Inhalt. 1 Wachstum und Zerfall 6 2 Exponentialfunktionen 8

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2 Inhalt 1 Wachstum und Zerfall 6 2 Exponentialfunktionen 8 3 Anwendungsaufgaben 10 4 Logarithmusfunktionen 12 5 Rechnen mit Logarithmen 14 6 Exponentialgleichungen 16 7 Kreisfläche und Kreisumfang 18 8 Kreisausschnitt, Kreisbogen und Bogenmaß 20 9 Koordinatengeometrie mit Kreisen Anwendungsaufgaben Oberfläche und Rauminhalt von Prismen Zylinder, Kegel und Pyramide Volumen und Oberfläche der Kugel Anwendungsaufgaben Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck Sinus und Kosinus am Einheitskreis Beschreibung periodischer Vorgänge Allgemeine Sinusfunktion Trigonometrie im allgemeinen Dreieck Anwendungsaufgaben Binomialkoeffizienten und Zählverfahren Vierfeldertafeln Bedingte Wahrscheinlichkeit Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Sekante und Tangente 54

3 5 26 Steigungsverhalten von Funktionen Anwendungsaufgaben Nullstellenbestimmung Lösen von Gleichungssystemen 62 Test 1 zu Kapitel 1 bis 6 (Exponential- und Logarithmusfunktionen) 64 Test 2 zu Kapitel 7 bis 10 (Kreisberechnungen) 66 Test 3 zu Kapitel 11 bis 14 (Körperberechnungen) 68 Test 4 zu Kapitel 15 bis 20 (Trigonometrie) 70 Test 5 zu Kapitel 21 bis 23 (Wahrscheinlichkeiten) 72 Test 6 zu Kapitel 24 bis 28 (Verhalten ganzrationaler Funktionen) 74 Lösungen zu den Übungen 76 Lösungen zu den Tests 115 Stichwortverzeichnis 126

4 6 1 Wachstum und Zerfall Wächst (fällt) bei einem Wachstumsvorgang der Funktionswert von einem Schritt zum nächsten immer um denselben Summanden (die Wachstumsrate/Zerfallsrate), so spricht man von linearem Wachstum ( linearem Zerfall). Der Graph einer linearen Wachstums funktion (Zerfallsfunktion) ist eine Gerade. Wächst (fällt) bei einem Wachstumsvorgang der Funktionswert von einem Schritt zum nächsten immer um denselben Faktor, so spricht man von exponentiellem Wachstum ( exponentiellem Zerfall). Der Graph einer exponentiellen Wachstumsfunktion (Zerfallsfunktion) ist eine Exponentialfunktion. Eine 2 cm hohe Pflanze wächst monatlich um 1,5 cm. Dieses lineare Wachstum wird durch die Funktion y y f (x) = 1,5 x + 2 beschrieben. 9 f (x) = 1,5 x f (x) = 2 1,5 x + 1,5 Nach 4 Monaten ist die Pflanze 8 8 1, ,5 = 8 cm hoch ,5 7 Eine 2 m 2 große Seerosenfläche wächst jährlich um das ,5 1, ,5 fache. Dieses exponen tiel le ,5 1, Wachstum wird durch die ,5 Funktion f (x) = 2 1,5 x 2 2 beschrieben. Nach 4 Jahren sind x x , ,5 4 = 10,125 m 2 bedeckt Entscheide, um welche Wachstumsform es sich handelt. a) In ein zylindrisches Gefäß werden mehrfach jeweils 100 ml Flüssigkeit gegossen. b) Eine brennende Kerze wird stündlich 2 cm kürzer. c) Die Anzahl der Atomkerne eines radioaktiven Elements nimmt wöchentlich um 20 % ab. d) Der Druck nimmt pro Meter Wassertiefe um 2 bar zu. e) Die Verkaufszahlen verdoppelten sich von Monat zu Monat. f) Die Fläche eines Quadrats wächst mit der Seitenlänge. g) Ein Kapital wird mit jährlich 4 % verzinst. h) Der Winkel zwischen zwei Speichen wird mit der Anzahl der verwendeten Speichen immer kleiner.

