x LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME In diesem Paragraph beginnen wir mit einer elementaren Behandlung linearer Gleichungssysteme Bevor wir versuchen eine allg

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1 SKRIPTUM { LINEARE ALGEBRA I JB COOPER Inhaltsverzeichnis: x Lineare Gleichungssysteme x Geometrie der Ebene und des Raumes x Vektorraume x Lineare Abbildungen Typeset by AMS-T E X

2 x LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME In diesem Paragraph beginnen wir mit einer elementaren Behandlung linearer Gleichungssysteme Bevor wir versuchen eine allgemeine Theorie solcher Systeme herzuleiten, rechnen wir ein konkretes Beispiel durch: Betrachten wir das System: x y = A x y+ z= B x y z= C B! B A, C! C A liefert das System x y = y+ z= z= Daher z = y = ( z) = : = 9 x = ( + y) = : = 9 9 Betrachten wir jetzt ein allgemeines System: a x + a x + + a n x n = y a n x + a n x + + a nn x n = y n (Der Einfachheit wegen nehmen wir an, da die Zahl der Gleichungen und die Zahl der Unbekannten gleich sind) Die Losungsmethode ist folgende: man substrahiert geeignete Vielfache der ersten Gleichung von den anderen, soda der Koezient von x dort verschwindet Das liefert ein System der Gestalt b x + b x + + b n x n = z b x + + b n x n = z b n x + + b nn x n = z n Jetzt wenden wir die gleiche Methode auf die letzten (n ) Gleichungen an usw Am Schlu bekommen wir ein System der Gestalt d x + d x + + d n x n = w d x + + d n x n = w d nn x n = w n

3 Dieses System lat sich trivialerweise losen Allerdings ist die Situation im allgemeinen etwas komplizierter Wir nennen den Koezient von x i in der i-ten Gleichung nach Schritt (i ) das i-te Pivotelement Wir sehen, da unsere Methode immer eine eindeutige Losung liefert, wenn das i-te Pivotelement ungleich null ist Wenn das nicht der Fall ist, gibt es verschiedene Moglichkeiten: Fall : Das i-te Pivotelement ist null, aber es gibt ein j > i mit a ji = 0: Dann vertauschen wir einfach die i-te und j-te Gleichung Beispiel: x + y + z + w = () x + y z + w = () x y + z + w = () x + y + z + w = () z w = () () () y + z + w = () () () x + y + z + w = () () () y + z + w = (8) z + w = (9) Fall : a ji = 0 fur alle j i: In diesem Fall, ist das Gleichungssystem nicht immer losbar Beispiel: Betrachte die Gleichung: Unsere Methode fuhrt zum System x + y + z = y x + y + 9z = y x + 9y + 8z = y x + y + z = y z = y y z = y y Diese Gleichung ist genau dann losbar, wenn (y y ) = (y y ): Spater werden wir eine genaue Theorie der Losbarkeit von solchen Systemen herleiten Zunachst aber entwicklen wir eine sehr nutzliche Technik, um dieses Problem zu behandeln { den Matrizenformalismus

4 Der Matrizenformalismus: Kehren wir zuruck zu einem konkreten Gleichungssystem: x + y + z = x + y = x + y + z = Die enthaltenen Informationen lassen sich auf folgende zwei Zahlenschemata reduzieren: 0 und Das allgemeine Gleichungssystem a x + a x + + a n x n = y = a m x + a m x + + a mn x n = y m reduziert sich analog auf die Schemata: a a : : : a n a m : : : : : : a mn und y y n Ein solches Schema a : : : a n a m : : : a mn nennen wir eine m n Matrix m bezeichnet die Anzahl der Zeilen, n die Anzahl der Spalten Konsequenterweise ist eine m Matrix y y m Um Platz zu sparen, schreiben wir eine solche Matrix kurz als [a ij ] m i= ;n j= oder einfach [a ij ]: Wir konnen die i-te Zeile bzw die j-te Spalte dieser Matrix als n bzw m -Matrix betrachten, dh die i-te Zeile von [a ij ] ist die Matrix [a i a i : : : a in ] und die j-te Spalte ist a j a j a mj :

