0, t 0,5

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "0, t 0,5"

Transkript

1 XIII. Die Normalverteilung ==================================================================. Der lokale Grenzwertsatz Standardisierung von B(4; 0,) : 0, t Standardisierung von B(8; 0,) : 0, t Lokaler Grenzwertsatz : Die Dichtefunktion ϕ n (= Treppenfunktion, die ein Histogramm oben berandet) der standardisierten Binomialverteilung B(n; p) geht mit wachsendem n gegen die Grenzfunktion ϕ(t) = π e t ϕ heißt deshalb Dichte der Standardnormalverteilung. Eigenschaften von ϕ :. Achsensymmetrie ϕ( t) = ϕ(t). lim ϕ(t) = 0 t ±

2 . ϕ(t)dt = 0, Anwendung : Für große n ( > 9) gilt : B(n; p; k) π e (k np) ( lokale Näherung) Begründung : Breite eines Histogrammrechtecks der standardisierten Binomialverteilung : t = σ = Höhe des zu k gehörenden Rechtecks : h ϕ(t) = ϕ( k np ) B(n; p; k) h t = e π k np Beispiel : Es ist B(00; 0,; 4) = 0,0480 Die lokale Näherung ergibt : B(00; 0,; 4) π 00 0, 0, e (4 0) 00 0, 0, 0,04 Bemerkung : Eine Wertetabelle von ϕ findet man in der Stochastik-Tabelle (S.9).

3 . Integraler Grenzwertsatz p k l ϕ( )t ) 0, t k l t Im Histogramm der Binomialverteilung B(n;p) ist die Flächensumme der Histogrammrechtecke von k bis l mit 0 k l n gleich der Wahrscheinlichkeit P(k X l) für die Trefferzahl X. Ist X S die Standardisierung von X und t k und t l die standardisierten Werte von k und l, dann gilt P(t k X s t l ) = P(k X l). Die Flächenberechnung lässt im Histogramm von durchführen. X S näherungsweise durch eine Integration P(k X l) = k i l B(n; p; i) ϕ(t)dt t k t l l µ+ σ k µ σ ϕ(t)dt Setzt man Φ(x) : = x ϕ(t)dt = x e t dt, π dann gilt

4 Satz : Für die Binomialverteilung gilt folgende Näherungsformel l np + 0, k np 0, P(k X l) Φ( ) Φ( ) Stellt man keine zu großen Ansprüche an die Genauigkeit, dann reicht aus P(k X l) Φ(( l-np k- np ) - Φ(( ) Spezialfall : l = k (integrale Näherungsformel bzw. Laplace - Näherung) k np + 0, k np 0, P( X = k) Φ( ) Φ( ) Bemerkungen und Beispiele :. Die Werte der Funktion Φ lassen sich nur numerisch berechnen. Als Graph ergibt sich Z(0; 0,) x. Es gilt lim Φ(x) = 0 und lim Φ(x) = x x. Der Graph von Φ ist punktsymmetrisch zu Z 0. Also ist Φ(x) = Φ( x) Φ( x) = Φ(x)

5 Daher findet man nur für positive x die Werte von Φ(x) in der Stochastiktabelle. So ist z.b. Φ(,) = Φ(,) 0,88877 = 0, Die Punktsmmetrie von Φ folgt aus der Achsensymmetrie von ϕ. 4. Φ ist streng monoton steigend und damit umkehrbar. Man findet Werte der Umkehrfunktion in der Stochastiktabelle. So ist z.b. Φ (0,0,9),6449 und Φ (0,97),9600. Für die Verteilungsfunktion F gilt : x np + 0, 0 np 0, x np + 0, F(x) = P( X x) Φ( ) Φ( ) ( )

6 Aufgabentypen : Berechnen von Wahrscheinlichkeiten Ein L-Würfel wird 600mal geworfen. Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass a) mindestens 9mal und höchstens mal b) höchstens mal c) mindestens mal d) genau 99mal eine Sechs fällt. X : Anzahl der gewürfelten Sechsen Erwartungswert : E(X) = µ = np = = 0 Standardabweichung : σ = Var(X) = = = a) P(9 X ) φ( -0+ ) - φ( 9 0 ) Φ(,) Φ( 0,60) = Φ(,) Φ(0,60) 0, ,77 66,% bzw. P(9 X ) = P(X ) P(X 94) = F() F(94) = = Φ( -0+ ) - Φ( ) mit dem gleichen Ergebnis.

