Fachhochschule Köln Abteilung Gummersbach. Computergrafik und Animation. 3D Modellierung vom Foto zum Objekt

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1 Fachhochschule Köln Abteilung Gummersbach Computergrafik und Animation 3D Modellierung vom Foto zum Objekt Diplomarbeit Radu Chisleag Matr.- Nr August 24 Gutachter: Prof. Dr. Horst Stenzel

2 Erklärung Ich versichere hiermit, die vorliegende Arbeit selbständig und ohne Verwendung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt zu haben. Alle Stellen, die wörtlich oder sinngemäß aus veröffentlichten und nicht veröffentlichten Schriften entnommen sind, sind als solche kenntlich gemacht. Gummersbach, August 24. Radu Chisleag

3 Danksagung Zunächst möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr. Horst Stenzel, Lehrgebiet für Graphische Datenverarbeitung an der Fachhochschule Köln Abteilung Gummersbach für die Vergabe dieses Diplomthemas bedanken. Ebenfalls möchte ich mich noch bei meinen Eltern bedanken, die mir das Studium der Informatik ermöglicht und mich in schwierigen Phasen unterstützt haben.

4 Inhaltverzeichnis 1 MOTIVATION EINLEITUNG GRUNDLEGENDE 3D ALGORITHMEN DIE RENDERING PIPELINE: ELEMENTARE DATENSTRUKTUREN SZENEN MANAGEMENT GEOMETRISCHE TRANSFORMATIONEN: RASTERUNG Überprüfung des Rendering Kontext Tiefen Pufferung Kappung am Bildschirmrand und Transparenztest Transparenz Nebel und Depth Cueing Anti-Aliasing Das Rendern eines Dreiecks TEXTURE MAPPING Bilineares Texture Mapping Perspektivisches Texture Mapping SHADING PRINZIPIEN Konstante Schattierung Phong Reflektions-Modell Gouraud Shading Phong Shading EINGESETZTE SOFTWARE PHOTOMODELER LITE, VERSION ADOBE PHOTOSHOP, VERSION ACDSEE, VERSION D STUDIO MAX, VERSION ERKLÄRUNG DES ARBEITSABLAUFES VISUELLE DOKUMENTATION FH-GEBÄUDE AUßEN FH AUßEN MENSA SÄULENRAUM ATRIUM TREPPENHAUS EINGANGSTREPPE Geometrie Details Wände SCHLUSSFOLGERUNG UND AUSBLICK REFERENZEN...69

5 Motivation 5 1 Motivation Da das Gebiet der computergenerierten 3D Graphik mittlerweile interdisziplinär verbreitet ist, und sich im stetigen Wachstum befindet, stellt es für den Autor dieser Arbeit ein attraktives Forschungsgebiet dar. Für jemanden, der sich selbst noch nicht eingehend mit der Erzeugung dreidimensionaler Szenarien und sogenannter virtueller Welten auseinandergesetzt hat, bietet es sich als Einstiegspunkt in diese sehr komplexe Thematik an, selbst den Versuch zu wagen, solch eine Szene oder ein Modell von Grunde auf selbstständig zu erzeugen. Ein komplexes Feld wie die 3D Graphik führ selbstverständlich dazu, dass zahlreiche Produkte erscheinen, mit welchen sich 3D Modelle und Landschaften auf unterschiedlichste Art und Weise erzeugen, manipulieren und darstellen lassen. Von besonderer Attraktivität stellte sich dabei ein Programm heraus, PhotoModeler, welches es ermöglicht, aus gängigen Fotographien dreidimensionale Computergraphik zu erstellen, anstatt diese selbständig von Grund auf zu erzeugen, wie es bei anderen Graphikpaketen üblich ist. Eingesetzt wurde hierbei die Lite Version von PhotoModeler, da sie kostenfrei erhältlich ist, und dem Benutzer durch die geringere Komplexität leichter Einblicke in die Vorgänge der Computergraphik im Allgemeinen, und den Arbeitsabläufen unseres Projektes im Speziellen gestattet.