5 Beispiel: 0 0 ist eine Matrix Die zweite Zeile ist 0 0, die dritte Spalte 0 : Wir benutzen oft folgende Schreibweise: Sei A eine mn Matrix, A j die j-te Spalte von A dh A j = Dann bezeichnen wir A mit [A : : : A n ]: a j a mj Ahnlicherweise schreiben wir B = B B m wobei B i = [b i : : : b in ] die i-te Zeile von B ist Besonders wichtige Matrizen sind: ) Die m n Nullmatrix (entspricht der Gleichung: 0 0 : : : : : : : : : 0 0:x + 0:x + + 0:x n = b 0:x + 0:x + + 0:x n = b n Diese Gleichung hat nur dann eine Losung, wenn alle Zahlen auf der rechten Seite null sind Dann ist jedes n-tupel (x ; : : : ; x n ) eine Losung) Wir schreiben 0 m;n (oder einfach 0) fur diese Matrix

6 ) Die n n Einheitsmatrix 0 : : : : : : (dh a ij = falls i = j, a ij = 0 falls i = j) Wir schreiben I n (oder einfach I) fur diese Matrix Sie entspricht der Gleichung x = y x = y die immer eine eindeutige Losung besitzt x n = y n ; Spater werden Matrizen folgender speziellen Art eine wichtige Rolle spielen: ) Diagonalmatrizen: dh Matrizen der Gestalt: entsprechend dem Gleichungssystem 0 : : : : : : 0 x : : : = y n x n = y n : Wir bezeichnen diese Matrix mit diag [ ; : : : ; n ] ) Dreieckmatrizen: a a : : : a n 0 a n 0 : : : 0 a nn dh Matrizen mit der Eigenschaft a ij = 0; falls i > j: Kehren wir zu unseren theoretischen Uberlegungen zuruck Wir schreiben jetzt unser allgemeines Gleichungssystem in der Form AX = Y;

7 wobei A = [a ij ] m i= ;n j= und X = x x n y Y = y n Bis hierher ist dies nicht mehr als eine Vereinfachung der Schreibweise Durch Einfuhrung einer Matrizenmultiplikation konnen wir allerdings diesem Formalismus eine arithmetische Interpretation geben Zunachst ist folgende Vereinbarung einleuchtend Wir addieren zwei m n Matrizen A und B; indem wir einfach die entsprechenden Elemente addieren Symbolisch: Wir schreiben A + B fur das Ergebnis Beispiel: + [a ij ] + [b ij ] := [a ij + b ij ] = Bemerkung: Wir konnen nur Matrizen mit gleicher Zeilenzahl und gleicher Spaltenzahl addieren Die Summe etwa von einer Matrix und einer Matrix wird nicht deniert Die Matrizenaddition besitzt viele Eigenschaften, die an Eigenschaften der Addition in R erinnern, zb: ) A + B = B + A (Kommutativitat) ) A + (B + C) = (A + B) + C (Assoziativitat) ) A + 0 = 0 + A = A ) A + ( A) = ( A) + A = 0 wobei A die Matrix [ a ij ] ist Beweis: ) Seien A = [a ij ]; B = [b ij ]: Dann gilt A + B = [a ij ] + [b ij ] = [a ij + b ij ] (Denition von Addition) = [b ij + a ij ] (Kommutativitat der Addition in R) = [b ij ] + [a ij ] = B + A Eine andere Operation, die spater wertvoll sein wird, ist die Skalarmultiplikation, dh die Multiplikation von jedem Element von A mit einem R: Wir bezeichnen diese Matrix mit A: Dh A = [a ij ] zb = 8 :