5 7 2. Prüfe, ob die Tabellenwerte zu exponentiellem oder linearem Wachstum gehören können. a) x b) x y 6 13,5 1,5 9 y 2,25 2 } 3 5 0,44 c) x d) x y 4 0,5 3 2 y 8 0, } 8 3. Ergänze die fehlenden Werte. a) Lineares Wachstum: x ,5 y b) Linearer Zerfall: x ,5 y c) Exponentielles Wachstum: x y 0, d) Exponentieller Zerfall: x y 16 1 } Leonard bittet seine Großeltern um einen Zuschuss für eine Ferienreise, die in 14 Tagen starten soll. Seine Oma bietet an, ihm heute 2 zu zahlen und den Betrag bis zum Tourbeginn täglich um 2 zu erhöhen. Sein Opa schlägt dagegen vor, ihm heute 2 ct zu geben und den Betrag bis zum Tourbeginn jeweils täglich zu verdoppeln. Für welches Modell soll Leonard sich entscheiden? 5. Die Gefährlichkeit von Salmonellen liegt auch darin begründet, dass sie sich extrem schnell vermehren. Ihre Anzahl verdoppelt sich etwa täglich. a) Wie viele Salmonellen existieren nach 3 Tagen, wenn zu Beginn des ersten Tages Salmonellen aufgenommen wurden? b) Wie lange dauert es, bis die Millionengrenze überschritten wird?

6 8 2 Exponentialfunktionen Funktionen mit der Funktionsgleichung f (x) = b a x (a, b R mit a > 0 und a 1) heißen Exponentialfunktionen. Sie sind für alle reellen Zahlen definiert. Alle Exponentialfunktionen haben für b > 0 ausschließlich positive Werte und für b < 0 ausschließlich negative Werte. Der Graph einer Exponentialfunktion verläuft durch den Punkt (0 b) und ist für a > 1 steigend und für 0 < a < 1 fallend. Die Graphen der Funktionen f 1 (x) = b a x und f 2 (x) = b a x = b 1 1 _ a 2 x verlaufen symmetrisch zur y Achse. Funktionen vom Typ f (x) = b a x (b > 0) Dunkelblau: f 1 (x) = 2 2 x Hellblau: f 2 (x) = 2 2 x = _ 2 2 x (Diese Funktionen sind zueinander symmetrisch) Schwarz: f 3 (x) = 3 x Grün: f 4 (x) = 0,5 3 x Rot: f 5 (x) = _ 2 2 x = _ 3 2 x Die Funktionsgleichung zu den Graphen findet man durch Ablesen der Koordinaten von 2 Punkten und Einsetzen in die Funktionsgleichung y = b a x Für die rote Funktion: P (0 3) 3 = b a 0 3 = b 1 b = 3 und Q (1 2) 2 = b a 1 a = } 2 b = 2 } 3 f (x) = } 32 x y x 1. Fertige zu den Exponentialfunktionen eine Wertetabelle an. Zeichne anschließend die Graphen der Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. y = 2 x y = 1 3 _ 4 2 x y = 1,5 3 x y = Ï } 2 x y = 0,5 2,7 x

7 2. Bestimme die Gleichungen der abgebildeten Exponentialfunktionen. dunkelblau: f (x) = grün: f (x) = hellblau: f (x) = pink: f (x) = rot: f (x) = Bestimme die Gleichung einer Exponentialfunktion, die durch die beiden Punkte A und B verläuft. a) A ( 1 0,5); B (3 8) f (x) = y x 9 b) A _ 9 2 ; B (2 18) f (x) = c) A (1 1); B ( ) f (x) = d) A (3 3); B (2 1) f (x) = e) A (1 2,5); B ( 3 40) f (x) = f) A 1 1 _ ; B (2 128) f (x) = 4. Gib die Exponentialfunktionen in der Form a x an. a) f (x) = 3 2x = b) f (x) = 5 x = c) f (x) = 16 3_ 4 x = d) f (x) = 9 2,5x = 5. Löse die Gleichungen mithilfe der Graphen aus Aufgabe 2. Es genügen Näherungswerte. a) 1,5 2 x = 6 x = b) 4 x = 9 x = c) 0,5 x = 8 x = d) _ 3 2 x = 2 x = e) 2 2,5 x = 1 x =

