MATLAB im Selbststudium Eine Einführung

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1 MATLAB im Selbststudium Eine Einführung Christof Büskens Zentrum für Technomathematik Fachbereich Mathematik Universität Bremen Bremen, Germany Vorlesungsbegleite Ausarbeitung Sommersemester 2004 (Unkorrigierte Fassung)

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3 Vorwort Die vorliege Ausarbeitung entstand währ meiner Tätigkeit als Privatdozent am Lehrstuhl für Ingenieurmathematik der Universität Bayreuth. Sie entstand im Rahmen einer vorlesungsbegleiten Lehrveranstaltung, die ich im Sommersemster 2003 gehalten habe. Als Vorlage dienten die Aufzeichnungen von Prof. Dr. Lars Grüne, dem ich auf diesem Wege herzlich danken möchte. Bayreuth, April 2004 Christof Büskens

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5 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 5 1 Einführung in Matlab Matrizen und Vektoren FOR, IF, WHILE und BREAK Anweisungen Plotten von Daten und Funktionen Grundlagen Erweiterte Grundlagen D Grafik (*) Handle-Graphics Ausgabe Matlab, ein mathematisches Labor Lineare Gleichungssysteme Direkte Verfahren Iterative Verfahren Definition von Funktionen Funktionen von Zahlen Funktionen von Vektoren und Matrizen Funktionen von Funktionen Nullstellen nichtlinearer Gleichungen Polynome und Interpolation Integration Differentialgleichungen

6 6 Inhaltsverzeichnis 3 Sonstiges Effizienzsteigerung in Matlab Grundlagen Profiler

7 Kapitel 1 Einführung in Matlab 1.1 Matrizen und Vektoren Matrizen kann man einfach zeilenweise per Hand eingeben: A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; ] Oder, wenn man eine Matrix leer definieren möchte, z.b. um darin ein Rechenergebnis abzulegen B = zeros(4,3) Spaltenvektoren gibt man einfach als einspaltige Matrizen ein b = [3; 4; 5] und Zeilenvektoren als einzeilige Matrizen c = [3 4 5] MATLAB kann Matrizen transponieren A und Matrizen mit Matrizen oder Vektoren multiplizieren C = [6 5; 4 3; 2 1] A*C A*b Man kann auf die Elemente einer Matrix oder eines Vektors einzeln zugreifen 7

8 8 Einführung in Matlab A(1,1) A(2,3) b(3) und ebenso auf einzelne Zeilen A(2,:) oder Spalten A(:,3) Diese kann man nicht nur auslesen, sondern auch zuweisen A(:,2) = [1; 2; 3; 4] Man kann (Zeilen)-Vektoren mit abgezählten Einträgen auch mit einer Abkürzung definieren. Hierbei gibt man den ersten Eintrag, die Schrittweite und den letzten Eintrag, jeweils durch Doppelpunkt getrennt an. Z.B.: Erzeuge den Vektor [1; 2; 3; 4; 5] t = [1:1:5] Schließlich kann man nicht nur Matrizenrechnung direkt ausführen, sondern auf Vektoren und Matrizen auch komponentenweise rechnen Hierzu setzt man einen. vor den entsprechen mathematischen Operator. Um z.b. jedes Element des obigen Vektors t mit sich selbst zu multiplizieren, berechnet man t.*t Beachte, dass t*t aus Dimensionsgründen eine Fehlermeldung ergibt. Wir illustrieren einige Matrix-Operationen, die aus der Vorlesung bzw. aus den grundlegen Mathematikvorlesungen bekannt sind: Seien A = [ 1 5 6; 7 9 6; 2 3 4] b = [29; 43; 20] Berechnung der Determinante: det(a) Berechnung der Inversen inv(a) Berechnung von Vektornormen. p für p=1,2,unlich (inf)

9 Einführung in Matlab 9 norm(b,1) norm(b,2) norm(b,inf) Berechnung der zugehörigen induzierten Matrixnormen norm(a,1) norm(a,2) norm(a,inf) Berechnung der Kondition einer Matrix für p=1,2,unlich (inf) cond(a,1) cond(a,2) cond(a,inf) 1.2 FOR, IF, WHILE und BREAK Anweisungen MATLAB s Programmiersprache bietet eine Reihe von Möglichkeiten, den Programmablauf in einem M-File zu steuern. Wir werden hier einige kennen lernen: Die for Schleife ermöglicht es, eine oder mehrere Operationen nacheinander für verschiedene Werte einer Variablen auszuführen Der mehrfach auszuführe Block von Operationen wird mit beet. Beispiel: Ausgabe der ersten 10 Quadratzahlen: for i = 1:10 i^2 ; Schleifen können auch rückwärts zählen, dabei muss zwischen Anfangs- und Endwert die Schrittweite (hier -1 ) angegeben werden for i= 10:-1:1 sqrt(i) ; Desweiteren kann man Schleifen verschachteln

