Mathematik Brückenkurs für Bachelor-Studierende an der Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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1 Mathematik Brückenkurs für Bachelor-Studierende an der Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Betreut von Henri Schlüter

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3 Inhaltsverzeichnis 1. Übungseinheit Umstellen und Auflösen von Gleichungen Summenschreibweise Produktschreibweise Mittelwert Erwartungswert und Varianz Übungsaufgaben Übungseinheit Rechengesetze mit Brüchen und Potenzen Prozentrechengesetze e - Funktionen log-funktionen Übungsaufgaben Übungseinheit Bedeutung der Ableitung Bilden einer Ableitung und Ableitungsregeln Ableitungen im Studium Übungsaufgaben Übungseinheit Einführung Integrale Grundlagen der Matrizenrechnung Multiplikation von Matrizen Übungsaufgaben Anhang 40 Stichwortverzeichnis 41 i

4 1. Übungseinheit 1.1 Umstellen und Auflösen von Gleichungen Im Studium kommen sehr oft Gleichungen in unterschiedlichster Form vor. Sei es bei Preis- Absatz-Funktionen in EBWL oder bei Optimierungsproblemen in Produktion, im späteren Studium ist es unabdingbar Gleichungen lösen zu können. Dabei verhalten die Gleichung sich wie eine Waage: Wird auf beiden Seiten das gleiche verändert, bleibt sie im Gleichgewicht. Folgende Rechnungen können auf Gleichungen angewandt werden, dabei sind die jeweiligen Gegenoperationen gegenübergestellt: Addieren Subtrahieren Multiplizieren (außer Null!) Dividieren (außer Null!) Potenzieren Exponieren Wurzel ziehen Logarithmieren Beispiel: 3x + 6 = 0 6 3x = 6 : 3 x = 2 Probe: 3 ( 2) + 6 = 0 x 2 12 = x 2 = 16 (Beachte: führt zu zwei Lösungen) x 1 = 4 x 2 = 4 Probe: = 4 ( 4) 2 12 = 4 Für das Lösen von Gleichungen spielen auch die drei binomischen Formeln eine Rolle: 1. binomische Formel: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. binomische Formel: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 3. binomische Formel: (a + b)(a b) = a 2 b 2 1

5 Die Richtigkeit dieser Formeln lässt sich rechnerisch einfach zeigen: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 2 = (a b)(a b) = a 2 ab ba + b 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 ab + ba b 2 = a 2 b 2 Beispiel: (2x + 3y) 2 = (2x + 3y)(2x + 3y) = (2x) 2 + 2x 3y + 3y 2x + (3y) 2 = (2x) 2 + 2x 3y + 2x 3y + (3y) 2 = (2x) (2x 3y) + (3y) 2 = (2x) (6xy) + (3y) 2 = 4x xy + 9y 2 x 2 8x + 16 = 0 (x 4) 2 = 0 2. bin. Formel x = 4 Probe: = = 0 Einige quadratische Gleichungen der Form x 2 + px + q = 0 lassen sich aber weder durch einfaches Umformen noch durch binomische Formeln lösen. Sie können aber mit Hilfe der p-q-formel gelöst werden. Eine quadratischen Gleichung der Form x 2 + px + q = 0 mit den Lösungen x 1 und x 2 wird mit Hilfe der p-q-formel wie folgt berechnet: x 1,2 = p 2 ± (p 2) 2 q Ebenfalls existiert eine allgemeinere Formel für den Fall ax 2 + bx + c = 0. Diese ist bekannt als a-b-c-formel oder auch Mitternachtsformel: x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a Es ist erkennbar, dass die p-q-formel eine spezielle Form der Mitternachtsformel, mit den Parametern a = 1, b = p und c = q, ist. 2

6 Beispiel: x 2 +6x 7 = 0 lösen durch p-q-formel (6 x 1,2 = ) ± ( 7) x 1,2 = 3 ± x 1,2 = 3 ± 16 x 1 = = 1 Probe: = 0 x 2 = 3 4 = 7 ( 7) ( 7) 7 = = Summenschreibweise Die Summenschreibweise ist eine Vereinfachung der Schreibweise endlicher, einzelner Summanden. Beispiel: 5 n = n=1 5 n 2 = n=1 4 2 n = n=0 4 k 3 = k=2 3

