Planen mit mathematischen Modellen 00859: Stochastische Simulation Techniken und Anwendungen

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1 Planen mit mathematischen Modellen 00859: Stochastische Simulation Techniken und Anwendungen Leseprobe Autor: PD Dr. Elmar Reucher

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3 Kapitel 4 Anwendungen zur stochastischen Simulation 4.1 Simulation von Warteschlangen Einführung In verschiedenen Bereichen treten immer dann Warteschlangen auf, wenn an einer Bedienstation mehr Elemente eintreffen, als im gleichen Zeitraum bedient werden können. Beispiele hierfür sind schnell gefunden: Im Transportwesen: Beladung von LKWs mit Frachtgütern. Die Bedienstation ist die Laderampe, die ankommenden Elemente sind die LKWs und die Warteschlange bildet eine Kolonne auf die Beladung wartender LKWs. In der Produktion: Fertigung von Aufträgen auf Maschinen. Erst wenn ein Maschinenauftrag abgeschlossen ist, kann der nächste Auftrag bearbeitet werden. Beim Einkauf: Kunden bezahlen an einer Kassenstation. Ist eine Kasse frei, kann ein Kunde direkt bedient werden, der danach die Kasse

4 42 4 Anwendungen zur stochastischen Simulation verlässt und sie damit für den nächsten Kunden frei macht. Ist die Kasse besetzt, stellt sich ein ankommender Kunde an und verweilt in der Warteschlange so lange, bis er an der Reihe ist Begriffsbezeichnungen zu Warteschlangenmodellen Für Warteschlangenmodelle sind folgende Größen interessant: Bedienzeit Leerzeit Zwischenankunftszeit Ankunftsrate Bedienrate Die Bedienzeit ist die Zeit, während der ein Element an der Bedienstation abgefertigt wird. Die Bedienzeit beginnt mit der Ankunft des Elements an der Bedienstation und endet mit dem Verlassen der Bedienstation. Die Leerzeit beschreibt die Zeit, während der sich kein Element in der Bedienstation befindet (und diese besetzt ist). Die Zwischenankunftszeit ist der zeitliche Abstand zwischen den Ankunftszeitpunkten in Folge eintreffender Elemente. Die Ankunftsrate α gibt an, wieviele Elemente pro Zeiteinheit in das System einlaufen und die Bedienrate β misst die Anzahl pro Zeiteinheit bedienter Elemente. Ankunftsrate α = Bedienrate β = Anzahl der Ankünfte Zeiteinheit Anzahl bedienter Elemente Zeiteinheit. Geht man davon aus, dass die Ankünfte den bereits auf Seite 9 beschriebenen Charakterisierungen genügen, so kann der Ankunftsprozess durch einen sogenannten Poissonprozess zum Parameter α beschrieben werden. Damit sind die Zwischenankunftszeiten E(α)-verteilt, also exponentialverteilt zum Parameter α.

5 4.1 Simulation von Warteschlangen 43 In der Praxis sind häufig Warteschlangensysteme zu beobachten, in denen sowohl der Ankunftsprozess als auch der Bedienprozess Poissonprozess ist. Die Zwischenankunftszeiten sind dann E(α)- und die Bedienzeiten E(β)-verteilt. Solche Modelle behandeln wir im Folgenden. Ein Warteschlangensystem besteht aus mindestens einem Warteraum und einer Bedienstation, wobei sich Warteschlangensysteme in der Anzahl vorhandener Bedienstationen und der Anordnung von Warteschlangen unterscheiden können. Existiert nur genau eine Bedienstation, so spricht man Ein-Kanalsystem von einem Ein-Kanalsystem, existieren mindestens zwei Bedienstationen, so Mehr-Kanalsystem spricht man von einem Mehr-Kanalsystem. Bei Mehr-Kanalsystemen unterscheidet man weiterhin nach der Art der Anordnung der Bedienstationen; existiert für jede Bedienstation eine eigene Warteschlange, so spricht man paralleles von einem parallelen (Mehr)-Kanalsystem, existiert nur eine Warteschlange, serielles Kanalsystem dann von einem seriellen Kanalsystem. Übungsaufgabe 4.1 Überlegen Sie sich je ein Beispiel für ein paralleles und ein serielles Kanalsystem aus der Praxis. Üblicherweise werden Warteschlangensysteme durch einen Klassifizierungscode (K1, K2, K3, K4, K5) charakterisiert, wobei die Variablen Ki folgende Bedeutung haben: Klassifizierungscode 1. K1: Art des Ankunftsprozesses in ein System. Dabei gilt: K1 = C: Die Ankünfte erfolgen zu äquidistanten Zeitpunkten. K1 = D: Die Ankünfte erfolgen zu fest vorgegebenen nicht notwendigerweise äquidistanten Zeitpunkten. K1 = E: Die Zwischenankunftszeiten sind gleichverteilt. K1 = G: Der Zwischenankunftszeiten sind beliebig verteilt. K1 = M: Die Zwischenankunftszeiten sind exponentialverteilt, bzw. der Ankunftsprozess ist ein Poissonprozess.