8 8 Es gelten dann folgende Eigenschaften: ) (A + B) = A + B ) (A) = ()A ) ( + )A = A + A ) :A = A: Beweis: ) Falls A = [a ij ]; B = [b ij ]; dann gilt: (A + B) = [a ij ] + [b ij ] = [a ij + b ij ] = (a ij + b ij ) = [a ij + b ij ] = A + B: Jetzt betrachten wir die Matrizenmultiplikation Hier ist die Denition nicht ganz so oensichtlich Schreiben wir unser System in der Gestalt a : : : a n a m : : : a mn x x m = y y n so ist es naheliegend, das Produkt von der m n Matrix A und der n Matrix X folgendermaen zu denieren: a : : : a n a m : : : a mn x x n ; = a x + a x + + a n x n a m x + a n x + + a mn x n Sei B eine n p Matrix der speziellen Gestalt Es ist naheliegend, AB als 0 0 b k 0 b nk a b k + a b k + : : : +a n b nk 0 a m b k + +a mn b nk zu denieren, (die nicht-verschwindende Spalte ist die k-te) Nehmen wir an, da die Multiplikation distributiv uber der Addition ist, dann konnen wir folgendermaen rechnen a : : : a n a m : : : a mn b : : : b p b n : : : b np = a : : : a n a m : : : a mn b 0 b n

9 = b p b np A a b + + a n b n : : : a b p + + a n b np a m b + + a mn b n a m b p + + a mn b np Diese Uberlegungen fuhren zu folgender : 9 Denition: Sei A = [a ij ] eine m n Matrix, B = [b jk ] eine n p Matrix Dann P ist AB die m p Matrix [c ik ]; wobei c ik = n a ij b jk j= Beispiele: = 8 0 Bemerkung: Das Produkt AB ist nur dann deniert, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist ZB Ausdrucke wie 0 sind sinnlos Insbesondere ist der Ausdruck AA (kurz A ) nur dann sinnvoll, wenn A quadratisch ist, dh m = n Wir sammeln jetzt einige einfache Eigenschaften der Multiplikation: I Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ: (AB)C = A(BC) Beweis: Seien A = [a ij ], B = [b jk ], C = [c kl ] AB= hp n j= a ijb jk i (A m n; B n p; C p q) i;k ; (AB)C= hp p k= P n j= a ijb jk c kl i P p BC= [ k= b jkc kl ] j;k ; A(BC)=hP n P j= a p i ij k= b jkc kl Das Ergebnis folgt dann aus folgender Tatsache: Falls (d j;k ) n j= ;p k= eine Doppelfolge ist, gilt nx X p px d jk = d jk j= k= k= n X j= i;l i;l

10 0 (setze d jk = a ij b jk c kl i und l fest) II Die Matrizenmultiplikation ist distributiv: A(B + C) = AB + AC; (B + C)D = BD + CD Beweis: Das (i; k)-te Element von P a) A(B + C) ist n a ij (b jk + c jk ) j= P b) AB + AC ist n P a ij b jk + n a ij c jk : j= j= III Die Matrizenmultiplikation ist im allgemeinen nicht kommutativ: Denn sei A eine mn Matrix, B np (damit AB deniert ist) Es gibt drei Moglichkeiten: A) p = m: Dann ist BA nicht einmal deniert B) p = m aber m = n: Dann ist AB eine m n Matrix, BA eine n m Matrix Also gilt sicher AB = BA: C) m = n = p: Auch im diesen Fall gilt ia: AB = BA Beispiel: = 0 0 = 0 0 IV I ist ein Einselement fur die Multiplikation, genauer (A eine m n Matrix) A I n = A I m A = A Inverse einer Matrix: Eine Matrix B wird als Inverse einer n n Matrix A bezeichnet, wenn AB = BA = I n : Eine Matrix A hat hochstens eine Inverse Existieren namlich B, C mit AB = BA = AC = CA = I n, dann gilt B = B I = B(AC) = (BA)C = I C = C: Falls eine Inverse existiert, so heit A invertierbar und die Inverse wird mit A bezeichnet

