Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 2010/2011. Mathematik. 14. Juni :00 Uhr

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1 Ministerium ür Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüung zum Erwerb der Fachhochschulreie im Schuljahr / Mathematik. Juni 9: Uhr

2 Mathematik - Lösungseemplar. Augabe Dierential- und Integralrechnung Gegeben ist die ganzrationale Funktion mit Ihr Graph sei G. () + ; R. a) Zeigen Sie, dass der Graph G die -Achse in genau einem Punkt schneidet und in einem weiteren Punkt die - Achse berührt. Geben Sie die Koordinaten der beiden Punkte an. b) Ermitteln Sie die Koordinaten der Hoch-, Tie- und Wendepunkte. Zeigen Sie, dass die Etrempunkte und der Wendepunkt von au einer Geraden g liegen. c) Zeichnen Sie den Graphen G und die Gerade g in ein kartesisches Koordinatensystem im Intervall mit 5. d) Der Graph G und die Gerade g mit der Gleichung y schließen zwei Flächenstücke vollständig ein. Berechnen Sie das Verhältnis der Maßzahlen der Flächeninhalte dieser beiden Flächen. e) Eine weitere Gerade h verläut parallel zur Geraden g und schneidet den Graphen G bei. Bestimmen Sie einen Funktionsterm ür h. Augabenteil a) b) c) d) e) Summe Punkte 5 5 Mathematik Zentrale Fachhochschulreieprüung Seite von Schuljahr /

3 Mathematik - Lösungseemplar Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) Nullstellen: + ( ) ( + ); / und Doppelte Nullstelle bei / berührt die -Achse. (kann auch bei Augabe b) als Etrempunkt erkannt werden) N / ( ) Einache Nullstelle bei schneidet die -Achse. N (- ) b) () + () + () Etrempunkte: + ; E ; E () > TP; () < T( -) und H( ) HP 5 Wendepunkt: + ; () W( -) W Gerade g: g() Bildung über zwei Punkte, Punktprobe mit dem. Punkt Mathematik Zentrale Fachhochschulreieprüung Seite von Schuljahr /

4 Mathematik - Lösungseemplar Teil Erwartete Teilleistung Pkt. c) d) A A (g() ())d ( + )d + (() g())d ( + )d + (oder über Beträge) A A e) Gerade h : h () + mit m m und N( ) g h Summe 5 Mathematik Zentrale Fachhochschulreieprüung Seite von Schuljahr /

5 Mathematik - Lösungseemplar. Augabe Zahlenolgen Das BAöG ist eine staatliche Geldleistung zur Studieninanzierung, die zur Hälte als Zuschuss und zur anderen Hälte als zinsloses Darlehen gewährt wird. Die Höhe der Rückzahlungssumme kann um einen Rabatt von 7,5 % gekürzt werden, wenn die Rückzahlung in einem Betrag erolgt. Klaus hat während seiner Studienzeit von,5 Jahren insgesamt BAöG in Höhe von., erhalten. a) Berechnen Sie den durchschnittlichen monatlichen BAöG-Betrag, den Klaus erhielt. b) Klaus möchte 5 die Darlehensschuld aus der BAöG-Förderung in einem Betrag tilgen. Wie hoch ist diese Schuld aus der BAöG-Förderung und welcher Rückzahlungsbetrag ist unter Berücksichtigung des Rabatts zu erstatten? c) Klaus wird beim Ansparen des Rückzahlungsbetrages (9.5, ) von seinen Eltern und Großeltern unterstützt. Wie hoch sind die Erträge aus den nacholgenden Anlagen, über die Klaus jeweils zum Jahresende verügen kann? Anlage Anlage Anlage Die Großeltern haben einen Einmalbetrag von., mit einem Zinssatz von p,75 % p.a. als Festgeld mit einer Lauzeit von Jahren angelegt. Die Eltern von Klaus zahlen über acht Jahre in einen Sparplan jeweils zum Jahresbeginn eine Rate von, ein. Die Einlagen werden mit p,55 % p.a. vorschüssig verzinst. Klaus hat zum.. einen Betrag von, in einen Sparvertrag eíngezahlt. Ab dem.. zahlt er über 5 Jahre zum Jahresende eine Rate in Höhe von, in den bestehenden Vertrag ein. Die Verzinsung erolgt mit p,75 % p.a. nachschüssig. Reichen die Erträge insgesamt aus, um den Rückzahlungsbetrag begleichen zu können? Ermitteln Sie gegebenenalls den Dierenzbetrag. d) Berechnen Sie ür die Anlage, welcher Zinssatz p anzusetzen ist, um bei gleichem Anangskapital und gleicher Lauzeit einen Endbetrag von.5, erzielen zu können. Augabenteil a) b) c) d) Summe Punkte Mathematik Zentrale Fachhochschulreieprüung Seite 5 von Schuljahr /

