Übersicht Analytische Geometrie (ohne Matrizen)

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1 Übersicht Analytische Geometrie (ohne Matrizen) F Vektorrechnung F1 Verschiebungen durch Vektoren sowie Punkte im Raum durch Ortsvektoren und Vektorketten beschreiben und damit realitätsnahe Situationen mathematisch modellieren. F Das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen und damit entscheiden, ob die Vektoren zueinander orthogonal sind. F3 Längen von Strecken im Raum und den Betrag von Vektoren berechnen. G Geraden und Ebenen im Raum Parameterdarstellungen für Geraden aus zwei gegebenen Punkten ermitteln sowie überprüfen, ob ein Punkt auf einer gegebenen Gerade liegt (Punktprobe) und die Ergebnisse G1 im Sachzusammenhang interpretieren. Geraden auf ihre gegenseitige Lage untersuchen und möglicherweise vorhandene G Schnittpunkte bestimmen. Parameterdarstellungen für Ebenen aus drei gegebenen Punkten ermitteln sowie überprüfen, ob ein Punkt auf einer gegebenen Ebene liegt (Punktprobe) und die Ergebnisse G3 im Sachzusammenhang interpretieren. Koordinatengleichungen für Ebenen ermitteln und damit Ebenen anhand ihrer Spurpunkte G4 im Koordinatensystem darstellen. Schnittprobleme zwischen Geraden und Ebenen in Sachzusammenhängen (z.b. bei G5 Schattenwürfen) untersuchen. G6 Ebenen auf ihre gegenseitige Lage untersuchen. H Abstände, Volumina im Raum Den Flächeninhalt eines Dreiecks und das Volumen von Pyramiden und Prismen bestimmen. H H7 Mithilfe des Vektorprodukts Normalenvektoren bestimmen. Übergreifende Aufgaben 3. Klausur Q1 Aufgabe Klausur Q1 Abituraufgabe: Quader mit aufgesetzer Pyramide Abituraufgabe Berechnungen am Tetraeder Abitour: 37 Fragen mit Lösungen zur analytischen Geometrie

2 F1 Verschiebungen durch Vektoren sowie Punkte im Raum durch Ortsvektoren und Vektorketten beschreiben und damit realitätsnahe Situationen mathematisch modellieren. Regeln Den Vektor AB kann man als eine Verschiebung interpretieren, die den Punkt A auf den Punkt B abbildet. Allgemein ist ein Vektor eine gerichtete Größe. In der analytischen Geometrie ermittelt man meistens einen Punkt P, indem man den Ortsvektor OP mit Hilfe einer Vektorkette ermittelt, z.b. OP OB BC CP. (Beachte die Dreiecksregel.) 1 1 Beispiel: A( 4 4), B(1 6 5) AB ( 4) 9 Typische Anwendungsaufgaben Drei Punkte zu einem Quadrat/Rechteck ergänzen. Restliche Eckpunkte eines Körpers (z. B. Quaders, Prismas) ermitteln. Überprüfen, ob ein Viereck ein Parallelogramm /ein Trape ist. Mittelpunkte, Schwerpunkte bestimmen Beachte: Mittelpunktsformel lautet 1 OM AB (OA OB)! Vektorkette beginnt (zunächst) im Ursprung OP O Richtung des Vektors beachten 1. Beispiel: Die nebenstehende Figur zeigt eine quadratische Pyramide, d. h. das Viereck ABCD ist ein Quadrat. Drücke die Vektoren AB, BC, DA. CD und SD durch die Vektoren SA, SB und SC aus. Lösung AB = SA +SB ; BC = SB +SC ; DA = BC =SB SC ; CD = AB = SA SB ; SD = SC +CD = SC + SA SB ;. Beispiel Gib mit Hilfe der eingezeichneten Eckpunkte an: (Du kannst gegebenenfalls Mittelpunkte in der üblichen Art benutzen, z.b. M AB als Mittelpunkt von AB.) a) b c b) c a c) a c 0,5b Drücke durch a, b und c aus: d) AD = e) EM CG = Lösung: 1a) b c OD b) c a= AC c) a c 0,5b AM FG

3 3. Beispiel Gegeben sind A(13 5 3), B (11 3 1), C (5 3 7) und S 1 (13 1 9) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte P 6 und P 8 des abgebildeten Würfels, falls die Eckpunkte des Oktaeders auf den Mittelpunkten der Seitenflächen liegen. Lösung: Beachte: AB S1P 6; BA S1P 8, da die Pfeile gleich lang, gleich orientiert und parallel sind. OP6 OS1 OP8 OS1 AB = BA = F Das Skalarprodukt (SP) zweier Vektoren berechnen und damit entscheiden, ob die Vektoren zueinander orthogonal sind. Regeln Rechnerische Ermittlung des SP: a d b e ad be cf c f Skalarprodukt = 0 Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Bei Formulierungen wie senkrecht oder orthogonal sollte man immer an diesen Satz denken. Typische Anwendungsaufgaben Zeige, dass das Viereck ein Rechteck ist / ein Drachenviereck / eine Raute ist. (Beim Drachenviereck stehe die Diagonalen senkrecht aufeinander.) Zeige, dass eine Strecke (z.b. in einer Pyramide) eine Höhe ist. (Die Strecke steht senkrecht auf zwei nicht kollinearen Richtungsvektoren) Zeige, dass die Ebenen senkrecht aufeinander stehen. (NV müssen senkrecht aufeinander stehen.) Zeige, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft. (NV und RV müssen senkrecht aufeinander stehen.) Beachte: Das Skalarprodukt ergibt (im Unterschied zum Vektorprodukt) immer eine Zahl, nie einen Vektor.

