Wie lang muß eine Garage sein?

Transkript

1 Wie lng muß eine Grge sein? von Benno Grbinger Für Tore ller Art - vom Grgentor bis zum Tor eines Geräterums - gibt es versciedene Türmecnismen. Gebräuclic sind nc ußen scwingende, nc innen scwingende sowie tecnisc ufwendige Sektionltore die eine gliederförmige Unterteilung besitzen und beim Öffnen weder nc innen noc nc ußen scwingen. Jede dieser Torlösungen besitzt Vor- und Ncteile: Besitzt die Grge ein nc ußen scwingendes Tor, so bruct selbst ein oer Kleinbus nur eine Hndbreite Abstnd zum gesclossenen Tor. Abb. 1 Abb. 1 Nc: Prospekt Normstl: Tore Türen Antriebe Mit dem ier benutzten Türmecnismus wird teurer Grgenrum gesprt, weil ds Tor beim Öffnen nict nc innen, sondern nc ußen scwingt. Für Grgen, die direkt n öffentlic genutzte Fläcen grenzen, ist ein nc ußen scwingendes Tor ungeeignet. Hier sind nc innen scwingende Tore sinnvoll, bei denen ds Türbltt beim Öffnen nict über die Zrge scwingt. Die Abbildung verdeutlict den Vorteil des nc innen scwingenden Tores. Diese Lösung wird uc für Tore von Geräteräumen in Sportllen benutzt. Ein offensteendes Tor bildet dmit keine Gefr für erumtollende Sportler. Abb. Abb. Nc: Prospekt Normstl: Tore Türen Antriebe Der Ncteil eines nc innen scwingenden Tores wird in der Abbildung deutlic. Ds bgestellte Frzeug knn nict direkt inter der Tür steen, die Grge muß länger ls im Fll des nc ußen scwingenden Tores sein. In den folgenden Abscnitten wird ein nc innen scwingendes Tor näer untersuct.

2 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? Mit eigenen Händen Zunäcst soll ein Gefül für die Problemstellung erworben werden. Ds get m besten ddurc, dß ein nc innen scwingendes Tor mit eigenen Händen begriffen, d.. geöffnet wird. D dies sicer nict immer möglic ist, bietet sic ls Notlösung wenigstens eine eigenändige Konstruktion n. Mit einfcsten Hilfsmitteln, einem recten Winkel, einem Linel welces ds Tor drstellt und einem Bltt Ppier, sollen möglicst viele Positionen des Tors eingezeicnet werden. Abbildung Dbei zeigt sic Interessntes. Werden inreicend viele Torpositionen gezeicnet, so wird eine Kurve sictbr. Mn sprict von der Einüllenden der Gerden. Die gezeicneten Gerden sind die Tngenten dieser Kurve.

3 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? Die näcste Abbildung stmmt us der Produkt-Informtion Pfullendorfer Tor-Systeme, Gegengewictstor Typ 8. Hier ist ds sic öffnende Tor in versciedenen Positionen eingezeicnet. Auc ier zeigt sic deutlic die zuvor gemcte Entdeckung. Stellt mn sic ds Tor für lle möglice Positionen eingezeicnet vor, so liefert dies die Hüllkurve, die den in der Grge verfügbren Pltz bestimmt. Außerdem verdeutlict die Abbildung den Mecnismus eines nc innen scwingenden Tores. Ds Tor besitzt eine senkrecte Fürungs- und eine wgrecte Lufsciene, in denen die Torendpunkte gleiten.

4 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 4 Grgenbu mit Cbri Die folgende Bildsequenz zeigt ds Öffnen eines nc innen scwingenden Grgentores wie dies mit dem Progrmm Cbri-Geometre möglic ist. Ds Bewegen des Punktes A längs der Gerden g mit Hilfe der Mus öffnet bzw. scließt ds Tor. Zur Durcfürung ist ds in Cbri vorndene Mkro Längenübertrgung ilfreic. An der folgenden Abbildung wird erläutert, wie ds Grgentor gebut wird:

5 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 5 Zuerst wird die Gerde g erzeugt. Mit "Punkt uf Objekt" wird der Punkt A konstruiert. In einem weiteren Punkt der Gerden g wird ds Lot gebildet. Ein Hilfspunkt H für die später erfolgende Längenübertrgung wird erzeugt. Dnc erzeugt mn die Strecke mit den Endpunkten B und C, deren Länge gleic der Grgentoröe ist. Mit dem Mkro Längenübertrgung wird die Länge dieser Strecke von A us über H bgetrgen. Durc den Endpunkt der Strecke wird der Kreis mit dem Mittelpunkt A erzeugt. Der Scnittpunkt dieses Kreises mit dem Lot ist der Punkt S. Die Strecke AS gleitet längs der beiden Gerden, wenn der Punkt A bewegt wird. Die Hilfslinien der Konstruktion werden mit dem "Rdierer" us dem Menüpunkt "Objektdrstellung" verborgen. Fürt mn die bescriebene Konstruktion - mittels eines Mkros - mermls für versciedene Punkte A der Gerden g durc, so erält mn ds folgende Bild:

6 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 6 Jetzt wird gerecnet Eine bestimmte Torstellung ist durc die Angbe der Koordinten der Torendpunkte P und Q festgelegt. Die Lge des zur Bescreibung erforderlicen Koordintensystems ist us der Abbildung ersictlic. Die Orientierung der x-acse m Grgenfußboden ist neliegend, wenngleic ein nders orientiertes Koordintensystem die Bescreibung vereinfcen würde, dvon mer im Abscnitt "Jetzt dret sic lles". Aufgbe 1 Die Abbildung zeigt ds Grgentor in einer Position, in der die Endpunkte des Tores durc P0/0,4 und Q0,8/1 gegeben sind. Für die Zeicnung wurde die Toröe willkürlic gleic 1 gesetzt. Für weitere Torpositionen sind die Koordinten der Endpunkte P und Q zu berecnen. Dnc ist dnn jeweils ds Tor einzuzeicnen. Mn überlege sic zunäcst welcer formelmäßige Zusmmenng zwiscen den Koordinten der Punkte Q/1 und P0/b bestet. Aufgbe Die Zeicnung us Aufgbe 1 soll nun mit Hilfe von DERIVE ergestellt werden. Hinweis: Die Strecke PQ mit Pr/s und Qu,v läßt sic durc Anwendung des Plot-Befels uf [ [r, s], [u, v] ] zeicnen. Dzu muß in den "Options" die Einstellung "Connected" gewält sein. Aufgbe Mrkiere in der letzten Zeicnung von Aufgbe die Scnittpunkte der Strecken, die zu "bencbrten" Torstellungen geören. Aufgbe 4 Denkt mn sic die Scnittpunktmrkierung us Aufgbe für viele Streckenpre durcgefürt, so wird drus die gesucte Kurve. Skizziere den Verluf dieser Kurve. Aufgbe 5 Begründe, dß die Kurve us Aufgbe 4 weder durc eine gnzrtionle noc durc eine rtionle Funktion bescreibbr ist.

7 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 7 zu Aufgbe 1 Für versciedene Werte von wird zum Punkt Q/1 der Punkt P0/b bestimmt. Pytgors Es ergibt sic b = zu Aufgbe 5 Der Definitionsbereic ist D=[0,]. Im Punkt P0/0 ist die Funktion nict differenzierbr. Rtionle Funktionen sind dgegen in llen Punkten des Definitionsbereics differenzierbr.

8 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 8 Gerden und Tore Für weitere Untersucungen ist es sinnvoll, nict nur die Torendpunkte zu kennen, sondern uc lle übrigen Punkte des Tores. Ds wird möglic, wenn es gelingt, die Gleicung der Gerden nzugeben, welce die Strecke PQ d.. ds Tor ls Teil entält. Aufgbe 6 Zeige, dß die Gerde gx,, die durc die Punkte P0/b und Q, verläuft, durc die folgende Gleicung bescrieben wird. Dbei ist die Toröe. g x, = x + Aufgbe 7 Zeicne mit Hilfe von DERIVE die Scr der Gerden gx, für [0,05 ; ], Scrittweite 0,05 und =1. zu Aufgbe 7

