1.5 Relativistische Kinematik

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1 1.5 Relativistishe Kinematik Lorentz-Transformation Grundlage: Spezielle Relativitätstheorie à In jedem Inertialsystem gelten die gleihen physikalishen Gesetze; Inertialsystem: System in dem das 1. Newtonshe Gesetz (Trägheitsgesetz) gilt Betrahte zwei Inertialsysteme S und S, die sih mit konstanter Geshwindigkeit v zueinander bewegen (o.b.d.a: Bewegung in x-rihtung) Übergang zwishen Bezugssystemen wird durh die Lorentz-Transformation beshrieben: x ʹ =γ (x v t) yʹ = y zʹ = z v t ʹ =γ(t x) wobei: γ= : 1 v 1 Inverse Transformation: x =γ (xʹ + v t ʹ ) y= yʹ z= zʹ v t =γ (tʹ + x ʹ )

2 Konsequenzen aus der Lorentz-Transformation (i) Relativität der Gleihzeitigkeit (ii) Längenkontraktion (iii) Zeitdilatation (iv) Niht-lineare Addition von Geshwindigkeiten

3 (i) Relativität der Gleihzeitigkeit Gleihzeitigkeit hängt von der Bewegung der Bezugssysteme ab; Ereignisse, die in einem Bezugssystem gleihzeitig stattfinden, sind im anderen Bezugssystem niht gleihzeitig Zwei gleihzeitige Ereignisse in S: t, x A, y, z t, x B, y, z Für die Zeiten t für die Ereignisse A und B ergibt sih im System S : v t ʹ A =γ (t x A) v t ʹ B =γ (t x B) Hieraus ergibt sih: v tʹ A = t ʹ B +γ (x B x A)

4 (ii) Längenkontraktion Betrahte einen Stab der Länge L im System S (Das System S sei das Ruhesystem des Stabes) L = x - x 1 Betrahte die Koordinaten, und damit die Länge des Stabes im System S: x ʹ =γ (x v t) xʹ =γx γv t Hieraus ergibt sih 1 1 xʹ =γx γv t x x1 1 L L= x x 1 = ʹ ʹ = (xʹ x ʹ 1) = ʹ γ γ γ γ à Das bewegte Objekt ersheint um einen Faktor γ in der Länge verkürzt, bezogen auf das Ruhesystem des Objekts

5 (iii) Zeitdilatation Eine Uhr in dem bewegten System laufe für einen Zeitraum T ; Welhes Zeitintervall ergibt die Messung im System S? o.b.d.a: t 1 = 0 bis t = T Δt = T Uhr sei im Ursprung von S, d.h. x = 0 Lorentztransformation: t =!( t " + v x ")! t 1 = "#(0 + v #0) = 0! t = "#( T $ + v #0) = "# $ T Δ t = t t1 =γ Tʹ à Die Uhr im System S durhläuft ein um den Faktor γ längeres Zeitintervall, oder: bewegte Uhren gehen langsamer Wihtig für die Teilhenphysik: Zeitdilatation relativistisher Teilhen

6 (iv) Niht-lineare Addition von Geshwindigkeiten Ein Teilhen bewege sih mit der Geshwindigkeit u relativ zu S in x -Rihtung; Welhe Geshwindigkeit u hat es im Bezugssystem S?!x!t = u = "(! x # + v $! t #)! x # + v "(! t # + v $! x # =! t # ) 1+ v $! x#! t# uʹ + v u = vu ʹ 1+ klassish: relativistishe Korrektur: u = u! + v k := 1 1+ v" u! Spezialfälle: u! = " u = +v 1+ v v = $ & % u! = '& = # 1+ v 1+ v " u = # = = à Die Lihtgeshwindigkeit stellt in allen Inertialsystemen die maximale Geshwindigkeit dar.

7 1.5. Vierervektoren (i) Orts- und Zeit-Vektor: x! Die Lorentz-Transformation koppelt Orts- und Zeitkoordinaten, Zusammenfassung der vier Koordinaten in einen Raum-Zeit-Vektor: 3 % µ = " # µ $ x # = " # µ $ x # (µ = 0,1,,3) #=0 0 t x = t µ x : = = 1 x x = x y x y 3 z x = z Transformation: Explizite Rehnung für x 0 x = ( t ʹ ) = γ (t x ) x! 0 = "(x 0 #$% x 1 ) x! 1 = "(x 1 #$% x 0 ) x! = x x 3! = x 3 wobei Kompakte Shreibweise: (Einstein she Summenkonvention) $ := v 0ʹ v 1 wobei: =γ =γ v 1 ( t x ) 0 1 (x β x ) γ γβ 0 0 γβ γ 0 0 Λ=

8 Vierervektor a µ : Vier-komponentiges Objekt, das sih in derselben Weise wie x µ transformiert a =Λ ν a µ ʹ µ ν wobei Λ die Lorentz-Transformationsmatrix darstellt Skalarprodukt von Vierervektoren: µ a b a b a b a b a b µ =! a " b = a 0 b 0 # a! " b! Beträge von Vierervektoren: a := a!a = (a 0 ) "! a!! a a > 0 a µ zeitartig a < 0 a µ raumartig a = 0 a µ lihtartig

9 Lorentz-Invarianten: Kombinationen von Koordinaten, die invariant unter Lorentz-Transformationen sind Beispiel: I = (x ) (x ) (x ) (x ) = (x ) (x ) (x ) (x ) 0ʹ 1ʹ ʹ 3ʹ (Analog zur Invarianz von r = x + y + z im 3-dimensionalen Raum unter Rotationen) Metrik: g: = I= g x x = g x x wobei µ= 0v= 0 x : g x ν µ = µν µ ν µ ν µν µν = x x ν ν kovarianter Vektor kontravariant: (x, x, x, x ) kovariant: (x, x, x, x ) Übergang: kovariant ß à kontravariant x = g x µ µν µ µν x = g x ν ν µν 1 g = (G) = g µν (Diagonalform)

10 1.5.3 Tensoren Verallgemeinerung von Vierervektoren Ein Tensor n-ter Stufe S µν...τ (n Indies) transformiert sih mit n Λ-Matrizen Tensor 0. Stufe: Skalar Tensor 1. Stufe: Vierervektor Tensor. Stufe: 16-komponentiges Objekt S µν Transformation: S =Λ Λ S µν ' µ ν k k σ Tensor 3. Stufe: 64-komponentiges Objekt T µνλ Transformation: T =Λ Λ Λ T µνλ ' µ ν λ kστ k σ τ Konstruktion von kovarianten und gemishten Tensoren: S : = g S µ µλ ν νλ S : = g g S µν µ k νλ kλ (Das Produkt zweier Tensoren ist wieder ein Tensor)

11 1.5.4 Energie-Impuls Vektor Die relativistishe Energie und der Dreierimpuls bilden einen Vierervektor! # # P µ = # # # " E p x p y p z $ & &! & = & # " & % '( m ( '( m (! v $ & % Relativistishe Invariante: P µ! P µ = E "! p = # m " # m! v = # m (1" v ) = # m 1 # = m è E = m 4 + p

12 Energie-Term: E=γ m = m 1 1 ( ) v Näherung für kleine Werte von v/: Relativistishe Energie/Impulsbeziehungen: E γ=! = v m = p" E E = m { 1+ 1 v = m + 1 mv + 3 8! p =!" m "! v E =!" m " v 4 + } 4 v 4 + Beispiel: Proton E = 10 GeV 10 GeV γ= = GeV β= =