WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse

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1 WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse I. Kreiszahl 1. Kreis: Fläche des Kreissektors: = Länge des Kreisbogens: = Im Einheitskreis gilt: = 2 = 2. Kugel: Oberflächeninhalt: = 4 Volumen: = II. Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie Sinus und Kosinus am Einheitskreis Sinusfunktion Kosinusfunktion Eigenschaften Nullstellen: = 0 =, Z = R = [ 1; 1] Sinus- und Kosinuskurve sind periodisch mit Periode 2 : = 0 = , Z = sin( + 2 ), Z = cos( + 2 ), Z Punktsymmetrisch zum Ursprung: sin( ) = sin Achsensymmetrisch zur y-achse: cos( ) = cos

2 Die allgemeine Sinusfunktion = sin( + ) + = sin + +, R, 0, > 0 : Amplitude; für < 0 kommt eine Spiegelung an der x-achse hinzu : Periode > 0 ( < 0): Verschiebung der Sinuskurve in x-richtung nach links (rechts) um > 0 ( < 0): Verschiebung der Sinuskurve in y-richtung nach oben (unten) um III. Exponentielles Wachstum und Logarithmen Lineares Wachstum Ein Wachstum mit konstantem Zuwachs in gleichen Schritten nennt man lineares Wachstum. Exponentielles Wachstum Ein Wachstum mit konstantem Wachstumsfaktor in gleichen Schritten nennt man exponentielles Wachstum. Funktionsgleichung = + = > 0: lineare Zunahme Beispiel: = 2 + 1,5 = Anfangswert ( (0) = ) = Wachstumsfaktor ( > 0) Beispiel: = 0,5 2 < 0: lineare Abnahme Beispiel: = 3 + 2,5 Logarithmus von b zur Basis a: = = log Gesetze für das Rechnen mit Logarithmen (für > 0, > 0, > 0, 1): 1) log ( ) = log + log 2) log ( : ) = log log 3) log = log Umrechnungsformel: log =

3 IV. Zusammengesetzte Zufallsexperimente Mengendiagramme Schnittmenge: Vereinigungsmenge: Vierfeldertafel Für zwei Ereignisse und : Ω Baumdiagramme Für zwei Ereignisse und analog zu obiger Vierfeldertafel Bedingte Wahrscheinlichkeit Sind A und B Ereignisse eines Zufallsexperiments mit 0, so versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B unter der Bedingungen des Eintretens von A. Es gilt: =

4 V. Ausbau der Funktionenlehre 1. Graphen ganzrationaler Funktionen Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten gerade ungerade Bsp.: = 0,3 Bsp.: = 0,5 > 0 Charakteristischer Verlauf von links oben, nach rechts oben von links unten, nach rechts oben Bsp.: = 0,5 Bsp.: = 0,3 < 0 Charakteristischer Verlauf von links unten, nach rechts unten von links oben, nach rechts unten Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen Funktionen der Form : = mit = R, N,,,,,, R und 0 nennt man ganzrationale Funktionen n-ten Grades. Charakteristischer Verlauf Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion wird für betragsmäßig große x-werte durch den Summanden mit dem höchsten vorkommenden Exponenten bestimmt. (vgl. Tabelle unter Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten ) Charakteristische Punkte Schnittpunkt mit der y-achse: (0) = (0 ) Nullstellen: Lösen der Gleichung: = 0

5 Eine ganzrationale Funktion vom Grad hat höchstens Nullstellen. Eine Funktion besitzt eine k-fache Nullstelle bei =, wenn der Linearfaktor in vollständig faktorisierter Form des Funktionsterms k-mal vorkommt. Nullstelle ungerader Ordnung: Vorzeichenwechsel Beispiel: = Nullstelle = 0 mit Ordnung 3 Nullstelle gerader Ordnung: kein Vorzeichenwechsel Beispiel: = ( 1) Nullstelle = 1 mit Ordnung 2 2. Vertiefen der Funktionenlehre Überblick über Funktionstypen Lineare Funktionen (vgl. Grundwissen 8. Klasse) Quadratische Funktionen (vgl. Grundwissen 9. Klasse) Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten Ganzrationale Funktionen Einfach gebrochen-rationale Funktionen (vgl. Grundwissen 8. Klasse) Trigonometrische Funktionen Exponentialfunktionen Eigenschaften ausgewählter Graphen Definitionsmenge Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Symmetrieverhalten o Achsensymmetrisch zur y-achse, wenn ( ) = gilt o Punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn ( ) = gilt Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs: Grenzwerte Kommen die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für beliebig groß werdende x-werte einer Zahl a beliebig nahe, so nennt man a den Grenzwert der Funktion f für x gegen plus unendlich. Schreibweise: lim = Steigungsverhalten und Extrempunkte Wertemenge

6 Parameter verändern Funktionsgraphen Verschiebungen: = ( + ) + Der Graph entsteht aus dem Graphen von durch Verschiebung um in x- Richtung und um in y-richtung Strecken von Funktionsgraphen = Streckung für > 1 (Stauchung für 0 < < 1) in y-richtung = Streckung für 0 < < 1 (Stauchung für > 1) in x-richtung Spezialfälle: Spiegelungen = Zusätzlich Spiegelung an der x-achse für < 0 = Zusätzlich Spiegelung an der y-achse für < 0

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