Gedämpftes Quantentunneln in makroskopischen Systemen

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1 Gedämpftes Quantentunneln in makroskopischen Systemen Kerstin Helfrich Seminar über konforme Feldtheorie,

2 Gliederung 1 Motivation 2 Voraussetzungen Allgemein Ungedämpfter Fall 3 Gedämpftes Tunneln Ansatz Auswertung des Pfadintegrals 4 Zusammenfassung 5 Literatur

3 Motivation Verbesserungen in der Kühltechnik führen zur Messbarkeit von Tunneleffekten auf makroskopischer Ebene praktische Anwendung: SQUIDs (superconducting quantum interference devices) Unterschied zu mikroskopischen Systemen: Wechselwirkung mit Umwelt Reibungs- bzw. Viskositätskoeffizienten

4 Allgemein T = 0 (absoluter Nullpunkt) makroskopische Koordinate des Systems: q(t) Potential V(q) Masse M, Frequenz V (q)/m = ω o klassische Bewegungsgleichung: M q + η q = dv dq + F ext mit F ext = 0, E V o gedämpfte Schwingung mit γ = η/2m Annahme: Kopplung zwischen System und Umwelt ist schwach und somit linear (verträglich mit γ ω o )

5 Tunnelwahrscheinlichkeit: e P = x HT f x i = N [dx] e S Mit Hilfe eines Systems von Eigenzuständen (H n = E n n ) erhält man über P = n e E nt x f n n x i für große T den niedrigsten Energie-Eigenwert. Wirkung: S = [ T /2 T /2 dt 1 ( dx ) 2 ] 2 dt + V [dx] bedeutet, dass die Integration über Wege mit x( T /2) = x i und x(t /2) = x f ausgeführt wird. Mit der speziellen Lösung x(t) erhält man: x(t) = x(t) + n c nx n (t). Hierbei sind die x n ein orthonormales ( Set von Funktionen T /2 T /2 dt x n(t) x m (t) = δ nm ), die auf dem Rand verschwinden.

6 somit: [dx] = n (2π ) 1 2 dc n stationärer Punkt: δs δx = d 2 x dt 2 + V (x) = 0 Wähle die x n so, dass gilt: d 2 x n dt 2 Rechnung siehe Tafel P = Ne S(x) det [ 2 x + V (x) λ n > 0 angenommen wird. + V (x)x n = λ n x n ] 1 2 [1 + O( )] wobei Die Gleichung d 2 x V (x) = 0 aus der Variation der dt 2 Wirkung ist gleich der Bewegungsgleichung für ein Teilchen im Potential V (x)

7 Einfacheres Beispiel: x i = x f = 0 S = 0 für x = 0 mit ω 2 = V (0) Man erhält für große T: N det( 2 t + ω 2 ) 1 2 = ( ω π ) 1 2 e ω 2 T

8 Zurück zum ursprünglichen Potential: Für T erhält man den Bounce E = 0 = 1 2 ( dx dt )2 V (x) S = B = dt( dx dt )2 = σ 0 dx [2V (x)] 1 2 Bei einer Konfiguration mit n Bounces an den Stellen t 1...t n (mit T /2 > t 1 >... > t n > T /2), wird das Pfadintegral durch Summation ausgewertet

9 S = nb ( ω π ) 1 2 e ωt 2 K n, wobei K später definiert wird. Integration über alle Bounce-Zentren: n=0 T /2 T /2 ( ω π ) 1 2 e ωt 2 dt 1 t1 T /2 (Ke B T ) n n! tn 1 dt 2... dt n = T n T /2 n! = ( ω π )1/2 exp [ ωt2 ] + Ke B T Man liest ab: E o = ω 2 Ke B

10 Für den einzelnen Bounce: Es muss einen EW geben mit λ 1 = 0 x 1 = B 1 2 dx dt keine Integration über dc 1 möglich! aber: dx = ( dx dt )dt = x 1dc 1 = x 1 B 1 2 dt (2π ) 1 2 dc = ( B 2π ) 1 2 dt Problem: dx dt hat eine Nullstelle, so dass x 1 einen Knoten besitzen muss. Es gibt eine Eigenfunktion mit niedrigerem Eigenwert. x o hat einen negativen EW. Der Bounce ist ein Sattelpunkt und die Integration ist nicht durchführbar.

11 Lösung: Analytische Fortsetzung Parametrisierung des Pfadintegrals durch reelles z J = dz(2π ) 1 2 e S(z) z = 0 : x = 0 z = 1 : Bounce Bei z = 1 ist die Tangente x o

12 Konturintegral in der komplexen Ebene ImJ = Im 1+i 1 dz(2π ) 1 2 e S(1) S(1) e S (1) 1 2 = 1 2 ImP 1bounce = 1 2 N e B ( B ) 1 2 2π T e 1 2 S (1) (z 1)2 [ ] det t 2 + V 1/2 (x) wobei det bedeutet, dass beim Berechnen der Determinante alle 0-Eigenwerte ausgelassen werden.

13 Der Vergleich zu K liefert: ImK = 1 2 ( ) 1 B 2 2π [ ] det t 2 + V (x) det( t 2 + ω 2 ) 1 2 = 1 2 Γ = 2ImE o ( ) B 1/ π = ( ) 1 B 2 e B 1 2 2π

14 Ansatz Äußere Koordinaten {x α } Wechselwirkung: L E = 1 2 M q 2 + V (q) α m αẋα α m αωαx 2 α 2 + q α c αx α Green s Funktion: K (q i, q f ; τ) = α dx α i K (q i, q f, {x αi }, {x αf }; τ) xαi =x αf = dx α Ψ n(q i, {x α })Ψ n (q f, {x α })e E nτ n α Spektraldarstellung Für großes τ erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichte und die Energie des metastabilen Grundzustandes. mit K (q i, q f, {x αi }, {x αf }; τ) = q(t)=qf q(0)=q i Dq(t) {xα(τ)}={x αf } {x α(0)}={x αi } α Dx α (t) e τ 0 L E (q(t),{x α(τ)})dt/

15 Auswertung des Pfadintegrals Rechnung siehe Tafel Alles zusammen liefert: K (q i, q f ; τ) = q f q i Dq(t) exp [ S eff {q(t)}/ ], wobei hier gilt: S eff = [ τ M q ] 2 + V (q) dt τ 0 dtdt α(t t ) q(t)q(t ) + const. = τ 0 [ 1 2 M q 2 + V (q) ] dt + η 4π [ ] τ 0 dtdt q(t) q(t 2 ) t t α(t t ) = 1 2π 0 [ ] q(t)q(t ) = 1 2 q 2 (t) q 2 (t ) J(ω) ω ωc = ηω J(ω)e ω t t dω 1 2 [ ] 2 q(t) q(t )

16 Zusammenfassung mit S eff = B = [ 1 2 M q ] 2 + V (q) τ O(ω o ) P QM = ( ) B 1 2 e B 1 2 2π dt + η 4π [ ] τ 0 dtdt q(t) q(t 2 ) und t t Tunneln wird unterdrückt durch einen Faktor e η( q)2 A/, wobei A O(1) für den SQUID: q eingeschlossener Fluss, η normaler Leitwert der Kontaktstelle

17 Literatur A.O. Caldeira und A.J. Leggett, Phys. Rev. Lett. 48, 211 (1981) C.G. Callan and S. Coleman, Phys. Rev. D16, 1762 (1977) R.P. Feynman, Statistical Mechanics (Benjamin, New York, 1972), pp. 78