6 Einleitung 6 2 Einleitung In dem Bereich der Computergraphik besitzt das 3D-Modelling heutzutage eine wichtige Rolle. Ursprünglich nur auf komplexen Rechnerarchitekturen sinnvoll einsetzbar, ist diese Technologie mittlerweile durch den stetigen Fortschritt in der Leistung moderner Rechnersysteme auch für den privaten und semi-professionellen Bereich nutzbar und erschwinglich gemacht worden. Parallel zum Fortschritt in der Hardware sind durch die Verbreitung und die steigende Popularität des Internets auch 3D-Algorithmen und intuitiv zu bedienende, sowie im Vergleich zu Profisystemen günstige Graphiksoftware den oben genannten Bereichen leichter zugänglich gemacht worden. Aufgrund des zunehmenden Wettbewerbs der Soft- und Hardware-Hersteller, welcher weiterhin durch die steigende Popularität computeranimierter Graphik, wie sie auch vor allem in Kinofilmen zum Einsatz kommt, stieg im Laufe der Zeit die Leistungsfähigkeit von Computersystemen und spezialisierter Graphiksoftware. Ebenso wichtig wie die leistungsfähige Technologie ist auch der Einsatz von effizienten Algorithmen. Hierbei spielt die Verbreitung des Internets als breites Kommunikationsmedium eine wichtige Rolle, da es interessierten Laien, wie auch professionellen Entwicklern Zugang verschafft zu einer großen Sammlung an Informationsmaterial zu dieser Thematik, sei es in Form von frei zugänglichen Bibliotheken, oder in Form von Kommunikationsinstanzen wie z.b. Foren oder Newsgroups. Das von vielen gern zitierte Moorsche Gesetz, welches Aussagen trifft über die Zunahme der Rechenleistung und über die Dichte der Transistoranzahl auf einem Chip im Laufe der Zeit, wurde immer wieder in seinen Prognosen übertroffen. Im Prinzip handelt es sich dabei um eine Aussage des Intel Mitbegründers Gordon Moore, welche aufgrund diverser Beobachtungen im Jahr 1965 getroffen wurde, und besagt, dass die Datendichte ungefähr alle 18 Monate verdoppelt wird.

7 Einleitung 7 Viele graphische Funktionen wie Texture-Mapping oder Geometrische Transformationen, die vor Jahren nur auf extrem kostspieligen Multi-CPU-Architekturen in der Industrie oder wissenschaftlichen Instituten in Echtzeit realisierbar waren, oder in weitaus langsamerer Form rein Software-basierend auf simpleren Computersystemen liefen, sind zur heutigen Zeit bereits Standardkomponenten moderner Graphikhardware. In immer geringerem Maße kommt der CPU eines Systems bei der Berechnung von 3D-Graphik Bedeutung zu, da die meisten Rechenanweisungen von spezialisierter Graphikhardware übernommen werden. Generell kann man sagen, dass das 3D-Modelling in der Computergraphik eingesetzt wird, um dreidimensionale räumliche Daten auf einem zweidimensionalen Bildschirm darzustellen. Wo bei zweidimensionaler Computergraphik die kleinsten Bildelemente, die sogenannten Pixel, nur Eigenschaften wie Farbe, Position und Helligkeit besitzen, verfügen Pixel in einer durch 3D-Algorithmen erzeugten Graphik noch zusätzlich über die Eigenschaft der räumlichen Tiefe, welche entlang einer Z-Achse festgelegt wird. Im Gegensatz zu einer zweidimensionalen Computergraphik, welche im Prinzip statischer Natur ist, wird eine dreidimensionale Graphik, bzw. die Graphik eines dreidimensionalen Modells, immer wieder neu berechnet, und könnte so aus allen Perspektiven betrachtet werden. Um zu realitätsnahen Ergebnissen zu gelangen z.b. durch eine aufwändige Beleuchtungssimulation -, verlangt die Berechnung der dreidimensionalen Graphik eine entsprechend hohe Rechenkapazität. Der eigentliche Einsatzzweck dieser visualisierten Daten hängt von dem Bereich ab, in dem von der Computergraphik Gebrauch gemacht wird. Diese Bereiche beinhalten unter anderem das Konstruieren und Planen von Architektur, die Visualisierung mathematischer Algorithmen in der Wissenschaft, die Modellierung von Fahr- und Flugzeugen in der Luftund Raumfahrt, der Autoindustrie und im Schiffsbau, oder die Kernspintomographie in der Medizin. Ebenso wird die 3D-Computergraphik als visuelles Hilfsmittel in Flug- und Fahrsimulationen zum Schulen und Trainieren von Fahrern und Piloten im militärischen und zivilen Bereich verwendet. Der Bereich der 3D-Modellierung/-Computergraphik ist ein von ständigen Innovationen geprägtes Wissenschaftsfeld. Aus diesem Bereich hat sich der Autor dieser Arbeit das Prinzip des Erstellens von 3D-Modellen aus zweidimensionalen Fotographien herausgesucht, und sich näher damit auseinandergesetzt. Genauer gesagt, besteht die Zielvorstellung darin, eine Anzahl von Innenräumen eines real existierenden Gebäudes das Hauptgebäude der Fachhochschule Gummersbach mit einer digitalen Fotokamera aufzunehmen, und diese