4 1 Beispielsaufgabe Gegeben sind die Punkte A( ), B( ), C( ) und D( ). a) Untersuche, ob ABCD ein besonderes Viereck ist. Lösung: 0 DC 0 0 = AB ABCD ist ein Parallelogramm. 0 0 AB AD =0 ABCD ist ein Rechteck. AB 400 AD ABCD ist kein Quadrat. b) Untersuche, ob ABCDS mit S( ) eine gerade Pyramide ist. Lösung: 0 M AC ( ) SM 5 AC 1000 ABCDS ist eine gerade Pyramide. ; SMAC AB SMAC AD SMAC E ABD

5 F3: Längen von Strecken im Raum und den Betrag von Vektoren berechnen. Regeln Die Länge/der Betrag eines Vektors berechnet sich mit a = a b a b c Typische Anwendungsaufgaben Zeige, dass ein Quadrat, ein regelmäßiges Sechseck, vorliegt. Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig/gleichseitig ist. Ein gegebener Vektor a soll - ohne Richtung und Orientierung zu ändern - auf ein bestimmtes Maß verlängert oder verkürzt werden (Ergebnis: Vektor b ) Vektor a 0 mit Länge 1 und gleicher Richtung wie a ermitteln: a 0 = a a c Vektor b mit Länge x und gleicher Richtung wie a ermitteln: b = a a x = a o x Geschwindigkeit bei einer Fluggeraden bestimmen. ( Betrag des RV in LE ZE ) Beispielsaufgabe Gegeben sind die Punkte A( 5 4), B(3 8 7), C(8 5 6). a) Überprüfe, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist, d.h. gleich lange Seiten hat. b) Bestimme D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist. c) Untersuche, ob der Mittelpunkt M AC gleich dem Mittelpunkt M BD ist. d) Bestimme den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. e) E teilt BC von B aus im Verhältnis 3:1. Ermittle E. f) Damit drei Punkte ein echtes Dreieck bilden dürfen sie nicht auf einer Geraden liegen. Beschreibe ein Verfahren, wie man mit Hilfe der Vektorrechnung rechnerisch überprüfen kann, ob drei Punkte E, F und G auf einer Geraden liegen. Lösung: a) 8 AB ; 3 Alle Seiten sind verschieden lang b) OD OA BC = c) AC 1,5 OM 1,5 5 ; BD ,5 OM 1, AC 7 ; D(0 11 3) 5 BC Die beiden Mittelpunkte sind gleich, d.h. die Diagonalen halbieren sich. (Das ergibt sich eigentlich schon aus der Parallelogrammeigenschaft aus b)). 1

6 1 d) OS (OA OB OC) = 3 e) 5 / 3 17 / 3 S( ) 0 5 3, OE OB BC , ,5 ; E(3, ,5) f) Die Vektoren EF und FG müssen in die gleiche Richtung zeigen, d. h. es muss EF k FG für eine Zahl k gelten (die Vektoren müssen kollinear sein). 3. Beispielaufgabe Gegeben sind zwei Flugbahnen 100 0,1 g : x(t) 550 t 8,75 1,5 ; 53 h : y(t) 410 t 30 43,75 4 t in min seit 1.00 Uhr, x(t), y(t) in m. a) Berechne die Positionen P und Q, in denen sich die beiden Flugzeuge um 1.50 Uhr befinden. b) Berechne außerdem den Abstand der beiden Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt. Lösung (i) OP x(50) 1450 ; OQ y(50) 1910 ; P( ,75) Q( ,75) 153,75 43,75 (ii) PQ ,30 [m]

7 G1 Parameterdarstellungen für Geraden aus zwei gegebenen Punkten ermitteln sowie überprüfen, ob ein Punkt auf einer gegebenen Gerade liegt (Punktprobe) und die Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretieren. Regeln Parameterform einer Geraden durch A und B: g(a,b): x OA r AB, r IR. Beispiel: A( 4 4), B(1 6 5) g(a,b): 1 x 4 r Punktprobe: ein Punkt C liegt auf g, wenn OC OA r AB erfüllt ist, d.h. wenn das LGS aus drei Koordinatengleichungen mit einer Variablen erfüllt ist. Beispiel: 1 1 P( 1 6 3) g(a,b), da 4 r 10 6 für r=3 gilt Q(5 34 ) g(a,b), da aus 4 r folgt: r= 3 r= 3 r= Spezialfall: liegt ein Punkt auf einer Strecke? Ein Punkt C liegt auf AB, wenn OC OA r AB für 0 r 1 erfüllt ist. Beispiel: der Punkt P( 1 6 3) liegt nicht auf der Strecke AB. G Geraden auf ihre gegenseitige Lage untersuchen und möglicherweise vorhandene Schnittpunkte bestimmen. Regeln Mögliche Lage von Geraden zueinander: echt parallel, identisch, schneidend, windschief Vorgehen, um die Lage von g: x a r b und h : x c r d zueinander zu untersuchen: Sind die RV kollinear (das kann man i. A. ohne Rechnung sehen), so sind die Geraden parallel. Die zusätzliche Punktprobe c a r b zeigt dann, ob sie echt parallel oder identisch sind. Sind die RV nicht kollinear, so versucht man den Schnittpunkt zu ermitteln: hat das LGS aus 3 Gleichungen und Unbekannten eine Lösung (TR errechnet diese Lösung), so schneiden die Geraden sich, ansonsten (TR zeigt Error ) verlaufen sie windschief. Typische Anwendungsaufgaben Fluggeraden ermitteln Untersuchen, ob sich die Bahnen kreuzen Untersuchen, ob es (trotzdem nicht) zu einem Zusammenstoß kommt. Untersuchen, ob sich Diagonalen/Strecken in einem Körper schneiden. Unnötige Arbeit: es soll nur Parallelität nachgewiesen werden soll, der Schüler untersucht aber zusätzlich ob sogar Identität vorliegt.

8 Beachte: Bei der Untersuchung von zwei Geraden müssen ggf. die Parameter unterschiedlich benannt werden. 1. Beispiel Gegeben sind zwei Flugbahnen 100 0,1 g : x(t) 550 t 8,75 1,5 53 h : y(t) 410 t 30 43,75 4 ; t in min; gleiche Zeitrechnung a) Zeige, dass die Flugbahnen sich kreuzen. b) Begründe, ob es zu einem Zusammenstoß beider Flugzeuge kommt. Lösung: a) RV sind nicht kollinear (=( 0) ( 0,1); 4 (-0) ( 1,5)) g h: 0,1t r= 47 t+30r=140 1,5t 4r= 185 t=70 r=0 140=140 Die Geraden schneiden sich im Punkt S( ,75). b) Keine Kollision, da das erste Flugzeug 50 Minuten später am Schnittpunkt ankommt. Beispiel Untersuche die Lagebeziehung von g, h und k 3 0,5 1 1 g : x r Lösung: 5 1 ; h: x 1 s 4 1 ; k: 1,5 x 3 r u 1, u und u3 seien die Richtungsvektoren der drei Geraden g, h und k. Man sieht, dass u u 1, u3 3 u 1 ist. die RV sind kollinear und damit sind die Geraden g, h und k parallel. Gilt g=h? r Gilt g=k? 3 1,5 3 r Gilt h=k? 1 1,5 1 3 r r= r= 3 4 r= 3 r= 5 6 r= 3 r=1 3 g und h sind echt parallel. g und k sind echt parallel. h und k sind echt parallel.