7 b) P(0 X ) = Φ( 0+ ) - Φ( ) Φ(0,60) Φ(,90) 0,77 7,6% 0 c) P(X ) = P(X ) Φ( -0+ ) Φ(0,7) 0,6064 9,4% d) P(X = 99) Φ(( ) Φ(( 99-0 ) Φ( 0,0) Φ(( 0,6) = Φ((0,6) Φ((0,0) 4,% Bestimmen von Intervallen Eine Laplace-Münze wird 400mal geworfen. In welchem möglichst kleinen Intervall symmetrisch zum Erwartungswert liegt mit mindestens 9% Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Adler? X : Anzahl der Adler Erwartungswert : E(X) = 400 = 00 Standardabweichung : σ = 400 = Ansatz für das Intervall : I = 00 k; 00 + k Bedingung : P(00 k X 00 + k) 0,9 Φ( 00 + k 00+ ) Φ( 00 k 00 ) 0,9

8 Φ( k+ ) Φ( k ) 0,9 Φ( k+ ) Φ( k + ) 0,9 Φ( k+ ),9 Φ( k+ ) 0,97 ο φ k+,96 k 9, k min = 0 Mit mindestens 9% Wahrscheinlichkeit liegt die Anzahl der Adler im Intervall 80; 0. Bestimmen der Versuchsanzahl Aufgabe : In einer Urne beträgt der Anteil roter Kugeln 6%. Wie viele Kugeln muss man mindestens mit Zurücklegen ziehen, damit man mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit mehr als 0 rote Kugeln darunter sind? Bedingung : P(X > 0) 0,9 - P(X 0) 0,90 P(X 0) 0, 0-0,6n+0, Φ( ) 0, n 0,6 0,64 0, 0,6n 0,48 n,86 0, 0,6n 0,668 n 0,6n 0,668 n 0, 0 Substitution u = n und Übergang zur Gleichung : 0,6u 0,668u 0, = 0 u 7,6 u,9 Rücksubstitution und Rundung : Man muss mindestens ziehen.

9 Bestimmen der Trefferwahrscheinlicheit Wie hoch muss der Anteil roter Kugeln in einer Urne mindestens sei, damit man beim Ziehen von 400 Kugeln mit Zurücklegen mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit mindestens 0 rote Kugeln erhält? P(X 0) 0,9 - P(X 99) 0,90 P(X 99) 0, p+0, Φ( ) 0, 400pq 99, 400p 0 p( p),86 99, 400p,6 p( p) 6066,9994p 806,9994p 9900, 0 Daraus ergibt sich, dass der Anteil mindestens 7,8% betragen muss. Normalverteilte Größen Die mittlere Lebensdauer eines Motors beträgt km mit einer Standardabweichung von km. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor eine Lebensdauer von mindestens 0000 km hat? P(X 0000) = P(X 0000) = Φ( ) = Φ(,),6% Definition : Hat eine Zufallsgröße X mit E(X) = µ und Var(X) = σ die Verteilungsfunktion dann heißt sie normalverteilt nach N(µ; σ). F(x) = Φ( x- µ, σ )

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments,

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments, . Binomialverteilung ==================================================================.1 Bernoulli-Experimente und Bernoullikette -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

STETIGE VERTEILUNGEN

STETIGE VERTEILUNGEN STETIGE VERTEILUNGEN. Die Näherungsformel von Moivre Laplace Betrachtet man die Binomialverteilungen Bnp für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen

Mehr

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)

Mehr

Normalverteilung und Standardisierung

Normalverteilung und Standardisierung Normalverteilung und Standardisierung N(0,1) z 0 z N(µ,) }{{}}{{} µ µ z z z µ+z Die Normalverteilungen N(µ, ) ergeben sich aus der Standardnormalverteilung N(0, 1) (Gaussche Glockenkurve) durch strecken

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Statistik Dr. Thomas Zehrt Ausblick Motivation Wir werfen einen Würfel 000-mal und wir möchten die Wahrscheinlichkeit P bestimmen, dass zwischen

Mehr

Spezielle stetige Verteilungen

Spezielle stetige Verteilungen Spezielle stetige Verteilungen schon bekannt: Die Exponentialverteilung mit Parameter k R, k > 0 hat die Dichte f (x) = ke kx für x 0 und die Verteilungsfunktion F (x) = 1 e kx für x 0. Eigenschaften Für

Mehr

Wenn es sich um ein faires Spiel handeln soll, muss der Einsatz 1 betragen (2) Weniger als 3 mal Wappen ( ) 32 (3) Mindestens 1 mal Wappen ( )

Wenn es sich um ein faires Spiel handeln soll, muss der Einsatz 1 betragen (2) Weniger als 3 mal Wappen ( ) 32 (3) Mindestens 1 mal Wappen ( ) R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 7.09.0 Lösungen Stochastik vermischt II Ergebnisse: E E E E4 E E6 Ergebnis Wenn es sich um ein faires Spiel handeln soll, muss der Einsatz betragen. Ergebnisse

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung

Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung Wir interessieren uns für Binomialverteilungen mit grossen Werten für n. Als Beispiele können wir uns das Experiment vorstellen, dass ein idealer Würfel

Mehr

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.

Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses. XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Die Varianz (Streuung) Definition

Die Varianz (Streuung) Definition Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

P n (k) f(k) = 1 σ 2π e ) 2. σ 2π

P n (k) f(k) = 1 σ 2π e ) 2. σ 2π 53 Allgemein gilt der folgende Satz. Satz 6.1 (Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace) Die Wahrscheinlichkeit P n (k) einer Binomialverteilung (mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p im Einzelexperiment)

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009 Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene Steen Elstner, Klaus Wohlrabe, Steen Henzel SS 9 1 Wichtige Verteilungen Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels

Mehr

1 Dichte- und Verteilungsfunktion

1 Dichte- und Verteilungsfunktion Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen Yannick.Schroer@rub.de 9.2.26 ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt.

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt. Normalverteilung Diskrete Stetige f(x) = 1 2πσ 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Gauß 91 / 169 Normalverteilung Diskrete Stetige Satz: f aus (1) ist Dichte. Beweis: 1. f(x) 0 x R und σ > 0. 2. bleibt z.z. lim F(x)

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 4.0.007 Approimation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Histogramme von Binomialverteilungen sind für nicht zu kleine n glockenförmig. Mit größer

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Übungsscheinklausur,

Übungsscheinklausur, Mathematik IV für Maschinenbau und Informatik (Stochastik) Universität Rostock, Institut für Mathematik Sommersemester 27 Prof. Dr. F. Liese Übungsscheinklausur, 3.7.27 Dipl.-Math. M. Helwich Name:...

Mehr

I. Zahlen, Rechenregeln & Kombinatorik

I. Zahlen, Rechenregeln & Kombinatorik XIV. Wiederholung Seite 1 I. Zahlen, Rechenregeln & Kombinatorik 1 Zahlentypen 2 Rechenregeln Brüche, Wurzeln & Potenzen, Logarithmen 3 Prozentrechnung 4 Kombinatorik Möglichkeiten, k Elemente anzuordnen

Mehr

7.2 Moment und Varianz

7.2 Moment und Varianz 7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p

Mehr

Asymptotische Stochastik (SS 2010)

Asymptotische Stochastik (SS 2010) Institut für Stochastik PD. Dr. Dieter Kadelka Daniel Gentner Asymptotische Stochastik (SS 2010) Lösungen zu Übungsblatt 4 Aufgabe 1 (lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace und eine Verallgemeinerung)

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen Georg Bol georg.bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de Stetige Verteilungen Definition: Sei

Mehr

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern.

