Die Abfüllmenge ist gleich dem Sollwert 3 [Deziliter].

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1 Eine Methode, um anhand von Stichproben Informationen über die Grundgesamtheit u gewinnen, ist der Hypothesentest (Signifikantest). Hier wird erst eine Behauptung oder Vermutung (Hypothese) über die Parameter der Grundgesamtheit (.B. der Mittelwert µ ) aufgestellt, dann wird anhand einer Stichprobe aus der Grundgesamtheit diese Behauptung geprüft (getestet). Eine Hypothese wird dann als statistisch widerlegt angesehen und verworfen, wenn das Stichprobenergebnis in deutlichem (d.h. in signifikantem) Gegensat u ihr steht. Eine Abfüllanlage einer Firma füllt Flaschen mit Getränke ab, wobei die Füllmenge pro Flasche gewisse Schwankungen unterliegt. Die Füllmenge X kann als eine normalverteilte Zufallsvariable mit der bekannten Standarbweichung,5 [Deiliter] angesehen werden. Der Hersteller behauptet, dass der Mittelwert µ für die Füllmenge gleich dem Sollwert 3 [Deiliter] ist. Eine Verbraucherorganisation möchte die Behauptung (Hypothese) des Herstellers überprüfen. Eine vollständige Untersuchung der Gesamtproduktion ist aus Zeit- und Kostengründen nicht möglich. Daher soll anhand einer Stichprobe vom Umfang 25 aus der Produktion die Aussage geprüft werden. Die Verbraucherorganisation entnahm eine Stichprobe aus 25 Flaschen und erhielt für die mittlere Füllmenge in der Stichprobe den Stichproben-Mittelwert 2,8 [Deiliter]. Genügt dieses Ergebnis, um die Behauptung (die Hypothese) des Herstellers u widerlegen, oder soll die Verbraucherorganisation die Hypothese des Herstellers so annehmen, weil die Füllmenge gewisse Schwankungen unterliegt? Die Abfüllmenge ist gleich dem Sollwert 3 [Deiliter]. Wird die Behauptung anhand der Stichprobe verworfen, so folgert die Verbraucherorganisation mit einer vorher festgelegten Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Mittelwert µ für die Abfüllmenge weniger als der Sollwert 3 [Deiliter] ist. ullhypothese:h : µ 3 ( µ 3 ) (Behauptung des Herstellers) Gegenhypothese: H a : µ < 3 (Gegenbehauptung der Verbraucherorganisation) Verwerfen von H ugunsten von H a, falls der Stichproben-Mittelwert weit kleiner als 3 ist. 1

2 f ( ),1 µ 3 [dl] Verwerfen der ullhypothese H, falls diese aber tatsächlich richtig ist. Festlegung einer Grene für den Ablehnungsbereich. f ( ),1 G µ 3 [dl] Verwerfen der ullhypothese H, falls der Stichprobenmittelwert unterhalb eine festgelegte Untergrene ist. Angabe einer Wahrscheinlichkeit genannt Signifikanniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit: α.b. : α,25 2,5% f ( ),1 α,25 G µ 3 [dl] "# Festlegung der Grene anhand des gewählten Signifikanniveaus α,25 und der Standard-ormal-Verteilung: α 1, 96 2

