Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

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1 Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 10. Juni 2014

2 Table of Contents 1 2

3 Äquivalenz Der Begriff der Äquivalenz verallgemeinert den Begriff der Gleichheit. Er beinhaltet in einem zu präzisierenden Sinn Gleichheit unter einem Bestimmten Aspekt.

4 Beispiel Stellen wir uns eine Schachtel mit bunten Glaskugeln verschiedener Größe vor. Wir können die Glaskugeln nun nach ihrer Größe sortieren, indem wir alle Kugeln gleicher Größe in jeweils eine Schachtel einsortieren. Wir können die Glaskugeln auch nach ihrer Farbe sortieren, indem wir alle Kugeln gleicher Farbe in jeweils eine Schachtel einsortieren. Wir können die Glaskugeln auch sowohl nach Farbe und Größe sortieren. Alle drei Sortierungen fasst Kugeln unter anderen Aspekten (Größe, Farbe,... ) der Gleichheit zusammen.

5 Äquivalenz Definition (Äquivalenzrelation) Eine zweistellige Relation R A A heißt Äquivalenzrelation auf A genau dann, wenn R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. Jede reflexive, transitive und symmetrische Relation R A A ist immer auch eine Äquivalenzrelation auf A. Somit ist Id A immer eine Äquivalenzrelation auf A. Statt R(a, b) schreibt man für meistens in Infixnotation a R b oder einfach a b, falls R aus dem Zusammenhang klar ist.

6 Beispiele I 1 Es sei f : A B eine beliebige Funktion. Dann wird durch a 1 a 2 : f (a 1 ) = f (a 2 ) eine Äquivalenzrelation auf a definiert. Die Äquivalenzrelation f heißt die durch die Abbildung f induzierte Äquivalenzrelation. Wir werden unten sehen, dass jede Äquivalenzrelation bei geeigneter Betrachtungsweise durch eine passende Abbildung induziert ist. 2 Es sei 0 n eine natürliche Zahl. Die Relation R, die auf zwei natürliche Zahlen k und l zutrifft genau dann, wenn beide beim Teilen durch n den selben Rest lassen, ist eine Äquivalenzrelation.

7 Beispiele II 3 Es sei M eine Menge von berufstätigen Personen. Die Relation R die besagt, dass zwei Personen dieselbe Steuerklasse haben, ist eine Äquivalenzrelation. 4 Es sei M die Menge von Schülern und Schülerinnen. Die Relation R, die besagt, dass zwei Elemente von M in dieselbe Klasse gehen, ist einen Äquivalenzrelation. 5 Die leere Relation ist eine Äquivalenzrelation auf der leeren Menge. Es ist die einzige Äquivalenzrelation auf dieser Menge. 6 Für jede Menge M ist stets M M eine Äquivalenzrelation auf M.

8 Klassen Beim Arbeiten mit ist es oftmals zweckmäßig, die Mengen paarweiser, äquivalenter Objekte zusammenzufassen. Am Beispiel der Schul- und Steuerklassen kann man sich dieses Vorgehen verdeutlichen. Personen die nach diesen gleich sind, werden in speziell benannte Klassen zusammengefasst (Steuerklasse I, Steuerklasse II,..., Klasse 1a, 1b,... ).

9 Äquivalenzklassen Definition (Äquivalenzklasse) Sei R A A eine Äquivalenzrelation. Für jedes a A wird die Menge {b A b R a} die Äquivalenzklasse von a bezüglich R (oder modulo R) genannt und kurz als [a] R notiert. Die Menge {[a] R a A} aller Äquivalenzklassen modulo R (oder die Quotientenmenge von A modulo R) wird mit A/R oder A/ R notiert. Wenn die Relation aus dem Zusammenhang klar ist, schreibt man einfacher [a] und A/ anstatt [a] R und R/ R.

