Statistik. R. Frühwirth. Statistik. VO Februar R. Frühwirth Statistik 1/453

Transkript

1 VO Februar /453

2 Übersicht über die Vorlesung Teil 1: Deskriptive Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 3: Zufallsvariable Teil 4: Parameterschätzung 2/453

3 Übersicht über die Vorlesung Teil 5: Testen von Hypothesen Teil 6: Regressionsanalyse Teil 7: Simulation von Experimenten 3/453

4 Poissonverteilte Teil 5 Testen von Hypothesen 376/453

5 Übersicht Teil 5 Poissonverteilte /453

6 Abschnitt 16: Poissonverteilte /453

7 Poissonverteilte Wir beobachten eine Stichprobe X 1,..., X n aus einer Verteilung F. Ein Test soll feststellen, ob die Beobachtungen mit einer gewissen Annahme über F verträglich sind. Die Annahme wird als Nullhypothese H 0 bezeichnet. Ist die Form von F bis auf einen oder mehrere Parameter spezifiziert, heißt der Test parametrisch. Ist die Form von F nicht spezifiziert, heißt der Test nichtparametrisch oder parameterfrei. Der Test entscheidet, ob die Stichprobe mit der Hypothese vereinbar ist, nicht ob die Hypothese richtig ist! 379/453

8 Allgemeine Vorgangsweise Poissonverteilte Aus der Stichprobe wird eine Testgröße (Teststatistik) T berechnet. Der Wertebereich von T wird, in Abhängigkeit von H 0, in einen Ablehnungsbereich (kritischen Bereich) C und einen Annahmebereich C unterteilt. Fällt der Wert von T in den Ablehnungsbereich, wird H 0 verworfen. Andernfalls wird H 0 vorläufig beibehalten. Das ist jedoch keine Bestätigung von H 0. Es heißt lediglich, dass die Daten mit der Hypothese vereinbar sind. 380/453

9 Signifikanz und Güte Poissonverteilte Bei jedem Testverfahren sind zwei Arten von Fehlern möglich. 1 Fehler 1. Art: Die Hypothese H 0 wird abgelehnt, obwohl sie zutrifft. 2 Fehler 2. Art: Die Hypothese H 0 wird beibehalten, obwohl sie nicht zutrifft. Die Verteilung von T unter Annahme von H 0 wird bestimmt. Der Ablehnungsbereich wird so festgelegt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art maximal gleich einem Wert α ist. α heißt das Signifikanzniveau des Tests. Gängige Werte sind α = 0.05, 0.01, /453

10 Poissonverteilte Ist der Ablehnungsbereich festgelegt, kann für eine Gegenhypothese H 1 die Wahrscheinlichkeit β(h 1 ) eines Fehlers 2. Art berechnet werden. 1 β(h 1 ) heißt die Güte des H 1. Die Güte sollte nie kleiner als α sein. Ist die Güte nie kleiner als α, heißt der Test unverzerrt. Ein Ziel der Testtheorie ist es, unverzerrte Tests mit maximaler Güte (UMPU) zu konstruieren. 382/453

11 Abschnitt 17: Poissonverteilte Poissonverteilte /453

12 Unterabschnitt: Poissonverteilte Poissonverteilte /453

13 Poissonverteilte Wir betrachten eine Stichprobe X 1,..., X n aus einer Verteilung F, die bis auf einen oder mehrere Parameter spezifiziert ist. Tests von Hypothesen über F heißen parametrisch. Eine Nullhypothese H 0 kann als eine Teilmenge des Parameterraums Θ aufgefasst werden. Der Test entscheidet, ob die Stichprobe mit der Hypothese vereinbar ist. Vor der Anwendung ist zu klären, ob die angenommene parametrische Form plausibel ist. 385/453