7 1.3 Produktschreibweise Genauso wie bei Summen gibt es auch für Produkte eine vereinfachte Schreibweise endlicher, einzelner Faktoren. Diese Schreibweise entspricht in bestimmten Fällen der Fakultät: Beispiel: 5 n = = 5! n=1 5 n 2 = n=1 3 (n + 1.5) = n=1 allgemein N n = N! n=1 Für Fakultäten kann alternativ auch die rekursive (sprich: rücklaufende) Darstellung benutzt werden: Beispiel: N! = N (N 1)! Beachte: 0! = 1 5 n = 5! = 5 (5 1)! = 5 4 (4 1)! =... = n=1 1.4 Mittelwert Der Mittelwert bzw. das arithmetische Mittel mehrerer Zahlenwerte lässt sich wie folgt ausdrücken: Wert 1 + Wert 2 + Wert Wert N Anzahl der Werte ( = N) Zur Berechnung des Mittelwerts werden zunächst alle vorliegenden Werte addiert und anschließend wird das Ergebnis durch die Anzahl der Werte geteilt. Die Berechnung der Notendurchschnitte mit denselben Gewichten wird ebenfalls so durchgeführt. Für eine Zahlenmenge {a 1, a 2,..., a n } mit n Elementen lässt sich dieses Vorgehen mit folgender Formel zusammenfassen: a 1 + a a n n 4

8 Beispiel: Berechnung des Durchschnitts der Noten 2.0, 1.7, 4.0, 2.3, 3.0 : = 13.0 = Berechnung des Mittelwerts der Zahlen -3, -1, 5, 7 : 3 + ( 1) = 8 4 = 2 Berechnung des Mittelwerts der Zahlenfolge 1, 2, 3, 4, 5 : = n = 15 5 = 3 n=1 1.5 Erwartungswert und Varianz Der Erwartungswert ist ein Wert aus der Stochastik und kommt im Zusammenhang mit Zufallsgrößen vor. Der Erwartungswert ist der Grenzwert des Mittelwerts der Ergebnisse bei unendlich vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments. Für eine diskrete Zufallsgröße X mit Werten x 1, x 2,..., x n sowie deren Wahrscheinlichkeiten P (X = x i ) wird der Erwartungswert (E(X) oder µ) berechnet: E(X) = x 1 P (X = x 1 ) + x 2 P (X = x 2 ) x n P (X = x n ) n = x i P (X = x i ) i=1 Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariablen X von ihrem Erwartungswert µ. Sie beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der Werte der Zufallsvariablen vom Erwartungswert. Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X ist definiert als die positive Quadratwurzel der Varianz. 5

9 Für eine diskrete Zufallsgröße X mit Erwartungswert µ, Werten x 1, x 2,..., x n sowie deren Wahrscheinlichkeiten P (X = x i ) wird die Varianz (Var(X) oder σ 2 ) berechnet: Beispiel: Var(X) = (x 1 µ) 2 P (X = x 1 ) (x n µ) 2 P (X = x n ) n = (x i µ) 2 P (X = x i ) i=1 Werfen von zwei fairen Würfeln. Die Werte der Zufallsgröße X entsprechen genau der Summe der Augenzahlen. x P (X = x) Damit ergibt sich für den Erwartungswert: 1 E(X) = = 7 Und für die Varianz ergibt sich: Var(X) = (2 7) (3 2 7) (4 3 7) (5 4 7) (6 7) (7 6 7) (8 5 7) (9 4 7) (10 7) 2 = (11 7) (12 7)

10 1.6 Übungsaufgaben Aufgabe 1 Lösen Sie folgende Gleichungen nach x auf: a ) 3x(2x + 6) = 6x b ) (x 2) 2 = (x + 6)(x 6) c ) 4 3 x = 1 8 3x e ) x = 33 g ) 2x 2 + 8x = 13 d ) x 5 = 2 f ) x 2 + 4x = 3 h ) 3x + 9 = 39d i ) (x 2 9) = 12x + 36 j ) 5x x 8 10 = 5 4 x 0.5 Aufgabe 2 Berechnen Sie: 10 a ) n b ) c ) e ) g ) i ) k ) m ) o ) n=1 5 n 3 d ) n=1 5 n=1 5 n=1 1 n 1 3 n h ) 5 (n 1) j ) n=2 4 n 2 l ) n=0 4 2 n n ) n=0 3 n=1 k=1 f ) 4 2n n=0 4 n=0 5 k= n 4 k 2 n=1 6 (n 2) n=3 3 n=1 2 n 3 = n k p ) n n=1 7

11 Aufgabe 3 Sie nehmen an folgender Lotterie teil: Gewinn (in e) Gewinnchance (in %) Wie hoch sind der Erwartungswert und die Varianz dieser Lotterie? Aufgabe 4 In einem nicht einsehbaren Beutel sind 1 rote, 4 weiße und 15 schwarze Kugeln. Wenn Sie eine weiße Kugel ziehen bekommen Sie 10 e, aber wenn Sie eine schwarze Kugel ziehen verlieren Sie 10 e. Sollten Sie die rote Kugel ziehen erhalten Sie 200 e. a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieses Spiels. b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieses Spiels unter der Annahme, dass Sie für die rote Kugel nur 110 e bekommen. c) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus a) und b) miteinander und nehmen Sie Stellung dazu. Aufgabe 5 Leiten Sie aus der Gleichung x 2 + px + q = 0 die p-q-formel her. 8

