1 Aufgabe 4 vom Abitur 2010 zum Themenbereich Lineare Algebra
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- Kristin Baum
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1 SZ Neustadt Bremen Torsten Warncke Mathematik. April Aufgabe vom Abitur 20 um Themenbereich Lineare Algebra Zwei Waschbärenpaare wurden 19 erstmalig in Deutschland am Edersee in Hessen ausgesett. Bis dahin gab es die putigen, nordamerikanischen Tiere nicht wild in Deutschland. Inwischen haben sich die Waschbären stark verbreitet und ihren Lebensraum sowohl in Wäldern als auch in Städten gefunden. Trot genetischer Armut der Population hat sich diese prächtig entwickelt. Wie in der Populationsdynamik üblich, werden in dieser Aufgabe nur weibliche Waschbären (Fähen) betrachtet. Diese werden in drei Altersklassen eingeteilt: w Anahl nicht geschlechtsreifer weiblicher Tiere, von der Geburt bis u einem Jahr (Welpen). j Anahl junger, gerade geschlechtsreifer Fähen, von einem bis wei Jahren (Junge). r Anahl reifer Fähen, wei Jahre und älter (Reife). Eine Population von Fähen wird um Beobachtungsbeginn durch einen Populationsvektor v 0 = w j r dargestellt, mit Matri-Vektor-Multiplikation soll der Populationsvektor für das Folgejahr berechnet werden. Für eine im Wald lebende Population gilt: a) Junge, gerade geschlechtsreife Fähen bringen in jedem Jahr im Schnitt 1,9 weibliche Welpen ur Welt, reifere Fähen dagegen nur 1, Ca. 5% der Welpen sterben noch in ihrem ersten Lebensjahr, von den Jungen sterben jährlich ca. % und von den Reifen ca. 58%. Geben Sie für die Überlebens- und Geburtenraten ein Übergangsdiagramm an. Entscheiden Sie, welche der drei Matrien 0 0, ,9 1, A= 1,9 0 0,57, B= 0, , 0 0,2 0 0,57 0,2, C= 0 1,9 1, 0 0, 0,58 dem Übergangsdiagramm entspricht, so dass für eine Anfangspopulation v 0 mit der Matri-Vektor-Multiplikation eine Vorhersage über die Entwicklung der Waschbärenpopulation gemacht werden kann. Begründen Sie mit jeweils einem Argument, warum die beiden anderen Matrien nicht geeignet sind. (6 Punkte) 1
2 SZ Neustadt Bremen Torsten Warncke Mathematik. April 2011 In den Städten sind die Lebensbedingungen für die etrem anpassungsfähigen Waschbären noch besser. Die folgende Matri P beschreibt die Waschbärenpopulation in einer Stadt S relativ gut. P = 0 0,6 0,5 Gehen Sie davon aus, dass sich die Waschbären in der Stadt S über einen Zeitraum von mehr als 25 Jahren gemäß der Matri P ausbreiten konnten. Für P 2 gilt auf eine Nachkommastelle gerundet: P 2 = 82,6 206,6 15,9,1 82,6 62,0 2,8 62,0 6,5 Nach 2 Jahren ählt man in der Stadt S insgesamt 26 Fähen mit ca. 2,5% Jungen und,5% Reifen. b) Geben Sie v 2, die Verteilung nach 2 Jahren, in absoluten Zahlen (auf gane Zahlen gerundet) an. Zu Beginn der Waschbärenbeobachtung (um Zeitpunkt 0) soll ein Paar mit einer reifen Fähe in S gelebt haben. Zeigen Sie, dass diese Angabe stimmen kann. Berechnen Sie v 25 auf gane Zahlen gerundet. Zeigen Sie, dass die proentuale Verteilung nach 25 Jahren mit der nach 2 Jahren übereinstimmt, wenn man auf gane Proentpunkte rundet. Berechnen Sie den proentualen Zuwachs der Fähen vom 2. um 25. Jahr. Welche Vermutung können Sie aus den Ergebnissen für das langfristige Wachstumsverhalten der Waschbären ableiten? Geben Sie diese Vermutung an und begründen Sie sie. (11 Punkte) c) Die Matri P besitt eine stabile Verteilungmit Wachstumsfaktor k= 5 = 1,25. Geben Sie ein lineares Gleichungssystem(LGS) an, mit dem man die ugehörige stabile proentuale Verteilung v s berechnen kann. Zeigen Sie, dass v s = 1 die stabile proentuale Verteilung ist. Aufgrund von Beobachtungen geht man davon aus, dass in Städten ca. 5 weib- 2
3 SZ Neustadt Bremen Torsten Warncke Mathematik. April 2011 liche Waschbären pro Quadratkilometer leben können. Die Stadt S hat eine ungefähre Ausdehnung von 0 km 2. Bereits nach 20 Jahren wurde in S eine stabile Verteilung mit 8 Fähen erreicht. Berechnen Sie, nach wie vielen weiteren Jahren die Tiere erstmalig in das ländliche Umland abwandern müssen, da der städtische Lebensraum überfüllt ist. Die Ausbreitung entspricht weiterhin der Matri P. (8 Punkte) 2 Ausführliche Lösung a) Aus dem Tet folgt, dass 0%-5%=0,6 der Welpen in einem Jahr u Jungen werden. Aus den Jungen werden u 0%-%=0,57 reife Fähen. Von den Reifen erleben 0%- 58%=0,2 das folgende Jahr. Pro junge Fähe gibt es 1,9 Welpen, pro reife Fähe gibt es 1, Welpen. Diese Angaben ergeben das nebenstehende Übergangsdiagramm. w 1,9 0,6 j 0,57 1, r 0,2 Die Matri B korrespondiert u obigem Diagramm. Matri A ist schon deshalb nicht geeignet, da die erste Zeile besagt, dass die reifen Fähen keine Welpen ur Welt bringen. Matri C enthält statt der Geburtenraten die angegebenen Sterberaten. b) Der Anteil der Welpen beträgt 0% abüglich 2,5% Jungen und,5% Reifen, also 59%, von insgesamt 26 Weibchen. 