14 Poissonverteilte Zunächst wird die Teststatistik T und das Signifikanzniveau α gewählt. Dann wird der kritische Bereich C so festgelegt, dass W (T C ϑ H 0 ) α Zu einer Nullhypothese H 0 kann eine Gegenhypothese H 1 formuliert werden. H 1 kann ebenfalls als Teilmenge des Parameterraums Θ aufgefasst werden. Ist das Signifikanzniveau α festgelegt, kann für jedes ϑ H 1 die Güte berechnet werden: 1 β(ϑ) = W (T C ϑ H 1 ) 1 β(ϑ) heißt die Gütefunktion des Tests. 386/453

15 Poissonverteilte Beispiel mit Exponentialverteilung X 1,..., X n ist eine exponentialverteilte Stichprobe aus Ex(τ). Die Hypothese H 0 : τ = τ 0 soll anhand der Stichprobe getestet werden. Als Teststatistik T wählen wir das mittel: T = X. Unter Annahme von H 0 hat T die folgende Dichte: t n 1 ( f(t) = (τ 0 /n) n Γ(n) exp t ) τ 0 /n T ist also verteilt gemäß Ga(n, τ 0 /n). H 0 wird abgelehnt, wenn T von seinem Erwartungswert weit entfernt, also relativ klein oder relativ groß ist. 387/453

16 Poissonverteilte Ein Verwerfungsbereich mit Signifikanzniveau α ist die Menge C = [0, Q α/2 ] [Q 1 α/2, [ wo Q p das Quantil der Ga(n, τ 0 /n)-verteilung zum Niveau p ist. Die Gütefunktion für einen Wert τ ergibt sich durch: 1 β(τ) = W (T C) = G(Q α/2 ) + 1 G(Q (1 α)/2 ) wo G die Verteilungsfunktion der Ga(n, τ/n)-verteilung ist. Der Test ist nicht unverzerrt, da z.b. für τ 0 = 1 und n = 25 1 β(0.986) = < α Matlab: make test exponential mean.m 388/453

17 Poissonverteilte 1 β(τ) Gütefunktion (τ 0 =1) 0.1 n=25 n= τ 389/453

19 Poissonverteilte Erwartungswert bei bekannter Varianz X 1,..., X n ist eine normalverteilte Stichprobe aus No(µ, σ 2 ) mit bekanntem σ 2. Die Hypothese H 0 : µ = µ 0 soll anhand der Stichprobe gegen die Alternativhypothese H 1 : µ µ 0 getestet werden. Als Teststatistik T wählen wir das Standardscore des mittels: n(x µ0 ) T = σ Unter Annahme von H 0 ist T verteilt gemäß No(0, 1). H 0 wird abgelehnt, wenn T von seinem Erwartungswert weit entfernt, also relativ klein oder relativ groß ist. 391/453

20 Poissonverteilte Ein Verwerfungsbereich mit Signifikanzniveau α ist die Menge C =], z α/2 ] [z 1 α/2, [ wo z p das Quantil der Standardnormalverteilung zum Niveau p ist. Die Hypothese H 0 wird also abgelehnt, wenn n X µ0 T = > z 1 α/2 σ Die Gütefunktion für einen Wert µ ergibt sich durch: 1 β(µ) = W (T C) = G(z α/2 ) + 1 G(z (1 α)/2 ) wo G die Verteilungsfunktion der No( n(µ µ 0 )/σ, 1)- Verteilung ist. Der Test ist unverzerrt. Matlab: make test normal mean.m 392/453

21 Poissonverteilte 1 β(µ) Gütefunktion des zweiseitigen Tests (µ 0 =1) 0.1 n=25 n= µ 393/453

22 Poissonverteilte Einseitiger Test Die Hypothese H 0 : µ = µ 0 soll mit der Teststatistik T gegen die Alternativhypothese H 1 : µ > µ 0 getestet werden. H 0 wird abgelehnt, wenn T zu groß ist. Ein Verwerfungsbereich mit Signifikanzniveau α ist die Menge C = [z 1 α, [ Die Hypothese H 0 wird also abgelehnt, wenn ( ) n X µ0 T = σ > z 1 α 394/453