8 10 Anwendungsaufgaben Anwendungsaufgaben zu exponentiellem Wachstum oder Zerfall führen auf Funktionen der Art f (x) = b a x. Der Parameter b = f (0) wird meistens als Start oder Anfangswert bezeichnet. Vom Parameter a ist abhängig, ob die Funktion ein exponentielles Wachstum oder einen exponentiellen Zerfall beschreibt. Ist a > 1 spricht man von einem Wachstumsfaktor, für 0 < a < 1 dagegen von einem Zerfallsfaktor. Bei Wachstumsfunktionen, die von der Zeit abhängen, nennt man die Zeitspanne, in der sich der (zu Anfang vorhandene) Funktionswert verdoppelt, die Verdopplungszeit. Bei Zerfallsfunktionen, die von der Zeit abhängen, nennt man die Zeitspanne, in der sich der (zu Anfang vorhandene) Funktionswert halbiert, die. Eine Bakterienkultur hat eine Verdopplungszeit von 5 Stunden. Bestimme die Wachstumsfunktion und berechne, wie viele Bakterien nach 2 Tagen vorhanden sind, wenn eine Kultur mit 100 Bakterien angesetzt wird. Von der Wachstumsfunktion kennt man den Anfangswert b = 100 und den zweiten Punkt (5 200). Einsetzen liefert: 200 = 100 a 5 a 5 = 2 a = 5 Ï } 2 1, Die Wachstumsfunktion hat die Gleichung f (t) = 100 1, t (t in Stunden). Nach zwei Tagen sind 48 Stunden vergangen. Diese Zahl wird für t eingesetzt. f (48) = 100 1, = ,537 Nach 2 Tagen sind es etwa Bakterien. Wegen der starken Steigung von Exponentialfunktionen muss der Wachstums bzw. Zerfallsfaktor mit großer Genauigkeit angegeben werden, damit bei Berechnungen die Fehler nicht zu groß werden. Empfehlenswert sind mindestens 5 Nachkommastellen. 1. Eine Bakterienkultur enthält 1 Stunde nach Beginn der Messung 52,2 Millionen Bakterien, eine halbe Stunde später sind es bereits 72 Millionen Bakterien. a) Bestimme die Wachstumsfunktion. b) Wie viele Bakterien waren zu Beginn der Messung vorhanden? c) Wie viele Bakterien sind es nach 5 Stunden? Wie viele waren es 2 Stunden vor Beginn der Messung? d) Wie groß ist die Verdopplungszeit?

9 11 2. Das Radiumisotop Ra 230 besitzt eine Halbwertszeit von 90 Minuten. a) Stelle eine Zerfallsfunktion auf. b) Wie viel Prozent der Ausgangsmenge sind nach 10 Stunden zerfallen? 3. Mit einem Kondensator kann man kurzfristig elektrische Ladungen speichern. Die Grafik zeigt eine typische Entladungskurve eines solchen Kondensators y Ladung in % a) Prüfe anhand mehrerer Messpunkte, ob es sich um einen exponentiellen Zerfall handelt. b) Wie groß ist die Halbwertszeit? ,0 2,0 Zeit in s x 3,0 4,0 5,0 4. Füllt man eine Flasche Bier in einen Standzylinder um, kann man messen, wie schnell der Bierschaum zerfällt. Diese Zerfallsgeschwindigkeit ist ein Maß für die Frische des Bieres. Bei einer Biersorte nehme die Höhe des Schaums alle 12 Sekunden um 8 % ab. a) Zeichne einen Funktionsgraphen für die ersten 5 Minuten des Zerfalls, wenn die Schaumsäule zu Beginn 10 cm hoch ist. b) Für ein frisches Bier sollte die Halbwertszeit des Schaums mindestens 1,5 Minuten betragen. Ist diese Bedingung erfüllt? 5. Die Tabelle gibt die Weltbevölkerung in Millionen Einwohnern wieder Jahr Einwohner a) Stelle mithilfe der beiden ersten und der beiden letzten Messpunkte je eine exponentielle Wachstumsfunktion auf. Vergleiche und interpretiere. b) Überprüfe, zu welchem Modell die beiden mittleren Werte besser passen. c) Welche Weltbevölkerung hätte man im Jahre 2000 erwarten können, wenn man das Wachstum der Jahre 1750 bis 1850 zugrunde legt?