8 Einleitung 8 Bilddaten mit einem Spezialprogramm PhotoModeler 3D [PHOT3] in ein dreidimensionales Computermodell umzuwandeln. Im Laufe dieser Arbeit wurde von den meisten bereits genannten Technologien Gebrauch gemacht. Darunter fallen unter anderem digitale Bildkameras zur Aufnahme rohen Bildmaterials, Computersysteme mit ausgereifter Graphikhardware und verschiedene Arten von Graphiksoftware, zum Zwecke der Erschaffung und nachträglichen Bearbeitung zweiund dreidimensionaler Modelle und Bilddaten. Im Folgenden ein Überblick über den Aufbau dieser Arbeit: Im dritten Kapitel folgt eine Übersicht aller für diese Arbeit potentiell relevanten Algorithmen und mathematischen Grundlagen. Kapitel vier bietet Beschreibungen der Software, welche im Rahmen des Projektes eingesetzt wurde. In Kapitel fünf wird dargestellt wie der tatsächliche Arbeitsverlauf mit Hilfsmitteln und Ressourcen aussieht. Die genauere Darlegung der einzelnen Teil- und Unterprojekte in Wort und Bildern befindet sich im sechsten Kapitel dieser Arbeit. Eine genauere Analyse der angestrebten und erreichten Ziele, sowie eine Schlussfolgerung ist in Kapitel sieben zu finden.

9 Grundlegende 3D Algorithmen 9 3 Grundlegende 3D Algorithmen Um ein besseres Verständnis für die Prinzipien und Methoden zu schaffen, die bei der modernen 3D-Graphik im Allgemeinen, und bei diesem Projekt im Speziellen zum Einsatz kommen, soll dieses Kapitel einige grundlegende 3D Algorithmen erläutern. Bevor es zu einer genaueren Aufzählung der einzelnen Arbeitsstufen kommt, soll an dieser Stelle erwähnt werden, dass die Anordnung der nachfolgend dargestellten Abläufe nicht zwingend gültig sein müssen für alle existierenden Soft- und Hardware-Implementierungen im Bereich der 3D-Graphik. Das dritte Kapitel beginnt, im Unterkapitel 3.1, mit der Erklärung der klassischen Rendering Pipeline, wie sie häufig in der Fachliteratur und in den Dokumentationen von weitverbreiteten Graphikfunktionsbibliotheken wie z.b. Direct3D und OpenGL bezeichnet wird. Unterkapitel 3.3 beschäftigt sich mit dem Szenen-Management. Die klassischen geometrischen Transformationen, sowohl für den zwei- wie auch für den dreidimensionalen Raum, werden in Unterkapitel 3.4 erläutert. Da der Bereich der Rasterung durch die große Anzahl seiner Teilkomponenten äußert komplex ist, werden die einzelnen Effekte, die zum Einsatz kommen können, aber zum Teil nicht zwingend müssen, wiederum in den Unterkapitel 3.5 aufgeteilt. Die letzten beiden Unterkapitel 3.6 und 3.7 beschäftigen sich mit Texture Mapping, und Shading-Prinzipien. Diese Methoden werden eingesetzt, um z.b. ein Muster auf ein dreidimensionales Objekt zu projizieren, bzw. den Lichteinfall auf das Objekt in Form von Glanzpunkten optisch anzudeuten. Somit handelt es sich hierbei um die für den Benutzer am eindeutigsten wahrnehmbaren Methoden, die selbstverständlich auch in diesem Projekt zum Einsatz kommen.