23 Poissonverteilte Die Gütefunktion für einen Wert µ > µ 0 ergibt sich durch: 1 β(τ) = W (T C) = 1 G(z 1 α ) wo G die Verteilungsfunktion der No( n(µ µ 0 )/σ, 1)- Verteilung ist. Analog verläuft der Test mit H 1 : µ < µ 0. Matlab: make test normal mean.m 395/453

24 Poissonverteilte 1 β(µ) Gütefunktion des einseitigen Tests (µ 0 =1) 0.1 n=25 n= µ 396/453

25 Poissonverteilte Erwartungswert bei unbekannter Varianz: t-test X 1,..., X n ist eine normalverteilte Stichprobe aus No(µ, σ 2 ) mit unbekanntem σ 2. Die Hypothese H 0 : µ = µ 0 soll anhand der Stichprobe gegen die Alternativhypothese H 1 : µ µ 0 getestet werden. Als Teststatistik T wählen wir das Standardscore des mittels, unter Benützung der varianz S 2 : n(x µ0 ) T = S Unter Annahme von H 0 ist T verteilt gemäß t(n 1). 397/453

26 Poissonverteilte H 0 wird abgelehnt, wenn T von seinem Erwartungswert weit entfernt, also relativ klein oder relativ groß ist. Ein Verwerfungsbereich mit Signifikanzniveau α ist die Menge C =], t n 1 α/2 ] [tn 1 1 α/2, [ wo t n 1 p das Quantil der t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden zum Niveau p ist. Die Hypothese H 0 wird also abgelehnt, wenn T = n X µ 0 S > t n 1 1 α/2 398/453

27 Poissonverteilte Die Gütefunktion für einen Wert µ ergibt sich durch: 1 β(τ) = W (T C) = G(z α/2 ) + 1 G(z (1 α)/2 ) wo G die Verteilungsfunktion der nichtzentralen t(n 1, δ)-verteilung mit ist. Der Test ist unverzerrt. δ = n(µ µ 0 )/σ Matlab: make test normal mean.m 399/453

28 Poissonverteilte 1 β(µ) Gütefunktion des zweiseitigen t Tests (µ 0 =1) 0.1 n=25 n= µ 400/453

29 Gleichheit von zwei Erwartungswerten Poissonverteilte X 1,..., X n und Y 1,..., Y m sind zwei unabhängige normalverteilte Stichprobe aus No(µ x, σ 2 x) bzw. No(µ y, σ 2 y). Die Hypothese H 0 : µ x = µ y soll anhand der gegen die Alternativhypothese H 1 : µ x µ y getestet werden. Sind die Varianzen bekannt, wählen wir als Teststatistik T die Differenz der mittel: T = X Y Unter Annahme von H 0 ist T verteilt gemäß No(0, σ 2 x/n + σ 2 y/m). 401/453

30 Poissonverteilte Das Standardscore T Z = σx/n 2 + σy/m 2 ist dann standardnormalverteilt. Die Hypothese H 0 wird also abgelehnt, wenn oder Z > z 1 α/2 X Y > z 1 α/2 σx/n 2 + σy/m 2 402/453

31 Poissonverteilte Sind die Varianzen unbekannt und gleich, kann die Varianz aus der kombinierten ( gepoolten ) Stichprobe geschätzt werden: Unter Annahme von H 0 ist S 2 = (n 1)S2 x + (m 1)S 2 y n + m 2 T = X Y S2 (1/n + 1/m) t-verteilt mit n + m 2 Freiheitsgraden. Die Hypothese H 0 wird also abgelehnt, wenn T > t n+m 2 1 α/2 wo t n+m 2 1 α/2 das Quantil der t-verteilung mit n + m 2 Freiheitsgraden ist. 403/453