0, Gerundet ergibt sich demnach v 2 = 26 0,25 62, als Verteilung nach 2 0,5 6 Jahren. Zum Vergleich betrachten wir den Anfangsustand mit nureinem reifen Weibchen nach2jahren: P 2 v 82,6 206,6 15, =,1 82,6 62, (was insgesamt übrigens 2,8 62,0 6, Weibchen entspricht!) Also im Rahmen der Rundungsgenauigkeit stimmen beide Ergebnisse überein, es kann also sein, dass die gesamte Population Nachkommen eines einigen Pärchens sind. Ein Jahr später ergibt sich folgende Verteilung, wenn wir auf v 2 noch einmal P los-
4 SZ Neustadt Bremen Torsten Warncke Mathematik. April 2011 lassen: v 25 = P v 2 = 0 0,6 0, mitinsgesamt = 29 Fähen nach 25 Jahren. Rechnen wir nun die gerundeten Proentpunkte aus: 155/26 59% 19/29, 62/26 2% 78/29 und schließlich 6/26 18% 58/29. Pi mal Daumen haben wir jett sowas wie eine fast stabile proentuale Verteilung, die insgesamt mit dem Wachstumsfaktor 29/26 1,25 anwächst, d.h. die Population wächst jährlich um 25%. Die Vermutung ist, dass die nach 2 Jahren erreichte Verteilung fast stabil ist und die Population danach konstant mit dem Wachstumsfaktor k= 29 1,25 anwächst. 26 c) Für die stabile proentuale Verteilung v s = y gilt: P v s = k v s = 0 0,6 0,5 y =1,25 y =1,25 E v s Um die stabile Verteilung (ohne Wachstumsfaktor k) ausurechnen haben wir bislang immer P E = 0 in den Casio f-991es (MODE 5,2) eingeben und die lette Zeile durch eine Gleichung + y+ = 1 ersett. Das Vorgehen ur Bestimmung von v s ist jett gan analog, nur dass wir statt P E nun P 1,25 E haben. Aus P 1,25 E= 0und + y+ =1ergibt sich das LGS(als erweitertekoeffiientenmatri geschrieben): 1,25 2 1,5 0 0,5 1, ,6 0, Die rechnerische Lösung des LGS klappt wie gehabt mit dem Casio f-991es(mode 5,2), wenn wir die. Zeile ersatlos streichen (mit MODE 6 können wir überprüfen, dass die Determinante von P 1,25 E gleich null ist, so dass wieder die dritte Zeile durch Einsen aufgefüllt werden kann, ohne dass Information verschenkt wird): X= Y= Z=. Andererseits ist von uns gar nicht gefordert, v s u bestimmen. Wir müssen nur überprüfen,obdasgegebene v s einestationäreverteilungist,d.h.wirmüsseneigen,dass es die Gleichungen des LGS erfüllt. Wir sparen uns etwas Zeit, dass wir obiges LGS gar nicht selbst lösen müssen! Multipliieren wir gegebenes P mit gegebenem v s = 1
5 SZ Neustadt Bremen Torsten Warncke Mathematik. April 2011 ergibt sich tatsächlich P v s = 1 0 0,6 0,5 = 1 12,5 5,75 = 1,25 =1,25 1 =1,25 v s. v s erfüllt also tatsächlich alle Gleichungen, inklusive 1 (++)= 1, d.h. v s ist eine stabile (proentuale) Verteilung. Absolut wachsen ja die einelnen Anahlen eponentiell mit dem Wachstumsfaktor k = 1,25 an, d.h. es handelt sich nicht um eine absolute stabile Verteilung! Die Kapaität ist 5 0=500 Fähen (bei Parität also rund 9000 Waschbären insgesamt) für die Stadt S. Nach 20 Jahren waren es bereits 8 Fähen. Wenn die Anahl der Waschbären weiter eponentiell wächst, so muss man folgende Gleichung lösen: 8 1,25 n = 500.Mathematisch hilft hier der Rhythmus,wo jeder mit muss: der natürliche Logarithmus, denn n = ln(500/8)/ ln(1,25) 16,71591, im einelnen: 8 1,25 n = 500 : 8 1,25 n = (e ln1,25 ) n = e ln 500 (als e-funktion schreiben) 8 (Potenregel) e ln1,25 n 500 ln = e 8 ln ln1,25 n=ln n= ln(500/8) ln(1,25) : ln(1,25) Man kann aber beim eponentiellen Wachstum auch annehmen, dass nicht allu oft mit 1,25 multipliiert werden muss, bis 500 erreicht bw. überschritten ist. Tippt man 8*1,25 in den Taschenrechner und multipliiert sukessive mit 1,25, so ist nach Schritten 500 überschritten: 8 1,25 796> 500. Bleibt die Zunahme unverändert, so müssen einige Waschbären erstmalig nach ca. weiteren Jahren ins Umland übersiedeln, da die Population erstmalig die Kapaität der Stadt S überschritten hat. 5
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