6 Mathematik - Lösungseemplar Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) Durchschnittlicher monatlicher BAöG-Betrag., B 56,,5 Klaus erhielt je Monat durchschnittlich 56, BAöG. b) Schuld und tatsächlicher Rückzahlungsbetrag. S 5., p % - 7,5 % 6,5 % R 5.,,65 9.5, Die Schuld in Höhe von 5., ist durch den Rabatt nur in Höhe von 9.5, zu tilgen. c) Erträge der Anlagen - Anlage K K q mit q,75 K.,,75.6, Ertrag.6, Anlage,,55 (,55 ) K.,6 Ertrag.,6,55 Anlage 5 7, (,75 ) K 7,, ,5,75 Ertrag.97,5 Die Summe der Erträge aus den Anlagen beträgt 9.9,9. Zur Begleichung des Rückzahlungsbetrages ehlen noch,7. d) Zinssatz p ermitteln.5,., q.5, q., q, (negativer Wert entällt) p q + ; p (q ) % % p, % Die Anlage der Großeltern hätte mit einem Zinssatz von p, % p.a. verzinst werden müssen. Summe Mathematik Zentrale Fachhochschulreieprüung Seite 6 von Schuljahr /

7 Mathematik - Lösungseemplar. Augabe Dierentialrechnung Vom Graphen G der Funktion ist bekannt, dass er durch den Koordinatenursprung verläut und mit T( ) einen Tiepunkt besitzt. Weiterhin liegen die Punkte P( ) und Q ( ) au dem Graphen. ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Die Ableitungsunktion der Funktion ist mit dem Graphen G. a) Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung ür. (zur Kontrolle: () + 6 ) b) Die Graphen der Funktion und ihrer Ableitungsunktion schneiden sich in mehreren Punkten. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Schnittpunkte. c) Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen der Ableitungsunktion G und geben Sie eine Funktionsgleichung ür die zugehörige Wendetangente an. Augabenteil a) b) c) Summe Punkte 6 6 Mathematik Zentrale Fachhochschulreieprüung Seite 7 von Schuljahr /

8 Mathematik - Lösungseemplar Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) () a () a + b + b + c + d + e + c + d () () () ( ) () I II III IV V e a + b + c + d + e a + b + c + d a b + c d + e 6a + b + c + d + e b) Lösen das lineare Gleichungssystem durch ein geeignetes Verahren Ergebnis: () + 6 () () () z z z + 6 6z + 5,;,5; S (,9 777,9); S (,7,9); 6 6 6,9 ;,7 ; +,9,7 S (,9 6,); S (,7,9) 6 6 c) Koordinaten des Wendepunktes der Ableitungsunktion: ( ) + 6 ( ) + + ; ( ) ( ) W ( 6 ) Wendetangente: t() m + n ; m ( ) 6 ( ) + n; n t() Summe Mathematik Zentrale Fachhochschulreieprüung Seite von Schuljahr /

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