Deskriptive Statistik Lösungen zu Blatt 1 Christian Heumann, Susanne Konrath SS Lösung Aufgabe 1

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1 1 Deskriptive Statistik Lösungen zu Blatt 1 Christian Heumann, Susanne Konrath SS 2011 Lösung Aufgabe 1 (a) Es sollen die mathematischen Vorkenntnisse der Studenten, die die Vorlesung Statistik I für Statistiker, Mathematiker und Informatiker im Wintersemester 2007/2008 besuchen, erhoben werden. Ω : Studenten, die die Vorlesung Statistik I für... im WS 07/08 besuchen ω i : Student i, der die Vorlesung Statistik I für... im WS 07/08 besucht X : mathematische Vorkenntnisse S = {keine Vorkenntnisse, GK Ma, LK Ma, Grundvorlesung Ma, sonstige} weitere erfassbare Merkmale: X 2 : angestrebter Studienabschluss, X 3 : Geschlecht, X 4 : Alter, X 5 : Geburtsort. (b) Die Verkehrsdichte einer Straße soll durch Zählung der pro Zeiteinheit an festgelegten Beobachtungspunkten passierenden Kraftfahrzeuge gemessen werden. Ω : Menge der Beobachtungspunkte ω i : Beobachtungspunkt i, i = 1,..., n X : Anzahl der pro Zeiteinheit passierenden Kraftfahrzeuge S = IN 0 weitere erfassbare Merkmale: X 2 : Anzahl passierender Kraftfahrzeugtypen, X 3 : Geschwindigkeit der vorbeifahrenden Fahrzeuge. (c) Das Kulturreferat der Stadt München läßt sich für eine statistische Analyse von allen Münchner Bühnen die Höhe der Einnahmen und der Ausgaben im Jahre 2006 melden. Ω = {Volkstheater, Deutsches Theater, Münchner Kammerspiele,...} ω i : Theater i, i = 1,..., n X = (X 1, X 2 ), X 1 : Ausgaben, X 2 : Einnahmen S = S 1 S 2 = [0, ) 2 weitere erfassbare Merkmale: X 3 : Anzahl Besucher, X 4 : Anzahl Vorstellungen.

2 2 Lösung Aufgabe 2 Wiederholung Bestandsmenge: Menge gleichartiger stat. Einheiten, die nur zu (in) einem Zeitpunkt ihrem Umfang nach erfasst werden können (Abgrenzung der Grundgesamtheit durch Zeitpunkt). Bewegungsmenge: Menge gleichartiger stat. Einheiten, die über einen bestimmten Zeitraum hinweg ihrem Umfang nach erfasst werden können (Abgrenzung der Grundgesamtheit durch Zeitraum). Lösung (a) Todesfälle durch Lungenkrebs in Bayern Bewegungsmenge (b) Geldumlaufmenge in der Bundesrepublik Deutschland Bestandsmenge. Korrespondierende Bewegungsmengen: Neudruck (+) und Vernichtung von Geldscheinen (-) (c) Papierverbrauch in einer Druckerei Bewegungsmenge (d) Fahrradunfälle mit Beteiligung von Kindern unter 6 Jahren Bewegungsmenge (e) Besucher eines Bundesligafußballspiels Bestandsmenge. Korrespondierende Bewegungsmengen: Zuschauer, die das Stadion betreten (+), Zuschauer, die das Stadion verlassen (-)

3 3 Lösung Aufgabe 3 Geschlecht (nominal, diskret), Temperatur in Celcius(intervallskaliert, stetig), Familienstand (nominal, diskret), Steuerklasse (ordinal, diskret), Lebensalter (verhältnisskaliert,quasi-stetig), Religion (nominal, diskret), Stückzahl in der Produktion (absolutskaliert, diskret), Reaktionszeit (verhältnisskaliert, stetig), Rückennummern von Fußballspielern (nominal, diskret), Schulnote (ordinal, diskret), Klausurpunkte (absolut,diskret (quasi-stetig)), Güteklasse von Restaurants (ordinal, diskret), Länge (verhältnisskaliert, stetig), Breitengrade der Erde (intervallskaliert, stetig), Semesterzahl (absolutskaliert,diskret), Kraftstoffverbrauch eines PKW auf 100 km (verhältnisskaliert, stetig)