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern. 10. Stetige Zufallsvariable, Normalverteilung 55 Die in den folgenden Beispielen dargestellten Verteilungen haben ungefähr Glockenform. Sie können durch die sogenannte Normalverteilung oder Gaussverteilung

Mehr

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert

2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert 2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen

Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Jan Gertheiss LMU München Sommersemester 2011 Vielen Dank an Christian Heumann für das Überlassen von TEX-Code! Testen: Einführung und Konzepte

Mehr

Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006

Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006 Würfel-Aufgabe Bayern LK 2006 Die Firma VEGAS hat ein neues Gesellschaftsspiel entwickelt, bei dem neben Laplace-Würfeln auch spezielle Vegas-Würfel verwendet werden, die sich äußerlich von den Laplace-Würfeln

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

Um zu entscheiden, welchen Inhalt die Urne hat, werden der Urne nacheinander 5 Kugeln mit Zurücklegen entnommen und ihre Farben notiert.

Um zu entscheiden, welchen Inhalt die Urne hat, werden der Urne nacheinander 5 Kugeln mit Zurücklegen entnommen und ihre Farben notiert. XV. Testen von Hypothesen ================================================================== 15.1 Alternativtest ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

15.5 Stetige Zufallsvariablen

15.5 Stetige Zufallsvariablen 5.5 Stetige Zufallsvariablen Es gibt auch Zufallsvariable, bei denen jedes Elementarereignis die Wahrscheinlich keit hat. Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms Die Lebensdauer eines radioaktiven

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2012/13 Aufgabenstellung und Ergebnisse Dr. Martin Becker Hinweise für die

Mehr

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen Stetige Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung Bibliografie: Prof. Dr. Kück Universität Rostock

Mehr

8 Verteilungsfunktionen und Dichten

8 Verteilungsfunktionen und Dichten 8 Verteilungsfunktionen und Dichten 8.1 Satz und Definition (Dichten) Eine Funktion f : R R heißt Dichtefunktion, kurz Dichte, wenn sie (Riemann-) integrierbar ist mit f(t) 0 für alle t R und Setzt man

Mehr

Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik SS 2012 (Vorlesung von Prof. Reinhard Bürger) 1) Man gebe für die folgenden Experimente Wahrscheinlichkeitsmodelle an: (a) Wurf mit einer homogenen Münze,

Mehr

12 Die Normalverteilung

12 Die Normalverteilung 12 Die Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Praxis, weil aufgrund des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes in vielen Situationen angenommen

Mehr

9 Die Normalverteilung

9 Die Normalverteilung 9 Die Normalverteilung Dichte: f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, µ R,σ > 0 9.1 Standard-Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 1 ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 Dichte Φ(x) = 1 x 2π e t2 /2 dt Verteilungsfunktion 331 W.Kössler,

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 13

Ü b u n g s b l a t t 13 Einführung in die Stochastik Sommersemester 06 Dr. Walter Oevel 5. 6. 006 Ü b u n g s b l a t t 3 Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen von -Aufgaben

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind: Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Lösungsvorschläge zu Blatt 1 1) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit 2 Würfeln. des Produktes Wurfergebnis P (X = k) 1 (1, 1) 1/36

Lösungsvorschläge zu Blatt 1 1) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit 2 Würfeln. des Produktes Wurfergebnis P (X = k) 1 (1, 1) 1/36 Lösungsvorschläge zu Blatt ) ZV X := Produkt der Augenzahlen bei einem Wurf mit Würfeln Mögl. Werte k des Produktes Wurfergebnis P X = k), ) /6, ),, ) /6, ),, ) /6, ),, ),, ) /6 5, 5), 5, ) /6 6, 6),,

