HeNe-Lasers = 633 nm) hat eine Länge von 30 cm und eine Spiegelreflektivität von R = 99 %. Der Modenabstand beträgt nach Gleichung (4-8) FSR s Für die Finesse erhält man mit r R F 625 Damit ergibt sich die Halbwertsbreite der Resonanzfrequenz zu: FSR s F

8 60 Resonatoren Bei einer Frequenz des HeNe-Lasers von c HeNe 50 4 s ist die Resonanzbreite des Resonators auf 800 khz begrenzt. Das entspricht einer relativen Genauigkeit von 0-9. Der Laser kann also im Prinzip, wenn man den Spiegelabstand absolut konstant hält, seine Frequenz auf 0-9 der Mittenfrequenz genau einhalten. Für den Zusammenhang zwischen der Resonanzbreite und der Lebensdauer c der Photonen im Resonator gilt die Beziehung: c 2 (4-20) Die bisher gemachten Betrachtungen sind von unendlich ausgedehnten ebenen Wellen ausgegangen und machen keine Aussagen über das transversale Intensitätsprofil der Strahlung im Resonator. In den meisten Lasern ist es jedoch erforderlich, die Intensität der Laserstrahlung auf einen kleinen räumlichen Bereich zu konzentrieren. Ein Grund dafür ist unter anderem, daß die stimulierte Emission proportional zur spektralen Energiedichte u() ist (s. Kapitel 3 Gleichung (3-2)). Eine Konzentration des elektrischen Feldes auf ein kleines Volumen erhöht somit die Rate der stimulierten Emission und verbessert damit den Laserprozeß. Ein räumlich begrenzter Strahl mit einem bestimmten Durchmesser wird aber aufgrund der Beugung, wie wir in Kapitel 2 gesehen haben, bei der Ausbreitung seinen Durchmesser nicht beibehalten, sondern sich vergrößern. Deshalb sind Resonatoren mit ebenen Spiegeln für Lasersysteme, die eine interne Strahltaille besitzen, nicht geeignet. Für diese Laser muß man Spiegel mit sphärischen Flächen verwenden, die im nächsten Kapitel behandelt werden. 4.2 Resonatoren mit sphärischen Spiegeln Bei Resonatoren mit sphärischen Spiegeln sind im Prinzip zwei Probleme zu lösen:. Wie sieht die transversale Feldverteilung der Resonatormoden aus? 2. Unter welchen Bedingungen sind sphärische Resonatoren stabil? Während wir die Stabilitätsbedingungen mit einfacher geometrischer Optik bestimmen können, müssen wir bei der Berechnung der transversalen Feldverteilung vom Wellenbild des Lichtes ausgehen. Auch hier liefert die

9 Resonatoren 6 Lösung der Wellengleichung aus Kapitel 2 mit den entsprechenden Randbedingungen die stationäre Feldverteilung (= Moden) im Resonator. Die Randbedingungen im Fall sphärischer Spiegel erfordern, daß die Krümmung der Wellenfronten mit den Radien der Resonatorspiegel übereinstimmt. In Abb. 4.4 ist eine solche Intensitätsverteilung für einen einfachen sphärischen Zwei-Spiegel-Resonator gezeigt. L=z2-z R R2 z 0 z2 z Abb. 4.4 Wellenfronten in einem sphärischen Zwei-Spiegel-Resonator Die Spiegelflächen entsprechen der Krümmung der Wellenfront der stationären Feldverteilung im Resonator. Eine Lösung der Wellengleichung mit den geforderten Randbedingungen ist der Gauß sche Strahl. Die Krümmung der Wellenfronten ist näherungsweise für große Entfernungen gleich der Entfernung von der Strahltaille und die Wellenfront eine Kugelfläche (s. Kapitel 2). Gauß scher Strahl als Resonatormode w(z) I/I0 w0 Strahltaille (z=0) z0 R(z) z I/I0 Abb.4.5 Strahlradius, Krümmung der Wellenfronten und Gauß sche Intensitätverteilung