6 44 4 Anwendungen zur stochastischen Simulation 2. K2: Art des Bedienprozesses. Hier wird genauso differenziert wie unter K1. 3. K3 bezeichnet die Anzahl k N vorhandener Kanäle. Ist k = 1, so liegt ein Ein-Kanal-System vor. 4. K4: Größe des Warteraums. Die Größe des Warteraums bestimmt, wieviele Elemente sich maximal in einer Warteschlange befinden können. Man unterscheidet hierbei zwischen unendlich großen Warteräumen und Warteräumen von endlicher Größe oder Kapazität. Bei einem Warteraum mit endlicher Kapazität κ max < wird ein Element nicht mehr in eine Warteschlange aufgenommen, wenn sich bereits κ max Elemente darin befinden. 5. K5: Art der Schlangendisziplin. Ein letztes charakteristisches Merkmal für ein Warteschlangensystem ist die Art der verwendeten Bedienstrategie. Dabei können etwa folgende Bedienregeln gelten: FIFO-Regel FCFS-Regel FIFO-Regel (first in first out): Wer zuerst kommt, wird auch zu- erst bedient. Diese Regel wird auch FCFS-Regel (first come first served) genannt. LIFO-Regel LIFO-Regel (last in first out): Wer zuletzt kommt, wird zuerst be- dient. SIRO-Regel SIRO-Regel (selection of random order): Die Bedienung erfolgt hier nach dem Zufallsprinzip. Neben diesen Regeln gibt es noch weitere, auf die hier nicht eingegangen wird. Man vergleiche Runzheimer [16] (Seite 330).

7 4.1 Simulation von Warteschlangen 45 Übungsaufgabe 4.2 Geben Sie zu jeder Bedienregel ein Warteschlangenmodell mit praktischem Bezug an. Wir werden im Folgenden ein Warteschlangenmodell für Kaufhauskassen betrachten. Die hierzu angestellten Überlegungen lassen sich in ähnlicher Weise auch auf andere Warteschlangenmodelle übertragen Ein-Kanalsysteme Simulationsablauf Wir betrachten die Bedienung eines Kunden in einem Warteschlangensystem vom Typ: (M, M, 1,, FIFO). Das heißt, der Ankunfts- und Bedienungsprozess folgen einem Poissonprozess, es liegt ein Ein-Kanalsystem vor, der Warteraum ist von unbeschränkter Kapazität und es wird nach der FIFO- Regel bedient. Abbildung 4.1 zeigt grob den Bewegungsablauf eines Kunden in diesem System. Abbildung 4.1: Bewegungsablauf eines Kunden in einem Ein-Kanal-Warteschlangensystem.

8 46 4 Anwendungen zur stochastischen Simulation Im Folgenden bezeichnen: Kd i den i ten Kunden, a i die Zwischenankunftszeit des i ten Kunden, das ist die Zeit zwischen Ankunft des i ten und (i 1) ten Kunden, t i = i j=1 a j den Ankunftszeitpunkt des i ten Kunden, b i die Bediendauer des i ten Kunden, e i = max(t i, e i 1 ) + b i den Zeitpunkt des Bedienendes des i ten Kunden, ω i = max (0, e i 1 t i ) die Wartezeit des i ten Kunden an der Kasse, I die Anzahl der bei einem Simulationslauf berücksichtigten Kunden, I i=1 b i die Gesamtbedienzeit, I i=1 ω i die gesamte Wartezeit, e I die simulierte Gesamtmodellzeit. Ziel ist es nun, durch Simulation Ergebnisse zu folgenden interessierenden Kenngrößen bekommen: Auslastungsgrad ρ = Summe der Bedienzeiten Gesamtmodellzeit. Mittlere Schlangenlänge ζ = Summe der Wartezeiten Gesamtmodellzeit. Mittlere Wartezeit ω = Summe der Wartezeiten Anzahl der Elemente. Die Simulation für ein Warteschlangenproblem (Ein-Kanalsystem) läuft dabei in folgenden Schritten ab:

9 4.1 Simulation von Warteschlangen Initialisiere i = 1, e 0 = t 0 = b = ω = Generiere die Zwischenankunftszeit a i für den i ten Kunden. 3. Bestimme den Zeitpunkt der Ankunft des i ten Kunden t i = t i 1 + a i. 4. Generiere die Bediendauer b i des i ten Kunden. Simulationsablauf bei einem 5. Wenn e i 1 t i (Kasse ist frei), dann Ein-Kanal-Warteschlangensystem ω i = 0 und e i = t i + b i. sonst (Kasse ist besetzt) ω i = e i 1 t i und e i = t i + b i + ω i. 6. b = b + b i, ω = ω + ω i. 7. Wenn i < I, dann setze i = i + 1 und gehe zu 2. sonst gehe zu Ausgabe der gesamten Bedienzeit b, der gesamten Wartezeit ω, der gesamten Modellzeit e I sowie des Auslastungsgrades ρ, der mittlere Schlangenlänge ζ und der mittleren Wartezeit ω Durchführung verschiedener Simulationläufe Aufgrund empirischer Beobachtungen sei nun bekannt, dass durchschnittlich ein Kunde pro Minute an die Kasse kommt, womit die mittlere Ankunftsrate α = 1 ist und die Zwischenankunftszeiten E(1)-verteilt sind. Die Simulation der Zwischenankunftszeiten einzelner Kunden erfolgt dabei aus normierten gleichverteilten Zufallszahlen gemäß der Transformationsformel aus Tabelle 3.5 mit λ = 1. Abbildung 4.3 zeigt gut den exponentialverteilten Verlauf schon bei 500 erzeugten Zwischenankunftszeiten.

10 48 4 Anwendungen zur stochastischen Simulation Abbildung 4.2: Histogramm der verteilten Zwischenankunftszeiten mit α = 1 über 500 zu bedienende Kunden. Desweiteren sei bekannt, dass an der Kasse zwei Kunden pro Minute bedient werden können, womit die Bedienrate β = 2 und die Bedienzeiten E(2)- verteilt sind. Die Bedienzeiten werden ebenfalls nach der Transformationsformel aus Tabelle 3.5 aus normierten gleichverteilten Zufallszahlen erzeugt, wobei hier λ = 2 ist. Übungsaufgabe 4.3 Simulieren Sie die Bedienzeiten aus folgenden gleichverteilten Zufallszahlen x i, i = 1,..., 10: 0,73, 0,34, 0,74, 0,97, 0,66, 0,62, 0,24, 0,05, 0,22, 0,02. Zur Simulation des Ankunfts- und Bedienprozesses des Warteschlangenmodells (M, M, 1,, FIFO) mit α = 1, β = 2 wählen wir die in Abbildung 4.3 dargestellte Starteinstellung des über unser Hauptportal im Internet verfügbaren Simulationsprogramms. Um eine größere Heterogenität zwischen den Zwischenankunfts- und Bedienzeiten zu erzielen, wurden verschiedene Startwerte zur Erzeugung gleichverteilter Zufallszahlen gewählt.

11 4.1 Simulation von Warteschlangen 49 Abbildung 4.3: Starteinstellung für einen Simulationslauf über 500 zu bedienende Kunden. Kd i a i t i b i ij b j e i ω i ij ω j 1 0,46 0,46 0,16 0,16 0,62 0,00 0,00 2 0,16 0,62 0,53 0,69 1,15 0,00 0,00 3 0,03 0,65 0,15 0,84 1,30 0,50 0,50 4 0,14 0,79 0,02 0,86 1,32 0,51 1,01 5 0,53 1,31 0,20 1,06 1,52 0,00 1,01 6 0,23 1,55 0,24 1,30 1,79 0,00 1,01 7 1,41 2,97 0,72 2,02 3,69 0,00 1,01 8 1,02 3,99 1,49 3,51 5,47 0,00 1,01 9 0,39 4,38 0,76 4,27 6,23 1,09 2, ,07 5,45 2,06 6,33 8,30 0,79 2, ,89 193,70 0,15 100,13 194,46 0,60 98, ,00 194,70 0,07 100,20 194,78 0,00 98, ,01 194,72 0,87 101,07 195,65 0,06 98,81 Tabelle 4.1: Auszug einer Simulation von 200 Kunden für ein Warteschlangenmodell vom Typ (M, M, 1,, FIFO) mit α = 1, β = 2.