10 Grundlegende 3D Algorithmen Die Rendering Pipeline: Wir können annehmen, dass wir ein dreidimensionales Modell in einer Szenerie platzieren, einen Ansichtspunkt - in der Fachliteratur auch "Viewpoint" genannt dafür wählen, das Modell in seine geometrischen Primitive reduzieren, die Beleuchtungstypen oder Beleuchtungsmodelle, und Materialien wie z.b. Farben, Reflektions- und Refraktionseigenschaften, auswählen [FOLE94]. Diese Informationen reichen aus, um ein Bild zu berechnen. Dies geschieht in der "Rendering Pipeline"[SCHM97], welche diese Beschreibung in Pixel umwandelt. Im folgenden werden die einzelnen Schritte des Schaubildes [Abbildung 1] in kurzen Worten erklärt. Als erstes gehen wir davon aus, dass wir über eine Datenbank, oder eine allgemeine Datenstruktur verfügen, in welcher sich Informationen über Position und Beschaffenheit aller in der Szene vorhandenen Objekte befinden, so dass man schon im Vorfeld bestimmen kann, welche dieser Objekte oder Elemente sichtbar sein werden, oder vom Rendering - Prozess ausgeschlossen werden können. Dieser Teilvorgang wird allgemein als Szenen- oder Szenario-Management, in mancher Fachliteratur auch als Culling bezeichnet, was in diesem Zusammenhang soviel bedeutet wie selektives Pflücken oder Schlachten. Im folgenden werden wir uns jedoch auf den Begriff Szenen-Management beschränken, da der Begriff Culling bei manchen Herstellern von Graphikhardware als werbewirksames Feature herausgestellt wird z.b. das Backface Culling, welches sich aber auf einen Aussortierungsprozess bezieht, der mit dem in diesem Kapitel beschriebenen nichts zu tun hat. Sobald man die darzustellenden Szenen-Elemente herausgesucht hat, müssen deren kleinste Elemente, die Eckpunkte Vertices in der Szene platziert und ausgerichtet werden, wozu diese eine Vielzahl geometrischer Transformationen durchlaufen. Parallel zum Transformationsprozess werden die Eckpunkte auch unter Berücksichtigung der in der Szene vorhandenen Lichtquellen beleuchtet, so dass dadurch ihre Farbeigenschaften verändert werden. Nach der Transformation muss ermittelt werden, ob sich Elemente außerhalb der Sichtpyramide befinden, und Teile davon entsprechend gekappt werden. Da alle Transformations- und Beleuchtungsberechnungen auf die Eckpunkte angewandt wurden, und nicht auf komplette Polygone, müssen die transformierten und beleuchteten Eckpunkte den Polygonen zugewiesen werden, die sie letztendlich darstellen. Um die Szene

11 Grundlegende 3D Algorithmen 11 zeichnen zu können, müssen die Koordinaten aller Objekte in bildschirmgerechte 2D Koordinaten umgewandelt werden. Durchlaufen der Objekt-Datenbank mit allen in der Szenerie befindlichen Objekten Transformation der lokalen Objekt- oder Modellkoordinaten in globale Weltkoordinaten Modell -> Welttransformation Transformation der globalen Weltkoordinaten relativ zum Betrachter. Welt -> Kameratransformation Beleuchtungsberechnung Bestimmung einer Sichtpyramide, perspektivische Skalierung der Szene Perspektivische Projektion Wegschneiden aller Objekte außerhalb der Sichtpyramide Clipping Zuweisung der transformierten und beleuchteten Eckpunkte zu Polygonen Polygon Setup Umwandeln der gesamten 3D Szene in bildschirmgerechten 2D Koordinaten 3D - > 2D Konvertierung Rasterung aller Elemente in den Bildspeicher, mit Hinblick auf Tiefenunterschiede sich überlappender Pixel Z-Buffering, Scanline-Algorithmus Auslesen des Bildspeicherinhalts und Ausgabe über die Videoelektronik auf den Bildschirm Abbildung 1 Anschließend, bei der eigentlichen Rasterung, muss neben der Bestimmung der Bildschirmauflösung auch ermittelt werden, welche Szenenteile sich gegenseitig überlappen, so dass verdeckte Pixel nicht gezeichnet werden. Letztendlich werden alle im

