Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 10. Übungsblatt

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1 Dr. M. Weimar Elemente der Stochastik (SoSe 206) 0. Übungsblatt Aufgabe ( = Punkte) Zur zweimaligen Drehung des nebenstehenden Glücksrads (mit angenommener Gleichverteilung bei jeder Drehung) betrachte man die Summe der beiden Versuchsausgänge als Zufallsvariable X. a) Geben sie einen geeigneten W-Raum (Ω, P ) an, der das Experiment vollständig beschreibt, und visualisieren sie Ω in geeigneter Form. b) Geben sie die formale Definition der Zufallsvariable X an und stellen sie ihre möglichen Werte geeignet dar. c) Berechnen sie P (X = 4) und P (X = 5). d) Beschreiben sie die Verteilung von X vollständig in Tabellenform und als Stabdiagramm. e) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von X. Aufgabe 2 ( =0 Punkte) Auf einem Jahrmarkt wird ein Spiel basierend auf dem nebenstehend abgebildeten Glücksrad angeboten. Dabei tritt grün (g) bei jeder Drehung mit der selben W-keit auf wie rot (r) und es gelten folgende Spielregeln: Für das gesamte Spiel ist ein Startkapital von 2 Euro erforderlich. Das Spiel besteht aus der höchstens sechsmaligen Drehung des Glücksrads. Bei jedem Auftreten von grün gewinnt man jeweils 2 Euro, bei rot verliert man jeweils 2 Euro. Das Spiel endet, wenn entweder.) der Teilnehmer kein Kapital mehr im Spiel hat, oder 2.) das Spielkapital inklusive Startkapital 8 Euro beträgt, oder 3.) die sechs Drehungen absolviert sind. Nach Spielende erhält der Teilnehmer das verbleibende Spielkapital. a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm, das alle möglichen Spielausgänge darstellt. b) Modellieren sie das Spiel und die Endauszahlung mittels einer Zufallsvariable auf einem geeigneten W-Raum. c) Geben sie die Verteilung ihrer Zufallsvariable an. d) Berechnen Sie den Erwartungswert der Auszahlung am Ende. e) Ist das Spiel fair? Abgabe (freiwillig): In den Tutorien während der 2. Vorlesungswoche ( )

2 Musterlösung zum 0. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 206) Aufgabe. a) Als Ergebnismenge ist hier Ω = {(2k, 2j) k, j {0,,..., 4}} = {(d, d 2 ) d, d 2 {0, 2, 4, 6, 8}} = {0, 2, 4, 6, 8} 2 = {(0, 0), (0, 2),..., (0, 8), (2, 0), (2, 2),..., (8, 8)} geeignet, wobei 2k (bzw. d ) das Ergebnis der ersten Drehung beschreibt und 2j (bzw. d 2 ) das der Zweiten. Beachte, dass die ersten beiden Darstellungen deutlich einfacher verständlich sind, als die letzte (explizite)! Die Dritte eignet sich besonders gut um die Anzahl Ω der Elementarereignisse zu bestimmen. Im Hinblick auf die weiteren Teilaufgaben bietet es sich an, im Folgenden die erste Darstellung zu verwenden. Als W-Maß P wählen wir die Gleichverteilung auf Ω, d.h. P ({(2k, 2j)}) := / Ω = / für alle k und j in {0,,..., 4}. Als Visualisierung von Ω bietet sich eine Tabelle an: Hier wurden die fünf möglichen Ausgänge für jede Drehung mit, 2,..., 5 durchnummeriert. Man hätte jedoch genauso gut die Werte für k bzw. j, also 0,,..., 4, auftragen können. b) Wir setzen X(ω) = X((2k, 2j)) := 2k + 2j für alle ω = (2k, 2j) Ω. Mithilfe der vorangegangen Tabelle lassen sich auch die möglichen Werte der Zufallsvariable X leicht vollständig in Tabellenform angeben: c) Wir haben P (X = 4) = P ({ω Ω X(ω) = 4}) = P ({(2k, 2j) Ω 2k + 2j = 4}) = P ({(0, 4), (2, 2), (4, 0)}) = 3 und P (X = 5) = 0 (entweder analog explizit oder durch Beobachtung dass ungerade Werte für X hier prinzipiell nicht möglich sind, d.h. insb. {X = 5} = ).

3 d) In b) sieht man, dass X nur endlich viele Werte annehmen kann: X {2i i {0,,..., 8}}. Gemäß Satz 2.2 ist die Verteilung P X von X damit vollständig durch die Angabe der W-keiten für alle möglichen Werte von X bestimmt. Das sieht in Tabellenform so aus (W-keiten durch Abzählen in obiger Tabelle wie in Teilaufgabe c)!): Nun die Verteilung von X in Form eines Stabdiagramms: Beachte: Die W-keiten addieren sich (wie immer!) zu. e) Vermutung (aufgrund des Stabdiagramms): E-Wert 8 (da dort hohe W-keit und Diagramm symmetrisch) und kleine Varianz und Standardabweichung (da Werte die stark vom E-Wert abweichen kleine W-keit haben, z.b. P (X = 0) = /). Tatsächlich gilt nach Definition 3. bzw. der nachfolgenden Bemerkung, dass 8 E(X) = 2i P (X = 2i) i=0 = = = 200 = 8. Satz 3.6 liefert dann 8 Var(X) = (2i 8) 2 P (X = 2i) i=0 = = = 400 = 6. Schließlich ist gemäß Definition 3.5 σ(x) = Var(X) = 6 =