10 12 Logarithmusfunktionen Zu jeder Exponentialfunktion gibt es eine Umkehrfunktion. Alle Umkehrfunktion ent stehen durch Vertauschen von x und y Koordinate und damit auch Vertauschen von Definitions und Wertemenge bzw. geometrisch durch Spiege lung an der Winkel halbierenden y = x. Die Umkehrfunktionen zur Exponentialfunktion f (x) = a x nennt man Logarithmusfunktion mit dem Funktionsterm f (x) = log a (x) (lies: Logarithmus von x zur Basis a). Logarithmusfunktionen sind wegen des Vertauschens von Definitions und Wertemenge nur für x > 0 definiert. Die Wertemenge umfasst dagegen auch negative Zahlen. Die Lösung der Gleichung a x = u (u > 0) ist also x = log a (u). Die Logarithmusfunktion y f (x) = 2,5 x log 2,5 (x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f (x) = 2,5 x. Beispielsweise wird der Punkt (1 2,5) auf der Exponentialfunktion durch die Umkehrung zum Punkt (2,5 1) der Logarithmusfunktion f (x) = 2 x y = x f (x) = log 2 (x) 1 f (x) = log Will man die Funktionsgleichung 2,5 (x) x einer Logarithmus funktion bestimmen, liest 2 man die Koordinaten eines 3 Punktes (außer (1 0)) auf der Funktion ab, für die hellblaue Funktion z. B. (8 3). Die Koordinaten setzt man in die Funktionsgleichung ein: 3 = log a (8) a 3 = 8 a = 2 Es handelt sich also um die Funktion f (x) = log 2 (x). 1. Schreibe die Gleichungen in der Form log a (b) = x. a) 4 2 = 16 b) 25 3 = c) 7 2 = 1 _ 49 d) 5 0 = 1

11 13 2. Berechne ohne Taschenrechner (lg = log 10 ). a) log 2 (128) = b) log 5 (125) = c) log 17 (17) = d) log 3 (81) = e) log 7 (49) = f) log _ 25 2 = g) lg 1 1_ = h) log 3 ( Ï } 3 ) = 3. Bestimme die fehlende Basis. a) log a (64) = 3 a = b) log a (27) = 3 a = c) log a (0,01) = 2 a = d) log a (1) = 0 a = e) log a 1 8 _ = 3 a = f) log a 1 Ï }} 27 2 = 3 _ 2 a = 4. Berechne b. a) log 5 (b) = 3 b= b) log 2 (b) = 5 b = c) log 27 (b) = 1 _ 3 b = d) log 121 (b) = 1 _ 2 b = e) lg (b) = 6 b = f) log 4 (b) = 3 b = 5. Gib die Gleichungen der abgebildeten Logarithmusfunktionen an. rot: f (x) = blau: f (x) = schwarz: f (x) = pink: f (x) = grün: f (x) = y x 6. Zeichne den Graphen der Logarithmusfunktion, indem du die zugehörige Exponentialfunktion spiegelst. Welche Funktionsgleichungen haben die Umkehrfunktionen? a) f (x) = log 3 (x) Umkehrfunktion: f (x) = b) f (x) = lo g 1 Umkehrfunktion: f (x) = } (x) 4 c) f (x) = log 1,5 (x) Umkehrfunktion: f (x) =

12 1 5 Rechnen mit Logarithmen Für das Rechnen mit Logarithmen gelten die folgenden Logarithmengesetze (für u > 0, v > 0, x > 0, a > 0, a 1): 1. log a (u v) = log a (u) + log a (v) 2. log _ a 1 u v 2 = log a (u) log a (v) 3. log a (u r ) = r log a (u) Die log Taste des Taschenrechners dient zur Berechnung des Loga rithmus zur Basis 10. (Bezeichnung: log 10 (x) = lg (x)) Zur Berechnung von Logarithmen mit anderer Basis mithilfe des Taschenrechners verwendet man das Logarithmengesetz: lg (x) 4. log a (x) = _ lg (a) Schreibe mit einem Logarithmus: log 3 (a) 5 log 3 (z) log 3 (a) 5 log 3 (z) = log 3 (a) log 3 (z 5 ) = log 3 1 a _ z 5 2 Berechne mit dem Taschenrechner: log 5 (100) lg (100) log 5 (100) = _ = 2_ lg (5) 0, ,86135 Löse: log 3 (x) = 6 log 3 (2) log 3 (4) 6 log 3 (2) log 3 (4) = log _ = log 3 (16) x = Berechne mit dem Taschenrechner. a) log 7 (10) = b) log 4 (2) = c) log 1,3 (2,5) = d) log 0,3 (0,3) = e) lg (110) = f) lg ( Ï }} 13 ) = g) 15 log 2_3 (24) = h) (log 9 (1,4)) 2 + lg (2,1) = i) 6 log 2 ( Ï } 2 ) = j) 82 log 0,1 (10 3 ) =