12 Grundlegende 3D Algorithmen 12 Bildschirmspeicher vorhandenen Pixeldaten von der Videoelektronik ausgelesen, und auf dem Bildschirm ausgegeben. 3.2 Elementare Datenstrukturen Um ein genaueres Verständnis zur Begründung der nachfolgenden Algorithmen zu liefern, soll an dieser Stelle der Aufbau der Datenstruktur für eine 3D-Szene als kurzer Überblick anhand des Beispiels der Beschreibungssprache VRML geliefert werden. Ein VRML Dokument der sogenannte Szenengraph besteht aus einer Liste von Strukturen, den Nodes oder Knotenpunkten. Nodes lassen sich prinzipiell in drei Klassen unterteilen, und zwar geometrischen Formen, Aussehen des Objektes und Objektzusammenfassung. Jedes Node hat verschiedene Eigenschaften Properties -, wie z.b. Materialien, Texturen oder Geometriebeschreibungen, welche aus mehreren Argumenten den Fields - bestehen kann. Hierbei hängt die Art der Eigenschaften vom zugehörigen Knotenpunkt ab, so kann sich z.b. die Geometriebeschreibung auf ein geometrisches Primitiv wie Würfel oder Zylinder beziehen, oder auf polygonale oder extrudierte Objekte. Materialbeschreibungen beinhalten Farben und Schattierung. Weiterhin bietet VRML Beleuchtungs-, Texturierungs-, Transformations- und Interaktionsbeschreibungen als Teil der Datenstruktur zur Beschreibung der 3D-Szene an. Die Programmierlogik kann separat als Java, JavaScript oder VRMLscript spezifiziert werden. Aufgrund der hohen Verbreitung der Sprache VRML, lassen sich viele der nachfolgend beschriebenen Prinzipien und Algorithmen in einer für VRML implementierten Form finden. Es soll an dieser Stelle jedoch erwähnt werden, dass während dieser Arbeit keine direkte Programmierung mit VRML stattgefunden hat. 3.3 Szenen Management Bei der computergenerierten Darstellung dreidimensionaler Szenarien, ist es aufgrund des anfallenden hohen Rechenbedarfs und den limitierten Ressourcen von großer Wichtigkeit, tatsächlich nur solche Elemente in den Bearbeitungszyklus mit einzubeziehen, welche am Ende der Rendering Pipeline auch dargestellt werden. Aus diesem Grund werden Objekte innerhalb der Szene mit Hilfe verschiedener, von der Art der Szene abhängiger Algorithmen

13 Grundlegende 3D Algorithmen 13 in Vorfeld heraussortiert. Um einen Überblick aller Objekte zu haben, ist es von Bedeutung, diese in einer Verwaltungsstruktur zu referenzieren, zum Beispiel einer Objektdatenbank. Es gibt zahlreiche Algorithmen, darunter zum Beispiel Binary Space Partitioning [NAYL92], Portals oder Occlusion Trees [GARL97, BITT98], welche im Einsatz bei der 3D Berechnung die Aufgabe haben, zu ermitteln, welche Objekte, oder auch Teile derer im endgültigen Bild sichtbar sind. In letzterem Fall wir das Objekt nicht komplett aus dem Rendering-Vorgang ausgeschlossen, stattdessen wird analysiert, welche Teil-Elemente, in den meisten Fällen Polygongruppen, nachher sichtbar sind. Die Effizienz und die Einsatzrelevanz dieser Algorithmen ist sehr stark von der Beschaffenheit der Szenerie abhängig; so werden Portals häufig für virtuelle Kamerafahrten durch geschlossene Räumlichkeiten eingesetzt, wohingegend Octrees bei der Darstellung offener Landschaften Verwendung finden. Sofern man davon ausgehen kann, dass, wie z.b. in unserem Projekt, sehr wenige Objekte in der Szene vorhanden sind, beziehungsweise die Objekte an sich aus einer geringen Anzahl an Polygonen bestehen, ist es möglich, solche optimierenden Algorithmen außer Acht zu lassen. Sollte jedoch im Laufe des Projektes die Objektkomplexität, oder die Anzahl an Szenenelementen zunehmen, würde durch den steigenden Datenbestand und den dadurch zunehmenden Rechenbedarf die Anforderung an die Hardware steigen. Da in der hier vorliegenden Arbeit in erster Linie von einem fertigen, kommerziellen Programm, PhotoModeler, Gebrauch gemacht wird, lässt sich ohne interne Kenntnisse des Programms keine genaue Aussage darüber treffen, welche der oben genannten Datenstrukturen zum Einsatz kommen. 3.4 Geometrische Transformationen: Geometrische Transformationen [BOEH94] werden für zahlreiche Zwecke in der Computergraphik eingesetzt: 1) Weltkoordinaten nach Bildschirmkoordinaten (Window-to-viewport mapping) Im Computerspeicher besteht ein mathematisches Modell mit sämtlichen Positionskoordinaten aller graphischen Objekte im virtuellen 2D oder 3D Raum[DIRX1]. Diese Koordinaten müssen mit Hilfe der Window-to-Viewport Transformation in ein für das