9 G3: Parameterdarstellungen für Ebenen aus drei gegebenen Punkten ermitteln sowie überprüfen, ob ein Punkt auf einer gegebenen Ebene liegt (Punktprobe) und die Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretieren. Regeln Drei Punkte A, B, C, die nicht auf einer Geraden liegen ( AB und AC sind nicht kollinear), legen eine Ebene E fest. E: x OA AB AC,, IR. (Parameterform der Ebene) Es gibt aber unendliche viele verschiedene Parameterdarstellungen für eine Ebene, da man beliebig andere Punkte der Ebene wählen kann. Der SV wird häufig auch als x 0, die RV als u und v bezeichnet, also E: x x0 u v Beispiel: A(3 3 7), B ( 3 4 9) und C(0 0 13) E ABC : x OA r AB s AC = 3 r 1 s Um herauszufinden, ob ein Punkt in einer bestimmten Ebene liegt, führt man eine Punktprobe durch: man untersucht, ob der Ortsvektor des Punktes die Ebenengleichung erfüllt. Beispiel: r 3s 15 P( 1 17) E ABC? 3 r 1 s 3 = r 3s r 6s 10 Die ersten beiden Gleichungen (mit TR gelöst) ergeben r= s=1 Kontrolle der 3. Gleichung: =17 P E. Beachte: Ist eine Ebene durch einen Punkt und eine Gerade oder zwei sich schneidende Geraden festgelegt, so kann man sich notfalls drei Punkte der Ebene (die nicht auf einer Geraden liegen) berechnen. G4 Koordinatengleichungen für Ebenen ermitteln Regeln a) Gegeben sind drei Punkte A, B, C: Zunächst ermittelt man eine Parameterform (PF) der Ebene, z. B. E: x OA r AB s AC (Falls die Ebene durch eine Gerade und einen Punkt oder durch zwei sich schneidende Geraden festgelegt ist, kann man notfalls drei Punkte (die nicht auf einer Geraden liegen) berechnen.) Nun ermittelt man einen Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren n AB x AC ; Es gilt nun E: n x n OA = c n 1 x + n y + n 3 z = c. Beispiel: A(3 3 7), B ( 3 4 9) und C(0 0 13) E ABC : x OA r AB s AC = 3 r 1 s 3 (Parameterform) 7 6

10 n 1 x 3 = 30 ; noa 73 ; E: 30 x 73 (Normalenform) x + 30y +1z = 73 4x+10y + 7z = 91 (Koordinatenform) Beachte: Wenn A, B, C auf einer Geraden liegen, bilden sie keine Ebene, weil die RV sind kollinear sind. (Den Fehler bemerkt man i. a. dann, wenn der mit Vektorprodukt gebildete NV gleich dem Nullvektor ist.) Umständliches Vorgehen: Man erkennt nicht, dass ein NV gegeben ist und nimmt den langwierigen Weg. Koordinatenebenen und deren Parallelen werden nach umständlich ermittelt anstatt sie ohne Rechnung anzugeben, z.b.: die x 1 y -Ebene hat die Gleichung z=0. Typische Anwendungsaufgaben Seiten und Schnittflächen von Körpern Beispiel: Gegeben sind die Punkte B(3 3 7), C ( 3 3 7) und S(0 0 13) Berechne eine Gleichung der Ebene E durch B, C und S in Normalenform. [Zur Kontrolle: E: x + x 3 13 = 0 ] Beispiel: Die Ebene E enthält den Punkt C ( 3 3 7) und ist orthogonal zur Geraden g durch A (3 3 7) und S(0 0 13). Ermittle eine Gleichung der Ebene E. [Zur Kontrolle: E: x 1 + x + x 3 = 0] 3 Lösung: Der RV AS 3 von g ist ein NV von E. E: 6 3x+3y+6z=60 x+y+z= x 3 3 =

11 G4 Ebenen anhand ihrer Spurpunkte im Koordinatensystem darstellen. Regeln -10 Y = 1 10 Zum Zeichnen einer Ebene ermittelt man die Achsenabschnitte -10 Z = (Spurpunkte) und verbindet diese 4,5 10 Punkte. Die Spurpunkte kann man aus der -0,5*X + Y Koordinatenform der Ebene -,5 ablesen, wenn man berücksichtigt, -0,5*X + Z dass immer 1 zwei der drei Koordinaten 0 sein müssen. Beispiel: E: x+3y+4z= 1 x=y=0 z= 3 S z (0 0 3) y=z=0 x= 6 S x (6 0 0) x=z=0 y= 4 S y (0 4 0) -10 X = X' = 1 10 x 6 z 3 4 y Wenn es einen/zwei Achsenabschnitt(e) nicht gibt, so verläuft die Ebene parallel zu dieser/diesen Achse(n): x+z=4 verläuft parallel zu y-achse. y=4 verläuft parallel zur x- und z-achse, also parallel zur xy-ebene. Typische Anwendungsaufgaben Seiten und Schnittflächen von Körpern (häufig spezielle Ebenen) Beachte: Eine Normalenform einer Geraden im IR 3 gibt es nicht, Normalenformen im IR 3 sind immer Ebenen! Umständliches Vorgehen: man erkennt nicht, dass ein NV schon gegeben ist und nimmt den langwierigen Weg über a) Koordinatenebenen und deren Parallelen werden nach a) ermittelt anstatt sie ohne Rechnung anzugeben, z.b.: die xy-ebene hat die Gleichung z=0. Beispiel Ermittle zur Ebene E: 3x+4y+z=4 die Achsenabschnitte (Spurpunkte). Lösung: y=z=0 x=8 S x (8 0 0); entsprechend: S y (0 6 0) S z (0 0 1)