10 10 Einführung in Matlab for i = 1:10 i for j = 10:-1:i j ; Mit solchen Schleifen kann man z.b. eine Matrizenmultiplikation programmieren A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] B = [5 4 6; 1 7 5; 3 9 6] AB = zeros(3,3) for i=1:3 for j=1:3 for k=1:3 AB(i,j) = AB(i,j) + A(i,k)*B(k,j); AB ; Oft will man abhängig von Werten von Variablen unterschiedliche Anweisungen ausführen. Dazu dient die if Anweisung. Nach if steht eine logische Aussage. Ist diese wahr, werden die Anweisungen im nächsten Block (bis zum nächsten ) ausgeführt for i=1:10 i if i>5 groesser als 5 ; Man kann auch einen Block für den Fall, dass die Aussage falsch ist, angeben. Dazu dient else for i=1:10 i if i>5

11 Einführung in Matlab 11 groesser als 5 else kleiner oder gleich 5 ; Tatsächlich kann man eine ganze Menge verschiedener Fälle abarbeiten for i=1:10 i if i>5 groesser als 5 elseif i==5 gleich 5 else kleiner als 5 Beachte: Um auf Gleichheit zu testen, muss man == schreiben. Das einfache Gleichheitszeichen = bedeutet Zuweisung Die while Schleife ermöglicht es, eine oder mehrere Operationen so oft auszuführen, bis die Bedingung am Anfang der Schleife nicht mehr erfüllt ist. Der mehrfach auszuführe Block von Operationen wird mit beet. Beispiel: Verdoppeln einer Zahl bis eine Obergrenze erreicht ist: i = 1 while i<1000 i = i*2 ; Manchmal muss man eine Bedingung jeweils nach Ablauf des Anweisungsblocks testen, z.b. weil die zu überpüfe Größe erst in dem Block berechnet wird. In diesem Fall muss man sich mit einem Trick behelfen. Beispiel: Division einer Zahl, bis die Differenz zum vorherigen Ergebnis kleiner als eine vorgegebene Schranke ist i = 1000 diff = 10 while diff > 5

12 12 Einführung in Matlab i_alt = i; i = i/3 diff = abs(i - i_alt) ; Eine andere Art, diese Schleife zu programmieren, bietet die break Anweisung. Diese bewirkt, dass die Ausführung der Schleife auf der Stelle abgebrochen wird. Eine Anwung macht daher nur in einer if Anweisung Sinn. i = 1000 while 1==1 i_alt = i; i = i/3 diff = abs(i - i_alt) if diff <= 5 break ; Hier haben wir in der while Anweisung eine Bedingung eingesetzt, die immer wahr ist. Die Schleife kann also nur durch die break Anweisung verlassen werden. Selbstverständlich kann es sinnvoll sein, mehrere Kriterien an den Abbruch der Schleife zu stellen. Die break Anweisung kann auch in der for Schleife eingesetzt werden. for i=1:10 i j = i^2; if j>50 break j ; Bei verschachtelten Schleifen beet break nur die innerste Schleife: for i=1:10 for j=1:i if j>5

13 Einführung in Matlab 13 break j Noch ein Nachtrag zu den logischen Aussagen, wie sie in der while oder if Anweisung auftreten: Wir hatten bereits erwähnt, dass Gleichheit mittels == getestet wird. Ungleichheit wird mit = getestet, und kleiner gleich bzw. größer gleich mit = bzw. = 1.3 Plotten von Daten und Funktionen Grundlagen Beispiel 1: Plotten von Daten Wir definieren einen kleinen Datensatz mittels zweier Vektoren: t = [1; 2; 3; 4; 5] m = [0.9; 3.8; 7.9; 15; 26.7] Mit der plot Anweisung kann man nun die Daten gegeneinander grafisch darstellen plot(t,m,. ) ; Statt dem Punkt. kann man auch viele andere Symbole verwen, z.b. ein Kreuz x : plot(t,m, x ) ; Beispiel 2: Plotten von Funktionen Funktionswerte, die grafisch dargestellt werden sollen, müssen in einen Vektor umgewandelt werden. Dazu definiert man zunächst einen Vektor mit den Stützstellen, an denen die Funktion ausgewertet werden soll, hier das Intervall von 1 bis 5 mit einem Abstand von 0.1 zwischen je zwei Stützstellen tt = [1:0.1:5]; Dann weist man einem weiteren Vektor die Werte der Funktion (hier f(t) = t 2 ) zu. Beachte den. vor dem mathematischen Operator, der bewirkt, dass die Operation komponentenweise im Vektor tt ausgeführt wird.