Mehr

Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 12.02.2010 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Normalverteilung Approximation der Binomialverteilung

Normalverteilung Approximation der Binomialverteilung Noralverteilung Approiation der Binoialverteilung Für großes n ist der rechnerische Aufwand zur Bestiung von (Bernoulli-) Wahrscheinlichkeiten, dass eine binoialverteilte Zufallsfunktion die Funktionswerte

Mehr

Zufallsgröße: X : Ω R mit X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße: X : Ω R mit X : ω Anzahl der geworfenen K`s 4. Zufallsgrößen =============================================================== 4.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6

Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch. Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6 1 Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben zum Buch Elementare Stochastik (Springer Spektrum, 2012) Teil 3: Aufgaben zu den Kapiteln 5 und 6 Aufgaben zu Kapitel 5 Zu Abschnitt 5.1 Ü5.1.1 Finden Sie eine maximum-likelihood-schätzung

Mehr

8.2 Zufallsvariable und Verteilungen

8.2 Zufallsvariable und Verteilungen 8.2 Zufallsvariable und Verteilungen Sei weiter W = (Ω, E, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum. UntereinerZufallsvariablen X von W versteht man eine Funktion X : Ω R, t X(t), für die {ω Ω; X(ω) t} für alle

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 9. Dezember 2010 1 Konfidenzintervalle Idee Schätzung eines Konfidenzintervalls mit der 3-sigma-Regel Grundlagen

Mehr

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume Kapitel 3 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 3. Einleitung Wir hatten schon bemerkt, dass der Begriff des diskreten Wahrscheinlichkeitsraums nicht ausreicht, um das unendliche Wiederholen eines Zufallsexperiments

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11.

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11. Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wintersemester 2010/11 Namensschild Dr. Martin Becker Hinweise für die Klausurteilnehmer

Mehr

Chi-Quadrat-Verteilung

Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung Die Verteilung einer Summe X +X +...+X n, wobei X,..., X n unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind, heißt χ -Verteilung mit n Freiheitsgraden. Eine N(, )-verteilte

Mehr

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren

1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren. Definition Ist X X,...,X p ein p-dimensionaler Zufallsvektor mit E X j < für alle j, so heißt

Mehr

8. Stetige Zufallsvariablen

8. Stetige Zufallsvariablen 8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse

Mehr

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec Binomialverteilung Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi Klassisches Verteilungsmodell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen in bestimmten noch

Mehr

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Intervallschätzung

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Intervallschätzung 0 Einführung 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Intervallschätzung Motivation und Hinführung Der wahre Anteil der rot-grün Wähler 009 war genau

Mehr

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. 2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang

Mehr

Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt

Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Einführung in die Stochastik 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler 3. Mai A. Fromkorth D. Furer Gruppen und Hausübung Aufgabe (a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine S Bahn Verspätung hat, betrage.3.

Mehr

Grundlagen der Mathematik II (LVA U)

Grundlagen der Mathematik II (LVA U) Dr. Marcel Dettling 21.05.2010 Dr. Daniel Haase FS 2010 daniel.haase@math.ethz.ch Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U 11 Zur Übungsstunde vom 21.05.2010 Aufgabe 31 (Rechnen mit der Normalverteilung

Mehr

Unterrichtsmitschrift aus dem Mathe-LK. Stochastik. Tobias Wichtrey, 13. April 2004

Unterrichtsmitschrift aus dem Mathe-LK. Stochastik. Tobias Wichtrey, 13. April 2004 Unterrichtsmitschrift aus dem Mathe-LK Stochastik Tobias Wichtrey, tobias@tarphos.de 3. April 2004 Inhaltsverzeichnis I. Wahrscheinlichkeitsrechnung 5. Zufallsexperimente 6 2. Ergebnisräume 7 2.. Mehrstufige