32 t-test für gepaarte Poissonverteilte Gepaarte (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) entstehen, wenn für jedes beobachtete Objekt die selbe Größe zweimal gemessen wird, vor und nach einer bestimmten Intervention. Die Wirkung der Intervention wird durch die Differenzen W i = Y i X i, i = 1,..., n beschrieben. Wir nehmen an, dass W 1,..., W n normalverteilt mit Mittel µ w und unbekannter Varianz σ 2 w ist. Die Hypothese H 0 : µ w = 0 (keine Wirkung der Intervention) soll anhand der Stichprobe gegen die Alternativhypothese H 1 : µ w 0 getestet werden. Dies erfolgt mit dem t-test für einzelne. 404/453

33 Poissonverteilte Test der Varianz X 1,..., X n ist eine normalverteilte Stichprobe mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ 2. Die Hypothese H 0 : σ 2 = σ 2 0 soll anhand der Stichprobe gegen die Alternativhypothese H 1 : σ 2 σ 2 0 getestet werden. Als Teststatistik T wählen wir: T = (n 1)S2 σ 2 0 Unter Annahme von H 0 ist T χ 2 -verteilt mit n 1 Freiheitsgraden. 405/453

34 Die Hypothese H 0 wird also abgelehnt, wenn Poissonverteilte T < χ 2 α/2,n 1 oder T > χ 2 1 α/2,n 1 wo χ 2 p,k das Quantil der χ2 -Verteilung mit k Freiheitsgraden zum Niveau p ist. Die Gütefunktion für einen Wert σ 2 ergibt sich durch: 1 β(σ 2 ) = G(σ 2 0/σ 2 χ 2 α/2 ) + 1 G(σ2 0/σ 2 χ 2 (1 α)/2 ) wo G die Verteilungsfunktion der χ 2 (n 1)- Verteilung ist. Der Test ist nicht unverzerrt. Matlab: make test normal variance.m 406/453

35 Poissonverteilte 1 β(σ 2 ) Gütefunktion des zweiseitigen Tests (σ 0 2 =1) 0.1 n=25 n= σ 2 407/453

36 Poissonverteilte Gleichheit von zwei Varianzen X 1,..., X n und Y 1,..., Y m sind zwei unabhängige normalverteilte Stichprobe aus No(µ x, σ 2 x) bzw. No(µ y, σ 2 y). Die Hypothese H 0 : σ 2 x = σ 2 y soll anhand der gegen die Alternativhypothese H 1 : σ 2 x σ 2 y getestet werden. Die Teststatistik T ist das Verhältnis der varianzen: T = S2 x S 2 y Unter Annahme von H 0 ist T F-verteilt gemäß F(n 1, m 1). 408/453

37 Die Hypothese H 0 wird also abgelehnt, wenn Poissonverteilte T < F α/2 oder T > F 1 α/2 wo F p das Quantil der F-Verteilung mit n 1 bzw. m 1 Freiheitsgraden zum Niveau p ist. Ist σ 2 y = kσ 2 x, ergibt sich die Gütefunktion für einen Wert k ergibt durch: 1 β(τ) = G(σ 2 0/σ 2 F α/2 ) + 1 G(σ 2 0/σ 2 F (1 α)/2 ) wo G die Verteilungsfunktion der F(n 1, m 1)- Verteilung ist. Der Test ist unverzerrt. Matlab: make test normal variance.m 409/453

38 Poissonverteilte Gütefunktion des zweiseitigen Tests (σ x 2 =σ y 2 ) 1 β(k) n=25 n= ln k=ln(σ 2 y /σ 2 x ) 410/453

40 Einseitiger Test auf Erwartungswert Poissonverteilte X 1,..., X n ist eine Stichprobe aus Al(p). Die Hypothese H 0 : p p 0 soll anhand der Stichprobe gegen die Alternativhypothese H 1 : p > p 0 getestet werden. Als Teststatistik T wählen wir die Anzahl der Versuchsausgänge 1: T = n i=1 X i T ist binomialverteilt gemäß Bi(n, p). H 0 wird abgelehnt, wenn T zu groß ist. 412/453