12 2. Übungseinheit 2.1 Rechengesetze mit Brüchen und Potenzen Im Verlauf des Studiums kommt das Rechnen mit Brüchen und Potenzen häufig vor. Dazu die wichtigsten Rechenregeln zusammengefasst: Für Brüche: Erweitern: Kürzen: 2 3 = = = = = 3 7 Kehrwert bilden: a 1 = 1 a Summe/Subtraktion: Multiplikation: Division: Potenzieren: ( a b ) 1 = b a a b ± c d = a d ± c b b d a b c d = a c b d a b : c d = a b d c = a d b c ( a ) 2 a = b b a b = a2 b 2 Hinweis: Zu dividieren ist das Gleiche wie mit dem Kehrwert zu multiplizieren. Beispiel: ( ) 2 3 = = = y + x 2 = 1 2 y 2 + x y 2 y = 2 + xy 2y 6 a b 5 ( ) 1 30 = 6 b a a a 5 30 = 6 b a a = b 25 = 10 4 = 2.5 9

13 Für Potenzen: Multiplikation bei gleicher Basis a: Division bei gleicher Basis a: Multiplikation bei gleichem Exponenten x: Division bei gleichem Exponenten x: Mehrfache Potenzen: Potenzen mit negativem Exponenten: a x a y = a x+y a x a y = ax y a x b x = (a b) x a x ( a ) x b = x b (a x ) y = a x y a x = 1 a x Beispiel: Null im Exponenten: a 0 = b 0 = 7 0 = 0 = 1 Brüche im Exponenten: a m n = n a m x x 3 = x 1 x 3 = x 1+3 = x 4 8 = 2 4 = = = = 4 2 = ( 2 2) 2 = = 2 4 (ax) 5 a 5 = x 5 a 5 a 5 = x 5 a 10 x 3 y 3 = 1 ( x 3 y3 = y3 y ) 3 x = 3 x 21a 2 x 3 14ab 3 x 4 = 3 7 a a x3 3 7 a a x3 = 2 7 a b 3 x x3 2 7 a b 3 x x = 3a 3 2b 3 x a 1 2 = a x 4 7 = 7 x 4 x 1.5 = x 3 2 = x 3 10

14 2.2 Prozentrechengesetze Prozentwertrechnungen kommen vor allem, aber nicht ausschließlich, in den Fächern Investition & Finanzierung und internem sowie externem Rechnungswesen vor. Der Grundgedanke ist, dass etwas in hundert gleich große Teile (lat. pro centum : von Hundert) geteilt wird und dann der Anteil am Ganzen angegeben wird. 100 % = 1 1 % = = 0.01 p % = p 100 p 100 = W G Prozentsatz (p) 100 = Prozentwert (W ) Gesamtwert (G) W = p G = p G W p = W 100 G G = W 100 p Beispiel 1: Lösung durch Dreisatz und Formel: Was sind 30 % von 250 e und wieviel Prozent sind 20 e von 250 e? 100 % ˆ= 250 e 1 % ˆ= 2.50 e 30 % ˆ= e = 75 e Formel: W = e 100 = 75 e 250 e ˆ= 100 % 1 e ˆ= % = % = 2 5 % = 0.4 % 20 e ˆ= % = 8 % Formel: p = 20 e e = 8 % 11

15 Beispiel 2: Ein Investor bekommt 4 % Zinsen p.a. auf sein Kapital von 3000 e. Wie viel Geld hat er nach einem Jahr? Zinsen: 3000 e 4 % = 3000 e = 3000 e 0.04 = 120 e Kapital nach einem Jahr: 3000 e e = 3120 e Wieviel Geld hat er nach zwei Jahren? Zinsen 1. Jahr: 3000 e 4 % = 3000 e 0.04 = 120 e Kapital nach einem Jahr: 3000 e e = 3120 e Zinsen 2. Jahr: 3120 e 4 % = 3120 e 0.04 = e Kapital nach zwei Jahren: 3120 e e = e 2.3 e - Funktionen Grafisches Beispiel: Die e - Funktion, oder auch natürliche Exponentialfunktion genannt, beruht auf der Eulerschen Zahl e ( ). Diese Zahl spielt in vielen Gebieten der Mathematik und damit auch in einigen Gebieten der Betriebswirtschaftslehre, wie z.b. Finanzierungen oder Investitionsrechnungen, eine wichtige Rolle. 12

16 Viele Besonderheiten der e - Funktion ergeben sich beim Ableiten und Integrieren, dies wird in den späteren Übungseinheiten besprochen. 2.4 log-funktionen Grafisches Beispiel: Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis a ist die Umkehrfunktion von a x. Er wird als log a (x) geschrieben. a x = y x = log a (y) 2 x = 8 x = log 2 (8) Falls die Basis die Eulersche Zahl sein sollte, also e, handelt es sich um den natürlichen Logarithmus ln(x). Bei einer Basis von 10 wird laut Konvention der Index einfach weggelassen und es wird lediglich lg(x) geschrieben. e x = 3 x = log e (3) = ln(3) 10 x = y x = log 10 (y) = lg(y) 13

