Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen

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1 Physikdepartment E13 WS 2011/12 Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung , Übungswoche Blatt Herons Problem D x L y I Bereits 100 v. Chr. formulierte der Grieche Heron ein Problem zum Prinzip des kürzesten Weges. Dabei befindet sich ein Reiter im Lager L, der zum Dorf D möchte. Er will aber auf dem Weg noch sein Pferd am Seeufer (graue Zone) tränken (siehe Skizze). a) Zeichnen Sie in die Skizze den schnellsten Weg vom Lager L ins Dorf D ein, der an einem Punkt R das Wasser berührt, unter der Voraussetzung, daß der Reiter stets mit der gleichen Geschwindigkeit reitet. Trick: Spiegelung von D D = kürzester Weg nach D : Gerade gespiegelt

2 α b) Wie heißt das dieser Wegbestimmung zugrunde liegende Prinzip aus der geometrischen Optik? Reflektionsgesetz; allgemeiner: Fermatsches Prinzip (Licht wählt Weg mit der kürzesten Laufzeit.) c) Berechnen Sie die unter Berücksichtigung dieses Prinzips für die Punkte L(2; 0) und D(3; 5) den y-wert des Punktes R(0;y R ), an dem der Reiter sein Pferd tränken kann. x R = 0 tan α = y R x L = y D y R x D y R = y D x L x D + x L = 2 d) Ein anderes Problem ergibt sich, wenn der Reiter vom Lager L auf die Insel I im See gelangen möchte. Er kann zwar an Land schnell reiten, muss jedoch im Wasser sein Tempo auf ein Viertel der Landgeschwindigkeit reduzieren. Skizzieren Sie in der Zeichnung den schnellsten Weg von L nach I. 2

3 e) Leiten Sie aus der Funktion t(y S ) für die Dauer des Weges in Abhängigkeit von der y- Koordinate des Punktes S(0; y S ) das aus der Optik bekannte Snelliussche Brechungsgesetz ab (sin α 1 : sin α 2 = n 2 : n 1 ). S sei hierbei der Schnittpunkt zwischen Land und Wasser. v w = v l 4 ; l = t = t l + t w = Minimum (Extremum): d dy S t = 0 dt dy S = xl 2 + y2 S ; w = xi 2+(y I y S ) 2 l = v l t l ; w = v w t w xl 2 + y2 S xi 2 + +(y I y S ) 2 v l 1 2y S 2v l xl 2 + y2 S dt = 1 dy S v l sin β v l y s l }{{} sin β v w 1 2(y I y S ) 2v w x 2 I +(y I y S ) 2 = 1 yi y S v w }{{ w } sin γ! = 0 = sin γ v w = sin β sin γ = v l v w Snellius sches Brechungsgesetz! Zusatz: Für Licht benötigt man nun lediglich die Information, dass die Lichtgeschwindigkeit im Medium c n = c 0 n ist. (mit c 0 = 2, m s : Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, und n: Brechungsindex des Mediums) = sin β sin γ = c L c W = c 0 n W c 0 n L = n W n L 3

4 2. Kurzwellenempfang Ein Kurzwellensender (Radiofrequenz 3 bis 30 MHz) strahlt seine Leistung primär parallel zur Erdoberfläche ab. Ein Teil der Wellen breitet sich als Bodenwelle aus und hat eine Reichweite bis etwa 100 km. Ein anderer Teil der Wellen wird an der Ionosphäre der Erde in einer Höhe von etwa h I = 100 km über der Erdoberfläche reflektiert. Der Radius der Erde beträgt r E = 6370 km. In welcher Entfernung (Luftlinie entlang der Erdoberfläche) ist der Kurzwellensender wieder gut zu empfangen, wenn wir eine Reflexion des Radiosignals an der Ionosphäre berücksichtigen? α Da: cos ϕ = 6370 km 6370 km+100 km = ϕ = 10,1 ˆ=0,176(rad) α 360 = αrad 2π = α rad = α π 180 = s = 2 ϕ r E s = 2 0, km = 2, km 4