12 G5 Schnittprobleme zwischen Geraden und Ebenen in Sachzusammenhängen (z.b. bei Schattenwürfen) untersuchen. Regeln Mögliche Lagebeziehungen: Gerade liegt in der Ebene Gerade verläuft echt parallel zur Ebene Gerade schneidet die Ebene (Spezialfall: Gerade schneidet die Ebene senkrecht) 1. Ebene ist in KF oder NF gegeben Gerade und Ebene verlaufen parallel, wenn der RV senkrecht auf dem NV steht. Eine Punktprobe entscheidet in diesem Fall, ob echte Parallelität vorliegt oder die Gerade in der Ebene verläuft. Steht der RV nicht senkrecht auf dem NV, so gibt es einen Schnittpunkt. Diesen ermittelt man, indem man die Gerade als einen Vektor schreibt, die x/y/z Koordinate in die Ebenengleichung einsetzt und die lineare Gleichung mit einer Variablen löst.. Ebene ist in PF gegeben Hier sollte man entscheiden, ob es sich nicht lohnt die PF in eine NF umzuwandeln. Falls es sich nicht lohnt: Man versucht den Schnittpunkt zu ermitteln (LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten TR) Falls es keinen Schnittpunkt gibt, entscheidet eine Punktprobe über die Art der Parallelität. Typische Anwendungsaufgaben Geraden als Umrisse von Schatten Eckpunkte des Schattenumrisses sind Schnittpunkte der Geraden. Lotgeraden / Höhengeraden 1. Beispiel: 1 Zeige, dass die Ebene E : 3 x 10 die Gerade durch R(0 4) und S(4 0) enthält t 1. Lösungsweg: g(r,s): x t 0 ; Einsetzen in E: x+3y+z= t 4t t=10 10=10 g liegt in E Lösungsweg: 3 0 =0 g E; g verläuft in E, wenn ein Punkt von g in E liegt. 1 4 R E =10 10=10 g liegt in E 3. Lösungsweg: R und S liegen in der Ebene die Gerade durch R und S muss vollständig in der Ebene Liegen.

13 .. Beispiel Eine von einem Punkt M ( ) ausgehende Gerade g, die in Richtung durchstößt die Ebene E BCS mit B(3 3 7), C ( 3 3 7) und S(0 0 13) im Punkt M*. Ermittle die Koordinaten des Punktes M *. 0,5 5 zeigt, 3. Lösung g: x 7 +t,5 ; E: x 3 r 0 s 3 ; E g: t=1,6 s=0 r = 0,5 M*(0 3 7) 6r 3s 3 3s,5t 4 6s 5t 8

14 4. Beispiel 3 1 Untersuche, wie die Gerade k: x 3 t 1, t IR, zur xy-ebene verläuft Lösung: k verläuft wegen z=13 (echt) parallel in einem Abstand von 13 LE zur xy-ebene.

15 G6 Ebenen auf Parallelität untersuchen. Ebenen in Koordinatenform sind identisch, wenn ihre Gleichungen äquivalent sind. Beispiel E: x-4y+4z=1; F: -6x+1y-1z = -36 E = F, da x-4y+4z=1 /(-3) -6x+1y-1z=-36 Ebenen in Koordinatenform sind parallel, wenn ihre NV kollinear sind. E: x-4y+4z=1; F: 6x+1y-1z = 36 E F, da 6 4 ( 3) Geraden und Ebenen im Raum: Flussdiagramm für die Lagebeziehung: JA Sind die NV kollinear?? NEIN JA Ebenengleichungen äquivalent? NEIN Ebenen schneiden sich Ebenen sind identisch Ebenen sind echt parallel

16 H Den Flächeninhalt eines Dreiecks und das Volumen von Pyramiden und Prismen (auch nach elementaren Methoden) bestimmen. Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks ABC mit Basis AB A = 1 g h = 1 AB M C AB Volumen einer Pyramide: V = 1 3 G h (1 3 Grundfläche Höhe) Aufgabe Durch O(0 0 0) und G(4 4 4) ist der abgebildete Würfel mit der Kantenlänge 4 festgelegt (Bild 1). Eingezeichnet sind die Mittelpunkte P(4 0 ), Q( 0 4), R(0 4) und S(4 0) von vier Würfelkanten. Alle Ecken der Figuren in Bild 1 und Bild haben ausschließlich die Koordinaten 0, oder 4. Ermittle das Volumen der Pyramide, die das Sechseck als Grundfläche und den Punkt G als Spitze hat. H6 Das Vektor/Kreuzprodukt berechnen Regeln Berechnung des Vektorprodukts: a b 1 1 a b a b 3 3 a b = a b a b a b a b a b Streichregel: Schreibe die Vektoren zweimal untereinander, streiche erste und letzte Zeile und bilde die drei Determinanten aus.und 3. bzw. 3. und 4. bzw. 4. und 5. Zeile Achtung! Bei diesem Verfahren wird das Vorzeichen bei der. Determinante nicht umgekehrt!

17 Übergreifende Aufgaben Abiturprüfung 009 HT4 Mathematik, Grundkurs Auf einen Quader mit der Grundfläche in der x 1 x Ebene ist eine Pyramide mit folgenden Eckpunkten aufgesetzt: A(3 3 7), B( ), C( ), D( ) und S( ) (siehe nebenstehende Abbildung). a) Die Ebene E 1 verläuft durch die Mitte der Pyramidenkanten SB bzw. SD und den Punkt C. Die Pyramidenkante AS liegt auf einer Geraden g. (1) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene E 1 in Parameterform. () Geben Sie eine Gleichung für die Gerade g an. (3) Zeigen Sie, dass die Gerade g die Ebene E 1 rechtwinklig schneidet. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E 1 in Koordinatenform. (1 Punkte) b) (1) Zeigen Sie, dass es sich bei der Pyramide ABCDS um eine quadratische Pyramide handelt, und berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS. () Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Mantelfläche der Pyramide. (14 Punkte) c) Die Dreiecksfläche BCS liegt in einer Ebene E. (1) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene E in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Punkte F 1 (0 1 11), F (1 9) und F 3 ( 1 9) in der Ebene E liegen. [Zur Kontrolle: E : x + x 3 13 = 0] () Zeigen Sie, dass das Dreieck F 1 F F 3 gleichschenklig ist. (13 Punkte) 0 4 d) Die Gerade h ist durch folgende Gleichung gegeben: h: x 5 t , t IR. (1) Bestimmen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes L der Geraden h mit der Ebene E aus Teilaufgabe c)(1). [Zur Kontrolle: L( ) ] () Weisen Sie nach, dass der Punkt L auf der Seitenkante BS des Dreiecks BCS liegt.

