Aufg.-Nr.: 16 Bereich: vektorielle Geometrie Kursart: GK WTR

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Aufg.-Nr.: 16 Bereich: vektorielle Geometrie Kursart: GK WTR"

Gesche Holst
vor 7 Jahren
Abrufe

1 Aufg.-Nr.: 6 Bereich: vektorielle Geometrie Kursart: GK WTR Tennis Die Abbildung stellt in einem dreidimensionalen Koordinatensystem schematisch das Spielfeld (Einzelfeld) eines Tennisplatzes dar. Das Feld wird in der Mitte durch ein Netz unterteilt, das von den Außenpfosten AB und EF gehalten wird. Die Netzoberkante ist in der Mitte im Punkt D niedriger als außen in den Punkten B und F, aber ansonsten geradlinig gespannt. Die angegebenen Maße des Platzes sind aus Vereinfachungsgründen auf ganze Meter gerundet. Auch die Koordinaten der unten angegebenen Punkte sind in Metern zu verstehen. Die Bälle fliegen in unserem Modell geradlinig, wir vernachlässigen jegliche Spins oder andere Effekte wie auch Erdanziehung oder Luftreibung! Außerdem wird der Tennisball als Punkt aufgefasst. Die angegebenen Punkte des Tennisfelds haben die folgenden Koordinaten: A(0 0) B(0,) C(4,5 0) D(4,5 0,9) E(9 0) F(9,) P(4,5 6 0) Q(9 6 0). Im Punkt G(4 4 0) steht der Aufschläger, der versucht, den Tennisball vom Punkt (4 4 3) seines Schlägers aus geradlinig in den Eckpunkt P des gegnerischen Aufschlagfeldes ECPQ zu schlagen. x 3 B A Q P D C G x x F E a) Geben Sie die Länge und die Breite des dunkel eingefärbten Tennisfeldes an. b) Berechnen Sie, wie viele Sekunden der Ball vom Verlassen des Schlägers im Punkt bis zum Aufprall auf den Boden benötigt, wenn der Ball mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h den Schläger verlässt und diese Geschwindigkeit auch bis zum Aufprall auf den Boden beibehalten wird. c) Ermitteln Sie, in welchem Winkel der Tennisball im Punkt P auf dem Boden auftrifft. Verlaufsweg des Balls d) Dem Aufschläger gelingt es, seinen Aufschlag genau in dem Punkt P zu platzieren. Von dort aus springt der Ball idealtypisch, wie in P der Abbildung rechts dargestellt, ab in Richtung des Gegners, der auf der Grundlinie (der x - Einfallswinkel = Ausfallswinkel Achse) steht. I Bestimmen Sie denjenigen Punkt S der x x 3 - Ebene, in dem der Schläger des Gegners den Querschnitt entlang der Ebene durch, P und G Ball zum Rückschlag (Return) trifft. Zusammengestellt von den Fachdezernenten Mathematik der 5 Bezirksregierungen in NRW / Die gestrichelten Linien sind mögliche Spiegelachsen

2 Aufg.-Nr.: 6 Bereich: vektorielle Geometrie Kursart: GK WTR e) Gültig ist ein Aufschlag genau dann, wenn er innerhalb des Aufschlagfeldes ECPQ landet (einschließlich der Berandungslinie). Beschreiben Sie einen Lösungsweg zur Berechnung der Eckpunkte derjenigen Teilfläche des Aufschlagfeldes, in dem der vom Punkt aus geradlinig fliegende Ball landen kann. Geben Sie die geometrische Form dieser Teilfläche an. Zeichnen Sie diese Fläche in die Vorlage einschließlich der Konstruktionslinien und der zugehörigen Bezeichnungen ein. x 3 x x Zusammengestellt von den Fachdezernenten Mathematik der 5 Bezirksregierungen in NRW /

3 Lösung a) Die Länge und Breite des Tennisplatzes ergibt sich aus den Koordinaten von Q oder E oder F bzw. G oder Länge 4 m; Breite 9 m b) Weg s Definition der Geschwindigkeit v = = Zeit t s ist die Länge der Strecke P, also d = (4,5 4) + (6 4) + (0 3) 8, 6 t = s v 0,086km = 0,37 Sekunden km 80 h c) Gesucht ist der Winkel zwischen der Geraden durch P und und der x x -Ebene. Es gilt n u sin α =, wobei n = 0 und u = P n u sin α 4 4, = = α 333,5 333,5 o 9,5 d) Der Spiegelpunkt von an der x x -Ebene ist (4 4-3). Geradengleichung durch und P: 4 0,5 x = 4 + t Schnitt mit der x x 3 -Ebene mit der Gleichung x = 0 ergibt: 4 4 8t = 0 t = S e) Es soll der Teil des Aufschlagfeldes bestimmt werden, der vom Ball bei einem gültigen Aufschlag getroffen werden kann. Die möglichen Flugbahnen des Tennisballs liegen in den Ebenen E durch, D und B bzw. E durch, D und F. Bestimme die Normalenvektoren n und n dieser Ebenen. 0,5 4,5,4 0,5 4,5,4 n = D BD = 0 = 9,35 n = D FD = 0 = 9,55, 0, 54, 0, Sebastian oheisel Seite von 3

4 Bestimme die Schnittgerade g der Ebenen E und E. Diese ist identisch mit der Geraden durch und D. 4 0,5 g : x = 4 + t 3, Bestimme den Schnittpunkt S der Schnittgeraden g mit der x x -Ebene x 3 = 0 3,t = 0 t = S 0 ; S (4,7 6,9 0) Bestimme die Schnittgeraden von E und E mit der x x -Ebene. Als Ortsvektor nimmt man s und als Richtungsvektoren jeweils das Vektorprodukt von n bzw. n mit dem Normalenvektor e 3 der x x -Ebene.,4 9,35,4 9,55 0 9,35 =,4 ; 0 9,55 =, , ,55 s : x = + k,4 ; 48 7 s : x = + l, Die x - Koordinate muss wegen der Größe des Aufschlagfeldes die Bedingung 4,5 x 9 erfüllen. schneidet die Aufschlagmittellinie, also gilt: k = k = SP (4,5 6,8 0) schneidet die Aufschlagaußenlinie, also gilt: l = 9 l = SP (9 5,8 0) ; Dieser Punkt liegt allerdings außerhalb des T Feldes. Berechne den Schnittpunkt von s mit der T-Linie: l = 6 l = 4 schneidet die T-Linie im Punkt SP 3(8, 5 6 0) SP 3 bildet zusammen mit SP, S und P, die vier Ecken der Landefläche. 007 Sebastian oheisel Seite von 3

5 007 Sebastian oheisel Seite 3 von 3

Ähnliche Dokumente

Abitur 2013 Mathematik Geometrie V

Abitur 2013 Mathematik Geometrie V Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 1 Mathematik Geometrie V Teilaufgabe b ( BE) Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die