3 Z X µ α,25 1,96 α $$%& Entnahme einer Stichprobe der Größe und Berechnung des Mittelwerts. 25 ; 2,8 [dl] Bestimmung der Testgröße ẑ durch: ˆ µ 2, 8, ' Ablehnung der ullhypothese H, falls die Testgröße ẑ kleiner als die Grene α ist. Da ẑ 2 kleiner als α 1, 96, lehnt die Verbraucherorganisation die ullhypothese H : µ 3 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α 2,5% gegenüber der Gegenhypothese H a : µ < 3 ab. () Eine Abfüllanlage einer Firma füllt Flaschen mit Getränke ab, wobei die Füllmenge pro Flasche gewisse Schwankungen unterliegt. Die Füllmenge X kann als eine normalverteilte Zufallsvariable mit der bekannten Standarbweichung,5 [Deiliter] angesehen werden. Der Hersteller behauptet, dass der Mittelwert µ für die Füllmenge gleich dem Sollwert 3 [Deiliter] ist. (s. voriges Bsp.) Eine Ingenieurin für die Qualitätskontrolle des Abfüllautomaten möchte wissen, ob die Anlage die Flaschen im Mittel mit u wenig oder mit u viel Getränke abfüllt. (, ob der wahre Mittelwert µ für die Abfüllmenge weniger oder mehr als der Sollwert ist). Also möchte sie, dass weder µ < 3 [dl] ist (wegen Einsprüche von Verbrauchern), noch µ > 3 ist. (wegen Verschwendung und Verluste). Dafür entnahm sie aus der Produktion eine Stichprobe von 16 Flaschen. Dabei erhielt sie für die mittlere Füllmenge in der Stichprobe den Stichproben-Mittelwert 3,125 [dl]. Formulieren Sie einen geeigneten Test und führen Sie ihn auf einem Signifikanniveau α 5% durch. 3

4 ullhypothese: H : Gegenhypothese: H a : Signifikanniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit: α "# Kritische Grenen: α/2 und 1 α/2 Z X µ α / 2 α / 2 α / 2 1 α / 2 %& ẑ %)' ()( Eine Abfüllanlage einer Firma füllt Flaschen mit Getränke ab, wobei die Füllmenge pro Flasche gewisse Schwankungen unterliegt. Die Füllmenge X kann als eine normalverteilte Zufallsvariable mit der bekannten Standarbweichung,5 [Deiliter] angesehen werden. Der Hersteller behauptet, dass der Mittelwert µ für die Füllmenge gleich dem Sollwert 3 [Deiliter] ist. (s. voriges Bsp.) Der Besiter der Firma, möchte wissen, ob die Anlage die Flaschen im Mittel mit u viel Getränke abfüllt. (, ob der wahre Mittelwert µ für die Abfüllmenge mehr als der Sollwert ist). Also er möchte nicht, dass µ > 3 ist. (wegen Verluste). Dafür entnahm er aus der Produktion eine Stichprobe von 16 Flaschen. Dabei erhielt er für die mittlere Füllmenge in der Stichprobe den Stichproben-Mittelwert 3,125 [dl]. Formulieren Sie einen geeigneten Test und führen Sie ihn auf einem Signifikanniveau α 2,5% durch. 4

5 ullhypothese: H : Gegenhypothese: H a : Signifikanniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit: α "# Kritische Grene: 1 α Z X µ α %& ẑ %)' 1 α 5

6 *+ ( Annahmen und Vermutungen ur Wahrscheinlichkeitsverteilung in einer Grundgesamtheit sind die Grundlage von Hypothesentests. Eine Behauptung oder Vermutung ur Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Grundgesamtheit wird als ullhypothese: H und die Gegenbehauptung wird als Gegenhypothese: H a beeichnet. Der Grundgedanke der Hypothesentests besteht darin, anhand der Ergebnisse einer Stichprobe u entscheiden, ob die für die Grundgesamtheit formulierte ullhypothese H angenommen (genauer: nicht abgelehnt) oder abgelehnt werden soll. Die Menge aller möglichen Stichprobenergebnisse, bei deren Eintreten H abgelehnt werden soll, wird als ihr Verwerfbereich (Ablehnungsbereich) oder kritischer, die Menge der restlichen Stichproben-Ergebnisse als ihr Annahmebereich beeichnet. Die Zufallsvariable, die der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Stichprobenergebnisse gehorcht, wird die Testfunktion genannt. Die anhand der Verteilung der Stichprobenergebnisse und eines konkreten Stichprobenergebnisses berechnete Größe wird als die Testgröße beeichnet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, H abulehnen, wird als die Irrtumswahrscheinlichkeit: α oder Signifikanniveau: α des Tests beeichnet. Die Grene, die den kritischen festlegt, wird anhand der Verteilung der Stichprobenergebnisse sowie aufgrund der Irrtumswahrscheinlichkeit α und der Gegenhypothese H a festgelegt. Diese Grene beeichnet man als die kritische Grene. Das Verwerfen oder icht-verwerfen einer ullhypothese H wird anhand der Entscheidungsregel getroffen. D.h., liegt die Testgröße im kritischen, so wird mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α die ullhypothese H ugunsten der Gegenhypothese verworfen, liegt dagegen die Testgröße nicht im kritischen, so wird H nicht verworfen. Beim statistischen Test kann nicht entschieden werden, ob die ullhypothese H tatsächlich wahr oder falsch ist und auch nicht, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie wahr ist. Da solche statistische Schlüsse nicht gan sicher sind, treten Fehlentscheidungen auf. Wird in einem Test H verworfen, obwohl H tatsächlich aber richtig ist, so begeht man einen Fehler 1. Art. Wird dagegen H nicht verworfen, obwohl H tatsächlich aber falsch ist, so begeht man einen Fehler 2. Art. Es ist wünschenswert bei statistischen Tests beide Fehler möglichst gering u halten. H ist wahr H ist falsch H abgelehnt Entscheidung: falsch Entscheidung: richtig Fehler 1. Art H nicht abgelehnt Entscheidung: richtig Entscheidung: falsch Fehler 2. Art 6

