Seminar im Wintersemester 2010/2011: Quantitative und implementierte Methoden der Marktrisikobewertung

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1 M.Sc. Brice Hakwa Seminar im Wintersemester 2010/2011: Quantitative und implementierte Methoden der Marktrisikobewertung - Zusammenfassung zum Thema: Berechnung von Value-at-Risk Die Berechnung des VaR kann grundsätzlich auf drei Wegen erfolgen: 1. Analytisch Parametrisch 2. Historische Simulation nicht Parametrisch 3. Monte-Carlo-Simulation Parametrisch Und hängt von der Wahl des Wertänderungsmodelles.z.B.: diskrete Rendite: Rt,t + 1 = +1 1 stetige Rendite: rt,t + 1 = ln St+1 P&L-Funktion: Lt,t + 1 = +1 I Analytische Verfahren Delta-Normal-Methode Die Delta-Methode basiert auf die Annahme dass, die Wertänderungen normalverteilt sind. - Berechnung von Value-at-Risk einzelnen Positionen Betrachtet man die drei verschiedenen Modelle der Wertänderung von Finanzprodukt die wir untersucht haben. Dann bekommt man unter Normalverteilungsannahme unterschiedlichen Formeln für die analytische Berechnung des VaR eines Finanzposition.

2 1. Annahme über normalen Verteilung der diskreten Rendite. D.h. Rt,t + 1 Nµ, 2 +1 = µ + W mit W N0,1 Zur Erinnerung: VaRα und L sind wie folgt definiert, PrL VaRα und L t = +1. Wir erhalten dann durch mathematische Transformationen folgende Äquivalenzen. L PrL VaRα =Pr VaR L = Pr VaR = Pr µ + W VaR VaR S = Pr W t = 1 Φ VaR Φ VaR = 1 α VaR = Φ 1 1 α VaR = Φ 1 1 α VaR = Φ 1 1 α VaR = Φ 1 1 α 1 2

3 2. Annahme über normalen Verteilung der stetigen Rendite. D.h. r t := ln St+1 Nµ, 2. Es gilt dann PrV VaR = PrV VaR = Pr +1 VaR St+1 = Pr VaR S t St+1 = Pr VaR S t St+1 VaR St = Pr ln ln VaR St = Pr r t ln. Daraus folgt Φ ln VaR St µ = 1 α VaR St ln = Φ 1 1 α VaR + = e Φ 1 α+µ VaR = e Φ 1 α+µ VaRV ;α = 1 e Φ 1 1 α+µ 2 3. Annahme über normalen Verteilung der Verlustverteilung. D.h. L t = +1 Nµ, 2. Es gilt dann: Pr L VaR L µ Pr VaR µ VaR µ Φ VaR µ = Φ 1 α VaR = Φ 1 α 3 3

4 - Berechnung von Varlue-at-Risk von Portfolios mit N 2 Positionen Die Delta-Normal-Methode für Portfolios liegt einem Linearen Portfolio zu Grunde. D.h.: P = n i=1 α i X i 4 Wobei P = Wertänderung des gesamten Portfolios. X i = Wertänderung eines Position i α Koeffizient bzw. Sensitivität des gesamten Portfolios bezüglich X i Unter diesen Annahmen Normal-Verteilung der einzelnen Risikofaktoren X i, Linearität des Portfolios, sind die Wertänderungen des zu grundlegenden Portfolios P auch normalverteilt mit Parametern: µ p T µ P = α T Σα 5 mit α, µ R n und Σ R n n µ 1 α COV 12 COV 1n µ µ = 2. α Rn, α = 2. COV Rn, Σ = COV 2n Rn n 6 µ n α n COV n1 COV n2 2 n Die VaR wird dann aus der Gleichung 1, 2 und 3 berechnet. Bemerkung 1. Betrachtet man den Mean-VaR anstelle der normalen VaR, so kann der VaR p nach Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz für n= 2 wie folgt berechnet werden. VaR p = 1 ρ 12 VaR 1 VaR1,VaR 2 7 ρ 21 1 VaR 2 = VaR 2 1 +VaR ρ 12 VaR 1 VaR 2 8 Die Gleichung 8 lässt sich unter Betrachtung von drei Fällen analysieren. 1. Fall 1 ρ = 1 VaR p = VaR 1 +VaR 2 Ökonomische Interpretation: Kein Diversifikationseffekt 2. Fall 2 ρ = 1 VaR p = VaR 1 VaR 2 Ökonomische Interpretation: Es ist der Idealfall für die Diversifizierung nach Markowitz. Es gibt einen perfekten Hedge wenn VaR 1 = VaR 2 VaR p = 0 3. Fall 3 ρ = 0 VaR p = VaR 2 1 +VaR2 2 4

5 Bemerkung 2. Cornish-Fisher-Adjustierung für den VaR. Wie schon erwähnt, liegt der VaR eine Normalverteilung der Wertänderungen zugrunde. Es notwendig, Methoden der Anpassung des VaR z.b. Cornish-Fisher-Methode zu untersuchen. Da die Normalverteilungshypothese in meisten Fällen verletzt ist. Ist Definition 1. Cornish-Fisher-Adjustierung ist ein Methode um das Quantil einer Verteilungsfunktion auf Basis der ersten vier Momente Erwartungswert, Standardabweichung, Schiefe γ und Kurtosis δ zu approximieren. es gilt nämlich: ˆq α = q α q2 α 1 γ q3 α 3q α δ q3 α 5q α γ 2 Dabei entspricht q α dem Wert der invertierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung an der Stelle α. Betrachten mann z.b. die Gleichung 3, Der modifizierte VaR ist dann: VaR c f = ˆq α 9 II Historische Simulation nicht parametrisches Modell Die Historische Simulation verwendet historische Zeitreihen, um in der Vergangenheit tatsächlich vorgekommene Marktveränderungen zu identifizieren, mit deren Hilfe der value-at-risk berechnet wird. Es ist bei der historischen Simulation keine explizite Annahmen über die statistischen Eigenschaften z.b. Verteilung, Kovarianzmatrix der Wertänderungen von Risikofaktoren nötig, man spricht also von Nicht-Parametrischen Modell. Hier wird der VaR durch der α quantil von der letzten N empirischen Renditen geschätzt. 5

6 III Monte-Carlo-Simulation Die Monte-Carlo-Simulation ist wie die Delta-Normal-Methode eine parametrische Methode. Hier wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Risikofaktoren Anhand einer großen Zahl von Szenarien erzeugt, und dann wie bei der historischen Simulation den α Quantil berechnet. Dabei werden die Szenarien anhand der geschätzten statistischen Eigenschaften der vorgegebenen Wertänderungsverteilung oder Prozess simuliert. Abbildung 1: Source: d-fine 6

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