17 Der Logarithmus hat die Eigenschaft Rechenoperationen eine Stufe nach unten zu drücken, dadurch werden aus Potenzen Multiplikationen oder aus Multiplikationen Summen. Dies wird anhand der Rechenregeln für den Logarithmus etwas klarer: Produktregel: Quotientenregel: Potenzregel: log a (b c) = log a (b) + log a (c) ( ) b log a = log c a (b) log a (c) log a (b c ) = c log a (b) Sonderfälle: log a (a) = 1 log a (a x ) = x log a (a) = x ln(e) = 1 ln(e x ) = x ln e (e) = x log a (1) = 0 ( ) 1 log a = log(x) x ( ) 1 ln = ln(x) x Durch vorherige Umformung kann die Basis von Logarithmen gewechselt werden: log b (x) = log a(x) log a (b) 14

18 Beispiel: a) log a (a x) = log a (a) + log a (x) = 1 + log a (x) b) log 2 (128) = ln(128) ln(2) = 7 c) 10 x = 1000 log 10 anwenden log 10 (10 x ) = log 10 (1000) x log 10 (10) = log 10 ( ) x log 10 (10) = log 10 (10 3 ) x log 10 (10) = 3 log 10 (10) log 10 (10) = 1 x = 3 Wahlweise auch: x = lg(1000) in den Taschenrechner eingeben x = 3 d) 3 x = 81 Überlegung: 81 = 9 9 = = 3 4 x = 4 Wahlweise auch: x = log 3 (81) x = ln(81) ln(3) in den Taschenrechner eingeben x = 4 15

19 2.5 Übungsaufgaben Aufgabe 6 Berechnen Sie: a ) c ) 2 3 : 1 6 e ) x 4y + 3 2y x 2 b ) d ) ( 2 f ) ) : 2 2 x g ) i ) 25x + 5y 5xy y2 xy ( x 1 + x ) 3 3 x h ) 12a2 18 : 9b 36a j ) 2x x 2 : x + 2 x x Aufgabe 7 Berechnen Sie: a ) b ) ( x ) 2 ( x ) 3 c ) (x + 1) 3 (x + 1) 1 d ) (u + 1) 3 : (u + 1) 3 e ) y n y n+1 f ) a n a n+1 ( a ) n a n g ) h ) ( x 2 2 y 4) 1 2 b b n ( ) 3 i ) x2 b b 4 b7 : j ) 14ab3 x 4 x 1 42a 2 x a 1 b 3 7 3x 3 16

20 Aufgabe 8 Berechnen Sie: a ) 38 % von 4500 e b ) 1000 e von 4500 e c ) 4500 e von e Aufgabe 9 Einem beliebigen Betrag B werden zuerst 50% des Ausgangswertes hinzugefügt. Ein Drittel (33.3%) des neuen Wertes werden danach wieder abgezogen. a) Wie hoch ist der Endwert? b) Wie hoch ist der Endwert, wenn zuerst ein Drittel abgezogen und anschließend 50% hinzugefügt werden? c) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus a) und b) und nehmen Sie Stellung dazu. Aufgabe 10 Ein Investor bekommt auf sein Kapital von 1000 e pro Jahr 5% Zinsen. a) Wieviel Geld hat er nach 5 Jahren? b) Gibt es neben dem Rechenweg von Beispiel 2 (S. 12) noch andere Möglichkeiten dies zu berechnen? Aufgabe 11 Berechnen Sie: a ) log 2 (1024) b ) log 5 (625) c ) lg( ) d ) ln(e 27 ) e ) log 2 ( ) f ) lg(25) 2 lg ( ) 5 x g ) log 5 (25) + log 2 (30) h ) ln(e x ) + lg(20 x ) : log 10 (2 x ) 17

21 Aufgabe 12 Lösen Sie nach x auf: a ) 12 x = 1728 b ) 15 3x = c ) 73x 147 = d ) x 81 = 3 e ) 256 x = 4 f ) 3e x =

22 3. Übungseinheit 3.1 Bedeutung der Ableitung Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x 0 gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an. Bezeichnet wird die Ableitung allgemein mit f (x) oder d dx f(x). Ist f (x 0 ) > 0, so steigt der Graph von f an der Stelle x 0. Ist f (x 0 ) < 0, so fällt der Graph von f an der Stelle x 0. Ist f (x 0 ) = 0, so hat der Graph von f an der Stelle x 0 eine Extremstelle oder einen Wendepunkt. Die Ableitung spielt daher eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Extremwerten und bei der Untersuchung der Monotonie einer Funktion. Während des Studiums werden mit Hilfe von Ableitungen beispielsweise (Gewinn-)Maxima oder (Kosten-)Minima berechnet. Steigung als Tangenten an einer Funktion: Funktionen, die an jeder Stelle x der Definitionsmenge eine Ableitung besitzen, sind differenzierbar. Die Ableitungsfunktion beschreibt dabei den Verlauf der Steigung der Ursprungsfunktion. Dies ist bei der gleichzeitigen Betrachtung von Funktionen und ihren Ableitungen gut erkennbar. 19