14 Grundlegende 3D Algorithmen 14 Bildausgabegerät lesbares Format umgewandelt werden, damit die Objekte auf der zweidimensionalen Abbildungsfläche des Bildschirms dargestellt werden können. 2) Konstruieren von Objekt Modellen Die Form, Position und Ausrichtung eines Objektes im virtuellen Raum, wird anhand seiner grundlegenden Eckpunkte festgelegt. Diese Punkte befinden sich in einem bestimmten Abstand zur lokalen Ursprungskoordinate des Objekts. 3) Beschreibung von Bewegungsabläufen von Modellen (zu Animationszwecken) Objektmodelle lassen sich mit Hilfe der grundlegenden Transformationsoperationen (weiter unten als Translation, Skalierung und Rotation näher beschrieben) im Raum bewegen. Dies geschieht, indem man die Objekte über einen Zeitraum hinweg mit sich verändernden Parametern durch Translation, Rotation oder Skalierung bewegt wird. Dadurch entsteht der Effekt einer Animation. 4) Mapping von der 3D auf die 2D Sicht (Projektion) In diesem Arbeitsschritt werden Objekte im Hinblick auf ihre Distanz zum Betrachterauge so skaliert, dass solche Objekte, die sich weiter weg befinden kleiner erscheinen, als solche, welche näher am Betrachter sind. Dadurch wird ein für den Betrachter perspektivisch korrekter Eindruck zu vermitteln versucht. Die grundlegenden Transformationen sind allesamt lineare Transformationen. Die selben Arten Transformationen kommen sowohl bei 2D als auch bei 3D zum Einsatz. Punkte im zweidimensionalen Raum werden als Zeilen-Vektoren dargestellt. Relevant für Graphikberechnungen [HOGG92] sind vier Arten von Transformationen: - Translation - Skalierung - Rotation - perspektivische Projektion 1) Translation kann algebraisch als eine Vektor-Addition beschreiben werden. Es sei gegeben ein Punkt P (x, y) und ein Vektor T (dx, dy), dann ergibt die Translation den Punkt: P' = P+T = (x+dx, y+dy) Gleichung 1

15 Grundlegende 3D Algorithmen 15 Translationsmatrix (Translation um den Vektor T): ' ' ' [ x y z 1] = [ x y z 1] 1 Tx 1 T y 1 T z 1 Gleichung 2 Man kann dabei beobachten, dass, wenn auf jeden Punkt in einem Objekt die Translation um den selben Betrag angewandt wird, das gesamte Objekt um diesen Betrag bewegt wird. In der Tat kann man die Translation auf eine ganze Linie anwenden, indem man sie auf die Endpunkte der Linie ausführt, und anschließend die neu positionierten Endpunkte wieder verbindet. 2) Die Skalierung bedeutet die Vergrößerung und Verkleinerung eines Objekts im Hinblick auf seine x- und y-achse, und seines Ursprungs. Skalierung entlang der x- und y-achse verzerrt die Form eines geometrischen Primitives und verändert zusätzlich noch seine Größe. Die Skalierung wird algebraisch dargestellt als eine skalare Multiplikation. Das Skalieren von P(x, y) um einen Faktor von sx mit Hinblick auf die x-achse ergibt P'(sx x, y). Das Skalieren von P(x, y) um den Faktor sy mit Hinblick auf die y-achse ergibt P'(x, sy y). Diese Operation kann durch eine Matrizen - Multiplikation ausgedrückt werden. Skalierungsmatrix (Skalierung um den Faktor s): ' ' ' [ x y z 1] = [ x y z 1] sx s y s z 1 Gleichung 3 Analog zur Translation kann man eine gesamte Figur skalieren, indem man jeden Punkt innerhalb der Figur separat skaliert. Ebenso kann man eine Linie skalieren, indem man nur die Endpunkte skaliert, und anschließend diese skalierten Punkte wieder verbindet.

16 Grundlegende 3D Algorithmen 16 3) Bei der Rotation wird ein Punkt oder beliebig viele Punkte eines Objekts um einen bestimmten Winkel gedreht. Dabei dient der Ursprungspunkt des Objekts als Rotationsachse. Soll ein Objekt um seine eigene Achse rotiert werden, so muss beachtet werden, dass diese Operation nur im lokalen Objektkoordinatensystem durchgeführt wird. Würde sie hingegen im globalen Weltkoordinatensystem stattfinden, so würde das gesamte Objekt um den globalen Ursprungspunkt gedreht werden. Rotation Matrix um die Achsen x, y und z: [ ] [ ] = 1 cos sin sin cos ' ' ' θ θ θ θ z y x z y x [ ] [ ] = 1 cos sin 1 sin cos 1 1 ' ' ' θ θ θ θ z y x z y x [ ] [ ] = 1 1 cos sin sin cos 1 1 ' ' ' θ θ θ θ z y x z y x Gleichung 4 4) Es stellt sich die Frage, wie nun ein dreidimensionales Objekt auf einem zweidimensionalen Monitor dargestellt wird. Dies geschieht mit Hilfe einer Abbildungsgleichung, welche perspektivische Projektion genannt wird. Die perspektivische Projektion beruht auf der Tatsache, dass weit entfernte Objekte dem Auge kleiner erscheinen. z y Entfernungsfaktor y z x Entfernungsfaktor x = = Gleichung 5