11 Bemerkung: Es hat keinen Sinn, uber eine Inverse einer m n Matrix A (m = n) zu reden Allerdings kann A eine Rechtsinverse besitzen (dh eine n m Matrix B, soda AB = I m ) oder eine Linksinverse (eine n m Matrix C, soda CA = I m ) (nicht aber beides) In der Tat, eine Matrix A hat eine Rechtsinverse genau dann, wenn die Gleichungssysteme AX = E k alle losbar sind (k = ; : : : ; n); wobei E k die m Matrix ist (dh die k-te Spalte von I m ) Satz: Sei A eine n n Matrix Dann sind folgende Aussagen aquivalent: ) A besitzt eine Rechtsinverse ) Fur jedes k hat die Gleichung AX = E k eine Losung ) Fur jede n Matrix Y hat die Gleichung AX = Y eine Losung Beweis: Wir zeigen zunachst die Aquivalenz von ) und ) Klarerweise gilt ), wenn ) gilt Anderseits nehmen wir an, da X k eine Losung von AX = E k ist Dann ist y X + + y n X n eine Losung von AX = Y, wobei Y = y y n Jetzt zeigen wir, da ) und ) aquivalent sind Falls B eine Rechtsinverse von A ist, dann ist X = BE k eine Losung von AX = E k : Denn es gilt: A(BE k ) = (AB)E k = I n E k = E k : Sei anderseits B k eine Losung der Gleichung AX = E k : Dann ist B = [B : : : B n ] eine Rechtsinverse fur A: Spater werden wir sehen, da A in diesem Fall invertierbar ist Beispiel: Die Diagonalmatrix diag ( ; : : : n ) ist genau dann invertierbar, wenn : : : n = 0 und ihre Inverse ist diag ( ; : : : ; l n )

12 Polynome und Matrizen: Sei A eine nn Matrix Wir wissen jetzt, wie wir A (= AA) denieren konnen Analog deniert man A ; A { sogar A k : Sei p das Polynom, p() = a 0 + a + + a k k Dann denieren wir p(a) als a 0 I n + a A + + a k A k Bemerkung: Im allgemeinen mussen Matrizen nicht kommutieren Trotzdem gilt immer p (A)p (A) = p (A)p (A) = p(a) (p ; p Polynome wobei p = p p ) Denn sei p () = a 0 + a + + a m m p () = b 0 + b + + b n n : Dann ist p p () = c 0 + c + + c m+n m+n wobei c 0 =a 0 b 0 c =a b 0 + a 0 b c k =a k b 0 + a k b + + a 0 b k : Daher ist p(a) = c 0 I + c A + + c m+n A m+n : Anderseits gilt: p (A)p (A) = (a 0 I + a A + + a m A m )(b 0 I + + b n A n ) = c 0 I + c A + + c m+n A m+n = p(a): Insbesonders gilt: p(a) = (A I n ) : : : (A k I n ) falls p die lineare Faktorisierung p() = ( ) : : : ( k ) besitzt Beispiele: I Sei A = diag ( ; : : : n ): Dann gilt: p(a) = diag (p( )); : : : ; p( n )):

13 gilt II Fur A = 0 0 : : : : : : : : : = p(a) = und p() = a + a + + a n n a 0 a : : : a n : : a 0 a 0 p (n) (o) n! p(0) p 0 (0) : : : : : : : : p 0 (0) 0 p(0) Transponierte Matrizen: Eine andere Operation auf Matrizen, die fur uns spater wichtig sein wird, ist die Transponierung Sei A = [a ij ] eine m n Matrix Die n m Matrix [b ij ] { wobei b ij = a ji { heit die zu A transponierte Matrix, geschrieben A t : (Dh die Spalten von A sind die Zeilen von A t und umgekehrt) ZB t = Einige einfache Eigenschaften: ) (A + B) t = A t + B t ; ) (AB) t = B t A t : ) A ist genau dann invertierbar, wenn A t es ist und es gilt (A t ) = (A ) t : Nun kehren wir zu unserem allgemeinen Gleichungssystem zuruck Wir konnen die Losungsmethode wie folgt als Algorithmus hinschreiben Schritt i: Fall ) Das i-te Pivotelement a ii ist ungleich null Dann dividiere die i-te Gleichung durch a ii und substrahiere das a ji -te Vielfache von der j-ten Gleichung (j = i + ; : : : ; m) Fall ) Das i-te Pivotelement a ii ist null, aber es gibt ein a ji mit (j > i) und a ji = 0: Dann vertauschen wir die i-te und j-te Gleichung Fall ) a ji = 0 (fur j i) Dann suchen wir das a jl (j; l i) mit kleinstem l soda a jl = 0 Wir multiplizieren die j-te Zeile mit a jl, vertauschen die i-te und