18 Lösungsweg HT4 009 a) (1) Mittelpunkte M SB und M SD berechnen; E: x OC r CMSB CM SD () g: x OA t AS (3) Koordinatenform: n CMSBxCM SD ; c =n OA ; E: n 1 x 1 +n x +n 3 x 3 = c Rechtwinkliger Schnitt: z.z: n k AS(NV und RV müssen kollinear sein.) b) (1) AB DC(Parallelogramm); AB AD (Raute); AB AD 0(Quadrat) V = 1 3 G h = 1 3 AB (13 7) () M = 4 AB 7 c) (1) Koordinatenform:n BCxBS; c =n OB; E : n 1 x 1 +n x +n 3 x 3 = c () Zeige: zwei der VektorenFF 1, FF 1 3 und FF 3sind gleich lang. d) (1) In die KF von E für x 1 = 4t, für x =5+11t und für x 3 =15+14t einsetzen; Gleichung nach t auflösen und in h einsetzen. () Punktprobe für L und die Gerade g: x OB r BSmachen; Der Parameterwert für r muss aus dem Intervall [0; 1] sein.

19 Übungsaufgaben Dreiecke und Vierecke Aufgabe 1 Gegeben sind die Punkte A(4 1 1), B(7 1 0), C(4 7 3), D(1 1 0) und F(3 0 6). F I a) Zeichne zunächst das Viereck ABCD in ein Standard Koordinatensystem. b) Zeige rechnerisch, dass die Dreiecke ABD und BCD G gleichschenklig sind. c) Berechne den Schnittpunkt M der Geraden g(b,d) und h(a,c). A D H Welche besondere Lage hat M? d) Bestimme den Punkt E so, dass BEDA ein M Parallelogramm ist. Welches besondere Parallelogramm liegt vor? e) Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(4 3 1) B auf der Geraden h(a,c) liegt. C f) Ermittle den Flächeninhalt des Vierecks ABCD. g) Durch das Viereck ABCD und den Punkt F wird ein Prisma festgelegt (siehe Zeichnung; die Flächen ABCD und FGHI sind parallel). Bestimme die Koordinaten der Punkte G, H und I und trage die Punkte in deine Zeichnung ein. Verbinde so wie in der Skizze zu einem Prisma. h) Ermittle die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke BH. i) Untersuche, ob das Viereck BCHG ein Rechteck ist. j) Um wie viel Prozent ist die Strecke AM kürzer als die Strecke AC? Lösung Aufgabe 1 Drachenprisma a) Zur Kontrolle: Koordinaten der Punkte im xy Koordinatensystem: A ( 3 1); B (,5 3,5); C (5 5); D (0,5 0,5); F ( 1,5 4,5) b) AB 14 ; AD 14 ; BC 6 54 ; DC c) Nach b) ist ABCD ein Drachenviereck, sodass M auf der Mitte von BD liegt M(4 1 0) d) OE OB AD = 1 3 ; E(4 3 1). DA ABED ein Parallelogramm ist und zudem nach Aufgabe b) AB AD gilt, muss ABED (mindestens) eine Raute sein. Ist das Viereck sogar ein Quadrat? Dazu müssten zusätzlich die Diagonalen gleich lang sein: 0 6 AE 4 0 BD 0 6 ABED kein Quadrat. 0 e) Da das Viereck ABCD ein Drachenviereck ist, und P gleich E ist, muss der P auf der Diagonalen liegen. f) A Drachenviereck = 1 e f (halbes Produkt der Diagonalen): A = 1 AC BD = = ,83 FE

20 1 g) Alle Punkte des Drachens werden mit dem Vektor AF = 1 verschoben: 5 OG OB AF ; G(6 5) ; OH OC AF ; H(3 8 ) ; OI OD AF ; I(0 5) h) M BH (5 4,5 1) 4 i) BH 7 69 j) AC 80 (s. o.); CG 5 93 Diagonalen verschieden lang kein Rechteck 8 0 AM 5 ; 1 5 0,5 ; AM ist um 75% kürzer als AC. 80

21 Berechnungen am Tetraeder In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 9 4 ), B( 3 8 ), C( ), P( 3 4 ) und Q( 3 1 ) gegeben. a) (1) Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. () Berechnen Sie je eine Gleichung der Ebene E ABC, die A, B und C enthält, in Parameter- und Koordinatenform. [Zur Kontrolle: E ABC : x 1 + x + x 3 = 3 ] (11 Punkte) b) Der Punkt S(1 0 ) ist der Schwerpunkt des Dreiecks ABC. Zeigen Sie, dass die Gerade g, die durch P und Q verläuft, die Ebene E ABC in S senkrecht schneidet. (9 Punkte) c) Das Dreieck ABC soll Seitenfläche eines regelmäßigen 1 Tetraeders ABCD sein. (1) Bestimmen Sie die beiden Punkte der Geraden g aus Teilaufgabe b), die als vierter Eckpunkt D des Tetraeders ABCD in Frage kommen. Das regelmäßige Tetraeder ABCD mit D(9 8 10) als viertem Eckpunkt ist einem Würfel einbeschrieben, wie in der Abbildung auf Seite dargestellt. () Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von der Ebene E ABC und das Volumen des Tetraeders ABCD. (15 Punkte) d) (1) Geben Sie die Koordinaten der Mittelpunkte M AD, M DB, M BC und M CA der Strecken AD, DB, BC und CA an. () Zeigen Sie, dass das Viereck M AD M DB M BC M CA ein Quadrat ist. (3) Der Punkt T(3 4) ist der Mittelpunkt des Quadrates M AD M DB M BC M CA. Ermitteln Sie den Abstand dieses Punktes T von der Kante CD des Tetraeders. 1 Alle vier Flächen eines regelmäßigen Tetraeders sind gleichseitige Dreiecke.