17 Grundlegende 3D Algorithmen 17 Um also unser 3D Objekt auf einem 2D Bildschirm zu projizieren, müssen die x- und y- Komponenten entsprechend der z-komponente skaliert werden. Demzufolge werden die Punkte, welche einen größeren z-wert haben für den Betrachter als weiter entfernt erscheinen. Außerdem muss um einen Entfernungsfaktor multipliziert werden, um das Objekt in den sichtbaren Bereich zu skalieren. 3.5 Rasterung Der Schritt "Rasterung" besteht aus dem Berechnen von Farbwerten an jeder Pixelposition innerhalb jedes graphischen primitiven Elements. Diese Werte sind auch abhängig von solchen Faktoren wie verdeckten Linien, Transparenzberechnungen und Anti-Aliasing (Kanten Glättung). Zum jetzigen Zeitpunkt hat jeder Pixel eine x/y Koordinate, eine Farbe und Tiefenwert. Es folgt eine Beschreibung der einzelnen Schritte dieses Schaubildes, welche den Rasterungsprozess [OPGL3] genauer verdeutlichen Überprüfung des Rendering Kontext Je nach Grafikbibliothek, welche beim Programmieren einer 3D-Applikation zum Einsatz kommt, kann es notwendig sein, dass man den gesamten Pixelbestand einem Kontext zuordnet, so dass die Grafikbibliothek erkennt, dass ihr ein bestimmtes Pixel auf dem Bildschirm zugeordnet ist, und dieses somit manipulieren darf. Eine Art der Zuweisung kann zum Beispiel ein Fenster sein, auf welches die Grafikbibliothek alleinigen Zugriff hat. Alle Pixel außerhalb dieses Fensters werden somit im Vorfeld vom Bearbeitungsablauf ausgeschlossen, und werden von den Operationen der Grafikbibliothek nicht betroffen. Es wird also ein Arbeitsbereich geschaffen, auf welchem nun Polygone, welche in den zweidimensionalen Bildschirmraum transformiert wurden letztendlich als Pixel gezeichnet werden.

18 Grundlegende 3D Algorithmen 18 Überprüfung der Pixeldaten auf Renderingkontext Polygondaten im 2D Bildschirmraum Tiefenvergleich anhand von Algorithmen wie Z-Buffer oder Painter-Algorithmus Kappung am Bildschirmrand und Transparenztest Schattierungsberechnung Flat Shading, Gouraud- Shading, Phong Shading Hinzufügen von Texturen (optional) Hinzufügen von Nebel (optional) Endgültiges Schreiben der modifizierten Pixeldaten in den Bildspeicher Abbildung Tiefen Pufferung Um Pixel oder andere Bildelemente wie ganze Polygone, welche im endgültigen Bild nicht sichtbar sein werden, nicht zeichnen und überzeichnen zu müssen, wird eine Methode benötigt, die verhindert, dass verdeckte Bildelemente überhaupt in den Bildspeicher gelangen. Ein Pixel wird nicht in den Bildspeicher, auch Framebuffer genannt, geschrieben, wenn es von einem anderen Pixel bereits überdeckt wird. Das bedeutet, wenn ein vorangehendes Pixel einen Z-Wert hat, welcher sich näher beim Betrachter befindet, so wird das nachfolgende Pixel mit einem Z-Wert weiter weg vom Betrachter nicht in den Bildspeicher geschrieben. Alternativ zum Z-Buffer Test, werden manchmal auch Verfahren wie W-Buffering und Painter Algorithmus eingesetzt. Diese Methoden zur Tiefenbestimmung von Pixels oder ganzen Polygonen sind aber nicht so weit verbreitet wie das Z-Buffering und sollen deswegen hier auch nur kurz angeschnitten werden [WATT9].

