Grundwissen Klasse 7

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1 Grundwissen Klasse 7 Zahlenmenen = {1; 2; 3; 4; 5; 6;... } Die ene der natürlichen Zahlen. = {... 3; 2; 1; 0; + 1; + 2; + 3;...} Die ene der anzen Zahlen. Die ene der rationalen Zahlen. ultiplikation und Division in Z bzw. Q ultiplikation + + = + + = + = = + otenzen + (a 0, n ) für ( a) n ilt: ( a) n = a n, wenn n erade ist ( a) n = a n, wenn n unerade ist Division + : + = + + : = : + = : = + Gleichunen und Unleichunen Die Lösunsmene einer Gleichun ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten die leiche Zahl addiert oder subtrahiert.... beide Seiten mit der leichen Zahl (= 0) multipliziert oder dividiert. Die Lösunsmene einer Unleichun ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten die leiche Zahl addiert oder subtrahiert.... beide Seiten mit der leichen positiven Zahl (= 0) multipliziert oder dividiert.... beide Seiten mit der leichen neativen Zahl (= 0) multipliziert oder dividiert und das Unleichheitszeichen umkehrt (Inversionsesetz). Diese Umformunen einer Gleichun bzw. Unleichun heißen Äquivalenzumformunen. eispiele 2x + 5 6x 4 = 4x + 1 = 4x = x = = : ( 4) 4 { 4} 3x 7 6x 8 > 3x 15 > 3x > x < = : ( 3) 6 {x x < 6}

2 Grundwissen Klasse 7 otenzen mit leichem Exponenten otenzesetze a, b e Q m, n e N eispiel llemein = = = (3 2) 2 a m b m = (a b) m = = a m a = b m b m (b = 0) otenzen mit leicher asis eispiel llemein = ( ) (7 7) = 7 6 = a m a n = a m + n = = = 5 3 = a m = a m n (a = 0) a n (2 2 ) 3 = = = 2 6 = (a m ) n = a m n = = oder 5 3 = = = a n a n (a = 0) 6 4 = = 6 0 oder = = a 0 = 1 (a = 0) Sehr roße Zahlen und sehr kleine Zahlen können als rodukt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz darestellt werden. ei sehr roßen Zahlen ist der Exponent positiv, bei sehr kleinen Zahlen ist der Exponent neativ: 0 0 ist nicht definiert! eispiele = 5, ,00495 = 4,

3 Grundwissen Klasse 7 Indirekte roportionalität Eine Zuordnun x y nennt man indirekt proportional, wenn ilt: Vervielfacht sich die Größe x um das n-fache, so teilt sich die Größe y durch n. Eienschaften: y lle Zahlenpaare (x y) sind produktleich. Das konstante rodukt k = y x heißt roportionalitätskonstante. lle unkte lieen auf einer Hyperbel. O x rozentrechnun verminderter Grundwert vermehrter Grundwert Durch reisnachlass eribt sich aus dem ursprünlichen Grundwert ein neuer, verminderter Grundwert, den man auch als rozentwert verstehen kann. ursprünlicher GW = ^ 100% Verminderun: p% verminderter GW = ^ 100% p% Durch reisaufschla eribt sich aus dem ursprünlichen Grundwert ein neuer, vermehrter Grundwert, den man auch als rozentwert verstehen kann. ursprünlicher GW ^= 100% Vermehrun: p% verminderter GW ^= 100% + p% Die Zinsrechnun ist eine nwendun der rozentrechnun. Unter Zinsen versteht man den Geldbetra, den man nach einer bestimmten Zeit in der Reel nach einem Geschäftsjahr (360 Tae = Tae) für eliehenes Geld bezahlen muss oder für verliehenes Geld bekommt. Es entsprechen sich: Grundwert (GW) rozentwert (W) rozentsatz (p) Kapital (K) Zinsen (Z) Zinssatz (p) Für 940 erhält man im Jahr 35,25 Zinsen. Das Geld wurde mit 3,75% verzinst. eispiel Kapital (K) Jahreszins (Z) Zinssatz (p) Z 100 K p Z 100 K = Z = p = p 100 K