14 14 Einführung in Matlab y = tt.^2; Jetzt können wir plotten. Der Strich - bewirkt, dass der Graph als Linie dargestellt wird plot(tt,y, - ) ; Beispiel 3: Gemeinsames Plotten von Daten und Funktionen Hierzu ist nichts weiter zun tun, als die einzelnen Argumente nacheinander in den plot Befehl zu schreiben plot(t,m, x,tt,y, - ) Erweiterte Grundlagen Das elementare Plotten von Funktionen haben wir bereits kennen gelernt. In diesem M-File wollen wir einige weitere Möglichkeiten von MATLAB ausprobieren. Zunächst wollen wir eine Möglichkeit kennen lernen, um verschiedene mit plot erzeugt Grafiken in ein Bild zu zeichnen. Wir bereiten dazu zunächst zwei Funktionen zum Plotten vor. t=[0:0.01:2*pi]; x=sin(t).*cos(2.*t).^2; y=cos(t).*sin(2.*t).^2; Wenn wir nun zuerst plot(t,x, r- ) und dann plot(t,y, g- ) aufrufen, löscht die zweite Grafik die erste. Nebenbemerkung: Mit den Buchstaben vor der Formatanweisung wählt man Farben aus. Zum Beispiel stehen zur Verfügung: k = schwarz (black) w = weiss (White); (auf weissem Hintergrund sinnlos :-) ) r = rot (Red) g = grün (Green) b = blau (Blue)

15 Einführung in Matlab 15 y = gelb (Yellow) m = magenta (wie die TelekoM) c = türkis (Cyan) Um dieses Löschen zu vermeiden dient die Anweisung hold on : Die bereits dargestellte Grafik wird gehalten. plot(t,x, r- ) hold on plot(t,y, g- ) Der hold on Befehl wirkt bereits auf die letzte dargestellte Grafik (falls vorhanden). Um den normalen Lösch-Modus wieder einzuschalten, dient hold off hold off plot(t,y, g- ) Es kann auch sinnvoll sein, verschiedene Grafiken gleichzeitig in verschiedenen Fenstern auszugeben. Mit der figure Anweisung erzeugt man weitere Grafikfenster. Die plot Anweisung wirkt immer auf das letzte geöffnete Fenster. figure plot(t,x, r- ) Alternativ kann man weitere Grafik-Fenster auch aus dem Menu eines bereits geöffneten Grafik-Fensters öffnen. Als nächstes wollen wir 2d Kurven plotten. Mathematisch ist 2d Kurve eine Funktion von R nach R 2. In MATLAB kann man diese als vektorwertige Funktion oder einfach mittels zweier reellwertiger Funktionen darstellen. In diesem Sinne bilden die zwei oben definierten Funktionen bereits eine Kurve. Das Argument einer Kurve wird oft mit t bezeichnet. Wenn man Kurven grafisch darstellen möchte, gibt es im Wesentlichen zwei Möglichkeiten: Entweder man stellt sie - so wie oben - koordinatenweise in Anhängigkeit von t dar (entweder mit zwei plot Anweisungen und hold on, oder in einer plot Anweisung): plot(t,x, r-,t,y, g- )

16 16 Einführung in Matlab Meistens jedoch ist man an einer Darstellung der Kurve in der (x,y)-ebene interessiert. Hierbei bleibt das Argment t in der Grafik unsichtbar; man verliert also die Information über die Abhängigkeit von t, sieht dafür aber den Zusammenhang zwischen x und y. In MATLAB geht dies ganz einfach, indem man den Vektor x gegen den Vektor y plottet. plot(x,y, b- ) (Diese spezielle Kurve ist übrigens eine sogenannte Lissajou-Kurve ) Zum Abschluss wollen wir noch einige Möglichkeiten erläutern, mit denen man Grafiken schöner gestalten kann. Angabe eines Titels: title( Eine Lissajou-Kurve, FontSize, 16) Beschriftung der Achsen: xlabel( x=sin(t)cos(2t)^2 ) ylabel( y=cos(t)sin(2t)^2 ); Eine Lege hinzufügen leg( Beispielkurve ) Texte an beliebigen Stellen im Bild anbringen text(-1,-0.1, \uparrow Hier ist ein Knick, FontSize, 12) text(0.2,0.6, \leftarrow Hier ist die Kurve glatt, FontSize, 12) Achtung: MATLAB kann nur einen Teil der LaTeX-Symbole darstellen. Taucht in einer Anweisung ein unbekanntes Symbol auf, so werden alle Symbole in dieser Anweisung ignoriert! Schliesslich kann man Text in der Grafik noch mit der Maus positionieren, was zum Beispiel sinnvoll ist, wenn man die Grafik danach abspeichern oder ausdrucken will. Dies geht mit gtext( Ein Text mit der Maus ) Nach der Anweisung kann man den Text mit der Maus im Bild einfügen.

