HEUTE. Beispiel 1. Gleichungssysteme: theoretische Aspekte. warum Matrizen? etwas Hintergrund

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1 ..3 HEUTE..3 3 Beispiel Gleichungssysteme: theoretische Aspekte Teile einen Kuchen auf 8 Leute gleichmäßig auf. Wieiel bekommt jeder? warum Matrien? etwas Hintergrund Gleichungssysteme: praktische Aspekte Gauß-Algorithmus Piotisierung Aufwandsabschätung Ansat: sei x der Anteil jedes einelnen 8x x 8..3 Matrien: Definition..3 4 Beispiel Grundmenge: A m n A a a n.. a m a mn Bauer hat Tiere mit insgesamt 44 Beinen. Wieiele - und 4-Beiner? Ansat: sei Anahl -Beiner, Anahl 4-Beiner. Speialfall: Vektoren sind n -Matrien b b. b n Speialfall: reelle Zahlen sind -Matrien r r

2 ..3 5 Beispiel Gemeinsamkeiten 8 x x 8.5 m s h? s Ansat: ft at + bt + c 3 s gegeben: f, f, f3. Werfe Stein aus m Höhe schräg nach oben, er fällt nach s wieder durch Turmhöhe, landet nach 3 s auf dem Boden. Welche maximale Höhe hat der Stein erreicht? a b c 44 a b c Beispiel Matrien: Theorie Ansat: ft at + bt + c gegeben: f, f, f3. d.h. a + b + c 4a + b + c 9a + 3b + c im -dimensionalen: ax b x b a a b für a allgemein für quadratische Matrien: Ax b x A b falls A existent a b c ft 5t + t + h f m. a b c 5 Lineare Algebra sagt: Matrien haben Addition und Multiplikation sind lineare Abbildungen A :n m, können umkehrbar bijekti sein dann A existent diese werden definiert durch die Bilder Ae,...,Ae m der Einheitsektoren e i,

3 ..3 9 Matrien: Addition..3 Matrien: Multiplikation Matrien besiten eine komponentenweise Addition A + B :m n m n m n : a a a a a 3 a 3 + b b b b b 3 b 3 a + b a + b a + b a + b a 3 + b 3 a 3 + b 3 eine neutrale Matrix: eine inerse Matrix u A : a a O A a a a 3 a 3 damit Matrix-Vektor-Produkt: nur ulässig, wenn Vektor die Spaltendimension der Matrix hat Beispiel allgemein: A b A b a. b a m Beispiel speiell: 3 3 :m n n m : a b. a m b Skalarprodukte T T Matrien: Multiplikation..3 Matrien: Multiplikation damit Matrix-Matrix-Multiplikation: unächst Vektor-Vektor-Produkt Skalarprodukt: nur ulässig, wenn Vektoren dieselbe Dimension haben Beispiel allgemein: a b :n n : a T b a a n b. a b a n b n b n Beispiel speiell: nur ulässig für A B Beispiel allgemein: A B A Beispiel speiell: 3 :p q q r p r b b b , Ab Ab Ab

4 ..3 3 Matrien: Multiplikation..3 Matrien: geometrische Anschauung neutrale Matrix der Multiplikation ist Einheitsmatrix: E..... bei quadratischen Matrien inerse Matrix i.a. schwierig anugeben, aber umeist gesucht: Matrixeilen beschreiben Geraden in der Ebene,.B. 5 + Ax b x A b falls A existent Matrien: Multiplikation..3 6 Matrien: geometrische Anschauung Achtung: Multiplikation ist nicht kommutati, d.h. AB BA, auch wenn on Dimension her möglich,.b. aber Multiplikation ist aber assoiati, d.h. ABC ABC,.B. Matrixeilen beschreiben Geraden in der Ebene,.B

