Theoretische Physik: Mechanik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Theoretische Physik: Mechanik"

Transkript

1 Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2016 Vorlesung 1 (mit freundlicher Genehmigung von Verena Walbrecht) Technische Universität München 1 Fakultät für Physik

2 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen Differentiation und Integration von Vektoren Differentiation von Funktionen mit mehreren Veränderlichen Bahnkurven Zylinderkoordinaten Kugelkoordination Vektorielle Differentialoperatoren Gradient Divergenz Rotation Linienintegrale Integralsätze Gauß scher Integralsatz Stokes scher Integralsatz Newton sche Axiome 8 3 Eindimensionale Bewegung 9 4 Erhaltungssätze Impulserhaltung Drehimpulserhaltung Energieerhaltung Arbeit Konservative Kräfte Energieerhaltungssatz Technische Universität München 2 Fakultät für Physik

3 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Differentiation und Integration von Vektoren Gegeben sei ein Vektorfeld: A(u) = Die Ableitung ist dann: A x (u) A y (u) A z (u) = A x (u) e x + A y (u) e y + A z (u) e z (1) da(u) du ( dax (u) = du, da y(u) du, da ) z(u) du (2) Und das Integral: ( du A(u) = du A x (u), du A x (u), ) du A z (u) (3) 1.2 Differentiation von Funktionen mit mehreren Veränderlichen Gegeben sei eine Funktion f(x i ), mit i = 1, 2, 3. Die partielle Ableitung nach i ist wie folgt definiert: f(x i ) x i (4) Bei der partiellen Differentiation werden alle Variabeln außer x i festgehalten und nach x i abgeleitet. 1.3 Bahnkurven Die Dynamik eines Teilchens in Raum und Zeit wird durch eine Bahnkurve: r(t) = x(t) y(t) z(t) beschrieben. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind wie folgt definiert: (5) v(t) = dr(t), a(t) = dv(t) = d2 r(t) dt dt dt 2 (6) Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

4 Abbildung 1: Abbildung 1: Bahnkurve in 3 Dimensionen Um von dem Koordinatensystem unabhängig zu werden, wird eine Orthonormalbasis aus drei Vektoren (T : Tangentenvektor, N: Normalenvektor und B: Binominalvektor) in den Punkt P (x(t), y(t), z(t)), welcher die Position des Teilchens beschreibt, gelegt. Diese drei Vektoren können über die Bogenlänge bestimmt werden, welche sich durch Integration wie folgt ergibt: s(t) = t t ds = dr = t 0 t 0 t t 0 dt dr dt (7) Die drei Vektoren der Orthonormalbasis sind dann: T = dr ds κn = dt, mit κ : Krümmungsradius der Kurve ds B = T N Da in der theoretischen Mechanik viele Probleme auf ein Zentralkraftproblem zurück geführt werden können, ist es in diesen Fällen oft sinnvoll in ein anderes Koordinatensystem zu wechseln Zylinderkoordinaten Die kartesischen Koordinaten transformieren sich in Zylinderkoordinaten wie folgt: Technische Universität München 4 Fakultät für Physik

5 x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z Somit ergibt sich für den Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung: r = ρ e ρ + z e z v = ρ e ρ + ρ ϕ e ϕ + ż e z a = ( ρ ρ ϕ 2 ) e ρ + (ρ ϕ + 2 ρ ϕ) e ϕ + z e z Hierbei sind die Einheitsvektoren wie folgt definiert: e ρ = cos ϕ sin ϕ 0, e φ = sin ϕ cos ϕ 0, e z = (8) Kugelkoordination Die kartesischen Koordinaten transformieren sich in Kugelkoordinaten wie folgt: x = r cos φ sin θ y = r sin φ sin θ z = r cos θ Analog zu den Zylinderkoordinaten ergeben sich neue Darstellungen für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung: r = r e r v = ṙ e r + r θ e θ + r sin θ ϕ e ϕ a = ( r r θ 2 r sin 2 θ ϕ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ sin θ cos θ ϕ 2 ) e θ + (r sin θ ϕ + 2 sin θṙ ϕ + 2r cos θ θ ϕ) e ϕ Wobei die Einheitsvektoren wie folgt definiert sind: e r = cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos θ, e θ = cos φ cos θ sin ϕ cos θ sin ϕ, e φ = sin ϕ cos ϕ 0 (9) Technische Universität München 5 Fakultät für Physik