4 4 Lösung Aufgabe 4 (a) Merkmal X: Besucherzahl; verhältnisskaliert (oder absolut). (b) relative Häufigkeit der Ausprägung a j : f j = f(a j ) = h j /n mit n = 100 a j f j kumulierte relative Häufigkeit der Ausprägung a j : F j = j l=1 f l a j F j (c) Stabdiagramm der relativen Häufigkeiten f j : f j a j (d) empirische Verteilungsfunktion: F (x) = a j x f(a j) = f(a 1 ) f(a j ), a j x, a j+1 > x. F(x) x

5 (e) Anteil der Tage mit mindestens 48 Besuchern: F (48 X) = a j 48 f(a j ) = 0.19 d.h. es kommen nur an 19% der Tage mindestens 48 Besucher. Somit sind die Zukunftsaussichten des Kinos finster. (f) Für mindestens 270 Euro Tageseinnahmen müssen mindestens 270/6 = 45 Besucher kommen. An einem Anteil von F (X 44) = F (44) = 0.36 = 36% der Tage nimmt der Kinobesitzer also weniger als 270 Euro ein. (g) Anteil Tage mit maximal 50, mindestens aber 45 Besucher entspricht F (45 X 50) = F (50) F (44) = = 0.61 = 61%. 5

6 6 Lösung Aufgabe 5 (a) Kreisdiagramm: Der Winkel der Kreissegmente α j ist proportional zur Häufigkeit h j. Es gilt n = 20000: α j = h j n 360 = 0.018h j Damit: α 1 = 4.1,α 2 = 62.8, α 3 = 178.8, α 4 = gut mittelmäßig schlecht sehr gut (b) Histogramm: Die Flächen sind proportional zur Häufigkeit h j (bzw. f j ). D.h. bei gleichen Klassenbreiten ist die Höhe des Balkens proportional zu h j (bzw. f j ). Bei Klassenbreite d j = 1 ist die Höhe des Balkens gleich h j (bzw. f j ). h j schlecht mittelmäßig gut sehr gut

7 7 Lösung Aufgabe 6 (a) Berücksichtigung aller Ziffern, d.h. Einheit: 16 0 = 160. Intervallbreite von 10 Folgen, d.h [160, 170), [170, 180),... Stammbreite ist 10. Stamm-Blatt-Diagramm: Interpretation: Die meisten der befragten Mitglieder haben mindestens 200 Folgen gesehen. Niemand hat weniger als 160 oder mehr als 210 Folgen gesehen. (b) Berücksichtigung der jeweils (gerundeten) führenden beiden Ziffern, d.h. Einheit: 1 6 = 160. Intervallbreite von 100 Folgen, d.h [100, 200), [200, 300). Stammbreite ist 100. Stamm-Blatt-Diagramm: Interpretation: Die Aussagefähigkeit dieser Darstellung ist geringer - verglichen mit jener aus (a). Es wird weniger differenziert. Grundsätzliche Tendenzen sind aber auch hier festzustellen.

8 8 Lösung Aufgabe 7 (a) Die Grundgesamtheit lautet Ω : Studenten, die im Juni 2004 an der Universität X in X-hausen immatrikuliert waren. Die statistischen Einheiten sind ω i : Student i, i = 1,..., n. Die Identifikationsmerkmale lauten Student (sachlich), X-Universität in X-hausen (räumlich) und Juni 2004 (zeitlich). (b) Das Merkmal X 1 : Studiengang ist nominalskaliert. Die absoluten und relativen Häufigkeiten sind in folgender Tabelle dargestellt Säulendiagramm: j a j Statistik Mathematik Informatik Physik h j f j Relative Häufigkeiten des Merkmals Studiengang f_j Statistik Mathematik Informatik Physik a_j (c) Das Merkmal X 2 : Anzahl der Geschwister ist absolutskaliert. Die absoluten und relativen Häufigkeiten sind in folgender Tabelle dargestellt, wobei H j := H(X a j ) und F j := H j /n. j a j h j f j H j F j