14 j-te Zeile und fahren fort wie im Fall ) Am Ende dieses Algorithmus bekommen wir eine Gleichung mit der Matrix der Gestalt: 0 0 : : : ~a ;j + : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ~a n 0 0 : : : 0 : : : 0 ~a ;j + ~a n 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 : : : ~a r;jr + : : : ~a rn 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 mit j < j < : : : Das entsprechende System lat sich trivialerweise losen (siehe unten) Dieser Algorithmus heit Gau'sche Eliminierungsmethode Im soeben beschriebenen Algorithmus haben wir folgende sogenannte elementare Zeilenumformungen benutzt I Addition des -fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile A A i A j A n! A A i + A j A j A n II Vertauschen der i-ten und j-ten Zeile A A i A j A n! A A j A i A n III Multiplikation der i-ten Zeile mit (= 0) A A i A n! A A i A n

15 Man sieht leicht, da diese Umformungen mit Hilfe der Matrizenmultiplikation erreicht werden konnen: I Links-Multiplikation mit der Matrix P ij = [a kl] wobei a kl = 8 >< >: ; falls k = l ; falls k = i; l = j 0 sonst II Links-Multiplikation mit U i;j dh die Matrix [a kl ] wobei a kl = 8 >< >: ; falls k = l = i oder j ; falls k = i; l = j oder k = j; l = i 0 sonst III Links-Multiplikation mit M i a kl = 8 >< >: dh die Matrix [a kl ] wobei falls k = l = i falls k = l = i 0 sonst Wir bemerken, da diese Matrizen invertierbar sind, und es gilt: (P ij) = P ij (U i;j ) = U i;j (M i ) = M i Nach diesen Uberlegungen konnen wir die Wirkung unseres Algorithmus folgendermaen formulieren: Satz: Sei A eine m n Matrix Dann gibt es eine invertierbare Matrix B; soda ~A = BA die folgende Gestalt hat: ~A = 0 0 : : : ~a ;j + : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ~a n 0 0 : : : 0 : : : 0 ~a ;j + ~a n 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 : : : ~a r;jr + : : : ~a rn 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0

16 B ist ein Produkt von Elementarmatrizen A ~ heit die Hermitesche Normalform von A (eigentlich eine Hermitsche Normalforn, da A ~ nicht eindeutig bestimmt ist) Jetzt sehen wir, da X genau dann eine Losung von AX = Y ist, wenn X eine Losung von ~ AX = Z ist (Z = BY ): Diese Gleichung ist nur dann losbar, wenn z k = 0 (k > r) Die Losung konstruiert man wie folgt: Man wahle x jr + : : : x n willkurlich und setze x jr = z r nx j=j r + x jr +; : : : ; x jr willkurlich und setze x jr = z r x j +; : : : ; x j willkurlich und setze x j = z x ; : : : ; x j willkurlich nx j=j + ~a r;j x j nx j=j r + ~a j x j ~a r ;j x j Daraus kann man folgende Aussagen gewinnen: Sei A eine m n Matrix mit Hermitescher Form ~A = 0 0 : : : ~a ;j + : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ~a n 0 0 : : : 0 : : : 0 ~a ;j + ~a n 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 : : : ~a r;jr + : : : ~a rn 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 Dann gilt: a) Die Gleichung AX = Y ist immer losbar, r = m; b) Die Gleichung AX = 0 hat nur die triviale Losung, r = n: Dann sind die Losungen von AX = Y (falls existent) eindeutig Falls A eine quadratische Matrix ist, dann stimmen diese beiden Bedingungen (r = m und r = n) uberein Daraus folgt der Satz: Satz: Sei A eine n n Matrix Dann sind die folgenden Aussagen aquivalent: a) Die Gleichung AX = Y hat immer eine Losung; b) Die homogene Gleichung AX = 0 hat nur die triviale Losung; c) Die Losung zu AX = Y; falls existent, ist eindeutig