10 Repräsentanten Definition (Repräsentanten) Sei R A A eine Äquivalenzrelation. Jedes Element b [a] heißt Vertreter oder Repräsentant der Äquivalenzklasse [a]. Eine Menge V A heißt Vertretersystem oder Repräsentantensystem bezüglich R genau dann, wenn V aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element enthält. Es gilt also: 1 a A v V : a v 2 w, v V : (v w [v] [w]

11 Lemma Lemma Es sei R A A eine Äquivalenzrelation und a, b A. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) [a] = [b] (b) a b (c) b a (d) a [b] (e) b [a]

12 Beweis Hier wird nun exemplarisch die Äquivalenz von (a) und (b) gezeigt. Falls [a] = [b] gilt, so folgt a [a] = [b] wegen der Reflexivität von R. Aus a [b] folgt nun a b. Es gelte nun umgekehrt a b. Da R symmetrisch ist, gilt ebenfalls b a. Es sei nun c [a]. Dann gilt c a. Aus der Transitivität von R folgt nun auch c b und damit auch c [b]. Es gilt also [a] [b] und mit der selben Argumentation umgekehrt natürlich auch [b] [a]. Somit gilt insgesamt [a] = [b].

13 Kanonische Abbildungen Definition (kanonische Abbildung) Die Funktion κ : A A/ ; a [a] wird die kanonische Abbildung von A auf die Quotientenmenge A/ bezeichnet. Das Lemma der Äquivalenzklassen zeigt, dass a b gilt genau dann, wenn κ(a) = κ(b). Jede Äquivalenzrelation ist damit induziert (im Sinn vom Beispiel Nr. 1) durch die zugehörige kanonische Abbildung von κ.

14 Partitionen und Lemma Es sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge A. Dann ist Π := A/ R eine Partition von A. Ist Umgekehrt Π eine Partition der Menge A, dann wird durch a Π b : B Π : a, b B eine Äquivalenzrelation auf A definiert und es gilt A/ Π = Π. Diese Lemma zeigt, dass und Partitionen zwei unterschiedliche Formalisierungen derselben Situation darstellen.

15 Beweis I Zum Beweis des Lemmas, müssen wir zeigen, dass Π := A/ R die drei Eigenschaften von Partitionen besitzt. 1 Alle Elemente von Π sind nichtleere Teilmenge von Π. 2 Die Vereinigung über alle Elemente von Π ist A. 3 Alle Elemente von Π sind paarweise disjunkt.

16 Beweis II 1 Offensichtlich sind alle Mengen [a] A/ R nichtleer für jedes a A, da stets a [a] aufgrund der Reflexivität von gilt. Aus der Definition der Menge [a] ergibt sich sofort, dass stets [a] eine Teilmenge von A ist. 2 Aus (1) folgt leicht A/ R = {[a] a A} A Ist a A, so gilt wegen der Reflexivität von stets a [a] A/ R, damit gilt aber gemäß der Definition der Vereinigung auch a A/ R. Damit ist die Gleichheit von A/ R und A gezeigt. 3 Für [a] [b] sind die Mengen [a] und [b] disjunkt. Falls c [a] [b], folgt mit c a und c b. Da symmetrisch und transitiv ist, folgt a c und a b. Somit gilt [a] = [b] nach dem Lemma.

17 Beispiel I Die Menge A = {1, 2, 3, 4} besitzt (unter anderem) die Partition Π = {{1, 2}, {3, 4}}. Die korrespondierende Äquivalenzrelation Π ist in der Abbildung in der Mitte durch Pfeile dargestellt. Es fällt auf, dass innerhalb einer Äquivalenzklasse je zwei Elemente immer durch Pfeile verbunden sind, Elemente verschiedener Äquivalenzklassen hingegen nie.

18 Beispiel II Die Äquivalenzklassen von Π sind genau die Elemente von Π [1] = [2] = {1, 2} mit den möglichen Vertretern 1 und 2, sowie [3] = [4] = {3, 4} mit den möglichen Vertretern 3 und 4. Es gibt genau 4 mögliche Vertretersysteme, nämlich {1, 3}, {1, 4}, {2, 3} und {2, 4}. Die Quotientenmenge A/ Π besitzt lediglich zwei Elemente A Π = {[1], [3]}. Die kanonische Abbildung κ ist durch die grauen Pfeile angedeutet.