9 9 Kreisdiagramm: Relative Häufigkeiten des Merkmals Anzahl der Geschwister keine Geschwister 1 Schwester/Bruder 3 Geschwister 2 Geschwister (d) Wieviele Studenten haben höchstens zwei Geschwister? Gesucht ist H(X 2 2) = H(2) = 23. Also: 23 Studenten haben höchstens zwei Geschwister. Wieviel Prozent der Studenten haben mindestens zwei Geschwister? Gesucht ist F (X 2 2) = f(a j ) = f(a 3 ) + f(a 4 ) = = 0.24 = 1 F (1). a j 2 Also: 24 Prozent der Studenten haben mindestens zwei Geschwister. Wieviel Prozent der Studenten haben ein oder zwei Geschwister? Gesucht ist F (1 X 2 2) = F (X 2 2) F (X 2 0) = F (a 3 ) F (a 1 ) = f(a 2 )+f(a 3 ) = = 0.6. Also: 60 Prozent der Studenten haben ein oder zwei Geschwister. (e) Das Merkmal X 3 : Einkommen ist verhältnisskaliert. Die geordnete Urliste lautet 315, 323, 327, 327, 327, 328, 337, 337, 349, 349, 349, 349, 350, 380, 398, 403, 406, 416, 435, 435, 472, 543, 629, 698, 736 Die geordnete Urliste lautet nach dem Runden auf die beiden führenden Ziffern 320, 320, 330, 330, 330, 330, 340, 340, 350, 350, 350, 350, 350, 380, 400, 400, 410, 420, 440, 440, 470, 540, 630, 700, 740 Das Stamm-Blatt-Diagramm mit Einheit 3 2 = 320 und Stammbreite 100 lautet

10 10 Interpretation: Konzentration von Werten im Bereich [300, 440] (=20 von 25 Beobachtungen). Die Verteilung ist deutlich rechtsschief. Die meisten Studenten (in dieser Stichprobe) haben ein minimales Einkommen. (Offensichtlich stellen 320 Euro eine Art Existenzminimum dar.) (f) Die benötigten Größen sind in folgender Tabelle dargestellt j Klasse [c j 1, c j ) [300, 330) [330,350) [350, 450) [450,600) [600, 750) h j f j F j d j f j Histogramm des Merkmals Einkommen abzutragende Höhe Einkommen Vergleich: Auch das Histogramm ist deutlich rechtsschief. Außerdem ist es unimodal. Die höchste Einkommenskonzentration liegt im Bereich [330, 350). Im Vergleich zum Stamm-Blatt-Diagramm wird der Effekt eines minimalen Einkommens durch die (ungünstige) Klasseneinteilung verfälscht. (g) Welcher Anteil der Studenten hat ein Einkommen von mindestens 375 Euro und höchstens 700 Euro? Gesucht ist hier F (375 X 3 700) = F (700) F (375). Beide Werte berechnen wir mit Hilfe linearer Interpolation folgendermaßen: F (700) = F (600) = = F (375) = F (350) = = Damit erhalten wir F (700) F (375) = = 0.4.

11 11 D.h. 40 Prozent der Studenten haben ein Einkommen von mind. 375 Euro und höchstens 700 Euro. Welcher Anteil der Studenten hat ein Einkommen von mehr als 400 Euro? Hier ist gesucht F (X 3 > 400) = 1 F (X 3 400). Mit Hilfe linearer Interpolation berechnen wir Damit erhalten wir F (400) = F (350) = = F (X 3 > 400) = 1 F (400) = = D.h. 36 Prozent der Studenten haben ein Einkommen von mehr als 400 Euro. Welches maximale Einkommen trat unter den 50 Prozent einkommenschwächsten Studenten auf? Gesucht ist x 3, so dass F (X 3 x 3 ) = 0.5. Mit Hilfe der kumulierten relativen Häufigkeiten wissen wir, dass x 3 in die Klasse [350, 450) fällt. Damit erhalten wir 0.5 = F (350) + x = (x 3 350) 0.02 = x = x 3 x 3 = Das maximale Einkommen unter den 50 Prozent einkommenschwächsten Studenten beträgt Euro.