12 50 4 Anwendungen zur stochastischen Simulation Wir entnehmen der Tabelle 4.1: Eine Gesamtmodellzeit von e 200 = 195, 65 Minuten. Eine Gesamtbedienzeit von b i = 101, 07 Minuten. Eine gesamte Wartezeit von 200 i=1 200 i=1 ω i = 98, 81 Minuten. 101, 07 Einen Auslastungsgrad von ρ = = 0, , 65 98, 81 Eine mittlere Schlangenlänge von ζ = = 0, 505 Personen. 195, 65 98, 81 Eine mittlere Wartezeit von ω = = 0, 494 Minuten. 200 Abbildung 4.4 verdeutlicht über einen Zeitraum von der 6. bis zur 16. Minute die Ankunfts- und Weggangszeiten der Kunden. So erkennt man beispielsweise, dass zum Zeitpunkt t = 8 insgesamt 4 Kunden an der Kasse stehen, wohingegen in t = 12 kein Kunde bedient wird. Abbildung 4.4: Visualisierung der Aufenthaltszeiten der Kunden im Zeitraum von der 6. bis 16. Minute.

13 4.1 Simulation von Warteschlangen 51 Durchschnittlich muss ein Kunde bei dem vorliegenden Warteschlangensystem demnach etwa ω = 0,494 Minuten also etwa 30 Sekunden an der Kasse warten. Um eine statistisch fundierte Aussage über den unbekannten Parameter (tatsächliche mittlere Wartezeit) µ zu erhalten, führten wir insgesamt 30 voneinander unabhängige Simulationsläufe durch. Die mit jedem Simulationslauf errechneten mittleren Wartezeiten gibt Tabelle 4.2 wieder. 0,494 0,434 0,473 0,312 0,572 0,431 0,709 0,382 0,418 0,458 0,392 0,273 0,277 0,631 0,455 0,441 0,576 0,434 0,455 0,525 0,610 0,750 1,037 0,443 0,699 0,611 0,301 0,312 0,602 0,271 Tabelle 4.2: Durch Simulation berechnete mittlere Wartezeiten ω. Demnach ergibt sich gemittelt über alle Simulationsläufe eine mittlere Wartezeit von ω von 0,493 Minuten und eine empirische Standardabweichung von s 30 = 0, 168. Fordert man nun ein Konfidenzniveau von 1 α = 95%, so erhält man gemäß Tabelle 2.1 auf Seite 13 mit dem Quantil u 1 α/2 = 1,96 für die tatsächlich mittlere Wartezeit µ ω das Konfidenzintervall [ω u 1 α/2 s 30 ; ω + u 1 α/2 s 30 ] = [0, 433; 0, 553] Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% müssen demnach die Kunden im Durchschnitt zwischen 0,43 und 0,55 Minuten bzw. zwischen 26,4 und 33 Sekunden warten, bis sie bedient werden. Übungsaufgabe 4.4 Bestimmen Sie aus den Ergebnissen in Tabelle 4.2 das Konfidenzintervall für die mittlere Wartezeit bei einem geforderten Konfidenzniveau von 99,7 %.

14 52 4 Anwendungen zur stochastischen Simulation Übungsaufgabe 4.5 Simulieren Sie den Ankunfts- und Bedienprozess für die Kunden 11 bis 20, und berechnen Sie dazu die fehlenden Werte in der nachstehenden Tabelle. Kd i a i t i b i ij b j e i ω i ij ω j 11 0,44 0, ,74 0, ,12 0, ,65 0, ,80 1, ,51 0, ,50 0, ,12 0, ,21 0, ,53 1,41 Tabelle 4.3: Simulation von Kunden 11 bis 20 für ein Warteschlangenmodell (M, M, 1,, FIFO) mit α = 1, β = 2. In dem Kurs (00843) Warteschlangentheorie wird gezeigt, wie für Ein-Kanalsysteme mit exponentialverteilten Zufallsgrößen und α < β die komplexe Struktur auch analytisch untersucht werden kann. Sieht man von Stoßzeiten ab, dann gilt nämlich für die durchschnittliche Wartezeit ω α,β Zugangsschlange: ω α,β = in der α β(β α). (4.1) Für unser Beispiel ergibt sich demnach eine exakte mittlere Wartezeit von ω 1,2 = 0, 5 Minuten. Die 30 Simulationsläufe über jeweils 200 bediente Kunden ergaben eine mittlere Wartezeit von ω = 0, 493 Minuten = 29,8 Sekunden, was schon eine recht gute Approximation an den exakten Wert von 30 Sekunden ist. In den meisten Fällen lässt sich das Warteschlangenproblem aber nicht, oder