6 1.4 Vektorielle Differentialoperatoren Gradient Gegeben sei ein Skalarfeld Φ(x, y, z). Der Gradient ist wie folgt definiert: ( Φ(x, y, z) grad Φ(x, y, z) = Φ(x, y, z) =, x Φ(x, y, z), y ) Φ(x, y, z) z (10) Der Gradient eines Skalarfeldes steht senkrecht auf den Äquipotentialflächen (Φ(x, y, z) = const). Bestimmt man den Gradienten in einem beliebigen Punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ), dann zeigt dieser in Richtung des steilsten Aufstiegs bzw. Abstiegs Divergenz Einem differenzierbaren Vektorfeld A(r) = ((A x (x, y, z), A y (x, y, z), A z (x, y, z)) kann man dessen Divergenz zuordnen, welche wie folgt definiert ist: div A(r) = A(r) = A x x + A y y + A z z (11) Die Divergenz misst den lokalen Fluss des Vektorfeldes A(r) aus kleinen Volumina Rotation Für ein Vektorfeld kann man des Weiteren die Rotation oder Wirbeldichte definieren: rot A(x, y, z) = A(x, y, z) (12) ( Az = y A y z, A x z A z x, A y x A ) x (13) y Die Rotation misst die lokale Drehrate bzw. Wirbeldichte des Vektorfeldes. 1.5 Linienintegrale Das Wegintegral einer Kraft F (r) zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 ist die Arbeit bzw. Energie, die bei der Bewegung zwischen diesen zwei Punkten aufgewendet bzw. frei wird. Das Integral berechnet sich folgendermaßen: A = P2 P2 t2 drf (r) = (dx F x + dy F y + dz F z ) = dt ṙ F (r) (14) P 1 P 1 t 1 mit der Leistung N = ṙ F (r). Technische Universität München 6 Fakultät für Physik

7 1.6 Integralsätze Gauß scher Integralsatz Der Gauß sche Integralsatz besagt, dass der Fluss eines differenzierbaren Vektorfeldes A(r) durch eine geschlossene Fläche gleich dem Volumenintegral über dessen Quelldichte div A(r) ist: F = V df A(r) = dv div A(r) (15) Stokes scher Integralsatz Der Stokes sche Integralsatz besagt, dass die Summe der Wirbel über eine Fläche die Zirkulation eines Vektorfeldes längs einer orientierten geschlossenen Kuve C ergibt: C= F dr A(r) = df rot A(r) (16) Technische Universität München 7 Fakultät für Physik

8 2 Newton sche Axiome In der Mechanik werden als Grundgesetze die Newtonschen Axiome erfüllt: 1. Axiom: Es gibt Bezugssysteme (Inertialsysteme) in denen sich ein Massenpunkt im kräftefreien Raum mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. 2. Axiom: Die Änderung des Impulses ist der Einwirkung einer Kraft proportional und geschieht in Richtung der Kraft. F = m dv dt = ma 3. Axiom: Für Kräfte, die zwei Massenpunkte aufeinander ausüben gilt: F 12 = F 21 - actio gleich reactio 1. Zusatz: Die Kräfte, die zwei Massenpunkte aufeinander ausüben, wirken in Richtung der Verbindungslinie: (r 1 r 2 ) F 12 = 0 2. Zusatz: Wirken mehrere Kräfte auf einen Massenpunkt, so summieren sich die Kräfte zu einer Gesamtkraft. F = i F i Technische Universität München 8 Fakultät für Physik

9 3 Eindimensionale Bewegung In der Mechanik werden wir uns auf Kräfte beschränken, die nur von Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens abhängen, also: Die Standardprobleme der Mechanik sind: F = F (r(t), ṙ(t), t) (17) Kräftefreie Bewegung: mẍ = 0 Bewegung im Gravitationsfeld: mẍ = mg Bewegung im Schwerefeld mit Reibung: mẍ = kx γẋ Freie gedämpfte Schwingung: mẍ = kx 2mλẋ Erzwungene Schwingung: mẍ = kx 2mλẋ + F (t) Die allgemeine Bewegungsgleichung einer Kraft, die nur vom Ort abhängt, lautet: mẍ = F (x) (18) Multipliziert man nun beide Seiten mit ẋ(t) und führt ein Potential U(x(t)) ein, für das gilt : F (x(t)) = du(x(t)) dx (19) somit erhält man: mẋ(t)ẍ(t) = 1 2 mẋ(t)2 d dt du(x(t) = ẋ(t)f (x(t)) = dx(t) = du(t) dt dx dt (20) Somit folgt, dass: 1 2 mẋ(t)2 + U(x(t)) = const = E (Energie) (21) Die Integrationskonstante beschreibt die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie, also die Gesamtenergie. Mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes kann man die Lösung graphisch diskutieren (siehe Abbildung 2). Der Abstand zwischen U(x) und der Horizontalen (der Gesamtenergie) beschreibt die kinetische Energie m 2 ẋ. Die Punkte x 1 und x 2 werden als Umkehrpunkte bezeichnet. An diesen Stellen gilt ẋ 1,2 = 0. Für x > x 3 findet eine offene Bewegung statt. Technische Universität München 9 Fakultät für Physik

10 Abbildung 2: Abbildung 2: Potentialkurve Die vorher erhaltene Differentialgleichung kann nun leicht gelöst werden und man erhält: t t 0 = x1 x 0 2 m [E U (x )] dx (22) Durch lösen des Integrals erhält man t(x), durch invertieren dann das gesuchte x(t). Verläuft die Bewegung zwischen zwei Umkehrpunkten x 1 und x 2, so definiert sich die Schwingung mit der Periode T wie folgt: x2 dx T = 2 x 1 2 m [E U (x )] (23) Technische Universität München 10 Fakultät für Physik