4 Aufgabe 2. a) Im folgenden Baumdiagramm bezeichnet Gx Gewinn (also grün) in der jeweils aktuellen Stufe, sowie den danach aktuellen Kapitalstand x. Entsprechend wird die Bezeichnung Vx für Verlust (also rot) in der jeweils aktuellen Stufe und den danach aktuellen Kapitalstand x verwendet. Die Wahrscheinlichkeiten an den Kanten sind dabei jeweils /2. Geht von einem Knoten keine weitere Kante ab, so ist das Spiel (gemäß den Regeln) an diesem Punkt zuende und x beschreibt den Auszahlungsbetrag. b) 2 Varianten:.) Man betrachtet jeden der Pfade 5 vom Ursprung bis zu einem Endknoten in obigem Diagramm als ein Elementarereignis ω Ω. Das W-Maß P ist durch Angabe aller P ({ω}) vollständig beschrieben (vgl. Satz 5.5). Diese W-keiten ergeben sich hier einfach durch Multiplikation der Kanten-W-keiten entlang des jeweiligen Pfades. Da diese wiederum jeweils /2 sind gilt also P ({ω}) = (/2) Anzahl der Kanten entlang von ω, ω Ω. Als Zufallsvariabe X setzen wir dann für jedes der fünfzehn verschiedenen ω X(ω) := Kapitalstand im Endknoten des Pfades ω. Hier sind Ω und P kompliziert zu bestimmen (man benötigt zuerst den Baum), X und seine Verteilung sind dann aber einfach anzugeben. 2.) Als Ereignismenge kommt auch Ω := {(d,..., d 6 ) d i {g, r}} in Frage. Es wird also der Einfachheit halber stets sechs mal gedreht, sodass man im Geiste einen einfachen (aber sehr großen) Baum mit 2 6 = 64 möglichen Pfaden vor Augen hat. Als W-Maß P kann einfach die Gleichverteilung auf diesem Ω gewählt werden.

5 Die Zufallsvariable X wird auch hier wieder durch Angabe aller (diesmal 64) Werte X(ω) definiert. Die komplizierten Spielregeln erfordern es dann aber wieder jedem Pfad solange zu folgen bis das Spiel faktisch endet und unterwegs das Spielkapital mitzurechnen. Endet das Spiel vorzeitig, so wird jedem Pfad (also jedem ω Ω), der vom betreffenden Knoten an dem es endet ausgeht, der dort gültige Kapitalwert als X(ω) zugewiesen. Also z.b. X((r, d 2, d 3, d 4, d 5, d 6 )) := 0, für alle d 2,..., d 6 {r, g}, da bereits im ersten Dreh rot erschienen ist und das Spielkapital verloren wurde (vgl. obigen Baum). Ein anderes Beispiel: X((g, g, g, d 4, d 5, d 6 )) := 8, da hier das Spiel nach drei Drehungen endet weil das Maximalkapital von 8 Euro erreicht wurde. In dieser Variante ist also der Raum (Ω, P ) sehr einfach, X jedoch kompliziert zu bestimmen. Dieser trade-off der Schwierigkeiten taucht bei der Modellierung mit ZV n sehr oft auf. In der Regel wird man die zweite Variante wählen und von einem einfachen W-Raum ausgehen. Das erleichtert bei umfangreicheren Problemstellungen (z.b. mehrere ZV n für das gleiche Experiment) die Arbeit. Vgl. dazu auch Bsp. 3.(i) im Skript (Produkt der Augenzahlen beim Wurf von zwei Würfeln)! c) Es bezeichne also X die Zufallsvariable, die den Besitzstand eines Spielers in Euro am Ende des Spiels angibt. (Egal welche Variante oben gewählt wird, die möglichen Werte von X und ihre W-keiten müssen in beiden Fällen die gleichen sein, da ja das selbe Spiel beschrieben wird!) Als Wertemenge ergibt sich {x,..., x 4 } = {0, 2, 6, 8} (vgl. Baumdiagramm oben). Die Verteilung von X sieht dann in Tabellenform so aus: Die W-keiten ergeben sich dabei als Summe von W-keiten der entsprechenden Pfade und addieren sich (wie immer) insgesamt zu eins. Hier wurde die Berechnung mit Variante Nr. von oben durchgeführt: x = 0 : P (X = 0) = = 6 x 2 = 2 : P (X = 2) = 4 x 3 = 6 : P (X = 6) = 4 64 = 6 64 = 6 x 4 = 8 : P (X = 8) = = 3 6. Man überlege sich selbst, wie anhand der Tabelle ein entsprechendes Stabdiagramm aussehen würde!

6 d) Für den Erwartungswert ergibt sich nach der üblichen Formel (Bemerkung nach Definition 3..): E(X) = 4 x i P (X = x i ) i= = = = 32 6 = 2 e) Man setzt 2 Euro ein und bekommt am Ende durchschnittlich E(X) = 2 Euro raus, also ist es fair.

7 Vorschläge für die Tutorien zum 0. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 206) Aufgabe 3 Kütting/Sauer, Sect. 4.5/Aufg. 8, S.6 LÖSUNG: Kütting/Sauer, Sect..4/Aufg. 8, S.388 Aufgabe 4 Kütting/Sauer, Sect. 4.5/Aufg., S.5f LÖSUNG: Kütting/Sauer, Sect..4/Aufg., S.387 Aufgabe 5 Kütting/Sauer, Sect. 4.5/Aufg. 5, S.6 LÖSUNG: Kütting/Sauer, Sect..4/Aufg. 5, S.388

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