5 ..3 7 Matrien: geometrische Anschauung..3 9 Matrien: Grenfälle der Inertierbarkeit Matrixeilen beschreiben Geraden in der Ebene,.B. Matrixeilen beschreiben geometrisch dieselbe Gerade,.B Tautologie: Schnitt ist gane Gerade..3 8 Matrien: Grenfälle der Inertierbarkeit..3 Matrien in Gleichungssystemen Matrixeilen beschreiben geometrisch parallele Geraden,.B. Ax b Widerspruch: 4 kein Schnitt Beobachtung: Grenfälle werden allein on der Matrix A ausgelöst Vektor b entscheidet ggf. nur über die Art höhere Dimensionen: A m n Lösung ist Schnitt on Ebenen im Raum m < n: Gleichungssystem unterbestimmt m n: Gleichungssystem kann eind. Lösung haben

6 ..3 Matrien als Abbildungen Matrien bilden Vektoren linear aufeinander ab: A :n m, x Ax Ax + y Ax + Ay Arx r Ax für r Multiplikation on Matrien bedeutet Hintereinanderausführung der Abbildungen: fx Ax, gx Bx hx : fgx Agx ABx wegen der Assoiatiität.! ABx..3 3 Matrien als Abbildungen Matrien transformieren das Koordinatensystem,.B. e x e.5 : Ae Ax Ae e Ae Ae e.5 x Ax 4..3 Matrien als Abbildungen..3 4 Matrien in CoMa Abbildung x Ax wird festgelegt durch die Bilder der Einheitsektoren e j Ae j j. Spalte on A : Ae j a. a m a j. a mj a n. a mn Beispiel: 3 Ae, Ae, Ae 3 A Ae Ae Ae 3 3. j. a j. a mj theoretische Hintergründe gut u wissen! Ziel in CoMa: praktische Berechnung on A b, falls möglich d.h. berechne nicht A selbst! Probleme dabei: welches Verfahren? Gauß-Elimination numerische Ungenauigkeiten Piotisierung Umgang mit Speialfällen: Unlösbarkeit, Unterbestimmtheit Rechenaufwand quantifiieren

7 ..3 5 Schreibweise Schreibe Gleichungssysteme kur in erweiterter Matrixform: a + b + c 4a + b + c 9a + 3b + c Gauß-Elimination: Kernschritt eliminiere einen unbekannten Term: a ii a i,i+ b i a ji a j,i+ b j a ii a ii a i,i+ b i a j,i+ a ji a ii a i,i+ a ji a ii i. Zeile b j a ji a ii b i bleibt so stehen erhält eine Null..3 6 Gauß-Elimination: erlaubte Operationen..3 8 Gauß-Elimination: quadratische Matrien Lösungsmenge wird nicht erändert durch Multiplikation einer Zeile mit Zahl r : a b c r ra rb rc Addition einer Zeile u einer anderen: a b c a b c d e f +.Zeile a + d b + e c + f Vorwärtsphase:

8 ..3 9 Gauß-Elimination: quadratische Matrien..3 3 Gauß-Elimination: typische Situation Rückwärtsphase: ā m,m ā m,m bm alle ā ii ā mm bm lette Gleichung: ā mm x m b m x m b m ā mm Zeilen ertauschen: gleiches Problem wieder ufällig fertig mit Vorwärtsschritten x m b m ā m,m x m ā m,m x m... aus orletter Gleichung Rückwärtseinseten: c b c c b 3 a Gauß-Elimination: typische Situation..3 3 Gauß-Elimination: allgemeine Matrien Beispiel 3 reisited: 4 a b 9 3 c kann Kernschritt nicht mit erster Zeile machen! die drei möglichen Endsituationen: alle ā ii ā ā... ā mm ā... ā mm ā... ā mm muss Zeilen ertauschen: Zeile m n: m < n: m > n und : System genau bestimmt System unterbestimmt System überbestimmt x i alle bestimmt n m unabhängige x i keine Lösung