23 Grafische Beispiele: f(x) = 2 (x 2) (x 2) f (x) = 4 (x 2) (x 2) 2 g(x) = 4 x + 3 g (x) = 4 20

24 h(x) = 0.5 x h (x) = x k(x) = 0.5 x x 3 k (x) = x 2 21

25 3.2 Bilden einer Ableitung und Ableitungsregeln Um viele Aufgaben innerhalb des Studiums lösen zu können bedarf es guter Kenntnisse beim Ableiten von Funktionen. Im Folgenden sind die wichtigsten Funktionstypen und deren Ableitungen aufgelistet. Funktion Ableitung Konstante: f(x) = a f (x) = 0 Potenzfunktion: f(x) = x n, n R f (x) = n x n 1 Exponentialfunktion: f(x) = e x f (x) = e x Logarithmusfunktion: f(x) = ln(x) f (x) = 1 x Trigonometrische Fkt.: f(x) = sin(x) f (x) = cos(x) f(x) = cos(x) f (x) = sin(x) Desweiteren existieren 5 feste Ableitungsregeln. Funktion Ableitung Faktorregel: f(x) = a u(x), a R f (x) = a u (x) Summenregel: f(x) = u(x) ± v(x) f (x) = u (x) ± v (x) Produktregel: f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) Quotientenregel: f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) (v(x)) 2 Kettenregel: f(x) = u(v(x)) f (x) = u (v(x)) v (x) Eine partielle Ableitung ist dann gegeben, wenn eine Funktion, die von mehreren Variablen abhängt, nach einer spezifischen Variablen abgeleitet wird. Dabei werden alle anderen Variablen als konstant betrachtet. Bezeichnet wird die partielle Ableitung mit f(x, y) bzw. f(x, y). y x 22

26 Beispiel: f(x) = 8 f (x) = 0 f(x) = x f (x) = 2 x f(x) = 5 x 3 f (x) = 5 3 x 2 = 15 x 2 f(x) = 4 x + x 2 f(x) = x sin(x) f(x) = x3 7 x 2 f (x) = x f (x) = 1 sin(x) + x cos(x) f (x) = 3 x2 x 2 (x 3 7) 2 x (x 2 ) 2 = x x x 4 f(x) = cos(3x) f (x) = sin(3x) 3 f(x) = e 2x f (x) = 2 e 2x mit u( ) = e, v(x) = 2 x f(x, y) = 2 x y 3 f(x, y) x f(x, y) y = 2 y 3 = 6 x y Ableitungen im Studium Eine typische Aufgabe im Studium ist die Berechnung von Gewinnen. Sie haben ein Produkt, dass Sie verkaufen möchten und Sie kennen die Beziehung zwischen Verkaufspreis und Absatzmenge. Dies spiegelt sich in der Preis-Absatz-Funktion (PAF) wider. Diese PAF hat typischerweise die Form p(x) = a b x, wobei x die abgesetzte Menge und p(x) der dazugehörige Preis pro Mengeneinheit ist. Gleichzeitig ist Ihnen die Kostenfunktion K(x) bekannt. Nun möchten Sie herausfinden, bei welcher Menge und welchem Preis Sie den maximalen Gewinn erwirtschaften können. Hierbei ist das Bilden von Ableitungen notwendig, denn die gewinnoptimale Menge befindet sich an der Stelle, an der die Ableitung des Gewinns gleich Null ist (siehe Anhang S. 40). 23

27 Beispiel: p(x) = x U(x) = x p(x) = 100x 20x 2 K(x) = 20x + 30 U (x) = x K (x) = 20 G(x) = U(x) K(x) G (x) = U (x) K (x) =! 0 U (x) = K (x) x = = 40x 2 = x G max = ( ) = 50 24

28 3.4 Übungsaufgaben Aufgabe 13 Bestimmen Sie die erste Ableitung: a ) x 2 b ) x 4 c ) 2x 3 e ) x g ) 2x 4 + 3x 3 i ) (x 3 + 3x 2 )(x 2 + 1) d ) 3x 2 f ) 3 x h ) x 3 sin(x) j ) e x ln(x) k ) cos(x) x l ) m ) ex x 3 n ) x 4 cos(x) x ln(x) o ) cos(x 5 ) p ) e x3 q ) 1 + sin(x 3 ) r ) ( 1 + ln(x 4 ) ) 2 s ) (3x) 1 2x t ) e ln(x) Aufgabe 14 Gegeben ist die Funktion f(x, a, t) = (x a)(x 2 + t 2 ). Bilden Sie folgende Ableitungen: a ) f(x, a, t) x b ) f(x, a, t) a c ) f(x, a, t) t d ) f(x, a, t) 25

