MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase

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1 MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase. Februar 0 MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase Hinweis: Von jeder Schülerin bzw. jedem Schüler werden fünf Aufgaben gewertet. Werden mehr als fünf Aufgaben bearbeitet, so werden nur die mit den höchsten Punktzahlen berücksichtigt. Der Lösungsweg muss jeweils klar erkennbar sein. Zugelassene Hilfsmittel sind Taschenrechner, Formelsammlung und Zeichengeräte.. Ein Dreieck ABC habe die Ecken A ( ), B ( )und C ( y ). Finden Sie alle y so, dass der Winkel bei C ein rechter Winkel ist. y C B( ) y A( ) x. Wählen Sie eine dreistellige Zahl. Vertauschen Sie Einerziffer und Hunderterziffer. Ziehen Sie die kleinere von der größeren Zahl ab. Zum Beispiel: 6 und 6 : 6 6 = 96 und : = 99 a) Welchen größten gemeinsamen Teiler haben 96 und 99? Gilt dies auch für andere dreistellige Zahlen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung an drei weiteren Zahlen. b) Beweisen Sie Ihre Vermutung für eine beliebige dreistellige Zahl abc, a c.. Das Herz in der Abbildung besteht aus zwei Halbkreisen über AM und BM, zwei Kreisbögen um M und zwei Kreisbögen um M und M. Die Dreiecke ABC und M M M sind gleichseitig mit AB = M M = a. A M B Berechnen Sie für das Herz a) den Umfang U, b) die Fläche F. M C M Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite /

2 MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase. Februar 0. In einem Halbkreis über AB mit Radius liegt ein Rechteck so, dass zwei Ecken auf AB liegen und die beiden anderen auf dem Halbkreis. Wie muss die halbe Rechteckseite x gewählt werden, damit die Rechteckfläche F(x) möglichst groß wird? A F(x) x B. Ein Würfel und ein Oktaeder durchdringen sich so, dass die Kantenmitten zusammenfallen (siehe Abbildung). a) Der Würfel habe die Kantenlänge a. Welche Kantenlänge s hat das Oktaeder? b) Welche Oberfläche O hat das Oktaeder? c) Welche Oberfläche hat die Vereinigung von Würfel und Oktaeder, d. h. die Fläche aller sichtbaren Dreiecke? 6. a) Zeichnen Sie im. Quadranten die beiden Parabeln y = x und y = x. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P(a b). b) Zeichnen Sie im x,y-koordinatensystem die Funktion f (x) = { 0 für x < und für x > x für x Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite /

3 MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase. Februar 0. Die Konstruktion des Baumdiagramms erfolgt nach der Regel a a+b a b a+b b Eltern Kinder Jeder Bruch hat zwei Kinder. Das linke Kind ist ein Bruch kleiner, das rechte größer. Zum Beispiel haben die Kinder und die Eltern. a) Berechnen Sie die 6 Brüche in der nächsten Reihe. b) Welche Kinder hat? c) Welche Eltern hat? d) Welches sind die Großeltern von?. Das abgebildete Mobile ist nicht im Gleichgewicht, da Kreis, Quadrat und Dreieck unterschiedliche Gewichte sind. Aus < (links), < (rechts) und + < + (insgesamt) folgt < <. Welche Ungleichung für die unterschiedlich geformten Gewichte folgt aus dem abgebildeten Mobile? Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite /

4 MW- E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase Lösungen Lösungen zum Mathematikwettbewerb der Einführungsphase 0.. Lösung: Die Steigungen von AC und BC sind y Wegen AC BC gilt y y =. bzw. y. Aus ( y )( y) = folgt y y + = 0 und somit 0 = y y+ = ( y )( y ), also y = oder y =. P.. Lösung: Es gilt AB = ( ) +( ) = 0 und AB = AC +BC = +( y ) + +( y) = y 6 y+0. Aus y 6 y+0 = 0 folgt 0 = y y+ = ( y )( y ) und somit y = oder y =.. a) 9-9 = 9 = = 9 = = 69 = 99 Vermutung: Die Differenz ist immer durch 99 teilbar. b) abc cba = 00a+0b+c (00c+0b+a) = 99 (a c).. a) U = π a+ π a 6 = π a b) F= π ( a ) ( a) + = ( a + π ) Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite /

5 MW- E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase Lösungen.. Lösung: F (x) = x x = ( x ). F (x) wird maximal für x =.. Lösung: F (x) = x x = x x. Aus F ' (x) = x( x ) x x = 0 folgt x =. Da F (0) = F () = 0 und F (x) > 0 für 0 < x <, ist x = ein Maximum. P.. a) Die Kantenlänge des Oktaeders ist s = a. P. b) Die Oberfläche besteht aus gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge s. Also ist O = s = a. c) Die Oberfläche besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge a und gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecken mit Kathetenlänge a. Also ist die gesamte Oberfläche ( ( a ) + ( a ) ) = a ( +). P. P. 6. a) Aus b = a und b = a y folgt a = und b =, also P ( ). Die gesuchte Kantenlänge ist. P(a b) x b) Für < x, ist f (x) = + (x ) = x. Für, < x < ist f (x) = (x ) = x+6. f (x) x Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite /

6 MW- E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase Lösungen. a) P. b) 6 und 6 P. c) Aus = a a+b folgen die Eltern a b = 6. P. d) Aus 6 = a+b b folgen die Eltern a b = 6. Also hat die Großeltern 6. P.. Aus + < (links) folgt < Aus + < + (rechts) folgt < Aus + + < + + (insgesamt) folgt < Also < < P. Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von: in Kooperation mit: unterstützt durch Seite /

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