17 Satz: Sei A eine m n Matrix mit m < n: Dann hat die Gleichung AX = 0 eine nicht triviale Losung (dh eine Losung X mit X = 0:) Beweis: In diesem Fall enthalt die hermitesche Form eine Spalte ohne ein Pivoteins Es ist oft wichtig, eine Matrix B zu bestimmen, soda BA Hermitesche Normalform hat Das kann man folgendermaen erreichen Man fuhrt die Gau'sche Eliminierungsmethode durch und notiert beim i-ten Schritt die Matrix B i ; die der entsprechenden Operation zugeordnet ist Die gesuchte Matrix B ist dann B k B B : In der Praxis macht man folgendes Man erweitert A zu der m (m + n) Matrix A = [A; I m ] dh A = a : : : a n 0 : : : a m : : : a mn 0 : : : Wenn man die Zeilenoperationen, die A auf Hermitesche Normalform reduzieren, auf A anwendet, dann steht die Matrix B am Ende im rechten n n Block Beispiel: Die erweiterte Matrix ist: A = Wir bekommen suksessiv die Matrizen: # #

18 8 dh # # B = Auf ahnliche Weise bekommen wir einen Algorithmus zur Berechnung der Inversen einer n n Matrix Beispiel: Betrachte die Matrix 9 A = 0 9 Wir fuhren schematisch die Gauss-Jordan'sche Methode durch # # #

19 9 Ergebnis: # # # A = Da diese Methode genau dann erfolgreich ist, wenn die Hermitesche Form von A die Gestalt a : : : a n 0 : : : a n 0 : : : hat und dies aquivalent zu der Tatsache ist, da A eine Rechts-Inverse hat, so sehen wir, da folgendes gilt: Satz: Sei A eine n n Matrix Dann sind folgende Aussagen aquivalent: ) A hat eine Inverse B; ) A hat eine Linksinverse; ) A hat eine Rechtsinverse Falls ) oder ) gilt, dann ist eine Links- (bzw Rechts-) inverse auch eine Inverse (und daher eindeutig bestimmt) Korollar: Seien A; B n n Matrizen, soda AB invertierbar ist, dann sind A und B invertierbar und A = B(AB) B = (AB) A Beweis: A(B(AB) ) = (AB)(AB) = I n dh B(AB) ist Rechtsinverse von A:

20 0 Wir kehren zuruck zum Gleichungssystem: Es ist naheliegend, die Zuordnung AX = Y: f A : X! AX als Abbildung von der Menge der n Matrizen in die Menge der m Matrizen zu betrachten Zunachst machen wir einige kleine Bemerkungen Die Abbildung f A ist additiv, dh f A (X) = f A (X) f A (X + X ) = f A (X ) + f A (X ) und Diese zwei Eigenschaften konnen wir zusammenfassen in der Gleichung Noch allgemeiner sieht man, da f A ( X + X ) = f A (X ) + f A (X ) f A ( X + + r X r ) = f A (X ) + + r f A (X r ): Wir fuhren daher folgende Bezeichnungen ein: Spaltenmatrizen (dh p Matrizen fur irgendein p) nennen wir p-vektoren Falls X ; : : : ; X r p-vektoren sind und ; : : : ; r Skalare, nennen wir einen Vektor der Gestalt X + + r X r eine lineare Kombination der Vektoren X ; : : : ; X r : Eine Abbildung f auf der Menge aller p-vektoren heit linear, falls f( X + + r X r ) = f(x ) + + r f(x r ) Spater werden wir eine geometrische Interpretation kennenlernen, die diese momentan eher seltsamen Bezeichnungen rechtfertigen wird Wir konnen jetzt einige Aussagen uber Gleichungssysteme in diese Sprache ubersetzen ) Das System AX = Y hat genau dann eine Losung, wenn Y eine lineare Kombination der Spalten von A ist; ) Ist X 0 eine Losung von AX = Y; dann hat jede Losung die Gestalt X 0 + X wobei X eine Losung von AX = 0 ist Jetzt beschaftigen wir uns mit der Frage der Eindeutigkeit der Losung Betrachten wir die homogene Gleichung AX = 0; so kommen wir auf folgenden Begri: Die Vektoren X ; : : : ; X r sind genau dann linear unabhangig, wenn aus der Beziehung X + + r X r = 0 folgt, da = = = r = 0 (dh nur die triviale Linearkombination verschwindet) Satz: Eine Losung der Gleichung AX = Y ist genau dann eindeutig bestimmt, wenn die Spaltenvektoren A ; : : : ; A n linear unabhangig sind