17 Einführung in Matlab D Grafik Nachfolg werden verschiedene Möglichkeiten zur Erzeugung von dreidimensionaler Grafik vorgestellt. Wir haben zuvor bereits das Plotten von zweidimensionalen Kurven betrachtet; als erste 3d Anwung erweitern wir dies auf dreidimensionale Kurven. Wir betrachten die Kurve t (sin(t), cos(t), t) für t [0, 10π] t = [0:pi/50:10*pi]; x = sin(t); y = cos(t); z = t; Ganz analog zum plot Befehl funktioniert der plot3 -Befehl: plot3(x,y,z, r- ) Wir können erzwingen, dass das Koordinatensystem mit gleichen Kantenlängen dargestellt wird axis square; und wir können ein Gitter einblen, das die 3d Sicht der Kurve erleichtert grid on; Eine weitere wichtige Anwung dreidimensionaler Grafik ist die Darstellung von Flächen im R 3. Solche Flächen können über eine Funktion f : R 2 R definiert werden. Hier betrachten wir als Beispiel die Funktion f(x, y]) = 1 (x, y) 2 Analog zur üblichen Darstellung eindimensionaler Funktionen muss man die zur Darstellung verweten Punkte definieren. Statt eines Vektors braucht man jetzt aber eine Matrix von Punkten, die das darzustelle Gebiet abdecken. Genauer brauchen wir zwei Matrizen: Eine für die x-komponenten der Punkte und eine für die y-komponenten. Diese können effizient mit der meshgrid -Anweisung erzeugt werden. [X,Y] = meshgrid(-8:.5:8,-8:.5:8); Dann werten wir die Funktion aus und speichern die Punkte in Z Z = 1-(X.^2+Y.^2);

18 18 Einführung in Matlab und stellen das Ganze mit mesh dar. mesh(x,y,z); Falls gewünscht, können die verdeckten Linien sichtbar gemacht werden hidden off; Statt als Gitter kann die Funktion als Fläche dargestellt werden. Dazu benutzt man den surf -Befehl. surf(x,y,z); Die Farben werden dabei standardmässig durch die Z-Werte definiert. Man kann aber auch eine weitere Matrix von der Grösse der Z-Matrix als viertes Argument übergeben, wobei dann diese als Farbwert benutzt wird. Als Beispiel verwen wir die Norm der Ableitung Df der Funktion f, die gegeben ist durch Df(x, y) = 2(x, y) C = 2.*sqrt(X.^2 + Y.^2); surf(x,y,z,c); Die Verteilung der Farben wird durch das Farbschema ( colormap ) gesteuert. Man kann sich die Verteilung als Farbbalken anzeigen lassen. colorbar MATLAB stelle verschiedene Standard-Farbschemen zur Verfügung, z.b. hsv, hot, cool, summer, gray (siehe help graph3d für eine vollständige Liste, Voreinstellung ist jet ). Bei der Auswahl eines Farbschemas kann als optionaler Parameter die Anzahl der verweten Farben übergeben werden, z.b. hot(10). Voreinstellung ist 64. colormap(hot); colormap(jet); Funktionen von R 2 nach R kann man auch als Höhenlienien darstellen Wir definieren dazu zunächst eine etwas interessantere Funktion

19 Einführung in Matlab 19 Z2 = sin(x./2) + sin(y./3); surf(x,y,z2); Mit contour kann man die Höhenlienien plotten. Der vierte Parameter gibt die Anzahl der dargestellten Niveaus an contour(x,y,z2,20); Alternativ kann man die Höhenlienien auch dreidimensional plotten. contour3(x,y,z2,20); Zurück zu den 2d Höhenlinien Hier kann man die Höhenlienien wie folgt beschriften [L,h] = contour(x,y,z2,20); clabel(l,h); Alternativ kann man die Funktionswerte auch mit Farben kennzeichnen contourf(x,y,z2,20); colorbar; Schliesslich kann man auch nur eine einzelne Höhenlinie darstellen, indem man als viertes Argument einen 2d Vektor mit 2 mal diesem Wert übergibt. contour(x,y,z2,[ ]); Wir kommen nun zurück zu den Flächarstellungen und betrachten wieder unsere erste Beispielfunktion surf(x,y,z,c); colormap(hot); Wir wollen nun Lichteffekte hinzufügen. Um diese effektiv einzusetzen, empfiehlt es sich, die Oberflächeneigenschaften unserer Fläche zuerst geeignet anzupassen. Dazu kann man mit dem findobj -Befehl eine Datenstruktur (hier h ) anlegen, in der diese Eigenschaften festgelegt sind.