29 Aufgabe 15 Bilden sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen nach x : a ) f(x) = (2x + 1) 4 (3x 2) 3 b ) f(x) = sin(2x) + cos(3x) c ) f(x) = tan(x) = sin(x) cos(x) d ) f(x) = (2x 3 + 5)(4x 4 10x) + (x 5 1)(2 8x 2 ) e ) f(x) = 17 ax f ) f(x) = 17tx + 4t 2 x 2 g ) f(x) = 17tx + 4t 2 x 2 16 t 4 x 4 h ) f(x) = (x 2) 3 2(x 2) 2 26

30 4. Übungseinheit 4.1 Einführung Integrale Es existieren zwei Arten von Integralen: unbestimmte und bestimmte. Unbestimmte Integrale bilden eine Menge von Funktionen, die sogenannten Stammfunktionen. Bestimmte Integrale liefern einen Wert und werden beispielsweise bei der Berechnung von Flächen in einem Koordinatensystem verwendet. Unbestimmtes Integral: f(x) dx = F (x) + C mit C R Bestimmtes Integral: b a f(x) dx = F (b) F (a) Integration ist die Umkehrfunktion der Ableitung, also wenn d F (x) = f(x) dann ist f(x) dx = F (x) + C. dx C ist hierbei eine unbestimmte, konstante Zahl und wird pro forma dazu geschrieben, da ein Integral nicht eindeutig ist. Dies wird an einem Beispiel deutlich. Beispiel: F 1 (x) = x F 2 (x) = x f 1 (x) dx = 2x dx = x 2 + C d dx F 1(x) = f 1 (x) = 2x d dx F 2(x) = f 2 (x) = 2x f 2 (x) dx = 2x dx = x 2 + C 27

31 Für das Bilden von Integralen gelten ähnliche Regeln wie für das Bilden von Ableitungen. Funktion Stammfunktion Konstante: f(x) = a F (x) = a x + C Potenzfunktion: f(x) = x n F (x) = 1 n + 1 xn+1 + C Exponentialfunktion: f(x) = e x F (x) = e x + C f(x) = a x mit a R + \ {1} F (x) = ax ln(a) + C Logarithmusfunktion: f(x) = ln(x) F (x) = x + x ln(x) + C Hyperbel: f(x) = 1 x F (x) = ln(x) + C Wurzelfunktion: f(x) = n x = x 1 n F (x) = n x x n + 1 Trigonometrische Fkt.: f(x) = sin(x) F (x) = cos(x) + C + C f(x) = cos(x) F (x) = sin(x) + C Folgende Integrationsregeln gibt es: Faktorregel: a f(x) dx = a f(x) dx Summenregel: (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx Partielle Integration: f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx Integration durch Substitution: f(x) dx = f(g(u)) g (u) du Sonderfall: f (x) f(x) dx = ln(f(x)) + C 28

32 Beispiel: f(x) = 3x 2 F (x) = x 3 + C f(x) = 7x 3 f(x) = 2 e x F (x) = 7 4 x4 + C F (x) = 2 e x + C f(x) = 6 e 2x F (x) = e2x + C = 3 e 2x + C f(x) = cos(x) + 1 3x F (x) = sin(x) ln(x) + C Zur Berechnung von bestimmten Integralen wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewandt: b a f(x) dx = [F (x) + C] b a = (F (b) + C) (F (a) + C) = F (b) F (a) Integrale werden häufig dazu verwendet, die Fläche zwischen einer Funktion und der Abszisse zu berechnen. 29

33 Beispiel 1: Es sei die Funktion f(x) = x gegeben. Wie groß ist die Fläche zwischen der Abszisse und dem Graphen der Funktion von 0 bis 4? Eine Möglichkeit zur Berechnung führt über die Fläche eines Rechtwinkligen Dreiecks: A = 1 2 Grundseite Höhe = = 8 Eine andere Möglichkeit bietet das bestimme Integral: f(x) = x F (x) = 1 2 x2 + C A = = b a 4 0 f(x) dx = [F (x)] b a [ ] 4 1 x dx = 2 x2 0 = F (b) F (a) = = 8 0 = 8 30

34 Beispiel 2: Es sei die Funktion f(x) = 1 x gegeben. Wie groß ist die Fläche zwischen der Abszisse 2 und dem Graphen der Funktion von 2 bis 6? f(x) = 1 2 x F (x) = 1 4 x2 + C A = [ 2 x dx = 1 ] 6 4 x2 2 = ( 14 ) 22 = = 8 Es ist zu erkennen, dass Flächen, die unterhalb der Abszisse liegen, negativ gewertet werden. 31