9 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 9 Des Rätsels Lösung Die biserigen Aufgben lssen vermuten, dß die Scnittpunkte beliebig bencbrter Gerden die gesucte Kurve bilden. Hier soll nun die Gleicung dieser Kurve bestimmt werden. Eine zur Gerden gx, bencbrte Gerden erält mn durc Änderung des Wertes von. Die Abbildung zeigt zwei Gerden, die sic im Wert des Prmeters um δ untersceiden. Aufgbe 8 Berecne mit Hilfe von DERIVE die x-koordinte des Scnittpunktes der beiden Gerden. Aufgbe 9 Um die gesucte Kurve zu erlten, muß der Wert von δ gegen Null streben. Bilde den Grenzwert für δ gegen Null von dem in Aufgbe 7 bestimmten x-wert des Scnittpunktes. Ermittle dnn den Wert der y-koordinte des Scnittpunktes. Weise durc Recnen in DERIVE nc, dß die Prmeterdrstellung der gesucten Kurve durc x =, y = gegeben ist. Aufgbe 10 Die x-koordinte und die y-koordinte des Scnittpunktes entlten ls Prmeter. Setze für den Wert 1 ein und lsse den Grp zeicnen. Benutze dzu die Möglickeit, dß DERIVE den Grpen einer in Prmeterdrstellung [x,y] gegebenen Kurve zeicnen knn. Dbei muß ds Intervll [0 ; ] durclufen. Aufgbe 11 Eliminiere us der Prmeterdrstellung der Kurve den Prmeter und zeige, dß sic für die Gleicung der Kurve der Ausdruck x + y = ergibt.

10 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 10 zu Aufgbe 8 zu Aufgbe 9

11 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 11 zu Aufgbe 10

12 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 1 Aufgbe 1 Ist uc lles rictig? Biser wurde noc nict ncgeprüft, ob die durc die Scnittpunktbestimmung und den Grenzübergng gewonnene Gleicung ttsäclic uc die ursprünglic geforderte Eigenscft besitzt, dß nämlic die y-acse und die Gerde y= us den Tngenten n die Kurve stets die Strecke usscneiden. Dzu muß gezeigt werden, dß für jede Tngente n die Kurve x + y = die Verbindungsstrecke der Punkte P0/b und Q/ die Länge besitzen. Ds soll ier ncgewiesen werden. Leite er, dß die Kurve x + y = im Punkt P0x0/y0 die Tngentensteigung 1 y0 y ' = besitzt. x 0 Aufgbe 1 Zeige, dß die Gleicung der Tngente im Punkt P0x0/y0 n den Grp der Funktion f die y0 folgende Gleicung besitzt: t x = x x0 + y0 x 0 Aufgbe 14 Benutze die Ergebnisse der letzten Aufgben, um zu zeigen: Die Tngente n die Kurve im Punkt P0x0/y0 scneidet die y-acse im Punkt x und die Gerde y= im Punkt Q / x0 y0 + x0 P 0/ y y 1 Aufgbe 15 Berecne mit dem Ergebnis der letzten Aufgbe die Länge der Verbindungsstrecke der Punkte P und Q und zeige, dß sic ergibt.

13 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 1 zu Aufgbe 1 Die DERIVE-Hilfsdtei DIF_APPS.MTH bietet die Möglickeit, Funktionen zu differenzieren, die in impliziter Form vorliegen: zu Aufgben 1-15 Die DERIVE-Hilfsdtei DIF_APPS.MTH gestttet die Bildung der Tngentengleicung Tx im Punkt P0x0/y0. Zeilen #-#5. Der Scnittpunkt der Tngente mit der y-acse ergibt sic ls b=t0. Zeilen #6-#7 Den Scnittpunkt mit der Gerden y= erält mn durc Lösen der Gleicung T=. Zeilen #8-#10 des näcsten DERIVE-Bildscirms.

14 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 14 Die Bestimmung des Abstndes der Punkte P und Q mct die Berecnung von b + erforderlic. Der Rdiknt wird in den Zeilen #11 und #1 berecnet. Wie der Kundige sofort siet, stellt die Zeile #1 den Ausdruck y x dr. Diese Einsict bleibt dem DERIVE-System leider verborgen. Ein Zusmmenfssen der Zeile #1 gelingt DERIVE nict. Durc Expndieren von y x läßt sic ber die Gleiceit der Terme ncweisen. Der Abstnd der Punkte P und Q ist dnn: y x = = + 0 0

15 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 15 Welcer Rum get verloren? Wie bereits festgestellt, muß ein Frzeug bei einem sic nc innen öffnenden Tor einen Abstnd vom Tor lssen. Dieser soll ier für einen konkreten Fll bestimmt werden. Aufgbe 16 Ein deutsces Automobil Mße in mm siee Skizze soll in eine Grge mit nc innen scwingendem Tor eingeprkt werden. Die Toröe beträgt,15 m. Abbildung us Prospekt:,,Die BMW 5er Reie'' Wie weit muß ds Frzeug von der Vorderknte der Grge weg steen, dmit ds Tor gesclossen werden knn, one dß ds Frzeug berürt wird? Untersuce dies, flls ds Frzeug wie gezeicnet vorwärts in die Grge eingeprkt wird.