11 4 Erhaltungssätze 4.1 Impulserhaltung Wirkt auf ein Teilchen keine Kraft, so gilt: Hieraus folgt, dass: dp dt 4.2 Drehimpulserhaltung Der Drehimpuls ist wie folgt definiert: F = 0 (24) = 0 und damit p = const (25) Das auf ein Teilchen wirkende Drehmoment ist: L = r p (26) M = r F (27) Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Drehmoment, also: dl dt = M (28) Hieraus ergibt sich die Drehimpulserhaltung. Verschwindet das Drehmoment, so ist der Drehimpuls erhalten: Somit folgt, dass: dl dt 4.3 Energieerhaltung M = 0 (29) = 0 und damit L = const (30) Bevor man die Energieerhaltung diskutieren kann, muss zuerst der Begriff der Arbeit und der konservativen Kräfte näher erläutert werden. Technische Universität München 11 Fakultät für Physik

12 4.3.1 Arbeit Die Arbeit, die längs eines endlichen Weges C geleistet wird ist: E = r2 r 1,C dr F (31) Die Arbeit entspricht der Energie, die vom Kraftfeld F (r) auf das Teilchen übertragen wird Konservative Kräfte Kräfte, die durch ein Potential U(r) in der Form F (r) = U(r) darstellbar sind, heißen konservativ. Hierbei sind folgende Aussagen äquivalent: F (r) ist konservativ F (r) = U(r) F (r) = 0 Die zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 verrichtete Arbeit ist unabhängig vom Weg Energieerhaltungssatz In einem konservativen Kraftfeld ist die Summe aus kinetischer Energie T = m 2 ẋ2 und potentieller Energie U(r) erhalten: E = U + T = const (32) Gilt die Energieerhaltung nicht, d.h. dass mechanische Energie in andere Energieformen umgewandelt wird, dann spricht man von dissipativen Kräften. Ein Beispiel hierfür wären Reibungskräfte (Umwandlung in Wärmeenergie). Technische Universität München 12 Fakultät für Physik

Theoretische Physik 1 Mechanik

Theoretische Physik 1 Mechanik Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Theoretische Physik 1 Mechanik Skript zu Vorlesung 2: konservative Kräfte, Vielteilchensysteme und ausgedehnte Körper gehalten von: Markus

Mehr

Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 7 vom Abgabe:

Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 7 vom Abgabe: Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 03 Blatt 7 vom 0.06.3 Abgabe: 7.06.3 Aufgabe 9 3 Punkte Keplers 3. Gesetz Das 3. Keplersche Gesetz für die Planetenbewegung besagt, dass das

Mehr

2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n

2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n 2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n f ist in dem Fall ein Weg in R n. Das Bild f(t) des Weges wird als Kurve

Mehr

Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler

Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler 1 Was ist Physik? Stand: 13. Dezember 212 Physikalische Größe X = Zahl [X] Einheit SI-Basiseinheiten Mechanik Zeit [t] = 1 s Länge [x] = 1 m Masse [m]

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3 Differenziation und Integration von Vektorfunktionen Der Ortsvektor: Man kann einen Punkt P im Raum eindeutig durch die

Mehr

9. Vorlesung Wintersemester

9. Vorlesung Wintersemester 9. Vorlesung Wintersemester 1 Die Phase der angeregten Schwingung Wertebereich: bei der oben abgeleiteten Formel tan φ = β ω ω ω0. (1) ist noch zu sehen, in welchem Bereich der Winkel liegt. Aus der ursprünglichen

Mehr

Sei Φ(x, y, z) ein skalares Feld, also eine Funktion, deren Wert in jedem Raumpunkt definiert ist.

Sei Φ(x, y, z) ein skalares Feld, also eine Funktion, deren Wert in jedem Raumpunkt definiert ist. Beim Differenzieren von Vektoren im Zusammenhang mit den Kreisbewegungen haben wir bereits gesehen, dass ein Vektor als dreiwertige Funktion a(x, y, z) aufgefasst werden kann, die an jedem Punkt im dreidimensionalen

Mehr

2 Newtons Axiome. Es gibt BS, in denen die kräftefreie Bewegung durch ṙ(t) = v = const. beschrieben wird. (2.1) 1. Axiom:

2 Newtons Axiome. Es gibt BS, in denen die kräftefreie Bewegung durch ṙ(t) = v = const. beschrieben wird. (2.1) 1. Axiom: 2 Newtons Axiome Als Grundgesetze der Mechanik werden die Newtonschen Axiome eingeführt. Das 2. Newtonsche Axiom ist eine Differenzialgleichung für die Bahnkurve eines Massenpunkts. Es bestimmt die Dynamik,

Mehr

Linien- und Oberflächenintegrale

Linien- und Oberflächenintegrale Linien- und berflächenintegrale Bei den früheren eindimensionalen Integralen wurde in der Regel entlang eines Intervalls einer Koordinatenachse integriert. Bei einem Linienintegral wird der Integrationsweg

Mehr

Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder

Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder DGL Schwingung Physikalische Felder Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder Johannes Wiedersich 23. April 2008 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/

Mehr

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 ) Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition

Mehr

11. Vorlesung Wintersemester

11. Vorlesung Wintersemester 11. Vorlesung Wintersemester 1 Ableitungen vektorieller Felder Mit Resultat Skalar: die Divergenz diva = A = A + A y y + A z z (1) Mit Resultat Vektor: die Rotation (engl. curl): ( rota = A Az = y A y

Mehr

2. Lagrange-Gleichungen

2. Lagrange-Gleichungen 2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen

Mehr

2. Räumliche Bewegung

2. Räumliche Bewegung 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Massenpunkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort im Raum zu bestimmen. Es muss ein Ortsvektor angegeben werden. Prof.