19 Grundlegende 3D Algorithmen 19 Beim W-Buffering wird statt der Z-Koordinate eines Pixels die homogene W-Koordinate zum Tiefenvergleich herangezogen. Der Grund dafür ist, dass generell bei Z-Werten mit niedriger Präzision, z.b. 16 Bit um Speicherplatz zu sparen, bei wachsender Entfernung zum Betrachter/Kamera die Genauigkeit abnimmt. Um eine anschaulichere Vorstellung davon zu geben kann man sagen, dass 9 Prozent der Genauigkeit des Z-Buffers auf den ersten 1 Prozent des Weges vom Betrachter weg liegen. So lässt sich unter Einsatz eines ungenauen Z-Buffers beim Betrachten einer 3D Szene beobachten, wie die Flächen weit entfernter Objekte aufflackern, da der Z-Buffer nicht in der Lage ist zu unterscheiden, welches Pixel das andere überdeckt. Setzt man jedoch präzisere Z- Buffer ein, solche mit einer Genauigkeit von 24 oder 32 Bit, so schwindet der Vorteil des W- Bufferings schnell. Der Painter-Algorithmus hingegen arbeitet nicht direkt mit Pixels, sondern sortiert komplette Polygone nach ihrer Entfernung vom Betrachter. Wenn sich dabei zwei oder mehrere Polygone schneiden, so dass man nicht konkret sagen kann dass ein Polygon das andere komplett verdeckt, so werden diese an den Schnittkanten erneut in neue, kleinere Polygone aufgeteilt. Dieses Verfahren stammt jedoch aus einer Zeit, als die Rasterung auf schwächeren Systemen ausschließlich in Software, also nur durch die CPU berechnet wurden, es also noch keine dedizierte Grafikhardware mit Z-Buffer gab Kappung am Bildschirmrand und Transparenztest Da der Bildschirmspeicher Framebuffer logisch als lineare Struktur angesehen werden kann, müssen Elemente, die visuell nicht komplett auf dem Bilderschirm, oder in einem Fenster eines Renderingkontextes sichtbar sind, an den Rändern eines vorgegebenen Kappungsrechtecks, auch Clipping-Rectangle genannt, abgeschnitten werden. Würde man dies nicht tun, so würden die nicht dargestellten Abschnitte eines Polygons aufgrund des erwähnten linearen Bildspeichers in die nächste Bildschirmzeile rutschen. Häufig werden die Dimensionen des Kappungsrechtecks der Größe des gesamten Bildschirms oder des einzelnen Fensters gleichgesetzt.

20 Grundlegende 3D Algorithmen 2 Jedes Pixel besitzt die Eigenschaften Position in Form von x- und y-koordinaten, einen Tiefenwert z, Farbe in Form von RGB Werten, und zusätzlich noch einen Opazitätswert, welcher angibt, in welchem Maße ein Pixel durchsichtig ist. Dies bedeutet, dass bei einem zu 5% durchsichtigem Pixel die Farbe des Hintergrundes oder eines dahinterliegendem Pixel mit der Farbe des transparenten Pixels vermischt wird. Beim Transparenztest auch Alphatest genannt - wird jedes Pixel anhand seines Opazitätswertes mit einer globalen Konstante verglichen, und entsprechend einer zu erfüllenden Bedingung, z.b. niemals, immer, kleiner als oder größer als weggelassen oder nicht Transparenz Wenn ein Element transparent ist, kann es sein, dass ein Pixel ausgelassen wird, selbst wenn es sich vorne befindet. Heutzutage werden auf modernen graphischen Systemen die Farbwerte von übereinanderliegenden, transparenten Pixels mittels "Blending" ermittelt. Das Alpha Blending ist die herkömmlichste heutzutage eingesetzte Technologie, welche eingesetzt wird um Transparenzeffekte nachzubilden, wie sie z.b. bei Objekten wie Glas, Nebel oder Wasser vorkommen, oder um eine Textur oberhalb einer anderen abzubilden, ohne diese komplett zu verdecken. Genauer gesagt kann man das Alpha Blending dazu nutzen, eine Textur mit einem bereits in den Bildspeicher geschriebenem Bild zu vermischen. Hierbei wird jedem Pixel innerhalb einer Textur neben den Farbwerten für rot, grün und blau ein zusätzlicher Alpha Wert zugewiesen, welcher den Grad der Transparenz angibt. Diese Alpha Werte werden dann eingesetzt um auf einer pro-pixel Basis die Farbwerte zweier Texturen, bzw. einer Textur und einem im Bildspeicher vorhandenen Bild zu vermischen, indem die gewogenen arithmetischen Mittelwerte der Farben beider Bilder oder Texturen berechnet werden Nebel und Depth Cueing Nebel ist ein Spezialeffekt in der Computergrafik, der für zusätzlichen Realismus in dreidimensionalen Bildern sorgt. Der Nebel fügt einer auf einem zweidimensionalen Bildausgabegerät abgebildeten dreidimensionalen Szene einen Tiefeneffekt hinzu. In der Computergrafik wird der Nebeleffekt auch als Fogging bezeichnet. Der Nebeleffekt wird erreicht, indem die Farbe der darzustellenden Elemente in Abhängigkeit von ihren