41 Poissonverteilte Ist p p 0, gilt W (T k) n i=k ( ) n p i i 0(1 p 0 ) n i Die Hypothese H 0 wird abgelehnt, wenn n i=t ( ) n p i i 0(1 p 0 ) n i α 413/453

42 Poissonverteilte Beispiel Ein Hersteller behauptet, dass nicht mehr als 2 Prozent eines gewissen Bauteils fehlerhaft sind. In einer Stichprobe vom Umfang 300 sind 9 Stück defekt. Kann die Behauptung des Herstellers widerlegt werden? Es gilt: ( ) i i = i i=9 Die Behauptung des Herstellers lässt sich also auf einem Signifikanzniveau von 5 Prozent nicht widerlegen. Matlab: make test alternative mean.m 414/453

43 Poissonverteilte Näherung durch Normalverteilung Beispiel Ist n genügend groß, kann die Verteilung von T durch eine Normalverteilung No(np, np(1 p) angenähert werden. H 0 wird abgelehnt, wenn das Standardscore größer als das (1 α)-quantil der Standardnormalverteilung ist: Z = T np 0 np(1 p0 ) z 1 α Mit der Angabe des letzten Beispiels ergibt die Näherung: Z = < z 0.95 = Die Hypothese kann also nicht abgelehnt werden. Matlab: make test alternative mean.m 415/453

44 Unterabschnitt: Poissonverteilte Poissonverteilte Poissonverteilte /453

45 Poissonverteilte Poissonverteilte Einseitiger Test auf Erwartungswert X 1,..., X n ist eine Poissonverteilte Stichprobe aus Po(λ). Die Hypothese H 0 : λ λ 0 soll anhand der Stichprobe gegen die Alternativhypothese H 1 : λ > λ 0 getestet werden. Als Teststatistik T wählen wir die summe: T = n i=1 X i T ist Poissonverteilt gemäß Po(nλ). H 0 wird abgelehnt, wenn T zu groß ist, also wenn (nλ 0 ) k e nλ0 k=t k! α 417/453

46 Poissonverteilte Poissonverteilte Beispiel Ein Hersteller strebt an, dass in einer Fabrik täglich im Mittel nicht mehr als 25 defekte Bauteile hergestellt werden. Eine Stichprobe von 5 Tagen ergibt 28,34,32,38 und 22 defekte Bauteile. Hat der Hersteller sein Ziel erreicht? Es gilt: T = 154, (125) k e 125 = k! k=t Die Hypothese lässt sich also auf einem Signifikanzniveau von 1 Prozent widerlegen. Matlab: make test poisson mean.m 418/453

47 Poissonverteilte Poissonverteilte Näherung durch Normalverteilung Beispiel Ist n genügend groß, kann die Verteilung von T durch eine Normalverteilung No(nλ, nλ angenähert werden. H 0 wird abgelehnt, wenn das Standardscore größer als das (1 α)-quantil der Standardnormalverteilung ist: Z = T nλ 0 nλ0 z 1 α Mit der Angabe des letzten Beispiels ergibt die Näherung: Z = > z 0.99 = Die Hypothese kann also auf einem Signifikanzniveau von 1 Prozent abgelehnt werden. Matlab: make test poisson mean.m 419/453

49 Unterabschnitt: Poissonverteilte /453

50 Poissonverteilte Wir betrachten wieder X 1,..., X n aus einer stetigen Verteilung F, deren Form nicht spezifiziert ist. Tests von Hypothesen über F heißen nichtparametrisch oder parameterfrei. Solche Tests sind immer anwendbar, auch wenn über F nichts bekannt ist. Ist eine bestimmte parametrische Form von F plausibel, sollten parametrische Tests angewendet werden, da sie aussagekräftiger sind. 422/453