Mehr

Energie und Energieerhaltung

Energie und Energieerhaltung Arbeit und Energie Energie und Energieerhaltung Es gibt keine Evidenz irgendwelcher Art dafür, dass Energieerhaltung in irgendeinem System nicht erfüllt ist. Energie im Austausch In mechanischen und biologischen

Mehr

Kapitel 2. Kinematik des Massenpunktes. 2.1 Einleitung. 2.2 Massenpunkt. 2.3 Ortsvektor

Kapitel 2. Kinematik des Massenpunktes. 2.1 Einleitung. 2.2 Massenpunkt. 2.3 Ortsvektor Kapitel 2 Kinematik des Massenpunktes 2.1 Einleitung In diesem Kapitel behandeln wir die Bewegung von einem oder mehreren Körpern im Raum. Wir unterscheiden dabei zwischen Kinematik und Dynamik. Die Kinematik

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 2 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Perle Eine Perle der Masse m gleite reibungsfrei auf einem vertikal stehenden Ring vom Radius

Mehr

Ferienkurs Theoretische Mechanik Lösungen Hamilton

Ferienkurs Theoretische Mechanik Lösungen Hamilton Ferienkurs Theoretische Mechanik Lösungen Hamilton Max Knötig August 10, 2008 1 Hamiltonfunktion, Energie und Zeitabhängigkeit 1.1 Perle auf rotierendem Draht Ein Teilchen sei auf einem halbkreisförmig

Mehr

Theoretische Physik I Mechanik Blatt 1

Theoretische Physik I Mechanik Blatt 1 PD Dr. S. Mertens S. Falkner, S. Mingramm Theoretische Physik I Mechanik Blatt 1 WS 27/28 8. 1. 27 1. Parabelbahn. Ein Punkt bewege sich auf der Kurve, die durch die Gleichung y 2 = 4ax + 4a 2 a > beschrieben

Mehr

3 Kraft als Vektorfeld

3 Kraft als Vektorfeld 3 Kraft als Vektorfeld 3.1 Der Kraftvektor In2Doder3DwirddieKraftdurcheinenVektorFbeschrieben, derihrerichtung anzeigt. Wie der Ortsvektor r, so läßt sich auch der Kraftvektor F in Komponenten zerlegen,

Mehr

Blatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag

Blatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik T) im SoSe 20 Blatt 0. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Aufgabe 0.. Hamilton-Formalismus

Mehr

Lösung 10 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16

Lösung 10 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16 Karlsruher Institut für Technologie Institut für theoretische Festkörperphysik www.tfp.kit.edu ösung Klassische Theoretische Physik I WS 5/6 Prof. Dr. G. Schön Punkte Sebastian Zanker, Daniel endler Besprechung

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 29/ Vorlesung 9, Freitag vormittag Linienintegrale und Potential Wir betrachten einen Massenpunkt, auf den die konstante

Mehr

Divergenz und Rotation von Vektorfeldern

Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Mit Hilfe des Nabla-Operators können nun zwei weitere wichtige elementare Operationen definiert werden, welche formal der Bildung des Skalarproduktes bzw. des äußeren

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 11

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 11 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 11 Hausaufgaben Aufgabe 11.1 Berechnen Sie jeweils die Jacobi-Matrix folgender

Mehr

7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie

7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie 7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie Ausgearbeitet von Rolf Horn und Bernhard Schmitz 7.1 Einleitung Um die Hamilton schen Bewegungsgleichungen q k = H(q, p) p k ṗ k = H(p, q) q k zu vereinfachen, führten wir

Mehr

Dies ist nun eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit dem Randwertproblem x(t 0 ) = x 0 und x(t 1 ) = x 1.

Dies ist nun eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit dem Randwertproblem x(t 0 ) = x 0 und x(t 1 ) = x 1. Florian Niederreiter Karolina Stoiber Ferienkurs Analysis für Physiker SS 15 A 1 Variationsrechnung 1.1 Lagrange. Art Wir führen die Überlegungen von gestern fort und wollen nun die Lagrangegleichungen.

Mehr

Fallender Stein auf rotierender Erde

Fallender Stein auf rotierender Erde Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen

Mehr

10. Vorlesung Wintersemester

10. Vorlesung Wintersemester 10. Vorlesung Wintersemester 1 Existenz von Potentialen Für einimensionale Bewegungen unter er Einwirkung einer Kraft, ie nur vom Ort abhängt, existiert immer ein Potential, a man immer eine Stammfunktion

Mehr

Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag

Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 011 Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag Aufgabe 1.1. Schraubenlinie Die

Mehr

5.6 Potential eines Gradientenfelds.

5.6 Potential eines Gradientenfelds. die Zirkulation des Feldes v längs aufintegriert. 5.6 Potential eines Gradientenfelds. Die Ableitung einer skalaren Funktion ist der Gradient, ein Vektor bzw. vektorwertige Funktion (Vektorfeld). Wir untersuchen

Mehr

Definition 1.1 (Wirkung) Wir wollen die Kurvenverläufe x(t) finden, die das Funktional

Definition 1.1 (Wirkung) Wir wollen die Kurvenverläufe x(t) finden, die das Funktional Christina Schindler Karolina Stoiber Ferienkurs Analysis für Physiker SS 13 A 1 Variationsrechnung 1.1 Lagrange. Art Wir führen die Überlegungen von gestern fort und wollen nun die Lagrangegleichungen.