10 62 Resonatoren Deshalb paßt der Gauß sche Strahl in einen Resonator mit sphärischen Spiegeln. Abb. 4.5 verdeutlicht noch einmal Strahlradius, Krümmung der Wellenfronten und Intensitätverteilung eines Gauß schen Strahls. Hermite-Gauß-Funktion Nun ist der Gauß sche Strahl nicht die einzige Löung der Wellengleichung mit den entsprechenden Randbedingungen. Es gibt auch andere Lösungen, die die gleiche Krümmung der Wellenfronten an den Spiegeln haben, aber eine unterschiedliche transversale Intensitätsverteilung. Diese Lösungen sind die sogenannten Hermite-Gauß-Funktionen. Sie zeichnen sich dadurch aus, daß sie in transversaler Richtung (in der x- und/oder der y-richtung) Nullstellen des elektrischen Feldes aufweisen. Die Intensität nimmt also nicht kontinuierlich mit zunehmendem Radius ab wie bei der Gauß-Funktion, sondern es gibt auch weit entfernt von der Achse Orte mit hoher Feldstärke, bzw. Intensität. Man nennt die transversale Intensitätsverteilung der Moden abgekürzt TEM lmq. (4-2) Höhere transversale Moden Modenblenden Dabei steht l für die Knoten in der x-richtung, m für Knoten in der y- Richtung und q für die bereits bekannten Knoten in longitudinaler Richtung. Im allgemeinen wird q bei der Bezeichnung der transversalen Moden weggelassen, da es sich hierbei stets um sehr große Zahlen handelt. Die Bezeichnung TEM 00 bedeutet, daß es sich um die Intensitätsverteilung eines Gauß schen Strahls handelt. Man spricht in diesem Fall auch von der transversalen Grundmode. Moden mit lm, 0 bezeichnet man als höhere transversale Moden. Typische Beispiele für die Intensitätsverteilung der Moden TEM 00 bis TEM 44 sind in Abb. 4.6 dargestellt. Für nahezu alle Anwendungen ist es wegen der besseren Fokussierbarkeit wünschenswert, Laser in der Grundmode zu betreiben. Die größere räumliche Ausdehnung der höheren Moden (s. Abb. 4.6) kann man ausnutzen, um einen Laser zur Oszillation in der Grundmode zu zwingen. Das Einfügen von Blenden in den Resonator, deren Durchmesser kleiner ist als die Moden höherer Ordnung, aber größer als die Grundmode, erzeugt für die höheren Moden größere Verluste. Da der Laser in der Konfiguration anschwingt, in der die Verluste minimal sind, wird der Grundmode bevorzugt. Diese Modenblenden werden insbesondere bei Lasern mit großen Verstärkungsvolumen eingesetzt, die leicht zur Oszillation in höheren Moden neigen.

11 Resonatoren 63. Abb.4.6 Transversale Intensitätverteilung eines Resonators 4.3 Stabilitätskriterien Das zweite Problem, das für sphärische Resonatoren gelöst werden muß, ist die Berechnung der Stabilitätsbedingungen. Im Gegensatz zu planparallelen Resonatoren, die im Prinzip immer dann stabil sind, wenn die Spiegel parallel stehen, müssen für sphärische Spiegel zusätzliche Bedingungen eingehalten werden. Diese Bedingungen kann man mit Hilfe der Strahlenoptik (geometrische Optik) ermitteln. Dazu betrachtet man einen Strahl innerhalb des Resonators. Dieser Strahl muß sich nach einer endlichen Zahl von Resonatorumläufen selbst reproduzieren, damit ein stationärer Zustand entsteht. Im Falle des plan-parallelen Resonators sind das z. B. Strahlen, die senkrecht auf die Spiegel auftreffen und sich damit nach einem Umlauf reproduzieren. Für sphärische Resonatoren führt man die sogenannten g-parameter ein, die die Information über die Spiegel und den Resonator enthalten (R und g-parameter