20 20 Einführung in Matlab h = findobj( Type, surface ); Diese Datenstruktur h kann mit Hilfe des set -Befehls verändert werden. Wir ändern zunächst die Farben der Kanten ( Edges ) und Facetten ( Faces ) so, dass ein kontinuierliches Farbverlauf erreicht wird. set(h, EdgeColor, interp ); set(h, FaceColor, interp ); ; Mit der light -Anweisung können wir nun Lichtquellen platzieren. light( Position,[ 1 3 2]); light( Position,[-3-1 3]); Jetzt ist das Gitter wieder sichtbar; der Grund liegt darin, dass die Voreinstellung zur Behandlung von Lichtreflexen für die Facetten und die Kanten unterschiedlich sind. Wir konnen das Reflex-Verhalten wiederum mit dem set -Befehl einstellen. Hier zwei verschiedene Möglichkeiten: set(h, FaceLighting, flat,... EdgeLighting, flat ); set(h, FaceLighting, phong,... EdgeLighting, phong ); Ein Überblick über die vielen weiteren Möglichkeiten, die Oberflächeneigenschaften einzustellen findet sich unter Schliesslich kann man die Achsen komplett abschalten, um die Fläche ganz allein darzustellen axis vis3d off Als letzten Punkt betrachten wir noch die Einstellung des Beobachtungspunktes ( viewpoint ). Wir nehmen dazu noch einmal unsere zweite Funktion surf(x,y,z2);

21 Einführung in Matlab 21 Der Viewpoint wird über zwei Winkel definiert: Azimuth = Rotation in der (x,y)-ebene Elevation = Neigewinkel bzgl. der (x,y)-ebene Am einfachsten kann man diese mit der Maus direkt in der Grafik einstellen. Dazu klickt man auf das Rotations-Symbol (ganz rechts in der Symvbolleiste), bewegt die Maus in die Grafik, hält die rechte Taste gedrückt und kann nun den Viewpoint verdrehens. Währ des Drehens werden die Azimuth und Elevation-Werte im Grafik- Fenster angezeigt. Will man diese Werte (zu Beispiel aus einem M-File) über eine Anweisung angeben, so kann man das mit view machen. Dabei muss ein Vektor mit den zwei Werten [Azimuth, Elevation] übergeben werden. view([-12 52]) (*) Handle-Graphics Die Handle-Graphics bieten die Möglichkeit, Eigenschaften von Grafiken in MAT- LAB über die Standard-Befehle hinaus direkt zu manipulieren. Wir wollen hier zunächst das allgemeine Konzept kurz erläutern und dann mit einigen Anwungsbeispielen illustrieren. Natürlich kann dieses M-File nur einen kleinen Einblick in die Möglichkeiten der Handle-Graphics geben. Jedes grafische Objekt besteht aus einer Reihe von Komponenten, wie z.b. dem Grafikfenster ( figure ), den Koordinatenachsen ( axes ), einzelnen grafischen Objekten (z.b. Linien line, Flächen surface ) und weiteren Objekten wie z.b. Lichtquellen light. Zudem besitzt jede Grafik die Komponente root, die den gesamten Bildschirm symbolisiert. Der Handle bietet nun die Möglichkeit, jedes dieser Objekte einzeln anzusprechen und zu manipulieren. Um dies zu illustrieren, beginnen wir mit einem kleinen Beispiel: t = [0:10]; plot(t,t.^2, o- ) Den Handle auf diese Grafik erhalten wir mit dem Befehl h = findobj der sich immer auf die zuletzt erzeugte Grafik bezieht. Die Werte in h sind Zeiger auf die Komponenten der Grafik. Die Bedeutung der Komponenten erhält man mit dem Befehl

22 22 Einführung in Matlab get(h, type ) Wir haben in dieser Grafik also die Komponenten h(1) = root = Bildschirm h(2) = figure = Grafikfenster h(3) = axes = Koordinatenachsen h(4) = line = Linie (inklusive der Markierungen) Mit dem set -Befehl kann man diese Komponenten nun manipulieren. Gibt man nur set(h(3)) ein, so erhält man eine Liste der Eigenschaften mitsamt der möglichen Einstellungen. Die Voreinstellungen sind in geschweiften Klammern angegeben set(h(4)) Alle Eigenschaften in dieser ziemliech grossen und unübersichtlichen Liste können nun direkr manipuliert werden. Wir illustrieren dies anhand der Linie und wollen dort zunächst die Markierungen Marker verändern. Mit set(h(4), Marker ) erhält man eine Liste der möglichen Einstellungen. Wir wählen nun z.b. Quadrate statt der vorhandenen Kreise set(h(4), Marker, square ) und ändern auch noch ihre Grösse set(h(4), MarkerSize, 16) Diese beiden Anweisungen könnte man auch mittels set(h(4), Marker, square, MarkerSize, 16) in einer Anweisung zusammenfassen. Das Gegenstück zu set ist die get -Anweisung, mit der man Eigenschaften ermitteln kann: get(h(4), MarkerSize )