4 Grundwissen Klasse 7 Winkel Wechselwinkel (Z-Winkel) an zwei parallelen Geraden und h haben leiches aß: Stufenwinkel (F-Winkel) an zwei parallelen Geraden und h haben leiches aß: h h h In jedem Dreieck beträt die Summe der Innenwinkelmaße 180. γ In jedem Viereck beträt δ die Summe der Innenwinkelmaße γ 1 = α + β 360. α + β + γ + δ = 360 β γ α + β + γ α = 180 β α Das aß eines ußenwinkels ist leich der Summe der aße der beiden nicht anlieenden Innenwinkel. arallelverschiebun Wird einer Urfiur durch Verschiebun mit leich lanen, parallelen und leich erichteten feilen enau eine ildfiur zueordnet, so handelt es sich bei der bbildun um eine arallelverschiebun. an schreibt: Urfiur D C D C Eienschaften ildfiur lle Verbindunsstrecken vom Ur- zum ildpunkt sind leich lan, parallel und leich erichtet. Die arallelverschiebun ist eine Konruenzabbildun (Ur- und ildfiur sind deckunsleich). Die arallelverschiebun ist länen- und winkeltreu, sowie eraden- und kreistreu. Die arallelverschiebun besitzt keinen Fixpunkt. Eine Gerade in Verschiebunsrichtun ist Fixerade.

5 Grundwissen Klasse 7 Vektoren Die ene paralleler, leich laner und leich erichteter feile bezeichnet man als Vektor v. an schreibt: v = { ; ; CC ; DD ;... } Jeder der feile,,... ist Repräsentant des Vektors v. Die Koordinaten des feiles und damit des Vektors v kann mit dem Fußpunkt (x y ) und der Spitze (x y ) berechnet werden: v = = x x y y Spitze Fuß Die Koordinaten eines feiles mit dem Fußpunkt O (0 0) stimmen mit den Koordinaten der Spitze (x y ) überein. Einen solchen feil nennt man Ortspfeil O. Für den Geenvektor v * eines Vektors v v = x ilt: v v * = y v x v y Rechnen mit Vektoren Für a a = x b a und b = x ilt: y b y Kommutativesetz: a + b = b + a a a + b = x b + x a = x + b x ssoziativesetz: (a + b) + c = a a + (b + c) y b y a y + b y y it Hilfe von eschlossenen feilketten kann man die Koordinaten von ildpunkten berechnen: O = O + x y = + = 0,5 3,5 0,5 + 3,5 x 2 y = (2 4) O 1 1 x Für den ittelpunkt (x y ) einer Strecke [] mit (x y ) und (x y ) ilt: x = x + x 2 y = y + y 2

6 Grundwissen Klasse 7 Drehun Eine Urfiur lässt sich durch Drehun auf enau eine ildfiur abbilden. Die Drehun wird dabei durch nabe des Drehzentrums Z, des Drehwinkelmaßes α und der Drehrichtun festelet. Z; α an schreibt: Urfiur C D α Z 0 < α < 360 D C Eienschaften ildfiur Dreht man enteen dem Uhrzeiersinn, so spricht man von positiver Drehrichtun. Urpunkt und ildpunkt lieen auf einem Kreis um das Drehzentrum Z. Das Winkelmaß α ibt an, wie weit und in welche Richtun edreht wird. Die Drehun ist eine Konruenzabbildun (Ur- und ildfiur sind deckunsleich). Die Drehun ist länen- und winkeltreu, sowie eraden- und kreistreu. Urfiur und ildfiur haben den leichen Umlaufsinn. Das Drehzentrum Z ist der einzie Fixpunkt. Drehun um 180 Eine Drehun um 180 heißt auch unktspieelun am Zentrum Z. Die Verbindunsstrecke von Urpunkt und ildpunkt wird vom Drehzentrum Z halbiert, d. h. Z = Z. Jede Gerade, die das Drehzentrum Z enthält, ist Fixerade. Jede Gerade, die das Drehzentrum Z nicht enthält, wird auf eine parallele Gerade abebildet. Eine Fiur heißt drehsymmetrisch, wenn sie bei einer Drehun um das Symmetriezentrum Z mit dem Winkelmaß α auf sich selbst abebildet wird. α = 180 Z