Mehr

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Wahrscheinlichkeitstheorie (Klausuraufgaben) Marcel Bliem Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Herbst 2010 Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3 1 / 7

Mehr

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch

Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch 6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6

Mehr

Box. Mathematik ZU DEN KERNCURRICULUM-LERNBEREICHEN:

Box. Mathematik ZU DEN KERNCURRICULUM-LERNBEREICHEN: Box Mathematik Schülerarbeitsbuch P (μ o- X μ + o-) 68,3 % s rel. E P (X = k) f g h A t μ o- μ μ + o- k Niedersachsen Wachstumsmodelle und Wahrscheinlichkeitsrechnung ZU DEN KERNCURRICULUM-LERNBEREICHEN:

Mehr

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten

Zufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Prüfungsteil 2, Aufgabe 8 Stochastik

Prüfungsteil 2, Aufgabe 8 Stochastik Prüfung Mathematik Nordrhein-Westfalen 2013 (LK) Aufgabe 8: (WTR) Abitur Mathematik: Prüfungsteil 2, Aufgabe 8 Nordrhein-Westfalen 2012 LK Aufgabe a (1) und (2) 1. SCHRITT: VERTEILUNG ANGEBEN Da die Anzahl

Mehr

Box-Plots. Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt.rechnung. Beschreibende Statistik 174 / 258

Box-Plots. Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt.rechnung. Beschreibende Statistik 174 / 258 174 / 258 Box-Plots Ziel: übersichtliche Darstellung der Daten. Boxplot zu dem Eingangsbeispiel mit n=5: Descr_Boxplot0.sas Prozeduren: UNIVARIATE, GPLOT, BOXPLOT 174 / 258 Box-Plots Ziel: übersichtliche

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

Exponentialverteilung

Exponentialverteilung Exponentialverteilung Dauer von kontinuierlichen Vorgängen (Wartezeiten; Funktionszeiten technischer Geräte) Grenzübergang von der geometrischen Verteilung Pro Zeiteinheit sei die Eintrittswahrscheinlichkeit

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 11. November 2010 1 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert Varianz und Streuung Rechenregeln Binomialverteilung

Mehr

Tabelle 11.2 zeigt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Randverteilungen

Tabelle 11.2 zeigt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Randverteilungen Kapitel 11 Stichprobenfunktionen Um eine Aussage über den Wert eines unbekannten Parameters θ zu machen, zieht man eine Zufallsstichprobe vom Umfang n aus der Grundgesamtheit. Das Merkmal wird in diesem

Mehr

Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 1

Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. 1 Prof. Dr. A. Stoffel SS 202 Übungen zur Stochastik, Blatt Nr. ) Zwei Würfel werden gleichzeitig oder nacheinander geworfen. a) Schreiben Sie alle Elemente des Grundraums in Form einer Matrix auf. b) Wie

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2

Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2 Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaften, Teil Zusatzblatt SS 09 Dr. J. Schürmann keine Abgabe Aufgabe : Eine Familie habe fünf Kinder. Wir nehmen an, dass die

Mehr

Elementarereignis: Stellt ein Einzelergebnis eines Zufallsexperimentes dar, wird oftmals mit E bezeichnet.

Elementarereignis: Stellt ein Einzelergebnis eines Zufallsexperimentes dar, wird oftmals mit E bezeichnet. Statistik Grundlagen Charakterisierung von Verteilungen Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsverteilungen Schätzen und Testen Korrelation Regression Einführung Die Einführung in grundlegende

Mehr

(8 + 2 Punkte) = = 0.75

(8 + 2 Punkte) = = 0.75 Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

2. Übung zur Vorlesung Statistik 2

2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 Aufgabe 1 Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen

Mehr

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x

Übungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable

Mehr

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2]

2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 20 2 Aufgaben aus [Teschl, Band 2] 2.1 Kap. 25: Beschreibende Statistik 25.3 Übungsaufgabe 25.3 a i. Arithmetisches Mittel: 10.5 ii. Median: 10.4 iii. Quartile: x 0.25 Y 4 10.1, x 0.75 Y 12 11.1 iv. Varianz:

Mehr

Anmerkung: Eine Tabelle zum Arbeiten mit der Standardnormalverteilung ist z. B. unter der Adresse

Anmerkung: Eine Tabelle zum Arbeiten mit der Standardnormalverteilung ist z. B. unter der Adresse Übung 9 Anmerkung: Eine Tabelle zum Arbeiten mit der Standardnormalverteilung ist z. B. unter der Adresse zu finden. http://de.wikipedia.org/wiki/tabelle Standardnormalverteilung Aufgabe 9.1 Die Länge

Mehr

M13 Übungsaufgaben / pl

M13 Übungsaufgaben / pl Die Histogramme von Binomialverteilungen werden bei wachsendem Stichprobenumfang n immer flacher und breiter. Dem Maximum einer solchen Verteilung kommt daher keine allzu große Wahrscheinlichkeit zu. Vielmehr

Mehr

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit Vorgängen, die in ihrem Ausgang unbestimmt sind. Sie versucht mögliche Ergebnisse der Vorgänge zu quantifizieren.

Mehr

Bezeichnung von Funktionen x := y:=

Bezeichnung von Funktionen x := y:= Bezeichnung von Funktionen x := y:= Bezeichnung von Funktionen x := y:= Analytische Darstellung (Funktionsgleichung) Explizit: (aufgelöst nach y) Analytische Darstellung (Funktionsgleichung) Explizit:

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler 31. Mai 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Binomialverteilung 1 2 Normalverteilung 2 3 T-Verteilung

Mehr

1 1. Übung. Einleitung. 1.1 Urnenmodelle. 1.2 Beispiele. 1.3 Aufgaben

1 1. Übung. Einleitung. 1.1 Urnenmodelle. 1.2 Beispiele. 1.3 Aufgaben Einleitung Dieses sind die kompletten Präsenzaufgaben, die bei der Übung zur Vorlesung Einführung in die Stochastik im Sommersemester 2007 gerechnet wurden. Bei Rückfragen und Anmerkungen bitte an brune(at)upb.de

Mehr

4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung

4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung 4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung Häufig werden mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig betrachtet, z.b. Beispiel 4.1. Ein Computersystem bestehe aus n Teilsystemen. X i sei der Ausfallzeitpunkt

Mehr

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012

Weihnachtszettel zur Vorlesung. Stochastik I. Wintersemester 2011/2012 Weihnachtszettel zur Vorlesung Stochastik I Wintersemester 0/0 Aufgabe. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält

Mehr

QM III Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer (in Jahren) von KFZ-Batterien des Typs

QM III Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer (in Jahren) von KFZ-Batterien des Typs Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 1, Tel 3914 jutta.arrenberg@th-koeln.de QM III Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer (in Jahren)

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungen für die kompetenzbasierte Abschlussprüfung 1. 60 Äpfel wurden gewogen und die Ergebnisse in einem Boxplot-Diagramm dargestellt. Ergänzen Sie die folgenden

Mehr

Zentralabitur Mathematik. Beispielaufgaben zum ersten Prüfungsteil. Aufgaben ohne Hilfsmittel

Zentralabitur Mathematik. Beispielaufgaben zum ersten Prüfungsteil. Aufgaben ohne Hilfsmittel QUA-LiS NRW Zentralabitur Mathematik Beispielaufgaben zum ersten Prüfungsteil Aufgaben ohne Hilfsmittel Inhaltsverzeichnis Modellieren mithilfe von Funktionen 3 Interpretation des Integrals 4 3 Funktionseigenschaften

Mehr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am von 10:00 bis 11:00 Uhr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am von 10:00 bis 11:00 Uhr Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am 5..201 von 10:00 bis 11:00 Uhr Bearbeiten Sie zwei der drei folgenden Aufgaben! Sätze aus der Vorlesung und den Übungen dürfen Sie ohne

Mehr