22 Lösungen zu Aufgabe Berechnungen an einem Tetraeder a) (1) Alle drei Seiten sind 1 LE lang. a) () PF x OA r AB s AC = KF: n x noa x 1 +x + x 3 = r 1 s 0 ; b) Da S in E (1+=3) und auf g liegt (t = =0,4), ist S Schnittpunkt. 5 schneidet g die Ebene senkrecht in S. Weil zusätzlich der RV von g kollinear zum NV der Ebene ist (PQ = -5 n), erfolgt der Schnitt rechtwinklig. c) D muss auf der Lotgeraden g: OS t n und AS 88 sein. D(1+t t +t); t 8 AD t 4 3t 0 t t = 19 t = 8 v t = -8 D 1 (9 8 10), D ( ) t 4 Alternative: Berechnung der Höhe SD mit Pythagoras: Das Dreieck ASD ist rechtwinklig, die Hypotenuse ist AD = AS = lang. Damit ist die Höhe des Tetraeders 88 und die eine Kathete 1 h = DS = lang. D liegt von S aus 8 3 LE in Richtung n = 1 entfernt. 1 Da n 3ist, muss nmit ±8 multipliziert werden: OD OS 8 n 1 d) (1) OW OMCD AB W( ) (Achtung! Man kann W aus der Zeichnung ablesen, wenn man nachweist, dass die Kanten des Würfels parallel zu den Achsen verlaufen.) () M AB (3 ); M BC ( 3 4); M CD (3 10); M DA (9 4); (3) MABMBC 7 = MDAM CD Das Viereck ist ein Parallelogramm. M M MABM BC AB DA = =0 Rechter Winkel / Rechteck gleich lange benachbarte Seitenlängen: MABMAD MABMBC 1 Quadrat (4) T(3 4) ist der Mittelpunkt der Strecke AW und somit der Mittelpunkt des Würfels. Daher ist der gesuchte Abstand eine halbe Würfellänge : d(t, AD) = 6 LE.

23 k: x OA t AH 1 t 9 ; h: x OB r BI 1 r 1 ; und. Gl. mit TR: 9 1 ; t= ,7; r=9 6 0,47 Kontrolle der 3. Gleichung: = = (f) kein Schnittpunkt; die Geraden verlaufen windschief.

24 Q1 M5 Cn 4. Klausur Name: Untersuche die Lagebeziehung der Geraden (echt parallel; identisch; schneidend; windschief) und berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt. (Bei Lösungen mit TR Koeffizientenmatrix angeben!) a) g und h b) g und k g: x r ; h: x 4 s 4 ; k: x 6 t Der geradlinige Kurs eines Flugzeuges, das mit konstanter Geschwindigkeit fliegt, wird in einem Koordinatensystem durch g: x(t) 800 t 80 wiedergeben Dabei gibt t die Zeit in Sekunden an und die Komponenten der Vektoren sind m-angaben. a) Berechne jeweils die Position des Flugzeugs nach 0 s; 10 s; 3 min; 1h. b) Begründe, ob sich das Flugzeug in der Startphase, im Horizontalflug oder in der Landephase befindet. c) Berechne mit Hilfe von a), wie viel km das Flugzeug in 1 Stunde zurücklegt. d) Untersuche, ob das Flugzeug den Punkt Q( ) durchfliegt. 3. Eine ägyptische Pyramide hat die Form einer senkrechten, quadratischen Pyramide. Die Seitenlänge des achsenparallelen Quadrats beträgt 144 m, die Höhe 90 m (siehe Grafik). a) Gib die Koordinaten der Eckpunkte A, B, C, D und S an. b) Berechne die Länge der Seitenkante AS. c) Zum Schutz gegen Verwitterung sollen die Seitenflächen mit einem Imprägniermittel behandelt werden. Ein Unternehmer verlangt dafür Euro pro Quadratmeter. (i) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABS. (ii) Berechne die Kosten für die gesamte Pyramide. d) Ermittle rechnerisch, wie hoch die Pyramide sein müsste, damit die Seitenkanten so wie die Grundkanten auch 144 m lang sind. 4. Gegeben ist ein Viereck ABCD mit A( 4 6), B(6 ), C(4 6 ) und D(0 8 ). a) Zeige, dass das Viereck ein Quadrat ist und bestimme den Mittelpunkt M des Quadrates. b) Untersuche, ob die Gerade durch M und P(5/7/3) die Diagonale AC und / oder die Diagonale BD senkrecht schneidet. c) Begründe, wie man ohne Rechnung nachweisen kann, dass Punkt P(4 3,5 4,5) nicht auf der Strecke AC liegt. Viel Erfolg!

25 Q1 M5 Cn 4. Klausur Lösungen a) Die RV sind nicht kollinear: 3 6 k r = 4 s k= k = g und h schneiden sich oder verlau- 3r 6s (I) fen windschief. g h: r 4s 6 (II) 5r 10s 9 (III) 3 6 Für die ersten beiden Gleichungen gibt es keine eindeutige Lösung (TR 4 6 Error ) Damit gibt unendlich viele oder gar keine Lösungen; unendlich viele Lösungen gibt es nur bei identischen Geraden, was aber ausgeschlossen ist (s. o.), g und h verlaufen windschief Alternative: TR r = s = 0Kontrolle von (II): (f) b) RV sind nicht kollinear: 3= 1,5, aber = ( 1) ; r x 6 t 1 r= (TR ) 3. Gleichung: = (f) g und k verlaufen windschief. 3 a) Setzt man für t die Zahlen 0; 10; 180; 3600 ein, so erhält man die Ortsvektoren der Punkte P 0 ( ), P 10 ( ), P 180 ( ) und P 3600 ( ). b) Da die Höhenkoordinate x 3 konstant 3000 m ist, befindet sich das Flugzeug im Horizontalflug c) P0 P m 519,1 km. d) 800 t 80 = 800 t= Nach 5 Sekunden befindet sich das Flugzeug im Punkt Q. 3. a) A(7 7 0) B( 7 7 0) C( 7 7 0) D(7 7 0) S(0 0 90) b) AS ,90 [m] c) M AB (0 7 0); MABS 0 ( 7) ,6 [m]; A ABS = d) 898,45 [m ]; Kosten bei 4 Seitenflächen: 4 898,45 = 66387,60 [ ] AS 7 7 h 144 h = h= 7 101,8 [m]. 4a) 4 AB ; 4 4 DC AB Parallelogramm; 4 AD 4 ; 4 AB AD = =0 Rechteck; AB 36 6 AD Quadrat; M=M AC (3 5 ) b) Untersucht werden muss, ob das Skalarprodukt der RV der Geraden jeweils null ergibt. 6 RV von g(m,p) ist MP, von h(a,c) ist AC, von k(b,d) ist BD 6 ; MP AC = 4+4 8=0; MP BD = 1+1+0=0 Die Gerade schneidet beide Diagonalen senkrecht. c) Die Koordinaten von P müssten jabitour eweils zwischen den Koordinaten von A und C liegen, also müsste die z Koordinate von P zwischen 6 und liegen.