16 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 16 zu Aufgbe 16 Färt ds Auto vorwärts in die Grge, dnn müssen etw 4 cm Abstnd zum Tor bleiben.

17 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 17 Wie Punkte sic bewegen Auf welcer Bn bewegt sic ein Punkt, z.b. der Griff des nc innen scwingenden Tors beim Öffnen? Mn knn zunäcst eine grobe Vorstellung für die gesucte Bn bekommen, wenn mn einen festen Punkt des Tors in versciedenen Torstellungen mrkiert. Aufgbe 17 Mrkiere im folgenden Bild für jede gezeicnete Torstellung den Punkt des Tores, der sic in der Entfernung 0, vom unteren Torende befindet. Verbinde die mrkierten Punkte so, dß die gesucte Bn sictbr wird. Wiederole ds Verfren uc für ndere Punkte des Tores. Um die Gleicung der Bnkurve zu bekommen, betrctet mn einen beliebigen Punkt P des Tors, der in gesclossener Torstellung in der Höe d über dem Fußboden liegt. Welce Koordinten x/y besitzt dieser Punkt, wenn ds Tor den Winkel φ mit der Horizontlen einscließt? Aufgbe 18 Benutze die Zeicnung um die Koordinten von P in Abängigkeit von φ drzustellen. Eliminiere dnn den Prmeter φ und zeige, dß die Bnkurve der Gleicung x y + = 1 genügt. d c

18 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 18 zu Aufgbe 17 Die Abbildung zeigt ds Ausseen der gesucten Bnen. zu Aufgbe 18 Es ist xφ=d cosφ und yφ=-c sinφ. Auflösen dieser Bezieungen nc cosφ und sinφ, qudrieren und ddieren liefert die beuptete Form.

19 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 19 Jetzt dret sic lles Ein beknntes Mtemtikproblem ist ds der "Gleitenden Leiter". Eine Strecke die Leiter der Länge gleitet so, dß ire Enden stets uf den Koordintencsen liegen. Die Verwndtscft zum sic nc innen öffnenden Grgentor ist offensictlic. Sei S ds Koordintensystem in dem biser ds Grgentorproblem bescrieben wurde. Versciebt mn ds Koordintensystem S um in positive y-rictung und dret dnn um π/, so erält mn ds in der obigen Abbildung drgestellte Koordintensystem S'. Für einen beliebigen Punkt P gilt die folgende Koordintentrnsformtion: x ' = - y y ' = x Wendet mn diese Trnsformtion uf die Kurvengleicung x + y = n, so ergibt sic: y ' + x' =, bzw. x ' + y' = In dieser Form ist die Kurve unter dem Nmen Astroide. griec. Stern beknnt.

20 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 0 Entsprecend trnsformiert sic die Prmeterdrstellung der Kurve = =, y x in = = ', ' y x Es soll nun der Winkel Φ, den die gleitende Leiter mit der y'-acse einscließt, zur Bescreibung benutzt werden. Aufgbe 19 Zeige, dß sic bei Verwendung von Φ die folgende Prmeterdrstellung ergibt: Φ Φ = Φ Φ = Φ 0,, cos ', sin ' π y x. Aufgbe 0 Es liegt ne zu untersucen, welce Kurve die Prmeterdrstellung cos ', sin ' Φ = Φ Φ = Φ y x für Winkel liefert, die größer ls π/ sind. Für ds Problem des Grgentores t diese Überlegung ntürlic keine Bedeutung mer. Untersuce, ws die Prmeterdrstellung für Winkel Φ>π/ liefert.

21 Benno Grbinger: Wie lng muß eine Grge sein? 1 zu Aufgbe 19 Aus der Abbildung ist ersictlic: cos Φ =. Auflösen nc und einsetzen in y ' = liefert die beuptete Drstellung. Entsprecend get mn für x' vor. zu Aufgbe 0 Durcläuft Φ ds Intervll [0, π ], so liefert die Prmeterdrstellung eine gesclossene Kurve, die Astroide. griec. Stern