15 4.1 Simulation von Warteschlangen 53 wenn, dann nur schwer analytisch lösen, so dass man auf die stochastische Simulation zurückgreifen muss. Das ist dann der Fall, wenn 1. die mittlere Bedienrate β kleiner als die mittlere Ankunftsrate α ist, oder 2. die Bedienraten oder Ankunftsraten nicht exponentialverteilte Zufallsgrößen sind, oder 3. ein Mehrkanalsystem vorliegt. Angenommen, die Filialleitung des Supermarktes beschließt, das Produktangebot zu erweitern, um die Kundennachfrage zu steigern. Man prognostiziert, dass dann im Durchschnitt 3 Kunden pro Minute an die Kasse kommen. Da nach wie vor zunächst nur eine Kasse besetzt werden soll, liegt nun ein Warteschlangenmodell mit α = 3 und β = 2 vor. Die Folge ist natürlich, dass die Warteschlange immer länger wird, da die mittlere Bedienzeit für einen Kunden größer ist als die mittlere Ankunftszeit des nächsten Kunden. Das Ergebnis für dieses Modell zeigt Tabelle 4.4 bei einem Simulationslauf über 200 Kunden. Übungsaufgabe 4.6 Berechnen Sie die mittlere Schlangenlänge ζ sowie den Auslastungsgrad ρ aus den Simulationsergebnissen in Tabelle 4.4. Die mittlere Wartezeit über diesen einen Simulationslauf beträgt schon 45,26 Minuten, was natürlich äußerst kundenunfreundlich ist. Aus diesem Grund überlegt der Filialleiter des Supermarktes, eine zweite Kasse zu besetzen.

16 54 4 Anwendungen zur stochastischen Simulation Kd i a i t i b i ij b j e i ω i ij ω i 1 0,15 0,15 0,16 0,16 0,31 0,00 0,00 2 0,05 0,21 0,53 0,69 0,84 0,10 0,10 3 0,01 0,22 0,15 0,84 0,99 0,63 0,73 4 0,05 0,26 0,02 0,85 1,01 0,73 1,46 5 0,18 0,44 0,21 1,06 1,21 0,57 2, ,30 64,57 0,15 100,13 100,28 35, , ,33 64,90 0,07 100,20 100,36 35, , ,01 64,92 0,87 101,07 101,22 35, ,14 Tabelle 4.4: Auszug der Simulationsläufe für ein Modell (M, M, 1,, FIFO) mit α = 3, β = Mehrkanalsysteme Simulationsablauf zu einem Zwei-Kanalystem mit einer Warteschlange Wir betrachten jetzt den Fall eines Zwei-Kanalsystems mit einer Warteschlange und illustrieren dies wieder am Beispiel zu bedienender Kunden an Kaufhauskassen bei einem Warteraum von unbeschränkter Kapazität. Es gelten wieder die gleichen Bezeichnungen wie im vorigen Abschnitt. In Erweiterung dazu bezeichnet e k den Zeitpunkt zu dem die Kasse k = 1, 2 frei wird. Das Simulation des Warteschlangenmodells verläuft ähnlich wie bei einem Ein-Kanalsystem, vgl. Seite 47, wobei allerdings Schritt 5. modifiziert wird: 1. Initialisiere i = 1, e 1 = e 2 = t 0 = b = ω = Generiere die Zwischenankunftszeit a i für den i ten Kunden. 3. Bestimme den Zeitpunkt der Ankunft des i ten Kunden t i = t i 1 + a i.