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28 Abiturprüfung 009 HT4 Mathematik, Grundkurs Auf einen Quader mit der Grundfläche in der x 1 x Ebene ist eine Pyramide mit folgenden Eckpunkten aufgesetzt: A(3 3 7), B( ), C( ), D( ) und S( ) (siehe nebenstehende Abbildung). a) Die Ebene E 1 verläuft durch die Mitte der Pyramidenkanten SB bzw. SD und den Punkt C. Die Pyramidenkante AS liegt auf einer Geraden g. (1) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene E 1 in Parameterform. () Geben Sie eine Gleichung für die Gerade g an. (3) Zeigen Sie, dass die Gerade g die Ebene E 1 rechtwinklig schneidet. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E 1 in Koordinatenform. (1 Punkte) b) (1) Zeigen Sie, dass es sich bei der Pyramide ABCDS um eine quadratische Pyramide handelt, und berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS. () Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Mantelfläche der Pyramide. (14 Punkte) c) Die Dreiecksfläche BCS liegt in einer Ebene E. (1) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene E in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Punkte F 1 (0 1 11), F (1 9) und F 3 ( 1 9) in der Ebene E liegen. [Zur Kontrolle: E : x + x 3 13 = 0] () Zeigen Sie, dass das Dreieck F 1 F F 3 gleichschenklig ist. (13 Punkte) 0 4 d) Die Gerade h ist durch folgende Gleichung gegeben: h: x 5 t , t IR. (1) Bestimmen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes L der Geraden h mit der Ebene E aus Teilaufgabe c)(1). [Zur Kontrolle: L( ) ] () Weisen Sie nach, dass der Punkt L auf der Seitenkante BS des Dreiecks BCS liegt. (11 Punkte) Lösungsweg a) (1) Mittelpunkte M SB und M SD berechnen; E: x OC r CMSB CM SD () g: x OA t AS (3) Koordinatenform: n CMSBxCM SD ; c =n OA ; E: n 1 x 1 +n x +n 3 x 3 = c Rechtwinkliger Schnitt: z.z: n k AS(NV und RV sind kollinear)

29 b) (1) AB DC(Parallelogramm); zudem: AB AD (Raute); zudem AB AD 0(Quadrat) V = 1 3 G h = 1 3 AB (13 7) () M = 4 AB 7 c) (1) Koordinatenform:n BCxBS; c =n OB; E : n 1 x 1 +n x +n 3 x 3 = c () Zeige: zwei der VektorenFF 1, FF 1 3 und FF 3sind gleich lang. d) (1) In die KF von E für x 1 = 4t, für x =5+11t und für x 3 =15+14t einsetzen; Gleichung nach t auflösen und in h einsetzen. () Punktprobe für L und die Gerade g: x OB r BSmachen; Der Parameterwert für r muss aus dem Intervall [0; 1] sein.

30 Q1 M5 Cn 3. Klausur Aufgabe Drücke im Quader rechts durch a, b und c aus: a) AD = b) EM CG = Gib nun umgekehrt mit Hilfe der eingezeichneten Eckpunkte an c)b c d)c a e) a c 0,5b Aufgabe 3 Gegeben ist ein Dreieck ABC A(5//6), B( /4/ 3) und C(1/7/3). a) Zeichne die Punkte in ein Standard Koordinatensystem ein. b) Bestimme den Mittelpunkt M AB der Seite AB und trage ihn ein. c) Bestimme den Punkt D so, dass die Punkte ABCD ein Parallelogramm bilden. d) Spiegele den Punkt A an der xy Ebene und den Punkt B an der yz Ebene mit Aufgabe 4 a) Ermittle aus dem Haus mit symmetrischem Dach (Angaben in m) die Koordinaten der Punkte A, B, C, D, E und F. b) Zum Bau eines Wintergartens soll der Balken DA so verlängert werden, dass er bis zum Boden reicht. Wo trifft die Verlängerung auf dem Boden auf? (Begründung) c) Bestimme den Punkt D so, dass ABED ein Parallelogramm ist. Lösungen Aufgabe a) AD a b c b) EM CG = b c 0,5a c) b c OD d) c a= AC e) a c 0,5b OM FG 3a) A (-0,5 3,5); B (5 -) C (6,5,5) b) M(A,B) = ((5+(-)): (+4): (6-3):) = (1,5 3 1,5) c) (i) AB D'C 4 kein Parallel. (ii) OD = OA AD OA BC = 3 = d) A (5 6) (z-koordinate ändert das Vorzeichen) B ( 4 3) (x-koord. ändert das Vorzeichen) Aufgabe 4a) A(3 1 8); B(1 1 8); C(1 0 8); D(3 6 1) E(6 6 1) F(6 0 1) b) Der Balken verliert auf 6 m in y-richtung 4 m an Höhe. D(0 6 1); A(0 1 8) A (0 18 4) A (0 4 0) A ist der gesuchte Punkt.

31 Abi Tour Analytische Geometrie Grundkurs Abürzungen: PF / NF / KF = Normalen / Koordinaten-/ Normalenform SV / RV /NV =Stütz /Richtungs /Normalenvektor; SP/KP = Skalar /Kreuzprodukt 1. Welche Lagebeziehung zwischen zwei Geraden gibt es?. Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E in Parameterform im IR 3. Wie untersucht man sie auf Schnittpunkte? 3. Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt P. Wie bildet man eine Normalenform der Ebene, die senkrecht zu g durch P verläuft? 4. Wie bestimmt man die Länge eines Vektors? 5. Wie zeigt man mithilfe von Vektoren, dass ein Viereck ABCD ein Quadrat ist? 6. Wie zeigt man, dass zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen? 7. Wie zeigt man, dass ein Punkt P im Parallelogramm ABCD liegt? 8. Wie zeigt man, dass drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen? 9. Wie zeigt man, dass vier A, B, C und D Punkte in einer Ebene liegen? 10. Wie zeigt man, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene steht, die in Parameterform gegeben ist (ohne eine KF zu berechnen)? 11. Wie zeigt man, dass ein ebenes Viereck ABCD ein Drachenviereck ist? 1. Wie zeigt man, dass ein Viereck ABCD ein Parallelogramm ist? 13. Wo schneidet E: x 1 4x +x 3 = 6 die Koordinatenachsen? 14. Wie bestimmt man das Volumen einer quadratischen Pyramide? Wie stellt man mit Hilfe der Parameterform einer Ebene eine Normalenform dieser Ebene auf? Wie prüft man, obhesse sche ein Dreieck ABC gleichschenklig /gleichseitig /rechtwinklig ist? Die Geraden g und h beschreiben die Flugbahnen zweier Flugzeuge. Wie untersucht man die Möglichkeit einer (Beinahe-)Kollision? 18. Wie bestimmt man den Mittelpunkt einer Strecke? 19. Wie zeigt man, dass zwei Geraden g und h identisch sind? 0. Wie überprüft man die Lagebeziehung zweier Ebenen in Koordinatenform? 1. Wie überprüft man ob eine Pyramide gerade ist?. Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Ebene mit der y-achse? 3. Gegeben sei eine Pyramide ABCS mit Volumen V. Wo liegen alle Punkte S die mit ABC das gleiche Volumen V haben? 4. Beschreibe die Lage der Ebene x=. 5. Wie spiegelt man einen Punkt P an einer Ebene F? 6. Ermittle eine PF der Geraden y = x Stelle g: x in der Form y=mx+n dar. 8. Welche besondere Lage hat die Ebene E mit der Gleichung x 1 x = 0? 9. Wie weist man nach, dass zwei Geraden windschief zueinander verlaufen? 30. Spiegele den Punkt P(1 3) an der Ebene y=5 31. A(1 3); B( 1 4); Berechne OA x OB 3. A(1 3); B( 1 4); Berechne OA OB 33. Wie lang ist der Vektor mit den Koordinaten 8, 4 und 1? 34. A(1 3); n OA ; Ermittle eine KF der Ebene mit NV n durch P(4 0 1) 35. Gib den Ansatz für eine PF der Ebene durch P, Q und R an. 36. Gib einen Normalenvektor für die Ebene z=0 an. 37 Wann sind zwei Geraden parallel?