13 2. Schreibe mit einem Logarithmus und vereinfache soweit wie möglich. a) log 3 (21) log 3 (7) + log 3 (3) = 15 b) lg 20 + lg 15 lg 3 = c) log a (x + 1) + log a (x 1) log a (x 2 1) = d) log 5 (4 d) + log _ 2 d 2 + log 5 (12,5) = e) lg (6 x 2 ) lg (2 x 3 ) = f) log 2 (4 x ) _ x = g) lg (2 k) 2 lg (k) + lg 1 1 _ k 2 + lg (k 2 ) =. Löse. a) 3 x = 6 x = b) 5 x = 0,1 x = c) 7 x = 11 x = d) 4 2 x = 32 x = e) 0,2 5 x = 25 x = f) 1 1 _ 2 2 x + 3 _ 4 = 9 x =. Bestimme x ohne Benutzung des Taschenrechners. a) log 5 (x) = 4 log 5 (3) x = b) log 2 (x) = log 2 (6) 2 log 2 (12) x = c) lg (x) = lg (56) lg (7) x = d) log a (x) = 3 log a (2) 2 log a (4) x = e) 2 log 0,1 (x) 2 log 0,1 (3) = log 0,1 (16) x =

14 16 6 Exponentialgleichungen Gleichungen, bei denen die Variable im Exponenten steht, werden Exponentialgleichungen genannt. Zur Lösung wendet man in der Regel auf beiden Seiten den Logarithmus an und nutzt anschließend die Logarithmengesetze zum Auflösen der Gleichung. Bei schwierigen Exponentialgleichungen kann auch eine Substitution notwendig werden. Löse: 1,5 3x = Schritt: Variable isolieren 1,5 3x + 4 = Schritt: Logarithmieren lg 11,5 3x = lg (36) 3. Schritt: Logarithmengesetze (3 x + 4) lg (1,5) = lg (36) : lg (1,5) anwenden lg (36) 4. Schritt: Nach der Variablen 3 x + 4 = _ 4 : 3 lg (1,5) auflösen x = _ lg (36) 1 lg (1,5) 4 2 : 3 1,6127 Löse: 2 x + 2 x = 4,25 1. Schritt: Negative Exponenten 2 x + _ 1 2 = 4,25 x umschreiben 2. Schritt: Substituiere 2 x = z z + _ 1 z = 4,25 z 3. Schritt: Nach z auflösen z = 4,25 z z 2 4,25 z + 1 = 0 p q Formel z = 0,25 z = 4 4. Schritt: Resubstitution z = 2 x 2 x = 0,25 2 x = 4 5. Schritt: Logarithmieren x = lg (0,25): lg (2) = 2 x = lg (4): lg (2) = 2 Die Basis des verwendeten Logarithmus ist prinzipiell beliebig. Da der Taschenrechner jedoch den 10er Logarithmus verwendet, bietet es sich an, immer den lg zu benutzen. 1. Bestimme die Lösungsmenge. a) 5 4x + 3 = 3125 L = { } b) 9 3 x 5 = _ 1 9 L = { } c) 4 6 x 1 = 864 L = { } d) 11 x 2 = Ï }} 11 L = { }