17 4.1 Simulation von Warteschlangen Generiere die Bediendauer b i des i ten Kunden. Simulationsablauf bei einem 5. Wenn e 1 t i (Kasse 1 ist frei), dann Zwei-Kanal-Warteschlangensystem ω i = 0 und e 1 = t i + b i. mit einer Bedienschlange Wenn e 1 > t i und e 2 t i (nur Kasse 2 ist frei), dann ω i = 0 und e 2 = t i + b i. sonst (beide Kassen sind besetzt) ω i = min(e 1, e 2 ) t i wenn e 1 < e 2, dann e 1 = t i + b i + ω i sonst e 2 = t i + b i + ω i. 6. b = b + b i, ω = ω + ω i. 7. Wenn i < I, dann i = i + 1 und gehe zu 2. sonst gehe zu Ausgabe der gesamten Bedienzeit b, der gesamten Wartezeit ω, der gesamten Modellzeit max(e 1, e 2 ) sowie des Auslastungsgrades ρ, der mittleren Schlangenlänge ζ und der mittleren Wartezeit ω Durchführung verschiedener Simulationsläufe Eine Warteschlange, zwei Kassen Wir betrachten nun das Modell (M, M, 2,, FIFO) mit α = 3 und β = 2, wobei an beiden Kassen durchschnittlich 2 Kunden pro Minute bedient werden können und die Kunden in einer Warteschlange anstehen. Die Ergebnisse für Eine Warteschlange

18 56 4 Anwendungen zur stochastischen Simulation einen Simulationslauf vom Umfang 200 zeigt Tabelle 4.5. Die gesamte Wartezeit beträgt hierfür 180,42 Minuten, was einer mittleren Wartezeit ω = 0,90 Minuten oder 54 Sekunden entspricht.

19 4.1 Simulation von Warteschlangen 57 Kd i a i t i b i e 1 e 2 ω i ij ω j 1 0,15 0,15 0,16 0,31 0,00 0,00 2 0,06 0,21 0,53 0,74 0,00 0,00 3 0,01 0,22 0,15 0,45 0,09 0,09 4 0,05 0,27 0,02 0,47 0,20 0, ,79 63,93 0,50 65,33 0,91 174, ,23 64,16 1,20 66,17 0,81 175, ,11 64,27 0,62 65,96 1,06 176, ,30 64,57 0,15 66,10 1,39 177, ,33 64,90 0,08 66,18 1,20 179, ,01 64,91 0,87 67,04 1,27 180,42 Tabelle 4.5: Auszug Simulationsläufe für ein Modell (M, M, 2,, FIFO) mit α = 3, β = 2 und einer Warteschlange. Für dieses Fallbeispiel (M, M, 2,, FIFO) haben wir 30 voneinander unabhängige Simulationsläufe durchgeführt. Die Ergebnisse sind in Tabelle 4.6 notiert. 0,441 0,528 0,951 0,922 0,521 0,318 1,686 0,836 0,315 0,502 0,367 1,223 0,902 0,810 0,946 0,519 0,390 0,343 0,612 0,368 0,656 0,472 0,475 0,669 0,450 0,350 0,323 1,196 1,095 0,466 Tabelle 4.6: Durch Simulation berechnete mittlere Wartezeiten ω. Dabei ergibt sich eine über alle Simulationsläufe gemittelte durchschnittliche Wartezeit ω = 0, 656 Minuten (39,4 Sekunden) und empirische Standardabweichung von s 30 = 0, 336. Übungsaufgabe 4.7 Bestimmen Sie bei einem geforderten Sicherheitsgrad von 1 α = 91 % den absoluten Fehler ρ zwischen der aus den Simulationsläufen bestimmten

20 58 4 Anwendungen zur stochastischen Simulation mittleren Wartezeit ω und dem (wahren) Wert der mittleren Wartezeit µ. Geben Sie zudem das Konfidenzintervall an. Zwei Warteschlangen Zwei Warteschlangen, zwei Kassen Ständige Irritationen bei der Verteilung der Kunden auf die beiden Kassen veranlassen den Filialleiter nun doch dazu, eine zweite Kasse mit eigener Bedienschlange einzurichten, zumal so auch der Verkauf von Mitnahmeartikeln stärker angeregt wird. Um aber noch kundenfreundlich zu bleiben, ist er aber nur bereit eine zweite Kasse einzurichten, wenn die mittlere Wartezeit unter einer Minute liegt. Unterstellen wir der Einfachheit halber, dass sich die Kunden, unabhängig von der Schlangenlänge, mit gleicher Wahrscheinlichkeit für eine der beiden Schlangen entscheiden und die Bedienraten an beiden Kassen gleich sind, wollen wir das Modell (M, M, 2,, FIFO) mit α = 3, β = 2 und zwei Warteschlangen stark vereinfacht auf ein Modell vom Typ (M, M, 1,, FIFO) mit α = 3, β = 4 zurückführen werden. Genaueres hierzu finden Sie in Kurs 00843, Seite 11. Die mittlere Wartezeit und die Schlangenlänge wird bei 2 Warteschlangen länger sein als bei einer Warteschlange. Warum? Wir führen wieder 30 voneinander unabhängige Simulationsläufe durch und erhalten die in Tabelle 4.7 notierten Ergebnisse. 0,612 0,665 0,947 0,961 0,541 0,472 1,129 0,876 0,267 0,474 0,328 1,350 0,913 0,632 0,774 0,560 0,490 0,433 0,800 0,443 0,532 0,531 0,440 0,713 0,693 0,382 0,500 1,499 1,395 0,470 Tabelle 4.7: Durch Simulation berechnete mittlere Wartezeiten ω.