21 Denition: Sei A eine Matrix Wir denieren: Der Spaltenrang von A ist die Maximalzahl linear unabhangiger Spalten von A: Ahnlicherweise konnen wir den Zeilenrang denieren als die Maximalzahl der linear unabhangigen Zeilen von A Um den Spaltenrang zu bestimmen, konnen wir etwa folgendermaen vorgehen: Wir untersuchen die Spalten A ; : : : ; A n von A bis wir ein A i nden, das von A ; : : : ; A i ; A i+ ; : : : ; A n linear abhangig ist (nden wir kein solches A i ; dann ist der Spaltenrang n): Jetzt betrachten wir die Matrix ~A = [A ; : : : ; A i ; A i+ ; : : : ; A n ] A uns ~ A haben den gleichen Spaltenrang Wir setzen diesen Proze fort, bis wir eine Matrix ~ A bekommen, deren Spalten linear unabhangig sind Weniger oensichtlich ist die Tatsache, da A und ~ A (und daher A und ~ A) den selben Zeilenrang haben Man nehme an, da Dh A hat die Gestalt A i = A + : : : i A i + i+ A i+ + + n A n : [ A : : : A i A + + i A i + i+ A i+ + + n A n A i+ : : : A n ] und ~A = [ A : : : A i A i+ : : : A n ] Man sieht dann, da eine Linearkombination der Zeilen von A genau dann gleich null ist, wenn die entsprechende Aussage fur ~ A gilt Dh A und ~ A haben denselben Zeilenrang Jetzt wenden wir den entsprechenden Proze auf die Zeilen von A an Am Ende bekommen wir eine Matrix A ~ mit m 0 linear unabhangigen Zeilen und n 0 linear unabhangigen Spalten, wobei m 0 = Zeilenrang von A, n 0 = Spaltenrang von A: Dann mu aber m 0 n 0 sein (da hochstens n 0 Vektoren in R n0 linear unabhangig sein konnen Siehe unten) Ahnlicherweise gilt n 0 m 0 : Bemerkung: Seien X ; : : : ; X n lineare unabhangige m-vektoren Dann ist n m: Beweis: Die lineare Unabhangigkeit von X ; : : : ; X n bedeutet, da AY = 0 keine nicht-triviale Losung hat, wobei A die m n Matrix [X ; : : : ; X n ] ist Wir haben aber gesehen, da dies nur der Fall sein kann, wenn n m: Damit haben wir bewiesen, da Zeilenrang und Spaltenrang immer gleich sind Wir konnen daher einfach Rg (A) (Rang von A) fur diese Groe schreiben

22 Da die Zeilen von A t genau die Spalten von A sind, konnen wir unsere Aussage folgendermaen formulieren: Rg (A) = Rg (A t ): Bemerkung: Es ist klar, da die elementaren Zeilenformungen keine Anderung des Zeilenranges einer Matrix A induzieren Daher gilt Rg (A) = Rg ( ~ A) wobei ~ A die Hermitesche Normalform von ~ A ist Aber der Rang von ~ A ist genau die Zahl der nicht verschwindenden Zeilen von ~ A Denn diese Zeilen sind linear unabhangig Mit Hilfe des Ranges kann man fruhere Aussagen uber Gleichungssysteme neu formulieren Satz: Das m n Gleichungssystem AX = Y ist genau dann immer losbar, wenn Rg (A) = m Beweis: Wir haben gesehen, da AX = Y genau dann fur jedes Y losbar ist, wenn AX ~ = Z fur jedes Z losbar ist Dabei ist A ~ eine Hermitesche Normalform von A Dies aber ist genau dann der Fall, wenn keine Zeile von A ~ verschwindet, dh wenn rang A ~ = m Aber Rg A = Rg A ~ qed Korollar: Sei A eine n n Matrix Dann ist A genau dann invertierbar, wenn Rg A = n: Beweis: ) Wenn A invertierbar ist, dann ist AX = Y fur jedes Y losbar, dh Rg A = n: ) Wenn Rg A = n; dann sind die Gleichungen a x + + a n x n = y a n x + + a nn x n = y n aber auch die Gleichungen a x + a x + + a n x n = y a n x + a n x + + a nn x n = y n (die der transponierten Matrix A t entsprechen) immer losbar Wahlen wir die Vektoren E k auf der rechten Seite, so sehen wir, da A sowohl eine links- als auch eine Rechtsinverse hat Daher ist A invertierbar

