Stochastik Klasse 10 Zufallszahlen

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1 Thema Grit Moschkau Stochastik Klasse 10 Zufallszahlen Sek I Sek II ClassPad TI-Nspire CAS. Schlagworte: Urnenmodell, Histogramm, absolute und relative Häufigkeit, Zufallsexperiment, Wahrscheinlichkeit, Augensumme Aufgabe: Paul und Sabine wollen zweimal einen fairen Würfel werfen. Sie fragen sich, wie wahrscheinlich die verschiedenen Würfelsummen auftreten. a) Welches Urnenmodell passt zu diesem Ereignis? Notieren Sie den Ereignisraum und die Anzahl seiner Elemente. Erzeugen Sie mit dem ClassPad eine zweispaltige Tabelle mit jeweils 100 natürlichen Zufallszahlen von 1 bis Notieren Sie in den Spalten A und B die Augenzahlen der Würfelwürfe. Zeichnen Sie zu jeder der Spalten ein Histogramm mit den absoluten Häufigkeiten der Würfe in jeder Spalte. Notieren Sie die Beobachtung im Heft. 2. Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten der Augensumme von zwei Würfen und stellen Sie sie in Form eines Histogramms dar. Notieren Sie die Beobachtungen im Heft und erklären Sie diese. b) Definieren Sie die Zustandsmenge E der Augensummen des Zufallsexperiments des zweifachen Wurfes eines fairen Würfels. Geben Sie auch eine Abbildung X zwischen und E an, die das Zufallsexperiment beschreibt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Augensumme n. c) Wiederholen Sie die Lösung der Aufgabe unter der P-Oberfläche des ClassPad. Übertragen Sie die Werte in eine Tabelle und stellen Sie diese grafisch dar. Wie groß sind die absolute und relative Häufigkeit für Würfe und Wurfsummen von 1 bis 7? Folgern Sie hieraus die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.

2 Paul und Sabine wollen zweimal einen fairen Würfel werfen. Sie fragen sich, wie wahrscheinlich die verschiedenen Würfelsummen auftreten. a) Welches Urnenmodell passt zu diesem Ereignis? Notieren Sie den Ereignisraum und die Anzahl seiner Elemente. Modell des Ziehens mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge = {(1,1), (1,2), (1,3),, (6,5), (6,6)} = 6 2 = 36 Erzeugen Sie mit dem ClassPad eine zweispaltige Tabelle mit jeweils 100 natürlichen Zufallszahlen von 1 bis Notieren Sie in den Spalten A und B die Augenzahlen der Würfelwürfe. Zeichnen Sie zu jeder der Spalten ein Histogramm mit den absoluten Häufigkeiten der Würfe in jeder Spalte. Notieren Sie die Beobachtung im Heft. Befehl zur Ausgabe einer Zufallszahl von 1 bis 6 Erweiterung des Befehls auf die Zellen A2 bis A100:

3 Spalte A aktivieren zur grafischen Darstellung A N A L O G E S V O R G E H E N für Spalte B 2. Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten der Augensumme von zwei Würfen und stellen Sie sie in Form eines Histogramms dar. Notieren Sie die Beobachtungen im Heft und erklären Sie diese. In Spalte C nun die Summen A[i] + B[i] Analog weiter wie in Spalten A und B mit Kopieren, Bereich wählen und Einfügen

4 Die Ergebnisse sind nicht gleichverteilt. Die absoluten Häufigkeiten steigen beidseitig vom Randbereich in den mittleren Bereich der Augensumme an. Erklärung: Es gibt unterschiedlich viele Zerlegungen in zwei Summanden von 1 bis 6 für die Zahlen von 1 bis 12. Augensumme Mögliche Ergebnisse 1 2 (1,1) 3 (1,2), (2,1) 4 (1,3), (3,1), (2,2) 7 (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) 12 (6,6) b) Definieren Sie die Zustandsmenge E der Augensummen des Zufallsexperiments des zweifachen Wurfes eines fairen Würfels. Geben Sie auch eine Abbildung X zwischen und E an, die das Zufallsexperiment beschreibt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Augensumme n. Zustandsmenge E = {1, 2, 3,, 11, 12} Abbildung X: E, (i, j) i + j heißt Zufallsvariable oder Zufallsgröße. X = 2 (1,1) P(X = 2) = X = 6 (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3) P(X = 6) = X = 7 (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) P(X = 7) = X = 8 (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) P(X = 8) = X = 12 (6,6) P(X = 12) =

5 c) Wiederholen Sie die Lösung der Aufgabe unter der P-Oberfläche des ClassPad. Übertragen Sie die Werte in eine Tabelle und stellen Sie diese grafisch dar. 100mal zwei Würfel werfen und Augensumme notieren Mögliche Ergebnisse Absolute Häufigkeit Feld markieren

6 Wie groß sind die absolute und relative Häufigkeit für Würfe und Wurfsummen von 1 bis 7? Folgern Sie hieraus die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Absolute Häufigkeit der Augensummen von 4 bis 7 Relative Häufigkeit der Würfe: Absolute Häufigkeit (A3) 100 = Anzahl der Würfe (A2 bis K2) Vermutung: P(4 X 7) = 0,5 Insgesamt 18 Permutationen 18 1 = = 36 Ergebnistupel 36 2

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