23 Einführung in Matlab 23 Handles können nicht nur über findobj erhalten werden. Jede Grafik-Anweisung gibt als Funktionswert einen Handle auf das erzeugte Objekt zurück: h1 = plot(t,sqrt(t), - ) Allerdings erhält man hier keinen Vektor von Objekten, sondern nur ein einzelnes Objekt, nämlich gerade das mit dem Befehl erzeugt; in diesem Beispiel also eine Linie. get(h1, Type ) Neben der Einstellung verschiedenster Parameter können Handles auch dazu benutzt werden, Grafikobjekte wieder zu entfernen. Als Beispiel betrachten wir die 3d Grafik mit Lichteffekten aus der Beschreibung zuvor, die wir hier noch einmal erzeugen. [X,Y] = meshgrid(-8:.5:8,-8:.5:8); Z = 1-(X.^2+Y.^2); C = 2.*sqrt(X.^2 + Y.^2); surf(x,y,z,c); colormap(hot); hs = findobj( Type, surface ); set(hs, EdgeColor, interp,... FaceColor, interp,... FaceLighting, phong,... EdgeLighting, phong ); ; Jetzt können wir auch die Bedeutung dieser Befehle besser verstehen; ausserdem sieht man hier eine Variante der findobj -Anweisung, die durch Angabe des Typs surface nur den Handle des Surface-Objekts liefert. Mit der light -Anweisung können wir nun Lichtquellen platzieren. Wir speichern beim Einschalten den Handle in der Variable lh lh = light( Position,[-3-1 3]); lh ist - wie zu erwarten - ein Handle vom Typ light get(lh, Type ) ; Jedes grafische Objekt kann mit dem Befehl delete aus der Grafik gelöscht werden. Zum Abschalten sagt man also einfach

24 24 Einführung in Matlab delete(lh) ; Wenn h ein Handle auf ein Grafikfenster (Typ figure ) ist, kann das zugehörige Fenster mit close(h) geschlossen werden. close(h(2)) Wenn man die Handle-Graphics verwen will, empfiehlt es sich, immer gleich nach Erzeugen der Grafik einen Handle auf die Grafik zu speichern. Es gibt allerdings einige globale Variablen, die (falls eine Grafik vorhanden ist) Handles gewisser Objekte enthalten: gca = Handle der aktuellen Achsen gcf = Handle des aktuellen Grafikfensters gco = Handle des aktuellen Grafikobjektes (Linie, Fläche etc.) Die einzelnen Objekte sind nicht einfach ungeordnet gespeichert, sondern nach einer Ordnung, der sogenannten Hierarchie : root figure axes Menueleisten line surface light... (weitere Grafikobjekte) Die tiefer liegen Objekte werden dabei als Kinder children der darüberliegen Objekte bezeichnet. Diese Hierarchie wird von einigen Eigneschaften verwet. Als Beispiel betrachten wir die nextplot Eigenschaft des axes -Objektes surf(x,y,z,c); set(gca, nextplot ) Hier gibt es die Einstellungen add, replace (Voerinstellung) und replacechildren

25 Einführung in Matlab 25 add entspricht dem hold on Modus währ replace dem hold off Modus entspricht. Bei replacechildren wird beim Zeichnen eines neuen Grafikobjektes jeweils das Alte gelöscht, wobei die Achsen aber erhalten bleiben. Beispiel: set(gca, nextplot, replacechildren ); surf(x,y,z./2,c); Hier bleiben die Achsen erhalten, statt - wie üblich - automatisch angepasst zu werden. Eine schöne Anwung dieses Modus ist die Erstellung von Animationen. Hierzu bietet MATLAB die movie -Anweisung, die einen Vektor von Grafiken in einer vorgegebenen Reihenfolge abspielt. Die einzelnen Grafiken können dabei mit der Anweisung getframe in eine Bild-Datenstruktur umgewandelt werden und in den Komponenten von F abgelegt werden. Der replacechildren Modus ist dabei wichtig, damit die Achsen von Bild zu Bild gleich bleiben. Erzeugen eines Testbildes surf(x,y,z,c) Einstellen der Achsen auf einen sinnvollen Bereich axis([ ]) Einstellen des replacechildren Modus set(gca, nextplot, replacechildren ) Erzeugen der Bilder for j = 1:21 surf(x,y,cos(2*pi*(j-1)/20).*z,z) F(j)=getframe; Abspielen des Films movie(f)