32 Abi Tour Analytische Geometrie Grundkurs Lösungen I 1. Schnitt, windschief, echt parallel oder identisch. Ebene und Gerade gleichsetzen (ggf. Parameter ändern!): p r u s v q t w LGS aus den drei Koordinatengleichungen lösen und die Lösung für t in g einsetzen. 3. Man benutzt den RV der Geraden als NV und berechnet E: n x n OP. Man zieht die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten: v v1 v v3 im IR 3 bzw. v v1 v im IR AB DC Parallelogramm; zudem AB AD 0 Rechteck; zudem AB AD Quadrat 6. Das Skalarprodukt der Vektoren muss den Wert 0 haben. 7. Man macht die Punktprobe OP OA r AB s AD ; Wenn sich für r und s Werte jeweils zwischen 0 und 1 ergeben, liegt P im Parallelogramm, sonst nicht. 8. AB und AC (oder AB und BC ) und müssen kollinear sein. 9. Man bildet aus A, B und C eine Ebenengleichung und macht die Punktprobe für D: OD OA r AB s AC. 10. Man zeigt, dass das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden mit jedem der beiden Richtungsvektoren der Ebene den Wert 0 hat. Es muss gelten AB = AD und CD = CB oder BA = BC und DA = DC 11. (Zwei Paare gleich langer, nebeneinander liegender Seiten.) 1. Man zeigt entweder, dass AB =DC gilt oder dass AD= BC gilt. (Nicht Beides!) 13. S x (3 0 0), S y (0 1,5 0) und S z (0 0 6) 14. V= 1 3 G h, wobei G die Fläche des Quadrats und h die Pyramidenhöhe ist. 15. E: n x c ; einen NV n erhält man als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren; c ergibt sich als SP des NV mit dem SV der Ebene. Man bildet die drei Seitenvektoren des Dreiecks und zeigt, dass zwei (gleichsch.) /alle 16. drei (gleichseitig) gleich lang sind. Falls das SP zweier Seitenvektoren 0 ist, liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor. Man untersucht die Lage der Geraden zueinander. Bei sich schneidenden Geraden 17. vergleicht man, ob die Flugzeuge zum gleichen Zeitpunkt den Schnittpunkt erreichen Man bildet jeweils das arithmetische Mittel der Koordinaten: OM AB (OA OB) Man zeigt, dass die Richtungsvektoren kollinear sind und dass der SV der einen Geraden die Gleichung der anderen Geraden erfüllt. 19. Wenn die Ebenengleichungen äquivalent sind, sind die Ebenen identisch. 0. Sind nur die NV kollinear, sind die Ebenen echt parallel. Ansonsten schneiden sie sich in einer Schnittgeraden. Ist S die Pyramidenspitze und M der Mittelpunkt der Grundfläche, so muss 1. MS ein NV der Ebene sein, in der die Grundfläche liegt.. Man setzt in der Koordinatenform x=z=0 und berechnet y. Da die Grundfläche gleich bleibt, ändert sich das Volumen nicht, wenn auch die Höhe 3. gleich bleibt. Dies ist für alle Spitzen der Fall, die auf den beiden Ebenen parallel zu ABC durch S und S liegen, wobei S das Spiegelbild von S an der Ebene E ABC ist. 4. Ebene parallel zur yz Ebene durch x= auf der x Achse. Man berechnet zunächst den Schnittpunkt F der Lotgeraden mit der Ebene und berechnet dann den Spiegelpunkt P mit OP' OP PF oder OP' OF PF 5..

33 6. x Abi Tour Analytische Geometrie Grundkurs Lösungen II 0 1 t 1 7. m= 5 ; x=0 = P(0 ) n= ; y = 5 x 8. Die Ebene verläuft parallel zur z Achse/senkrecht zur xy Ebene, (durch den Ursprung,) durch die 1. Winkelhalbierende der xy Ebene. 9. Die Geraden sind nicht parallel (RV nicht kollinear) und es gibt keinen Schnittpunkt. 30. P (1 8 3) x 3 4 = 3. 1 ( 1) = x+y+3z = x OP r PQ s PR (1 4 3 ( 1)) 7 1 ( 1)) Wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind. 6. x Abi Tour Analytische Geometrie Grundkurs Lösungen II 7. m= 5 ; x=0 = P(0 ) n= ; y = 5 x 8. Die Ebene verläuft parallel zur z Achse/senkrecht zur xy Ebene, (durch den Ursprung,) durch die 1. Winkelhalbierende der xy Ebene. 9. Die Geraden sind nicht parallel (RV nicht kollinear) und es gibt keinen Schnittpunkt. 30. P (1 8 3) x 3 4 = 3. 1 ( 1) = x+y+3z = x OP r PQ s PR (1 4 3 ( 1)) 7 1 ( 1)) Wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind.

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