19 Verfeinerungen Definition (Verfeinerung) Es seien R und S zwei auf A. Dann heißt S eine Verfeinerung von R genau dann, wenn jede Äquivalenzklasse bezüglich S in der entsprechenden Äquivalenzklasse bezüglich R enthalten ist. a A : [a] S [a] R Für das Beispiel mit den farbigen Glaskugeln wäre die Sortierung nach Größe und Farbe eine Verfeinerung der Sortierung nur nach Farbe.

20 Beispiel In nachfolgender Illustration ist die durch dunkle Schattierungen dargestellte Äquivalenzrelation (Partition) eine Verfeinerung der durch die hellen Schattierungen angedeuteten Äquivalenzrelation. Somit stellen die hellen Schattierungen die Sortierung nach Farbe dar. Die dunklen Schattierungen die Sortierung nach Farbe und Größe.

21 Verfeinerungen mit Komposition Seien f : A B und g : B C Funktionen. Die f und f g seien a f b : f (a 1 ) = f (a 2 ) a f g : f (g(a 1 )) = f (g(a 2 )) definiert. Dann ist f einen Verfeinerung von f g.

22 Lemma Lemma Für jeden Index i der nichtleeren Indexmenge I sei R i eine Äquivalenzrelation auf der Menge A. Dann ist auch der Durchschnitt i I R i wieder eine Äquivalenzrelation auf A. Für jedes j I ist i I R i eine Verfeinerung von R j.

23 Beispiel Folgende Abbildung visualisiert das Lemma. Abgebildet sind zwei auf der Menge {a, b, c,..., s, t} und die Verfeinerung, die durch den Schnitt der beiden Relationen entsteht. Wenn sich die Äquivalenzklassen geometrisch durch Durchführen bestimmter Schnitte ergeben, so ergibt sich der Durchschnitt der durch durchführen aller Schnitte beider Teilrelationen.

24 Beweis Jede der Relationen R i ist per Definition reflexiv, transitiv und symmetrisch. Da reflexive, transitive und symmetrische Relationen über die Durchschnittsbildung abgeschlossen sind 1, ist auch i I Ri reflexiv, transitiv und symmetrisch. Also ist i I Ri wiederum eine Äquivalenzrelation. Sei nun a [a] und j I. Aus a i I R b folgt a i Rj b. Damit gilt [a] i I R i [a] Rj und somit ist i I R i eine Verfeinerung von R j 1 vergleiche dazu das Lemma zur Abgeschlossenheit von den letzten Folien

25 Verallgemeinerung des Lemmas Lemma Für jeden Index i der nichtleeren Indexmenge I sei R i eine Äquivalenzrelation auf der Menge A. Es gilt. a A : [a] i I R i = i I[a] Ri

26 Vereinigung von Lemma Die Vereinigung zweier R 1 und R 2 auf derselben Menge A ist im allgemeinen keine Äquivalenzrelation, aber stets symmetrisch und reflexiv. Beweis: Sei A = {1, 2, 3}. S 1 sei eine Äquivalenzrelation, die durch die Partition {{1, 2}, {3}} definiert ist. S 2 sei eine Äquivalenzrelation, die durch die Partition {{1}, {2, 3}} definiert ist. Die Vereinigung von S 1 S 2 enthält genau die Paare { 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 2 }. Nicht jedoch 1, 3. Somit ist die Vereinigung nicht reflexiv. Die Vereinigung zwei beliebiger R 1 und R 2 ist offenkundig stets symmetrisch und reflexiv.

27 Table of Contents 1 2

28 tl;dr sind reflexive, transitive und symmetrische zweistellige Relationen auf einer Menge. Äquivalenzklassen sind Mengen, die alle Elemente zusammenfassen, die bezüglich einer Äquivalenzrelation gleich sind. Die Quotientenmenge einer Äquivalenzrelation ist die Menge aller Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. und Partitionsmengen sind unterschiedliche Formalismen für die gleiche Sache.

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