26 26 Einführung in Matlab Abspielen des Films mit 9 Wiederholungen (also 10 mal, Voreinstellung 1 Wiederholung) und 24 Bildern pro Sekunde (Voreinstellung 12) movie(f,9,24) Abspielen des Films mit 9 Wiederholungen (Voreinstellung 1) und 24 Bildern pro Sekunde (Voreinstellung 12) sowie der in dem angegebenen Vektor eingestellten Bildfolge movie(f,[ ], 24) 1.4 Ausgabe MATLABs Standardausgabe von Rechenergebnissen ist weder besonders schön noch besonders übersichtlich. Eine sehr leistungsfähige Abhilfe bietet die fprintf - Anweisung. Mit ihr kann man Text und Werte von Variablen in beliebiger Form ausgeben lassen. Die folgen Beispiele erläutern einige wesentliche Anwungsmöglichkeiten. Zunächst einmal ist es sehr einfach, mit fprintf Text auszugeben Beachte: Mit dem Ende der fprintf wird nicht automatisch in die nächste Zeile gewechselt. Ein Zeilene muss explizit durch die Zeichenfolge \n erzeugt werden. Leerzeilen erzeugt man mit fprintf( \n ) fprintf( Dies ist ein Text ) fprintf(...und hier geht es in der selben Zeile weiter\n ) fprintf( Jetzt beginnt eine neue Zeile\n ) fprintf( \n ) Um Variablenwerte auszugeben, muss im Text ein Platzhalter eingegeben werden, der das Format der Ausgabe bestimmt. Für Gleitkommazahlen gibt es die Format- Platzhalter %e, %f oder %g. %e gibt die Zahl immer in Exponenten-Darstellung aus %f gibt die Zahl immer ohne Exponenten aus %g wechselt zwischen diesen Formaten, je nach dem, in welchem Zahlenbereich die auszugebe Zahl liegt. Außerdem werden unwichtige Nachkommastellen (Nullen) abgeschnitten. Diese Platzhalter legen nur das Format und die Position der Ausgabe im laufen Text fest. Die eigentlich auszugebe Variable(n) muss (müssen) dann als weitere Argumente an die fprintf Anweisung übergeben werden.

27 Einführung in Matlab 27 x = fprintf( Verschiedene Formate\n ) fprintf( e: %e\n,x) fprintf( f: %f\n,x) fprintf( g: %g\n\n,x) Zusätzlich zum Format kann man auch eine Mindestanzahl von Stellen angeben, die für die Zahl bereitgestellt werden sollen. Dies ist für Tabellen sehr nützlich. Wir drucken eine Tabelle zunächst ohne Stellenangabe. for i = 1:10 wurzel = sqrt(i); fprintf( Die Zahl %g ist Quadratwurzel von %g\n,wurzel,i) fprintf( \n ) Jetzt formatieren wir dies schöner indem wir die Stellen festlegen. Man kann die Anzahl der Gesamtstellen und (wahlweise) zusätzlich die Anzahl der Nachkommastellen angeben, indem man diese zwischen % und Formatzeichen schreibt. Für das Format %f mit 10 Stellen schreibt man z.b. %10f. Um von den 10 Stellen 5 für Nachkommastellen zu reservieren, schreibt man %10.5f. Wir benutzen dies für die schönere Ausgabe der Quadratwurzeltabelle for i = 1:10 wurzel = sqrt(i); fprintf( Die Zahl %10.8g ist Quadratwurzel von %2g\n,wurzel,i) fprintf( \n ) Eine weitere Anwung der Stellenangabe ist es, die Genauigkeit der Ausgabe zu erhöhen fprintf( Die Wurzel von 2 ist %f\n,sqrt(2)) fprintf( Die Wurzel von 2 ist %20.18f\n,sqrt(2)) fprintf kann nicht nur einfache Zahlen, sondern auch Vektoren und Matrizen ausgeben. Hierbei wird die entspreche Formatanweisung für jedes Element der Matrix wiederholt. Hierbei wird spaltenweise vorgegangen, so dass die gewohnte Reihenfolge (zeilenweise) durch Transponieren der auszugeben Matrix erzeugt werden muss.

28 28 Einführung in Matlab A = [ ; ; 3 4 5] Ein erster Versuch, der aber nicht so besonders schön aussieht fprintf( Eine Matrix %f\n,a ) fprintf( \n ) Eine schönere Variante fprintf( Eine Matrix\n ) fprintf( %f %f %f\n,a )

29 Kapitel 2 Matlab, ein mathematisches Labor 2.1 Lineare Gleichungssysteme Man kann lineare Gleichungssysteme Ax = b mittels der Inversen der Matrix A lösen: x=inv(a)*b Dies ist aber numerisch ineffizient im Vergleich zu anderen Vorgehensweisen Direkte Verfahren MATLAB hat eine Reihe von Algorithmen zur Lösung von linearen Gleichungssystemen und verwandten Problemen eingebaut. Sei A = [ 1 5 6; 7 9 6; 2 3 4] b = [29; 43; 20] Der Grundbefehl zur Lösung eines linearen Gleichungssystems ist der umgekehrte Schrägstrich x=a\b Die Rechnung wird mit Gauß-Elimination (mit geschickter Pivotierung) durchgeführt Wenn A in obererer oder unterer Dreiecksform ist, wird Rückwärts bzw. Vorwärtseinsetzen durchgeführt. Anmerkung: Wenn A nicht quadratisch ist, wird keine Fehlermeldung ausgegeben, sondern automatisch das zugehörige lineare Ausgleichsproblem gelöst. 29