12 64 Resonatoren R 2 stehen in diesem Fall für die Krümmungsradien der Spiegel und nicht für das Reflexionsvermögen): g g 2 L R r L R 2 (4-22) Stabilitätsbedingungen Diese g-parameter gelten zunächst nur für Zwei-Spiegel-Resonatoren. Man kann aber auch kompliziertere Resonatortypen, die aus mehreren Spiegeln bestehen, auf Zwei-Spiegel-Resonatoren mit effektiven Radien R i zurückführen. Die Stablitätsbedingung hat dann die Form: 0 g g (4-23) 2 Für symmetrische Resonatoren (R = R 2 = R und g = g 2 = g) vereinfacht sich die Stabilitätsbedingung zu: g (4-24) Die Parameter des Resonators (R, R 2 und L), die einen stabilen Betrieb des Resonatores ermöglichen, lassen sich in einfacher Weise aus einem Stabilitätsdiagramm ermitteln, in dem g 2 als Funktion von g aufgetragen ist. Das Stabilitätsdiagramm zusammen mit einigen ausgewählten Resonatortypen zeigt Abb. 4.7.

13 Resonatoren 65 stabile Resonatoren instabile Resonatoren g2 c - a g b - symmetrische Resonatoren a: konfokal (R=R2=-L) b: konzentrisch (R=R2=-L/2) c: konfokal (R=R2= ) Abb. 4.7 Stabilitätsdiagramm Die untere Grenze des Stabilitätsbereichs (0 = g g 2 ) wird durch die beiden Geraden g = 0 und g 2 = 0 (x- und y-achse) festgelegt. Die obere Grenze (g g 2 = ) wird durch die beiden Hyperbeläste g 2 = /g bestimmt. Die Fläche innerhalb dieser Grenzen kennzeichnet den Parameterbereich stabiler Resonatoren. Das Vorzeichen des Radius R ist dabei wie folgt definiert: Zeigen der reflektierte Strahl und der Radiusvektor (vom Mittelpunkt M zur sphärischen Fläche gerichtet) in die entgegengesetzte Richtung, dann ist das Vorzeichen positiv, im anderen Fall negativ (s. Abb. 4.8).

14 66 Resonatoren M R < > 0 R R 2 > < 0 M R R > < 0 R 2 < > 0 Abb. 4.8 Zur Definition des Vorzeichens von R Die folgenden Beispiele sind typische für Laser benutzte Resonatorkonfigurationen. Ihre Lage im Stabilitätsdiagramm und einige Eigenschaften werden mit Hilfe der Abb. 4.9 bis 4.3 erläutert.. Konfokaler Resonator Konfokaler Resonator Beim konfokalen Resonator stimmen die Radien beider Spiegel mit der Resonatorlänge überein. Es ist ein symmetrischer Resonator, die Strahltaille liegt in der Mitte des Resonators. Der maximal mögliche Abstand der Spiegel ist der Krümmungsradius. Verkleinert man den Abstand, dann bleibt der Resonator stabil, aber der Durchmesser der Strahltaille nimmt zu. g2 R=L - - g Abb. 4.9 Konfokaler Resonator

15 Resonatoren Halbsymmetrischer Resonator g2 R= - - g g= 0 g2 Abb. 4.0 Halbsymmetrischer Resonator Der halbsymmetrische Resonator besteht aus einem planen Spiegel (R = ) und einem sphärischen Spiegel in einem Abstand, der kleiner sein muß als der Radius R 2 des sphärischen Spiegels. Ist R 2 = L, dann erhält man die kleinste Strahltaille auf der Oberfläche von R, mit abnehmendem Abstand L vergrößert sich der Durchmesser der Strahltaille. Dieser Resonator wird vorwiegend für gepulste Festkörper-Laser verwendet. Das aktive Material befindet sich in der Nähe von Spiegel R. In vielen Fällen ist der plane Endspiegel direkt auf eine Seite des Lasermaterials aufgebracht. Halbsymmetrischer Resonator 3. Plan-Plan-Resonator g2 R,2 g,2 - - g Abb. 4. Plan-Plan-Resonator