52 Poissonverteilte Wir testen die Hypothese, dass der unbekannte Median m von F gleich m 0 ist: H 0 : m = m 0 gegen H 1 : m m 0 Die Zufallsvariable I i sei definiert durch { 1, wenn X i m 0 I i = 0, wenn X i > m 0 Für jedes X i gilt: W (X i m 0 ) = F (m 0 ) = p. I = n i=1 I i ist daher binomialverteilt gemäß Bi(n, p). Es soll also getestet werden, ob p = /453

53 Poissonverteilte Unter der Nullhypothese ist I verteilt gemäß Bi(n, 0.5). Die Hypothese wird verworfen, wenn I signifikant kleiner oder größer als der Erwartungswert n/2 ist. Der p-wert wird berechnet durch p = 2 min(g(i), 1 G(I)) wobei G die Verteilungsfunktion der Bi(n, 0.5)-Verteilung ist. Ist p α, wird die Hypothese verworfen. Matlab: Funktion signtest 425/453

55 Poissonverteilte Wir testen die Hypothese, dass die Stichprobe aus einer symmetrischen Verteilung F mit Median m 0 stammt: H 0 : W (X m 0 a) = W (X m 0 + a) für alle a > 0 Dazu berechnen wir Y i = X i m 0 und sortieren die absoluten Werte Y i aufsteigend: Z j = Y π(j) wo π eine Permutation der Zahlen {1,..., n} ist. Die Zufallsvariable I j sei definiert durch { 1, wenn X π(j) m 0 I j = 0, sonst 427/453

56 Poissonverteilte Die Testgröße ist T = Unter der Nullhypothese ist Daraus folgt n ji j j=1 W (I j = 1) = W (I j = 0) = 1 2 [ ] E[T ] =E jij = j 2 [ ] var[t ] =var jij = j 2 4 = n(n + 1) 4 = j 2 var[i j ] = = n(n + 1)(2n + 1) /453

57 Poissonverteilte Ist genügend groß (etwa n > 25), wird die Verteilung von T durch eine Normalverteilung mit Mittel µ = E[T ] und Varianz σ 2 = var[t ] angenähert. Die Nullhypothese wird verworfen, wenn T signifikant kleiner oder größer als µ ist. Der p-wert wird berechnet durch p = 2 min(g(i), 1 G(I)) wobei G die Verteilungsfunktion der No(µ, σ 2 )-Verteilung ist. Ist p α, wird die Hypothese verworfen. Für kleinere n ist auch ein exakte Berechnung des p-werts möglich. Matlab: Funktion signrank 429/453

59 Poissonverteilte Wir betrachten nun eine Stichprobe X = {X 1,..., X m } mit der Verteilungsfunktion F (x) und eine davon unabhängige Stichprobe Y = {Y 1,..., Y n } aus der zu F verschobenen Verteilung G(x) = F (x a). Wir testen die Hypothese, dass die Stichprobe aus der selben Verteilung stammen, also H 0 : a = 0 gegen H 1 : a 0 Die Testgröße U nach Mann-Whitney ist definiert durch: U = m i=1 j=1 n s(x i, Y j ) wobei s(x, Y ) = 1 wenn Y < X und s(x, Y ) = 0 sonst. Die Hypothese wird abgelehnt, wenn U zu klein oder zu groß ist. 431/453

60 Poissonverteilte Für genügend große ist U annähernd normalverteilt gemäß No(µ, σ 2 ) mit µ = mn 2, nm(m + n + 1) σ2 = 12 Der p-wert wird berechnet durch p = 2 min(g(u), 1 G(U)) wobei G die Verteilungsfunktion der No(µ, σ 2 )-Verteilung ist. Ist p α, wird die Hypothese verworfen. 432/453