Mehr

2. Räumliche Bewegung

2. Räumliche Bewegung 2. Räumliche Bewegung Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM 3 1.2-1 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Punkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort

Mehr

3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten

3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten 3.3.5 Rechenregeln Für Skalarfelder f, g und Vektorfelder v, w gelten die Beziehungen fg) = f g + g f v w) = v ) w + w ) v + v w) + w v) f v) = f v + v f v w) = w v) v w) 3.5a) 3.5b) 3.5c) 3.5d) f) = div

Mehr

Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik

Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik Prof. Dr. H. Friedrich Physik-Department T3a Technische Universität München Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik Montag, 2.7.29 Hörsaal 1 1:15-11:5 Aufgabe 1 (8 Punkte) Geben Sie möglichst

Mehr

Kinetik des Massenpunktes

Kinetik des Massenpunktes Technische Mechanik II Kinetik des Massenpunktes Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes 2.

Mehr

2.3 Gekrümmte Oberflächen

2.3 Gekrümmte Oberflächen 2.3 Gekrümmte Oberflächen Jede Fläche im R 3 besitzt eine zweidimensionale Parameterdarstellung, so dass die Punkte der Fläche durch r(u, u 2 ) = x(u, u 2 )ê x + y(u, u 2 )ê y + z(u, u 2 )ê z beschrieben

Mehr

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06 Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 25/6 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html 16. November 25 Übungsblatt Lösungsvorschlag 3 Aufgaben,

Mehr

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I...

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I... ................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 12: Integralsätze von Gauss und Stokes Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 12. Integralsätze 1 / 25 1 Gauss-scher Integralsatz

Mehr

\ ' \ \ I Vektorrechnung 1. 1 Einführung und Grunddefinitionen 1. 2 Das Skalarprodukt 3. 3 Komponentendaxsteilung eines Vektors 6

\ ' \ \ I Vektorrechnung 1. 1 Einführung und Grunddefinitionen 1. 2 Das Skalarprodukt 3. 3 Komponentendaxsteilung eines Vektors 6 r Inhaltsverzeichnis \ ' \ \ I I Vektorrechnung 1 1 Einführung und Grunddefinitionen 1 2 Das Skalarprodukt 3 3 Komponentendaxsteilung eines Vektors 6 4 Das Vektorprodukt (axialer Vektor) 9 5 Das Spatprodukt

Mehr

2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Physik A Universität Karlsruhe WS 2004/05

2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Physik A Universität Karlsruhe WS 2004/05 . Klausur zur Vorlesung Theoretische Physik A Universität Karlsruhe WS 004/05 Prof. Dr. Gerd Schön Dr. Matthias Eschrig Dauer: Stunden Gesamtpunktzahl: 30 Punkte + 5 Zusatzpunkte Hinweise: Beginnen Sie

Mehr

Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen

Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen 26. November 2008 Vektoren Vektoren sind bestimmt durch a) Betrag und b) Richtung Beispiel Darstellung in 3 Dimensionen: x k = y z Vektor in kartesischen

Mehr

Probestudium der Physik 2011/12

Probestudium der Physik 2011/12 Probestudium der Physik 2011/12 1 Schwingungen und Wellen: Einführung in die mathematischen Grundlagen 1.1 Die Sinus- und die Kosinusfunktion Die Sinusfunktion lässt sich genauso wie die Kosinusfunktion

Mehr

Kinematik des Massenpunktes

Kinematik des Massenpunktes Technische Mechanik II Kinematik des Massenpunktes Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes Eindimensionale

Mehr

Schwerkraft auf Erdoberfläche: r â r F à const im Bereich r da dort r à const gilt

Schwerkraft auf Erdoberfläche: r â r F à const im Bereich r da dort r à const gilt 2.4 Konservative Kräfte und Potential lap2/mewae/scr/kap2_4s5 30-0-02 Einige Begriffe: Begriff des Kraftfeldes: Def.: Kraftfeld: von Kraft-Wirkung erfüllter Raum. Darstellung: F r z.b. Gravitation: 2.

Mehr

Physikunterricht 11. Jahrgang P. HEINECKE.

Physikunterricht 11. Jahrgang P. HEINECKE. Physikunterricht 11. Jahrgang P. HEINECKE Hannover, Juli 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik 3 1.1 Gleichförmige Bewegung.................................. 3 1.2 Gleichmäßig

Mehr

Vorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 UMIT. Einleitung

Vorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 UMIT. Einleitung Vorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 Dr. Leonhard Wieser UMIT Einleitung Begriff Vektoranalysis: Kombination aus Linearer Algebra/Vektorrechnung mit Differential- und Integralrechnung Inhaltsangabe:

Mehr

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe13 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de 3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übung 3.1:

Mehr

Kurzzusammenfassung Physik I (Vorlesung und Ergänzung) Wintersemester 2005/06, Teil I. Übersicht

Kurzzusammenfassung Physik I (Vorlesung und Ergänzung) Wintersemester 2005/06, Teil I. Übersicht Kurzzusammenfassung Physik I (Vorlesung und Ergänzung) Wintersemester 2005/06, Teil I Übersicht Messungen, Einheiten (1) Mathematische Grundlagen (3, E1, E2, E4, E5) Kinematik von Punktteilchen (2+4, E2,

Mehr

Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: , Abgabe am )

Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: , Abgabe am ) Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: 14.09.11, Abgabe am 1.09.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.