30 30 Matlab, ein mathematisches Labor Neben der direkten Lösung von linearen GS stehen Algorithmen zur Zerlegung von Matrizen zur Verfügung. lu zerlegt per Gauß-Elimination eine Matrix in eine rechte untere und eine linke obere Dreiecksmatrix - bis auf Zeilenvertauschungen durch Pivotierung [L,R] = lu(a) chol zerlegt symmetrische, positiv definite Matrizen mittels des Choleski-Verfahrens. Achtung: Im Gegensatz zur Vorlesung wird hier R mit R *R=A berechnet, nicht L mit L*L =A AA = A *A R = chol(aa) Hinweis: erzeugt eine symm, pos. def. Matrix zuletzt gibt es noch die QR Zerlegung, die wir in der Vorlesung nicht besprochen haben. Hier wird A=Q*R zerlegt, wobei R eine obere Dreiecksmatrix ist und Q eine orthogonale Matrix ist, d.h. es gilt Q 1 = Q T [Q,R] = qr(a) Die 2 Norm der Matrix Q ist immer 1: norm(q,2) Iterative Verfahren MATLAB stellt eine Reihe von Verfahren zur iterativen Lösung linearer Gleichungssysteme zur Verfügung Zunächst definieren wir uns ein Beispiel-Gleichungssystem und zwar eins, das sehr schlecht konditioniert ist A = [ ; ]; b = [0.217; 0.254]; cond(a,2) Die exakte Lösung dieses Systems ist [1; -1]. Wir werden nun einige wichtige Verfahren durchgehen, die alle - im Gegensatz zum Jacobi oder Gauss-Seidel Verfahren - für allgemeine quadratische Matrizen funktionieren. Im Einzelnen sind dies bicgstab - stabilisiertes bikonjugiertes Gradientenverfahren cgs - quadriertes konjugiertes Gradientenverfahren bicg - bikonjugiertes Gradientenverfahren gmres - verallgemeinertes Minimalresiduumsverfahren

31 Matlab, ein mathematisches Labor 31 Bei dem ersten Beispiel, dem bicgstab Verfahren, betrachten wir genauer, welche Parameter angegeben werden können Alle Verfahren haben die gemeinsame Eigenschaft, dass sie verschiedene Abbruchkriterien verwen. Nach Abbruch des Verfahrens wird ausgegeben, aus welchem Grund die Iteration beeet wurde. 1) Abbruch bei erreichter gewünschter Genauigkeit: Das Abbruchkriterium ist bei den Verfahren in MATLAB anders als die einfache Kriterium aus der Vorlesung. Hier wird für eine vorgegebene Toleranz tol so lange iteriert, bis das relative Residuum Ax b / b < tol (für die 2-Norm) ist. Der Vorteil dieses Verfahrens liegt darin, dass sich der Fehler in der Lösung dann aus der Kondition der Matrix A mittels des Satzes 2.32 (Fehleranalyse) der Vorlesung abschätzen lässt. Die gewünschte Genauigkeit ist mit 1e-6 voreingestellt. 2) Abbruch nach maximaler Anzahl an Iterationen: Wenn eine maximale Anzahl von Iterationen erreicht ist, wird das Verfahren in jedem Fall abgebrochen, auch wenn die gewünschte Genaugkeit noch nicht erreicht ist. Die maximale Anzahl der Iterationen ist mit n (=Dimension des Problems) voreingestellt. 3) Abbruch bei Stagnation: Wenn sich das Residuum nicht mehr verbessert, wird ebenfalls abgebrochen, auch wenn die gewünschte Genaugkeit noch nicht erreicht ist. Wir illustrieren nun die verschiedenen Abbruchkriterien: Beachte: Die Anzahl der Iterationen, die nach dem Abbruch angegeben wird, kann ein nichtganzzahliger Wert sein, da viele Verfahren mehrstufige Iterationsschritte durchlaufen, die nach einem Teildurchlauf abgebrochen werden können. Wir rufen das Verfahren zunächst ohne weitere Paremeter auf. bicgstab(a,b) input( druecke RETURN ) Hier tritt nun ein Abbruch wegen erreichter maximaler Anzahl der Iterationen auf. Als optionale Paramater können nun die Toleranz als drittes Argument und die maximale Anzahl der Iterationen als viertes Argument angegeben werden. Wir erhöhen nun die Anzahl der Iterationen und belassen die Toleranz bei dem voreingestellten Wert 1e-6 bicgstab(a,b,1e-6,20) input( druecke RETURN ) Hier tritt ein Abbruch bei erreichter Genauigkeit ein, das Ergebnis ist aber noch nicht so ganz zufriedenstell, da A schlecht konditioniert ist. Wir erhöhen also die gewünschte Toleranz: bicgstab(a,b,1e-10,20)

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