21 4.2 Simulation von Maschinenlaufzeiten 59 Die über alle mittleren Wartezeiten ω bestimmte mittlere Wartezeit ω beträgt 0,694 Minuten also etwa 41,6 Sekunden. Übungsaufgabe 4.8 Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für die mittlere Wartezeit µ zum Konfidenzniveau 1 α = 0, 91 und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus Übungsaufgabe 4.7. Das Ergebnis der Übungsaufgabe 4.8 liefert eine Schätzung für die mittlere Wartezeit von unter einer 1 Minute, so dass der Filialleiter eine zweite Kasse mit eigener Bedienschlange einrichten würde. Für den Fall, dass die Kunden getrennte Warteschlangen entsprechend ihrer Länge wählen, wird die mittlere Wartezeit auf der Basis der beiden Simulationsläufe dann zwischen dem Ergebnis bei einem Modell mit 1 Warteschlange und dem Modell mit 2 Warteschlangen liegen. Es ist offensichtlich, dass es zur Minimierung der Kundenwartezeiten stets günstiger ist, bei mehreren Bedienungskanälen nur eine Warteschlange zuzulassen. Dennoch findet man in Kaufhäusern und Supermärkten vorwiegend Kassen mit eigenen Warteschlangen. Hierfür mögen organisatorische, sachliche oder personelle Gründe sprechen [10]. 4.2 Simulation von Maschinenlaufzeiten Einführung Ein weiteres interessantes Anwendungsgebiet der Simulation ist die Analyse von Instandhaltungsstrategien für produzierende Maschinen. Hierbei ist zu untersuchen, ob Instandhaltungsmaßnahmen nur bei Ausfall von Maschinen vorgenommen werden, oder ob eine vorbeugende Instandhaltungspolitik und wenn ja, welche, unter Kostengesichtspunkten vorteilhaft ist. Da ein solches

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23 Lösungen zu den Übungsaufgaben 71 Lösung zu Übungsaufgabe 3.6 Mögliche Ergebnisse sind (K,K), (K,Z), bzw. (Z,K) und (Z,Z) mit P (K, K) = P (Z, Z) = 0, 25 und P (K, Z) + P (Z, K) = 0, 5. Bei Wahl folgender Zuordnung K = 2 : [0;0,24] K = 1 : [0,25;0,74] K = 0 : [0,75;0,99] erhalten wir folgende Simulationsergebnisse: Anzahl Kopf: 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 2. Lösung zu Übungsaufgabe 4.1 Parallele Kanalsysteme findet man beispielsweise an Supermarkt- oder Kaufhauskassen. Serielle Kanalsysteme sind eher bei Check-In-Schaltern in Flughäfen zu finden. Lösung zu Übungsaufgabe 4.2 Bei der FIFO-Regel (first in, first out) wird ein Auftrag als nächster ausgeführt, der sich als erster in der Warteschlange befindet. Zum Beispiel: Bedienung von Kunden an Supermarktkassen. Hingegen wird bei der LIFO- Regel (Last in, first out) der zuletzt in der Warteschlange befindliche Auftrag ausgeführt. Es handelt sich dabei um eine Stapelverarbeitung, indem neue Elemente auf dem Stapel abgelegt (push Operation) und auch von oben wieder entfernt (pop Operation) werden. Zum Beispiel: Maschinenteile eines Artikels werden aus einem Lager zur weiteren Bearbeitung entnommen, wobei ein Umräumen, um an die zuerst eingelagerten Teile des Artikels zu gelangen, zu zeitraubend und hinderlich ist.