Mehr

Serie 9: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum

Serie 9: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum : Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum Bemerkung: Die Aufgaben der sind der Fokus der Übungsstunden vom 6./8. April.. Überprüfung des Satzes von Green Der Satz von Green besagt

Mehr

10. und 11. Vorlesung Sommersemester

10. und 11. Vorlesung Sommersemester 10. und 11. Vorlesung Sommersemester 1 Die Legendre-Transformation 1.1 Noch einmal mit mehr Details Diese Ableitung wirkt einfach, ist aber in dieser Form sicher nicht so leicht verständlich. Deswegen

Mehr

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 01. Dezember 2016 HSD. Physik. Impuls

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 01. Dezember 2016 HSD. Physik. Impuls Physik Impuls Impuls Träge Masse in Bewegung Nach dem 1. Newton schen Gesetz fliegt ein kräftefreier Körper immer weiter gradeaus. Je größer die träge Masse desto größer setzt sie einer Beschleunigung

Mehr

II. Grundlagen der Mechanik

II. Grundlagen der Mechanik II. Grundlagen der Mechanik 1. Bewegung eines Massenpunktes 1.1. Geschwindigkeit und Bewegung Die Mechanik beschreibt, wie sich massive Körper unter dem Einfluss von Kräften in Raum und Zeit bewegen. Eine

Mehr

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 22. Dezember 2016 HSD. Physik. Schwingungen

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 22. Dezember 2016 HSD. Physik. Schwingungen Physik Schwingungen Zusammenfassung Mechanik Physik Mathe Einheiten Bewegung Bewegung 3d Newtons Gesetze Energie Gravitation Rotation Impuls Ableitung, Integration Vektoren Skalarprodukt Gradient Kreuzprodukt

Mehr

Probeklausur PHYS1100 Grundkurs I (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Probeklausur PHYS1100 Grundkurs I (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) CURANDO Probeklausur PHYS1100 Grundkurs I (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de) 30. 11. 005 Prüfungstermin 30. 11. 005, 13:15 bis 14:00 Name Vorname Matrikel-Nummer

Mehr

1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle

1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als

Mehr

Kapitel 3. Koordinatensysteme

Kapitel 3. Koordinatensysteme Kapitel 3 Koordinatensysteme Bisher haben wir uns bei der Beschreibung von Vektoren auf das kartesische Koordinatensystem konzentriert. Für viele physikalische Anwendungen sind aber kartesische Koordinaten

Mehr

Analysis II für Ingenieure Übersicht: Integration. 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld

Analysis II für Ingenieure Übersicht: Integration. 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld Analysis II für Ingenieure Übersicht: Integration 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld 1.1 erechnung c f ds = b a f ( c(t) ) c(t) dt 1. Kurve c parametrisieren: c : [a, b] R n, t c(t). 2. c(t) und dann

Mehr

"Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab"

Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab V4.2 - V4.3: Integralsätze der Vektoranalysis [Notation in diesem Kapitel: Vorausschau/Überblick: alle Indizes unten!] "Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab" Hauptsatz

Mehr

Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06

Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06 Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06 Dörte Hansen Seminar 4 1 Bemerkungen zu Potential, Energiesatz und Drehimpuls In diesem Abschnitt sollen noch einmal einige wichtige

Mehr

Andreas Brenneis; Rebecca Saive; Felicitas Thorne. Mechanik 28./

Andreas Brenneis; Rebecca Saive; Felicitas Thorne. Mechanik 28./ TU München Experimentalphysik 1 DVP Vorbereitungskurs Andreas Brenneis; Rebecca Saive; Felicitas Thorne Mechanik 28./29.07.2008 Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik 2 1.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung....................

Mehr

Theoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik

Theoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik Theoretische Physik I: Lösungen Blatt 2 15.10.2012 Michael Czopnik Aufgabe 1: Scheinkräfte Nutze Zylinderkoordinaten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z Zweimaliges differenzieren ergibt: ẍ = r cos ϕ 2ṙ ϕ sin

Mehr

Klassische Theoretische Physik I WS 2013/2014

Klassische Theoretische Physik I WS 2013/2014 Karlsruher Institut für Technologie www.tkm.kit.edu/lehre/ Klassische Theoretische Physik I WS 13/14 Prof. Dr. J. Schmalian Blatt 9, 1 Bonuspunkte Dr. P. P. Orth Abgabe und Besprechung 1.1.14 1. Kollision

Mehr

E1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6

E1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6 Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik E1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6 WS 214 / 215 Prof. Dr. Hermann Gaub Aufgabe 1 Zwei Kugeln der gleichen Masse mit den Geschwindigkeiten

Mehr

Abbildung 14: Ein Vektorfeld im R 2

Abbildung 14: Ein Vektorfeld im R 2 Vektoranalysis 54 Vektoranalysis Wir wollen nun Vektorfelder betrachten. Es sei U R n. Ein Vektorfeld im R n ist eine Abbildung v : U R n, die jedem Punkt x ihres sbereichs U einen Vektor v(x) zuordnet.

