Aufgabe 1 (Exponentielles Wachstum, wird teilweise auch in Vorlesung besprochen, Teile a) bis c) sind exakt die Aufgaben von Blatt 2, Aufgabe 3))

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1 Formalisierungspropädeutikum Übungsblatt 3 Prof. Dr. Th. Augustin, Dr. R. Poellinger, C. Jansen, J. Plaß, G. Schollmeyer WiSe 2015/16 Aufgabe 1 (Exponentielles Wachstum, wird teilweise auch in Vorlesung besprochen, Teile a) bis c) sind exakt die Aufgaben von Blatt 2, Aufgabe 3)) Im Jahr 2015 leben auf der Erde ca. 7,336 Milliarden Menschen. Im Jahr 1990 waren es 5,32 Milliarden. a) Diskutieren Sie, ob Sie die Annahme eines exponentiellen Bevölkerungswachstums für ein sinnvolles/realistisches Modell der Realität halten. b) Unterstellen Sie nun einen Zusammenhang der Form f(x) := a b x. Bestimmen Sie die Parameter a und b derart, dass Ihr Modell für die vorhandenen Daten perfekt passt. c) Welche Bevölkerungsstärke prognostiziert Ihr Modell für das Jahr 2020? In welchem Jahr wäre, Ihrem Modell zufolge, eine Bevölkerungsstärke von 20 Milliarden Menschen erreicht? Diskutieren Sie die Grenzen des Modells. d) Folgende Tabelle zeigt nun weitere Weltbevölkerungszahlen von 1950 bis 2015: Jahr Weltbevölkerung in Milliarden Weiterhin sind die Weltbevölkerungszahlen in Abhängigkeit des Erhebungsjahres in einem Streudiagramm dargestellt und die unter c) berechnete exponentielle Funktion ist ebenfalls eingezeichnet. Besprechung: 9./12. Novemeber 2015 Seite 1

2 8, y = 5E-11e 0,0128x 7, 6, 5, Datenreihen1 4, Datenreihen2 3, 2, 1, 0, Die berechnete Exponentialfunktion passt perfekt zu den zwei Datenpunkten, aus denen sie berechnet wurde, jedoch weniger gut zu den restlichen Datenpunkten. Diskutieren Sie, wie man unter Zuhilfenahme aller Datenpunkte des Streudiagramms eine etwas besser passende Exponentialfunktion finden kann. e) Bei genauerer Analyse zeigt sich, dass keine Exponentialfunktion perfekt zu diesen Daten passt. Das beste was man in etwa erreichen kann ist in untenstehender Graphik dargestellt: Besprechung: 9./12. Novemeber 2015 Seite 2

3 9, y = 2E-14e 0,0168x 8, 7, 6, 5, 4, Datenreihen1 Expon. (Datenreihen1) 3, 2, 1, 0, Diskutieren Sie Gründe, warum ein exponentielles Wachstum in diesem Zusammenhang nur approximativ das wahre beobachtete Wachstum beschreiben kann. Aufgabe 2 (Lineare Regression) Folgende Tabelle und folgendes Streudiagramm zeigen dass durchschnittliche verfügbare Einkommen und die durchschnittlichen privaten Konsumausgaben (jeweils in 1000 Euro pro Einwohner) in Deutschland für die Jahre von 2005 bis Jahr Einkommen Konsum ,819 14, ,516 15, ,576 15, ,984 15, ,291 15, ,604 16, ,998 16, ,316 16, ,768 17, ,625 17, ,101 17, 690 Besprechung: 9./12. Novemeber 2015 Seite 3

4 a) Wie würden Sie den Zusammenhang zwischen Einkommen und Konsum, bei alleiniger Betrachtung des Streudiagramms, beschreiben? b) Erscheint Ihnen dieser Zusammenhang aus inhaltlicher Betrachtung plausibel? c) Versuchen Sie, mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine Regressionsgerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft, zu bestimmen. Aufgabe 3 (Mathematischer Hintergrund zum logistischen Wachstum, nur wenn die Zeit reicht) Gegeben sei die logistische Differentialgleichung Dabei beschreibe f(x) die Größe einer Population zum Zeitpunkt x. a) Wie kann man f (x) inhaltlich interpretieren b) Welche Rolle spielt der Term r(f(x)) inhaltlich? c) Betrachten Sie die logistische Funktion f (x) = (r 1 r 2 f(x)) f(x) (1) }{{} =:r(f(x)) f(x) = K [1 + (K/f 0 1) e rx ]. Versuchen Sie, den Verlauf dieser Funktion zu skizzieren. Hinweis: Die Größen K, x 0 und r (sowie r 1 und r 2 ) sind hier feste Konstanten mit einer einfachen Interpretation: f 0 ist die Größe der Population zum Zeitpunkt x = 0, K ist die Grösse der Population, wenn die Zeit gegen Unendlich geht und r ist ein Maß dafür, wie schnell die Population wächst. Besprechung: 9./12. Novemeber 2015 Seite 4

5 d) Zeigen Sie, dass die logistische Funktion f(x) = K [1 + (K/f 0 1) e rx ] die Differentialgleichung (1) erfüllt, falls r 1 = r und r 2 = r K gewählt werden. Berechnen Sie dazu f (x) und klammern Sie aus dem erhaltenen Ergebnis den Term f(x) aus. Berechnen Sie dann anschließend den Term r 1 r 2 f(x) und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem vorher bei der Ausklammerung von f(x) aus der Berechnung von f (x) übgriggebliebenen Teil. Besprechung: 9./12. Novemeber 2015 Seite 5