24 72 Lösungen zu den Übungsaufgaben SIRO-Regel: Ziehen einer (zufälligen) Stichprobe aus einem Datensatz, der über einen gewissen Zeitraum erfasst wurde. Lösung zu Übungsaufgabe 4.3 Aus den gleichverteilten Zufallszahlen x i, i = 1,..., 10 lassen sich mit der Transformation 1 2 ln(x i) = y i E(2)-verteilte Zufallszahlen y i erzeugen. Demnach ergeben sich folgende Bedienzeiten: y 1 = 0,16, y 2 = 0,54, y 3 = 0,15, y 4 = 0,02, y 5 = 0,21, y 6 = 0,24, y 7 = 0,71, y 8 = 1,50, y 9 =0,76, y 10 = 1,96. Lösung zu Übungsaufgabe 4.4 Die Standardabweichung beträgt s 30 = 0, 168. Bei einem Konfidenzniveau von 1 α = 0, 997 ist das Quantil u 1 α/2 = 3 und so ergibt sich dann das Konfidenzintervall für die mittlere Wartezeit von [0, , , 168 ; 0, ] = [0, 401; 0, 585] Die (tatsächlich) mittlere Wartezeit liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,7% zwischen 24,1 und 35,1 Sekunden.

25 Lösungen zu den Übungsaufgaben 73 Lösung zu Übungsaufgabe 4.5 Kd i a i t i b i ij b j e i ω i ij ω i 11 0,44 5,89 0,52 6,85 8,82 2,40 5, ,74 6,63 0,67 7,52 9,49 2,19 7, ,12 6,75 0,46 7,98 9,95 2,74 10, ,65 7,40 0,31 8,29 10,26 2,55 12, ,80 9,20 1,17 9,46 11,43 1,05 13, ,51 10,71 0,26 9,72 11,68 0,72 14, ,50 12,21 0,80 10,52 13,01 0,00 14, ,12 13,33 0,84 11,36 14,17 0,00 14, ,21 13,54 0,38 11,74 14,55 0,63 15, ,53 14,07 1,41 13,16 15,97 0,48 15,66 Tabelle 4.11: Simulation von Kunden 11 bis 20 für ein Warteschlangenmodell vom Typ (M,M,1,, FIFO) mit α = 1, β = 2. Lösung zu Übungsaufgabe 4.6 Bei einem Simulationslauf mit α = 3 und β = 2 über 200 zu bedienende Kunden beträgt die mittlere Schlangenlänge ζ = 39,37 also 40 (Kunden) und der Auslastungsgrad an der Kasse ρ = 0, 998. Lösung zu Übungsaufgabe 4.7 Aus n = 200, u 0,09/2 = 1, 65 und s 30 = 0, 336 errechnet man den absoluten Fehler ρ = x ω gemäß (3.2) ρ = 1, 65 0, , 101.

26 74 Lösungen zu den Übungsaufgaben und erhält so das Konfidenzintervall ω [0, 554; 0, 756], was man auch mit (2.5) überprüfen kann. Lösung zu Übungsaufgabe 4.8 Mit s 30 = 0, 318 und u 1 α/2 = 1, 65 für α = 0, 09 erhält man das Kondfidenzintervall für den (unbekannten) Parameter mittlere Wartezeit gemäß (2.5) [0, 600; 0, 790], was einer mittleren Wartezeit zwischen 36 Sekunden und 47,4 Sekunden entspricht. Im Vergleich zur Lösung aus Aufgabe 4.7(dem Modell mit einer Warteschlange) wird die mittlere Wartezeit hier bei dem Modell mit zwei Warteschlangen etwas höher sein, aber (mit einer Sicherheit von 91%) immer noch weit unter einer Minute liegen. Lösung zu Übungsaufgabe 4.9 Aus Tabelle 1 entnimmt man x 1 = 0,88,..., x 12 = 0,08,..., x 36 = 0, 74. und erhält: 12 j=1 x j = 8, 39, 24 j=13 x j = 6, 21, 36 j=25 x j = 6, 03. Damit ergeben sich schließlich die Zeitspannen zwischen einer geplanten oder unvorhergesehenen Reparatur und der nächsten unvorhergesehenen Reparatur, die annhähernd einer N(4, 1)-Verteilung gehorchen, durch: t 1 = (8, 39 6) σ + µ = 2, = 6,39 t 2 = 0, = 4, 21 t 3 = 0, = 4, 03