7 "# # $, % # $ / '*, &' $α ( % ' )'*( ) + ), %-. ' '* &, 2α 3 *4 &, 2 3 *4 $ Das icht-verwerfen einer ullhypothese H bedeutet aber nicht, dass die ullhypothese H bestätigt ist, sondern nur, dass das Stichprobenergebnis nicht ur Ablehnung von H ausreicht. *+* )% *+*+ '()#&)%/ )%% (12(( #$ Hypothesentests, die ur Untersuchung des unbekannten Mittelwerts µ mit aber bekannter Standardabweichung einer Grundgesamtheit für normalverteilte Verteilungen der Stichproben-Mittelwerte eingesett werden, beeichnet man als den Gauß-Test oder -Test. Falls die Verteilung der Gesamtheit normalverteilt ist, dann ist die Verteilung der Stichproben-Mittelwerte immer normalverteilt und falls die Verteilung der Gesamtheit nicht-normalverteilt ist, dann ist Verteilung der Stichproben-Mittelwerte bei Stichprobenumfänge > 3 auch normalverteilt. Da die Verteilung der Stichprobenergebnisse, nämlich die Verteilung der Stichproben-Mittelwerte in diesen Fällen einer ormalverteilung gehorcht, werden diese Tests Gauß-Test (-Test) genannt. (s. Kap. 1. Abschnitt 1.3.1) Wird ur Aufstellung einer ullhypothese für den Mittelwert einer Grundgesamtheit ein bestimmter Wert µ vermutet, so können nach Fragestellung folgende unterschiedliche Gegenhypothesen aufgestellt werden. H : µ µ H : µ µ H a : µ < µ H a : µ > µ H : µ µ H a : µ µ Im Fall spricht man dann von einem einseitigen Test mit unterer (kritischer) Grene, im Fall dagegen von einem einseitigen Test mit oberer Grene und im Fall von einem weiseitigen Test mit wei Grenen (eine untere und eine obere Grene) 7

8 3)%&5 % H : H a : Kritische Grenen aufgrund der Irrtumswahrscheinlichkeit α und der Gegenhypothese H a Testgröße für den Mittelwert einer konkreten Stichprobe der Größe Graph der Verteilung der Testfunktion für den Mittelwert X von Stichproben der Größen mit Angabe der kritischen e und der Entscheidungsregel µ µ (µ µ ) µ < µ Einseitiger Test mit unterer Grene (Linkseitiger Test) ˆ µ o Z X µ α α α H verwerfen, falls ˆ < α µ µ (µ µ ) µ > µ Einseitiger Test mit oberer Grene (Rechtseitiger Test) ˆ µ o Z X µ α 1 α 1 α H verwerfen, falls ẑ > 1 α µ µ µ µ Zweiseitiger Test mit oberer und unterer Grene ˆ µ o Z X µ α2 α / 2 α / 2 und α / 2 1 α / 2 1 α2 H verwerfen, falls ˆ < α 2 oder ẑ > 1 α 2 8

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