35 4.2 Grundlagen der Matrizenrechnung Vektoren und Matrizen werden in vielen Bereichen der BWL dazu verwendet Gleichungssysteme zu lösen oder zum Beispiel Produktionspläne darzustellen. Beginnend mit Vektoren sind folgende Operationen für x und y des R n und Skalare α R definiert: x 1 + y 1 x 2 + y 2 Addition von Vektoren : x + y =. x n + y n x 1 y 1 x 2 y 2 Subtraktion von Vektoren : x y =. x n y n αx 1 αx 2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar : α x =. αx n 0 Die Addition des Nullvektors 0 = und die Multiplikation mit 1 lassen einen Vektor 0. 0 x unverändert. Der Vektor x ist folglich gleichbedeutend mit ( 1) x. Eigenschaften der Vektoroperationen Für Vektoren x, y, z R n und Skalare α, β R gelten: a) x + y = y + x (Kommutativität) b) ( x + y) + z = x + ( y + z) (Assoziativität) c) α(β x) = (αβ) x (Assoziativität der Multiplikation mit zwei Skalaren) d) (α + β) x = α x + β x (Distributivgesetz I) e) α( x + y) = α x + α y (Distributivgesetz II) f) ( x + y) = x y g) ( x) = x 32

36 Lineare (Un)abhängigkeit a) Die Vektoren v 1, v 2,..., v k R n heißen linear abhängig, wenn es Zahlen α 1,..., α k R gibt, die ungleich null sind, sodass gilt: α 1 v 1 + α 2 v α k v k = 0 b) Die Vektoren v 1, v 2,..., v k R n sind genau dann linear abhängig, wenn mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann. c) Die Vektoren v 1, v 2,..., v k R n heißen linear unabhängig, wenn gilt: α 1 v 1 + α 2 v α k v k = 0 α 1 = α 2 =... = α k = 0 Anschaulich bedeutet die lineare Unabhängigkeit der Vektoren v 1, v 2,..., v k, dass jeder von ihnen in eine neue Richtung aufspannt. Matrizen Ein rechteckiges Zahlenschema der Form a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a m1 a m2 a mn mit Einträgen a ij R heißt eine (reelle) m n Matrix oder eine Matrix vom Typ (m, n). A besitzt m Zeilen und n Spalten. Man schreibt kurz: A = (a ij ) R m n, wobei i = 1,..., m die Zeilen und j = 1,..., n die Spalten nummeriert. Eine Matrix heißt quadratisch, wenn m = n gilt. Die Einträge a 11, a 22,..., a nn bilden die Hauptdiagonale. Beachte: Ein Vektor ist faktisch nichts anderes als eine Matrix, die nur eine Zeile bzw. Spalte hat. 33

37 Für Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) des R m n und Skalare α R sind folgende Operationen definiert: a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n Addition von Matrizen: A + B =... a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn α a 11 α a 12 α a 1n α a 21 α a 22 α a 2n Skalarmultiplikation: αa =... α a m1 α a m2 α a mn 0 0 Die Addition der Nullmatrix 0 =.. R m n und die Multiplikation mit der 0 0 Zahl 1 lassen eine Matrix A unverändert. A ist auch hier gleichbedeutend mit ( 1) A. Die n n Einheitsmatrix E (manchmal auch I oder Identität) besteht aus den Einheitsvektoren des R n : I = (Diagonalmatrix mit Hauptdiagonale aus Einsen) Es gelten die gleichen Eigenschaften wie für die Addition von Vektoren. Eine Matrix kann transponiert werden, indem die Zeilen zu Spalten werden und umgekehrt: A R m n A R n m Eine (quadratische) Matrix heißt symmetrisch, wenn A = A ist. 34

38 Eigenschaften der Matrixmultiplikation und -transposition Für Matrizen A, B, C passender Dimensionen und α R gelten: a) A(B C) = (A B)C (Assoziativität) b) A(B + C) = AB + AC (Distributivgesetz I) c) (A + B)C = A C + B C (Distributivgesetz II) d) (α A)B = α(a B) = A(α B) e) A E = A und E A = A (Multiplikation mit der Einheitsmatrix E passender Größe) f) A 0 = 0 und 0 A = 0 (Multiplikation mit der Nullmatrix g) (A + B) = A + B h) (α A) = α A i) (A B) = B A Inverse Matrix passender Größe) a) Falls zu A R n n (quadratisch) eine Matrix A 1 R n n existiert mit der Eigenschaft A A 1 = A 1 A = E, so nennt man A 1 die (eindeutige) inverse Matrix zu A. b) Falls zu A R n n die inverse Matrix A 1 existiert, so heißt A invertierbar oder regulär, andernfalls nicht invertierbar oder singulär. Beachte: Für invertierbares A gilt (A 1 ) 1 = A. Inverse Matrix für 2 2 Matrizen Eine 2 2 Matrix ist die einzige Matrixform welche nach folgender Vorschrift berechnet werden kann: ( ) ( ) a b A = A 1 1 d b = c d ad bc c a 35