Mehr

Physik für Biologen und Zahnmediziner

Physik für Biologen und Zahnmediziner Physik für Biologen und Zahnmediziner Kapitel 3: Dynamik und Kräfte Dr. Daniel Bick 09. November 2016 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 09. November 2016 1 / 25 Übersicht 1 Wiederholung

Mehr

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Aufgabe Punkte

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Aufgabe Punkte T1: Klassische Mechanik, SoSe007 Prof. Dr. Jan von Delft Theresienstr. 37, Zi. 40 Dr. Vitaly N. Golovach vitaly.golovach@physik.lmu.de Nachholklausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 007 (8.

Mehr

Technische Mechanik 3

Technische Mechanik 3 Technische Mechanik 3 2. Kinematik eines Massenpunktes 2.1. Grundbegriffe, kartesische Koordinaten 2.2. Geradlinige Bewegung 2.3. Ebene Bewegung, Polarkoordinaten 2.4. räumliche Bewegung, natürliche Koordinaten

Mehr

5. Vorlesung Wintersemester

5. Vorlesung Wintersemester 5. Vorlesung Wintersemester 1 Bewegung mit Stokes scher Reibung Ein dritter Weg, die Bewegungsgleichung bei Stokes scher Reibung zu lösen, ist die 1.1 Separation der Variablen m v = αv (1) Diese Methode

Mehr

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 24. November 2016 HSD. Physik. Rotation

Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 24. November 2016 HSD. Physik. Rotation Physik Rotation Schwerpunkt Schwerpunkt Bewegungen, Beschleunigungen und Kräfte können so berechnet werden, als würden Sie an einem einzigen Punkt des Objektes angreifen. Bei einem Körper mit homogener

Mehr

Aufgabe Summe max. P Punkte

Aufgabe Summe max. P Punkte Klausur Theoretische Elektrotechnik TET Probeklausur xx.xx.206 Name Matr.-Nr. Vorname Note Aufgabe 2 3 4 5 6 7 Summe max. P. 5 0 5 5 5 5 5 00 Punkte Allgemeine Hinweise: Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner,

Mehr

Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Differentialgleichungen Viele physikalische Probleme können mathematisch als gewöhnliche Differentialgleichungen formuliert werden nur eine unabhängige Variable (meist t), z.b. Bewegungsgleichungen: gleichmäßig

Mehr

(Gaußscher Integralsatz)

(Gaußscher Integralsatz) Der Gaußsche Integralsatz Beim Oberflächenintegral O F n da beschreibt der Integrand den senkrechten Durchsatz des Vektorfeldes durch das Flächenelement da. Insgesamt liefert das Integral über eine geschlossene

Mehr

Integralrechnung für GLET

Integralrechnung für GLET Freitagsrunden Tech Talk November 2, 2012 1 Grundlagen Rechenregeln für Integrale 2 Mehrdimensionale Integrale Flächenintegrale Volumenintegrale Lösbar? 3 Kugel- und Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten

Mehr

4.2 Der Harmonische Oszillator

4.2 Der Harmonische Oszillator Dieter Suter - 208 - Physik B3, SS03 4.2 Der Harmonische Oszillator 4.2.1 Harmonische Schwingungen Die Zeitabhängigkeit einer allgemeinen Schwingung ist beliebig, abgesehen von der Periodizität. Die mathematische

Mehr

Aufgabe 1: Senkrechtkomponente [8] GegebensinddieVektoren a = (1,2,3) und b = (3,1,2). BerechnenSiedieKomponente a von a,die auf b senkrecht steht.

Aufgabe 1: Senkrechtkomponente [8] GegebensinddieVektoren a = (1,2,3) und b = (3,1,2). BerechnenSiedieKomponente a von a,die auf b senkrecht steht. Aufgabe 1: Senkrechtkomponente [8] GegebensinddieVektoren a = (1,2,3) und b = (3,1,2). BerechnenSiedieKomponente a von a,die auf b senkrecht steht. Aufgabe 2: ǫ Tensor [6] Gegeben sind die Vektoren a =

Mehr

Theoretische Mechanik

Theoretische Mechanik Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. Schumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Sommersemester 2008 Theoretische Mechanik 9. Übung 9.1 d alembertsches Prinzip: Flaschenzug Wir betrachten

Mehr

Dynamik des Massenpunktes

Dynamik des Massenpunktes Dynamik des Massenpunktes Dynamik: Beschreibt die Bewegung von Körpern unter Berücksichtigung der auf die Körper wirkenden Kräfte. Damit versucht die Dynamik, Ursachen für die Bewegung von Körpern zu beschreiben.

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 4 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Zwei Kugeln und der Satz von Steiner Nehmen Sie zwei Kugeln mit identischem Radius R und

Mehr

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer:

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 12/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Nachklausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2008 (1. Oktober

Mehr

ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.

ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden. 1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.