15 17 2. Löse. a) 5 x 4 = 3 2x L = { } b) 40 2x 1 = 30 x L = { } c) 2 x 3 x + 2 = 4 L = { } d) 6 x + 2 = 5 2x 3 L = { } e) 8 3 x + 3 = 5 2 2x + 1 L = { } 3. Löse durch Substitution. a) 5 2x 4 5 x + 3 = 0 L = { } b) 9 x 12 3 x = 32 L = { } c) 4 x + 2 x = 6 L = { } d) 7 x + 4 = 21 7 x L = { } 4. Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe exponentiell ab. Während auf Meereshöhe ein Druck von 1010 mbar herrscht, beträgt der Luftdruck in 500 m Höhe noch 940 mbar. In welcher Höhe befindet man sich, wenn der Luftdruck 950 mbar bzw. 900 mbar beträgt? 5. Von dem radioaktiven Element Radium 214 zerfallen pro Minute etwa 20 % der Kerne. Welche Halbwertszeit hat das Element? 6. Viele Fragestellungen der Zinsrechnung führen auf Exponentialfunktionen. a) Herr Hinz legt 8000 bei einer Bank zu einem Zinssatz von 6 % an. Wann kann er (gerechnet mit Zinsen und Zinseszins) auf seinem Konto verbuchen? b) Wie lange dauert es, bis sich ein Kapital K bei 5,5 % Zinsen verdoppelt hat? 7. Glasscheiben absorbieren immer einen Teil des durchlaufenden Lichts. Der Anteil ist (außer von der Wellenlänge = Farbe des Lichts) vor allem von der Dicke der Glasscheibe abhängig. Wie viele Glasscheiben muss man hintereinander legen, wenn man das Licht einer bestimmten Wellenlänge auf 10 % reduzieren will und eine einzelne Scheibe 75 % des Lichts durchlässt? 8. Ein Virenstamm wächst täglich um 12 %. Wie lange dauert es, bis sich die Anzahl der Viren verfünffacht hat?

16 18 7 Kreisfläche und Kreisumfang Um den Umfang und die Fläche eines Kreises zu bestimmen, nähert man ihn von r innen und von außen durch Vielecke an. Eine Näherung für den Umfang ergibt die Summe aller Basen der gleichseitigen Dreiecke, r eine Näherung für die Fläche die Summe aller Dreiecksflächen. Beide lassen sich über die Dreiecksflächensätze als Funktion von r ausdrücken. Durch immer feinere Näherung durch Vielecke mit immer mehr Ecken erhält man dann für den Kreisumfang: U = 2 p r und für die Kreisfläche: A = p r 2. Die Zahl p ist eine irrationale Zahl, die durch einen abbrechenden Dezimalbruch nur angenähert werden kann: p 3,14159 Die Umlaufbahn der Erde um die Sonne hat einen Durchmesser von ungefähr 300 Millionen Kilometer. Welche Geschwindigkeit hat die Erde auf dieser Bahn? Bahndurchmesser: d = km r = km Bahnumfang: U = 2 p r km Die Umlaufbahn wird in 365 Tagen durchlaufen, das sind h = 8760 h. Geschwindigkeit = Strecke pro Stunde: km : 8760 h km } h. Die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne beträgt etwa km } h! 1. Fülle die Leerstellen der Tabelle aus. a) b) c) d) Radius 4 cm Durchmesser 6 mm Umfang 75,398 dm Fläche 28,274 m 2

17 2. a) Ein Autoreifen hat einen Durchmesser von 56 cm. Wie viele Umdrehungen macht ein Rad etwa bei einer Autofahrt von 100 km? b) Die Räder der Wagen eines Zuges haben einen Durchmesser von 0,9 m. Wie oft drehen sich die Räder in einer Minute, wenn der Zug mit einer Geschwindigkeit von 252 km/h fährt? Beim Ausstechen von runden Weihnachtsplätzchen mit einem Durchmesser von 6 cm kommt Nina auf die Idee, aus dem Teig von 4 solchen Plätzchen einen großen runden Keks zu formen. Welchen Durchmesser wird er haben, wenn man davon ausgeht, dass der Teig gleichbleibend dick ausgerollt wird? 4. Berechne die gefärbten Flächen der Figuren. 12 cm 12 cm 10 cm 5. An einem alten Webstuhl sind zwei Räder mit den Durchmessern d 1 = 26 cm und d 2 = 91 cm über einen Lederriemen miteinander verbunden. Wie oft muss sich Rad 1 drehen, damit Rad 2 eine volle Umdrehung macht? 6. Ein Torbogen soll renoviert werden. a) Wie viel Farbe muss man für den Neuanstrich einkaufen, wenn man pro m ml benötigt? b) Alle Kanten sollen durch eine Metallleiste geschützt werden. Wie viel von dieser Leiste wird benötigt? 0,8 m 2,4 m 3,4 m 1,0 m 1,0 m