39 Determinante Für A R n n, A = (a ij ), gilt: Beispiel: a) n = 1 : det(a) = a 11 b) n = 2 : det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 21 a 12 a 11 a 12 a 13 c) n = 3 : det(a) = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 det ( ) 1 2 = ( 2) = a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 12 a 21 a det = = det = = Zu beachten ist: die Determinante einer Matrix, die aus linear abhängigen Vektoren besteht, ist immer 0. Im Umkehrschluss bedeutet dies: ist die Determinante gleich 0, dann sind entweder die Spalten oder Zeilen der Matrix linear abhängig (siehe S. 33). 36

40 4.3 Multiplikation von Matrizen Gegeben sind zwei Vektoren: x = ( x 1 x 2 x 3 ) y 1 und y = y 2 y 3 y 1 x y = ( x 1 x 2 ) x 3 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 Skalar y 3 y 1 y x = y 2 (x ) y 1 x 1 y 1 x 2 y 1 x 3 1 x 2 x 3 = y 2 x 1 y 2 x 2 y 2 x Matrix y 3 y 3 x 1 y 3 x 2 y 3 x 3 Die Multiplikation von Vektoren und Matrizen unterliegt einem einfachen Grundsatz: Eine Matrix A ij kann nur mit einer anderen Matrix multipliziert werden, wenn diese die Form B jk hat. Die Anzahl der Spalten (Breite) der ersten Matrix muss also mit der Anzahl der Zeilen (Höhe) der zweiten Matrix übereinstimmen. Beispiel: 1 2 a = 3 4 b = 5 6 ( ) 7 8 c = ( 9 ) a b, a c und c b können berechnet werden, aber b c nicht. 1 2 ( ) a b = = = a c = c b = b c = ( ) ( ) 7 8 ( ) 9 10 = = ( ) ( ) = = ( ) 9 10 funktioniert nicht, da ( ) ( fehlt 11 )

41 4.4 Übungsaufgaben Aufgabe 16 Berechnen Sie: a ) 3x + 4 dx b ) 4x 3 + 5x 2 + 3x 5 dx c ) 4 sin(x) dx d ) 4x cos(x) dx e ) g ) 5 x dx f ) 3 x dx h ) 3e x dx 0 dx i ) 3x 2 + 5e x dx j ) sin(x) cos(x) dx k ) 5x 3 6 x dx l ) 3u + 5x 2 du m ) ln(x) dx n ) 4x 2 d o ) x e x dx p ) x sin(x) dx q ) x 2 e x dx r ) ax 2 sin(x) dx s ) 7u + 4x 4 dx t ) x 2 3u dx Aufgabe 17 Berechnen Sie: a ) c ) x + 4 dx b ) 7 dx d ) π sin(x) dx 3x dx 38

42 Aufgabe 18 2 Gegeben seien die Vektoren a = 3, b = 1 Berechnen Sie: a) s 1 = 3 a 4 b + c b) s 2 = 3 ( 5 b + c) + 5 ( a + 3 b) c) s 3 = 3 ( a 2 b) + 5 c 0 5 und c = Aufgabe 19 Berechnen Sie die Determinante: A = ( 3 ) B = C = D = Aufgabe Gegeben seien die Matrizen A = 1 3, B = 4 1 Berechnen Sie falls möglich: ( ) a) B + C b) A B c) B C d) A (B + C) e) C A f) A B + A C und C = ( )

43 5. Anhang Die Gewinnfunktion aus Beispiel von S. 24 war: G(x) = U(x) K(x) = 100x 20x 2 (20x + 30) = 80x 20x 2 30 Entsprechend lautet die Ableitung davon: G (x) = U (x) K (x) = 80 40x Literaturempfehlung Wöhe, G. und Döring, U. (2013) : Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre. Vahlen, München, 25. Aufl. Wöhe, G.; Kaiser, H. und Döring, U. (2008): Übungsbuch zur Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre. Vahlen, München, 12. Aufl. Bossek, H. et al. (2007): Duden Basiswissen Schule Mathematik Abitur. Duden, Berlin, 1. Aufl. Abitur Skript (2015): Abiturskript - Mathematik Bayern. Stark, Freising, aktuelle Aufl. 40

44 Stichwortverzeichnis p-q-formel, 2 Ableitungen Rechenregeln, 22 Steigungen, 19 Binomische Formeln, 1 Brüche Rechengesetze, 9 Determinante, 36 Erwartungswert, 5 Eulersche Zahl, 12 Exponentialfunktion natürliche, 12 Gewinnfunktion, 40 Integrale bestimmt, 27 Rechenregeln, 28 unbestimmt, 27 Kostenfunktion, 23 linear abhängig, 33 unabhängig, 33 Logarithmus natürlicher, 13 Rechengesetze, 14 Matrix Inverse, 35 Rechengesetze, 35 Mittelwert, 4 Mitternachtsformel, 2 Partielle Ableitung, 22 Potenzen Rechengesetze, 10 Preis-Absatz-Funktion, 23 Produktschreibweise, 4 Prozente Rechengesetze, 11 Skalar, 32 Standardabweichung, 5 Summenschreibweise, 3 Umsatzunktion, 23 Varianz, 5 Vektoren Rechengesetze, 32 41