Mehr

Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze

Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze Symmetrie (Physik) (aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie) Symmetrie ist ein grundlegendes Konzept der

Mehr

Theoretische Physik 1, Mechanik

Theoretische Physik 1, Mechanik Theoretische Physik 1, Mechanik Harald Friedrich, Technische Universität München Sommersemester 2009 Mathematische Ergänzungen Vektoren und Tensoren Partielle Ableitungen, Nabla-Operator Physikalische

Mehr

Blatt 03.1: Scheinkräfte

Blatt 03.1: Scheinkräfte Fakultät für Physik T1: Klassische Mechanik, SoSe 2016 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_16/t1_theor_mechanik/

Mehr

1.4 Gradient, Divergenz und Rotation

1.4 Gradient, Divergenz und Rotation .4 Gradient, Divergenz und Rotation 5.4 Gradient, Divergenz und Rotation Die Begriffe Gradient, Divergenz und Rotation erfordern die partiellen Ableitung aus Abschnitt.. sowie das Konzept des Differentialoperators.

Mehr

Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik

Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik Fachschaft Physik Stand: Mai 27 Liebe Physik-Studis, hier haltet ihr die Klausursammlung für das Modul Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik

Mehr

1 Drehimpuls und Drehmoment

1 Drehimpuls und Drehmoment 1 Drehimpuls und Drehmoment Die Rotationsbewegung spielt in der Natur von der Ebene der Elementarteilchen bis zu den Strukturen des Universums eine eine bedeutende Rolle. Einige Beispiele sind 1. Spin

Mehr

Experimentalphysik I: Mechanik

Experimentalphysik I: Mechanik Ferienkurs Experimentalphysik I: Mechanik Wintersemester 15/16 Probeklausur - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1. Wilhelm Tell (13 Punkte) Wilhelm Tell will mit einem Pfeil (m

Mehr

Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016

Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt 12. PD

Mehr

Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler

Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler Formelsammlung: Physik I für Naturwissenschaftler 1 Was ist Physik? Stand: 24. Januar 213 Physikalische Größe X = Zahl [X] Einheit SI-Basiseinheiten Mechanik Zeit [t] = 1 s Länge [x] = 1 m Masse [m] =

Mehr

1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor

1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor Thema: Vektoranalysis Studiengang: PT/LOT Analysis III Serie 3 Semester: WS 1/11 1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor

Mehr

Betrachtet man einen starren Körper so stellt man insgesamt sechs Freiheitsgrade der Bewegung

Betrachtet man einen starren Körper so stellt man insgesamt sechs Freiheitsgrade der Bewegung Die Mechanik besteht aus drei Teilgebieten: Kinetik: Bewegungsvorgänge (Translation, Rotation) Statik: Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften Dynamik: Kräfte als Ursache von Bewegungen Die Mechanik

Mehr

Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW)

Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW) Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (5. KW) 5. Übung (5. KW) Aufgabe 1 (Achterbahn) Start v h 1 25 m h 2 2 m Ziel v 2? v 1 Welche Geschwindigkeit erreicht die Achterbahn in der Abbildung, wenn deren

Mehr

2 Lagrange sche Bewegungsgleichungen

2 Lagrange sche Bewegungsgleichungen 2 Lagrange sche Bewegungsgleichungen Ausgearbeitet von Christine Cronjäger, Klaus Grambach und Ulrike Wacker 2.1 Zwangsbedingungen: Zwangsbedingungen schränken die 3 Freiheitsgrade des Teilchens ein. Unterwirft

Mehr

Musterlösungen. Theoretische Physik I: Klassische Mechanik

Musterlösungen. Theoretische Physik I: Klassische Mechanik Blatt 1 4.01.013 Musterlösungen Theoretische Physik I: Klassische Mechanik Prof. Dr. G. Alber MSc Nenad Balanesković Hamilton-Funktion 1. Betrachten Sie zwei Massenpunktem 1 undm die sich gemäß dem Newtonschen

Mehr

2. Vorlesung Wintersemester

2. Vorlesung Wintersemester 2. Vorlesung Wintersemester 1 Mechanik von Punktteilchen Ein Punktteilchen ist eine Abstraktion. In der Natur gibt es zwar Elementarteilchen (Elektronen, Neutrinos, usw.), von denen bisher keine Ausdehnung

Mehr

2.1 Kinematik 2.2 Momentensatz 2.3 Arbeit und Energie. 2. Kreisbewegung. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-1

2.1 Kinematik 2.2 Momentensatz 2.3 Arbeit und Energie. 2. Kreisbewegung. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-1 2.1 inematik 2.2 Momentensatz 2.3 Arbeit und Energie 2. reisbewegung Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM 3.2-1 2.1 inematik Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit: Für den auf einer reisbahn

Mehr

$Id: kurven.tex,v /12/07 16:43:16 hk Exp hk $ 3.4 Umparametrisierungen und Koordinatentransformation. F (r, φ, ψ) = cos 2 ψ φ +

$Id: kurven.tex,v /12/07 16:43:16 hk Exp hk $ 3.4 Umparametrisierungen und Koordinatentransformation. F (r, φ, ψ) = cos 2 ψ φ + Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Montag 7.2 $Id: kurven.tex,v.5 29/2/7 6:43:6 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.4 Umparametrisierungen und Koordinatentransformation Wir haben gesehen wie man beide Arten von

Mehr