9 Gauß-Elimination: unterbestimmtes System Gauß-Elimination: unterbestimmtes System Beispiel: Stöchiometrie Anwendungsbereich Chemie gegeben: Edukte und Produkte einer chemische Reaktion gesucht: korrekte Koeffiienten der Reaktionsgleichung.B. Photosynthese: Pflanen produieren aus Wasser H O und Kohlendioxid CO Zucker C 6 H O 6 und Sauerstoff O r H O + s CO t C 6 H O 6 + u O Wie müssen r, s,t, u gewählt werden, damit links und rechts dieselben Atomanahlen aller beteiligte Elemente stehen? Beispiel: Stöchiometrie 3. schreibe in Matrixform: 4. Gauß-Elimination: Vertauschung: r 6t s 6t 6t u Gauß-Elimination: unterbestimmtes System Gauß-Elimination: unterbestimmtes System Beispiel: Stöchiometrie. identifiiere die Atomsorten mit Vektorkomponenten: C H. schreibe Gleichung in Vektorschreibweise: O Beispiel: Stöchiometrie r s u 6t 5. eine Unbekannte als Parameter wählen: nehme hier t 6. kleinste ganahlige Lösung wählen: t r s u 6 r H O + s CO t C 6 H O 6 + u O r + s t 6 + u 6 Ergebnis: 6 H O + 6 CO C 6 H O O

10 Gauß-Elimination: Piotisierung Gauß-Elimination: Piotsuche Beobachtung: darf beim Lösen Zeilen oder Spalten ertauschen muss bei Spaltentausch Namen der Variablen erwalten warum will man das tun? wenn Kernschritt nicht mit aktueller Zeile durchführbar ist: ā ii wenn u hohe numerische Fehler u befürchten sind Warum das betragsgrößte Element? Betrachte Gauß-Schritt nach Piotisierung, d.h. ā ii ā ij für alle j > i : ā ii ā i,i+ b i ā ji ā j,i+ b j āji ā ii i. Zeile was ist Piotisierung? unter allen gleich möglichen Elementen eins auswählen das gewählte Element heißt der Piot Faktor ā ji ā ii Rundungsfehler in i. Zeile werden nicht erstärkt Gauß-Elimination: Piotsuche..3 4 Gauß-Elimination: Aufwand suche betragsgrößtes Element in aktueller Spalte: partielle Piotsuche suche betragsgrößtes Element im Restbereich: totale Piotsuche Wieiele Multiplikationen braucht das Gauß-Verfahren auf n n-matrien? pro Vorwärtsiteration i : ā ii ā i,i+ ā in bi ā j,i+ āji ā ii ā i,i+ ā jn āji ā ii ā in ā ji ā ii bj āji ā ii bi Mult. für Faktor n i + Mult. pro Zeilenaddition: ā i,i+,...,ā in, b i n i Zeilenadditionen n in i + Multiplikationen

11 ..3 4 Gauß-Elimination: Aufwand Gauß-Elimination: Aufwand durch Piotisierung Wieiele Vergleiche braucht die Piotisierung? Wieiele Multiplikationen braucht das Gauß-Verfahren auf n n-matrien? pro Rückwärtsiteration i : x n b n ā nn bei partieller Suche: ā ii ā in..... ā ni ā nn in i. Iteration n i + Vergleiche x n b n ā n,n x n ā n,n x n... Mult. pro Variable x i+,...,x n n i Diision durch ā ii n i + Multiplikationen aufaddieren: i n j + n i jn n i + j nn + < n Aufwand wird qualitati dominiert on n quadratisch in n..3 4 Gauß-Elimination: Gesamtaufwand aufaddieren: i n j + n [ n in i + + n i + ] i [ j j + + j ] jn n [ j + j ] j n j + j nn + n j j nn + n + 6 Aufwand wird qualitati dominiert on n3 + 6 n3 < n 3 kubisch in n Gauß-Elimination: Aufwand durch Piotisierung bei totaler Suche: ā ii ā in..... ā ni ā nn in i. Iteration n i + Vergleiche aufaddieren: i n j + kubisch in n n i jn n i + j nn + n + 6 < n 3