61 Poissonverteilte Alternativ kann die Testgröße T nach Wilcoxon definiert werden durch: n T = R(X i ) i=1 wobei R(X i ) die Rangzahl von X i in der kombinierten geordneten Stichprobe ist. Es gilt: n(n + 1) T = U + 2 Die Verteilungsfunktion von T kann rekursiv exakt berechnet werden. Der Test wird auch als Mann-Whitney-Wilcoxon-Test bezeichnet. Matlab: Funktion ranksum 433/453

63 Poissonverteilte Ein Test, der die Hypothese überprüft, ob die Daten einer gewissen Verteilung entstammen können, heißt ein Anpassungstest. Die Verteilung kann völlig oder bis auf unbekannte Parameter bestimmt sein. Ein Anpassungstest kann einem parametrischen Test vorausgehen, um dessen Anwendbarkeit zu überprüfen. 435/453

65 für diskrete Beobachtungen Poissonverteilte Die Stichprobe X 1,..., X n entstammt einer diskreten Verteilung mit Wertebereich {1,..., k}. Wir testen die Hypothese H 0, dass die Dichte f die Werte f(j) = p j, j = 1,..., k hat: gegen H 0 : W (X i = j) = p j, j = 1,..., k H 1 : W (X i = j) p j, für ein j Es sei Y j die Zahl der Beobachtungen, die gleich j sind. Unter der Nullhypothese ist Y 1,..., Y k multinomial verteilt gemäß Mu(n, p 1,..., p k ) und E[Y j ] = np j. 437/453

66 Poissonverteilte Satz Die Testgröße vergleicht die beobachteten Häufigkeiten Y j mit ihren Erwartungswerten: T = k (Y j np j ) 2 j=1 np j Die Nullhypothese wird verworfen, wenn T groß ist. Der kritische Bereich kann nach dem folgenden Ergebnis bestimmt werden. Unter Annahme der Nullhypothese ist die Zufallsvariable T asymptotisch, d.h. für n, χ 2 -verteilt mit k 1 Freiheitsgraden. 438/453

67 Poissonverteilte Soll der Test Signifikanzniveau α haben, wird H 0 abgelehnt, wenn T χ 2 1 α,k 1 wo χ 2 1 α,k das Quantil der χ2 -Verteilung mit k 1 Freiheitsgraden zum Niveau 1 α ist. Der Grund dafür, dass T nur k 1 Freiheitsgrade hat, ist der lineare Zusammenhang zwischen den Y j : k Y j = n j=1 Als Faustregel gilt: n sollte so groß sein, dass np j > 5, j = 1,..., k. Ist das nicht erfüllt, sollte der Ablehnungsbereich durch Simulation bestimmt werden. 439/453

68 Poissonverteilte Beispiel Wir testen anhand einer Stichprobe vom Umfang 50, ob ein Würfel symmetrisch ist, d.h. ob die Augenzahl X folgende Verteilung hat: W (X = 1) =... = W (X = 6) = 1 6 Eine Simulation von N = ergibt: T = 5.000, S 2 T = Das 0.95-Quantil der χ 2 -Verteilung mit fünf Freiheitsgraden ist χ ,5 = 11.07, und W (T 11.07) = Matlab: make chi2test wuerfel.m 440/453

69 für stetige Beobachtungen Poissonverteilte Die Stichprobe X 1,..., X n entstammt einer stetigen Verteilung F. Wir testen die Hypothese H 0 : F (x) = F 0 (x). Dazu wird der Wertebereich von X in k Gruppen G 1,..., G k eingeteilt. Es sei Y j die Zahl der Beobachtungen in Gruppe G j. Unter der Nullhypothese ist Y 1,..., Y k multinomial verteilt gemäß Mu(n, p 1,..., p k ) und E[Y j ] = np j, mit p j = W (X G j H 0 ) Der Test verläuft weiter wie im diskreten Fall. 441/453