18 20 8 Kreisausschnitt, Kreisbogen und Bogenmaß Wird aus einem Kreis mit dem Radius r ein Stück mit dem Mittelpunktswinkel a ausge schnitten, so erhält man einen Kreisausschnitt mit der Fläche A a und auf der Kreislinie einen Kreisbogen b. Es gilt: a A a = _ 360 p r 2 = _ 1 2 b r a b a = b = _ 180 p r α Kreisausschnitt Kreisbogen b Wählt man einen Kreis mit dem Radius r = 1 ( Einheitskreis genannt), so ist die Länge des Kreis bogens auch ein Maß für die Größe des Winkels a. Man nennt es das Bogenmaß x des Winkels. Für die Umrechnung ergibt a sich aus der Kreisbogenformel: x = _ 180 p bzw. a = } p x 180. Winkel im Bogenmaß werden in der Regel als Vielfaches von p angegeben. Ein Glücksrad mit 1 m Durchmesser wird in 3 gleich große farbige Sektoren geteilt. Welche Fläche haben die einzelnen Kreisausschnitte? Drei gleiche Sektoren haben jeweils einen Mittelpunktswinkel von 120. Für ihre Fläche erhält man: A 120 = _ p (0,5 m) 2 = _ 1 3 p 0,25 m 2 = 0,262 m 2 Umrechnung einiger häufiger Winkelgrößen ins Bogenmaß Winkel im Gradmaß Winkel im Bogenmaß p p 5 _ 6 p 2_ 3 p p } 2 p } 3 p } 6 p } Rechne die Winkelgrößen ins Bogenmaß um und umgekehrt. Winkel im Gradmaß Winkel im Bogenmaß ,5 2 1_ 3 5,2 1_ 3 p 4_ 5 p 9_ 8 p 1,5

19 21 2. Berechne die fehlenden Tabellenwerte. a) b) c) d) e) f) r 7 cm 6 m 10 dm a b 10 m 3 m 37,2 dm A 100 dm 2 45 cm 2 16 m 2 3. Berechne den Inhalt der rot umrandeten Fläche. 6 cm 6 cm 6 cm 4. Eine Gleiskurve in Form eines Kreisbogens ist im Innenkreis 156 m lang, wobei der Zug seine Fahrtrichtung um 22 ändert. a) Welchen Radius hat die innere Gleiskurve? b) Wie lang ist der äußere Kreisbogen, wenn die Schienen 1,43 m auseinanderliegen? 5. Zeige, dass die Summe der grünen Flächen gleich der roten Fläche ist.

20 126 Stichwortverzeichnis A 1. Ableitung 56 Achsensymmetrie 52 Amplitude 40 Ankathete 34 B Bayes sche Regel 50 bedingte Wahrscheinlichkeit 50 Binomialkoeffizienten 46 D Dreieckprisma 26 durchschnittliche Änderungsrate 54 E Einheitskreis 20 Exponentialfunktionen 6, 8 Exponentialgleichung 16 Exponentieller Zerfall 6 Exponentielles Wachstum 6 G ganzrationale Funktionen 52 Gauß sches Verfahren 62 Gegenkathete 34 Grenzwertverhalten 52 H Halbwertszeit 10 Hochpunkt 56 Hypotenuse 34 K Kegel 28 Kosinus 34 Kreisausschnitt 20 Kreisbogen 20 Kreise 18 Kreisfläche 18 Kreisumfang 18 Kugeloberfläche 30 Kugelvolumen 30 L linearer Zerfall 6 lineares Wachstum 6 Logarithmengesetze 14 Logarithmusfunktion 12 Lokale Änderungsrate 54 M Matrixschreibweise 62 N Normale 58 Nullstellen 52 P Periodenänderung 40 Permutationen mit Wiederholung 46 Permutationen ohne Wiederholung 46 Polynom 52 Prismen 26 Punktsymmetrie 52 Pyramide 28

21 127 Q Quader 26 S Sattelpunkt 56 Sechseckprisma 26 Sinus 34 T Tangens 34 Tangente 58 Tiefpunkt 56 trigonometrische Winkelfunktionen 34 V Verdopplungszeit 10 Verschiebung 40 Vierfeldertafel 48 Volumen 26 W Wachstumsfaktor 10 Wahrscheinlichkeit 50 Z Zerfallsfaktor 10 Zylinder 28