23 Elementare Spaltenumformungen: Entsprechend den elementaren Zeilenumformungen und ihren Matrizenrealisierung haben wir ) Vertauschung von i-ter und j-ter Spalten, dh Rechtsmultiplikation mit U i;j : ) Addition von j-ter Spalten zur i-ten Spalte, dh Rechtsmultiplikation mit P i;j : ) Multiplikation der i-ten Spalte mit (= 0); dh Rechtsmultiplikation mit M i : Spaltenfor- Wir versuchen nun (unter Verwendung elementarer Zeilen - bzw mungen) eine Matrix auf moglichst einfache Form zu reduzieren Zunachst haben wir die Hermitesche Normalform: 0 0 : : : ~a ;j + : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ~a n 0 0 : : : 0 : : : 0 ~a ;j + ~a n 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 : : : ~a r;jr + : : : ~a rn 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 Durch Spaltenvertauschung erreichen wir eine matrix der Gestalt: ~a ;j + : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ~a n 0 : : : 0 0 : : : 0 ~a ;j + ~a n 0 : : : 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ~a r;jr + : : : ~a rn 0 : : : 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :0 : : : 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :0 : : : 0 Substraktion eines geeigneten Vielfachen der ersten Spalte bekommen wir die Ma-

24 trix 0 : : : 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 : : : 0 ~a ;j + ~a n 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 : : : ~a r;jr + : : : ~a rn 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 Setzen wir fort, so bekommen wir eine Matrix der Gestalt Ir Zusammenfassend: Satz: Sei A eine Matix Dann gibt es invertierbare Matrizen P; Q; soda P Ir 0 AQ = 0 0 wobei r der Rang von A ist und daher von der Wahl von P; Q unabhangig Blockdarstellungen: Bei der Rechnung mit Matrizen ist es oft nutzlich, die Matrix in kleinere Matrizen zu zerlegen ZB konnen wir die Matrix A = in Matrizen ; zerlegen 0 0 ; ; 0 0 Wir schreiben wobei A A A = A A = A

25 usw Allgemeiner: Sei A eine m n Matrix und 0 = m 0 < m < < m r = m; 0 = n 0 < n < < n s = n: Wir denieren eine (m i m i ) (n j n j ) Matrix A ij wie folgt: Dann ist A ij = eine Blockdarstellung von A: a mi +;n j + : : : a mi n j a mi ;n j + : : : a mi ;n j A = A A : : : A s A r A r : : : A rs Angenommen wir haben Blockdarstellungen ; B = A = A : : : A s B : : : B t A r : : : A rs B s : : : B st mit A eine m n bzw B eine n p Matrix mit entsprechenden Zerlegungen 0 = m 0 < < m r = m 0 = n 0 < < n s = n 0 = p 0 < < p t = n (dh die Zerlegung der Spalten von A entspricht der der Reihen von B) Dann gilt AB = C : : : C t C s : : : C st wobei C ik = s P j= A ij B jk Beispiel: Sei A = B C 0 D eine Blockdarstellung der n n Matrix A wobei B eine n n Matrix ist Dann ist A genau dann invertierbar, wenn B, D invertierbar sind Es gilt: B A B = CD 0 D :