16 68 Resonatoren Plan-plan-Resonator Die Radien der Spiegel R und R 2 sind sehr groß. Die g-parameter sind gleich und etwa Eins (g = g 2 =). Die sehr große und nicht besonders ausgeprägte Strahltaille liegt in der Mitte des Resonators. Da dieser Resonator keine räumlich gut begrenzte Strahltaille hat, neigen Laser mit diesem Resonator zur Oszillation in höheren transversalen Moden, da diese Moden ein größeres Volumen beanspruchen. Dieser Resonator ist daher für Verstärkermedien mit großem Volumen geeignet, wenn es nicht auf Betrieb in der TEM 00 -Mode ankommt. 4. Konzentrischer Resonator g2 L 2 R g, g Abb. 4.2 Konzentrischer Resonator Konzentrischer Resonator Dieser Resonator wird insbesondere bei Lasern eingesetzt, die mit anderen Lasern angeregt werden und eine kleine Strahltaille benötigen (z. B. Farbstofflaser, Titan-Saphir-Laser). Der Resonator kann mit gleichen oder unterschiedlichen Spiegelradien betrieben werden. Der Abstand der Spiegel darf die Summe der Radien von R und R 2 nicht übersteigen. Im konzentrischen Fall ist g = g 2 = -. Auch hier nimmt die Strahltaille mit abnehmendem Abstand der Spiegel zu, die kleinste Strahltaille erhält man wieder am Rande des Stabilitätsbereichs (R + R 2 = L). 5. Konkav-konvex Resonator Dieser Resonator besteht aus zwei sphärischen Spiegeln mit Krümmungsradien R > 0 und R 2 < 0

17 Resonatoren 69 g2 - - g Abb. 4.3 Konkav-konvex Resonator. Er ist stabil, wenn R R2 L R2 (4-23) Gleichung (4-23) gilt für den Fall, daß R2 R ist. Diese Resonatoren werden ähnlich wie der halbsymmetrische Resonator vorwiegend für gepulste Laser eingesetzt. Konkav-konvex Resonator Die Entscheidung, ob ein Resonator stabil oder instabil ist, läßt sich mit einer einfachen Faustregel ermitteln: Bezeichnet man die Strecke zwischen Spiegeloberfläche der Spiegel R und R 2 und Krümmungsmittelpunkt M mit SMi (s. Abb. 4.4), dann gilt: Faustregel zur Bestimmung der Stabilität von sphärischen Resonatoren Stabil: Instabil: SM und SM 2 überlappen SM und SM 2 sind getrennt oder SM liegt innerhalb von SM 2

18 70 Resonatoren Stabile Resonatoren Instabile Resonatoren S S2 M2 M Abb. 4.4 Faustregel zur Bestimmung der Stabilität von sphärischen Resonatoren 4.4 Übungsaufgaben 4. Aus zwei Spiegeln mit R = R 2 = 90 % wird ein Fabry-Pérot- Resonator mit einem Spiegelabstand von L = 50 cm gebildet. Berechnen Sie: a) den freien Spektralbereich des Fabry-Pérot-Resonators, b) die Finesse F und c) die Halbwertsbreite der Resonanzkurven. 4.2 Überprüfen Sie, welche der folgenden Resonatoren stabil sind: a) R = 5 cm, R 2 = 3 cm, L = 7,8 cm b) R = 0 cm, R 2 = 0 cm, L = cm c) R = 0 cm, R 2 = 0 cm, L = 20 cm d) R = 0 cm, R 2 = 0 cm, L = 25 cm e) R = cm, R 2 = 30 cm, L = 32 cm f) R = cm, R 2 = 00 cm, L = 5 cm g) R = cm, R 2 = 50 cm, L = 48 cm

19 Resonatoren 7 h) R = 8cm, R 2 = 50 cm, L = 45 cm i) R = 8 cm, R 2 = 50 cm, L = 32 cm j) R = 8 cm, R 2 = 50 cm, L = 60 cm 4.3 Bestimmen Sie den Kontrast eines Fabry-Pérot-Resonators als Funktion der Finesse. Wie groß wird der Kontrast für eine Finesse von F =, F =, F = 0 und F = 000?