7 Grundwissen Klasse 7 Der Kreis Umfan eines Kreises: u = 2 r π Flächeninhalt eines Kreises: = r 2 π Kreiszahl π ~ 3,14 r Sehne [] Kreisboen ( C Der Winkel heißt ittelpunktswinkel über der Sehne [] bzw. dem Kreisboen. ( Der Winkel C heißt Randwinkel über der Sehne [] bzw. dem Kreisboen. ( lle Randwinkel über derselben Sehne eines Kreises haben leiches aß. Das aß des ittelpunktswinkels über der Sehne eines Kreises ist immer doppelt so roß wie das aß des Randwinkels über derselben Sehne. Der Satz des Thales C 1 C 2 C 3 Verbindet man die unkte C n des Halbkreises über einer ittelsehne mit den Endpunkten und, so haben die Winkel C n das aß 90. Umekehrt ilt: Hat der Winkel C das aß 90, so liet sein Scheitel C auf dem Halbkreis über der ittelsehne []. Die Tanente an einem Kreis steht im erührpunkt immer senkrecht auf der Zentralen durch den erührpunkt. Thales von ilet um 600 v. Chr. it Hilfe des Thaleskreises kann man die beiden Tanenten von einem unkt an einen Kreis k konstruieren ( k): Tanenten Zeichne die Strecke []. Zeichne den Thaleskreis über der Strecke []. Seine Schnittpunkte mit der Kreislinie sind die erührpunkte T 1 und T 2. Zeichne die Tanenten T 1 und T 2. Es ilt: T 1 = T 2 Hinweis: Die Strecken [T 1 ] und [T 2 ] heißen Tanentenabschnitte Zentralen T 1 T 2 k

8 Grundwissen Klasse 7 Geometrische Ortslinien und Ortsbereiche lle unkte der Kreislinie k haben von die Entfernun r. k = { = r} lle unkte des Kreisinneren k i sind von wenier als r entfernt. k i = { < r} lle unkte des Kreisäußeren k a sind von mehr als r entfernt. k a = { > r} r k Die ittelsenkrechte zur Strecke [] ist die Symmetrieachse dieser Strecke. lle unkte auf der ittelsenkrechten m [] sind von und leich weit entfernt. m [] = { = } m [] lle unkte, die von einer Geraden den leichen bstand a besitzen, lieen auf dem arallelenpaar zur Geraden. p 1 p 2 = { d (; ) = a} a p 1 lle unkte, die von zwei parallelen Geraden p 1 und p 2 den leichen bstand a besitzen, lieen auf der ittelparallelen. = { d (; p 1 ) = d (; p 2 )} a p 2 lle unkte, die von zwei sich schneidenden Geraden und h den leichen bstand haben, lieen auf den Winkelhalbierenden w 1 und w 2 der beiden Winkel zwischen den Geraden. w 1 w 2 = { d (; ) = d (; h)} w 1 h w 2 Die ittelsenkrechten der Dreiecksseiten schneiden sich in einem unkt. Dieser unkt ist ittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. Der ittelpunkt hat von den Eckpunkten des Dreiecks die Entfernun r. Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem unkt. Dieser unkt ist ittelpunkt des Inkreises des Dreiecks. hat von den Dreiecksseiten den leichen bstand r. r r