5 3. Prisma aus Flintglas Ein Lichtstrahl trifft auf ein gleichschenkliges Prisma (siehe nebenstehende Abbildung). Das Prisma besteht aus leichtem Flintglas mit einem wellenlängenabhängigen Brechungsindex. Für dunkelrotes Licht beträgt der Brechungsindex 1,603, für oranges Licht 1,608, für grünes Licht 1,619 und für violettes Licht 1,645. In einer Entfernung von 100,00 cm hinter dem Prisma befindet sich ein Schirm, auf dem das am Prisma gebrochene Licht wieder aufgefangen wird. Zunächst betrachten wir den Fall einer dunkelroten Lichtquelle. Hinweis: Nutzen Sie für diese Aufgabe das in Aufgabe 1 hergeleitete Snellius sche Brechungsgesetz und beachten Sie zudem, dass für die Lichtgeschwindigkeit in einem Medium mit Brechungsindex n gilt: c n = c 0 n (mit c 0 = 2, m s ). a) Konstruieren Sie den Strahlengang des gebrochenen Strahls an der ersten Grenzfläche nach dem Huygensschen Prinzip. Verwenden Sie einen geeigneten Maßstab. Licht trifft senkrecht auf Grenzfläche = keine Brechung 5

6 c 1 c 2 = n 2 n 1 = λ 1 λ 2 n = λ 1 = 1,603 λ 2 1 b) An welcher Position des zweiten Schenkels des Prismas verlässt der Lichtstrahl das Prisma wieder? sin α sin γ = n 2 = 1,603 ; α = 20 n 1 ( ) sin α γ = arcsin = 12,32 1,603 6

7 Sinussatz: sin(90,00 γ) sin(50,00 + γ) = x 2,000 cm = x = sin(77,68 ) ) 2,000 cm = 2,206 cm sin(62,32 c) An welcher Position trifft der dunkelrote Lichtstrahl auf den Schirm? Betrachte zweite Grenzfläche sin(40,00 γ) sin δ sin 70,00 z = cos 70,00 = = n Luft 1,603 6,000 cm x y 6,000 cm x ( 1,603 sin 27,68 ) = δ = arcsin = 48,13 1 = z = sin 70,00 (6,000 cm 2,206EHcm) = 3,565 cm = y = cos 70,00 (6,000 cm 2,206 cm) = 1,298 cm 7

8 tan(110,00 100,00 cm+y δ) = w = w = = Auftreffpunkt: w z = 50,60 cm unterhalb des Prismenbodens. 100,00 cm+1,298 cm tan(110,00 48,13 = 54,16 cm ) 8

9 d) Nun verwenden wir eine Lichtquelle, die weißes Licht aussendet. Bekanntlich zerlegt das Prisma das weiße Licht so, dass das ganze Farbspektrum auf dem Schirm sichtbar wird. Wie breit ist dieses Spektrum in der gegebenen Anordnung? Führe analoge Rechnung mit n = 1,645 durch: ( ) sin α γ = arcsin = 12,00 1,645 = x sin 78,00 = 2,000 cm = 2,216 cm sin 62,00 ( 1,645 sin(40,00 δ = 12,00 ) ) arcsin = 50,56 1 z = sin 70,00 (6,000 cm 2,216 cm) = 3,556 cm y = cos 70,00 (6,000 cm 2,216 cm) = 1,294 cm = w = = Breite des Spektrums: 100,00 cm+1,294 cm tan(110,00 50,56 = 59,81 cm ) = w z = 56,25 cm 56,25 cm 50,60 cm = 5,65 cm 9

10 4. Doppelspaltexperiment In nebenstehender Abbildung sehen Sie den schematischen Aufbau eines Doppelspaltexperiments. Die beiden Spalte haben einen Abstand von d = 100 µ m und sind L = 1,20 m von einem Schirm entfernt. Von einer weit entfernten Quelle fällt kohärentes Licht der Wellenlänge λ = 500 nm durch die Spalte. Auf dem Schirm sind helle und dunkle Interferenzstreifen sichtbar. Berechnen Sie den Abstand zweier Maxima auf dem Schirm. Aus Skizze: mλ = d sin ϑ = Kleinwinkelnäherung 1. Ordnung, m=1: x 1 = 1 λ L d 2. Ordnung, m=2: x 1 = 2 λ L d = x = x 2 x 1 = 6,0mm = sin ϑ = mλ d = , für 1. Ordnung, m = 1 sin ϑ = tan ϑ = x L = mλ d = 6,00mm = 12,0mm 10

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