70 Poissonverteilte Unbekannte Parameter Die Nullhypothese muss nicht vollständig spezifiziert sein. Wir betrachten den Fall, dass die p j noch von unbekannten Parametern ϑ abhängen: W (X G j ) = p j (ϑ) Die T ist nun eine Funktion der unbekannten Parameter: k (Y j np j (ϑ)) 2 T (ϑ) = np j (ϑ) j=1 Zunächst werden die Parameter geschätzt, durch ML-Schätzung oder Minimierung von T : ϑ = arg min T (ϑ) ϑ 442/453

71 Poissonverteilte Satz Der kritische Bereich kann nach dem folgenden Ergebnis bestimmt werden. Werden m Parameter aus der Stichprobe geschätzt, so ist T ( ϑ) asymptotisch χ 2 -verteilt mit k 1 m Freiheitsgraden. Soll der Test Signifikanzniveau α haben, wird H 0 abgelehnt, wenn T χ 2 1 α,k 1 m wo χ 2 1 α,k das Quantil der χ2 -Verteilung mit k 1 m Freiheitsgraden zum Niveau 1 α ist. 443/453

72 Poissonverteilte Beispiel Angabe: Die Zahl der Arbeitsunfälle wurde in einem großen Betrieb über 30 Wochen erhoben. Es ergaben sich folgende Werte: X ={8, 0, 0, 1, 3, 4, 0, 2, 12, 5, 1, 8, 0, 2, 0, 1, 9, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 7, 4, 0, 1, 2, 1, 2} Es soll die Hypothese überprüft werden, dass die Beobachtungen Poisson-verteilt gemäß Po(λ) sind. Lösung: Die Beobachtungen werden in fünf Gruppen eingeteilt: Gruppe X > 5 Die Häufigkeiten der Gruppen sind: Y 1 = 6, Y 2 = 5, Y 3 = 8, Y 4 = 6, Y 5 = 5 444/453

73 Poissonverteilte Beispiel (Fortsetzung) Der Schätzwert für λ ist das mittel: λ = Die Erwartungswerte der Y j unter Annahme von H 0 = Po( λ) sind: j E[Y 1] Die Testgröße T ist gleich T = Das 99%-Quantil der χ 2 -Verteilung mit drei Freiheitsgraden ist gleich χ ,3 = Die Hypothese, dass die Beobachtungen Poisson-verteilt sind, ist also abzulehnen. Matlab: make chi2test poisson.m 445/453

75 Poissonverteilte Eine Stichprobe Die Stichprobe X 1,..., X n ist aus der stetigen Verteilung mit Verteilungsfunktion F. Wir testen die Hypothese H 0 : F (x) = F 0 (x). Die Testgröße D n ist die maximale absolute Abweichung der empirischen Verteilungsfunktion F n (x) der Stichprobe von der hypothetischen Verteilungsfunktion F 0 (x): D n = max F n(x) F 0 (x) x Für aus F 0 ist die Verteilung von D n unabhängig von F 0! Für aus F 0 strebt die Verteilungsfunktion von nd für n gegen: K(x) = 1 2 ( 1) k 1 e 2k2 x 2 k=1 447/453

76 Poissonverteilte Aus der asymptotischen Verteilungsfunktion können Quantile K 1 α berechnet werden. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn ndn > K 1 α Werden vor dem Test Parameter von F 0 geschätzt, sind die Quantile nicht mehr gültig. In diesem Fall muss der Ablehnungsbereich durch Simulation ermittelt werden. Matlab: Funktion kstest 448/453

77 Zwei Poissonverteilte Wir testen, ob zwei vom Umfang n bzw. m aus der gleichen Verteilung F stammen. Die Testgröße ist die maximale absolute Differenz der empirischen Verteilungsfunktionen: D n,m = max F n(x) 1 Fm(x) 2 x Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn nm n + m D n,m > K 1 α Matlab: Funktion kstest2 449/453