Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren"

Transkript

1 Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B( ; ) und C(; ) eines Dreiecks gegeben und es soll der Winkel a (an der Ecke A) bestimmt werden. Man benötigt die Vektoren AB und AC oder BA und CA. Würde man den Winkel zwischen AB (der von A weg zeigt ) und CA (der zu A hin zeigt ) berechnen, so würde sich 80 - a ergeben. Es gilt: AB OB OA analog ergibt sich AC. Damit ist cos( ) AB AC AB AC 9 0 und a º 7,87.

2 Lineare Unabhängigkeit Aufgabe Sind die folgenden Vektoren linear abhängig oder unabhängig? a),, b) 0 8, c) Lässt sich der Vektor v als Linearkombination der Vektoren a und b darstellen? v, a und b. a) Die Vektoren sind linear abhängig bzw. komplanar, denn = -. b) Die Vektoren sind linear abhängig bzw. kollinear, denn 0 8 = ÿ. c) Wir müssen prüfen, ob es reelle Zahlen s und t gibt, so dass = sÿ + tÿ gilt. Es ergeben sich drei Gleichungen mit zwei Unbekannten: () = s + t

3 () - = s - t () = -s + t Wir wählen die Gleichungen () und () aus und lösen diese nach s und t auf. Addiert man () und (), so erhält man = t, womit t = wäre. Setzt man t = in () ein, so ergibt sich = s +, womit s = wäre. Nun müssen wir die nicht verwendete Gleichung () prüfen und setzen unsere Lösungen für s und t in diese ein: - = ÿ -. Damit ist die Gleichung () erfüllt und der Vektor v als Linearkombination der Vektoren a und b darstellen: = ÿ + ÿ Aufgabe Gegeben sind die Vektoren a, b und c. Sind diese Vektoren linear abhängig? Wir müssen nun prüfen, ob die Gleichung r + s t nur eine Lösung (hier wären die Vektoren linear unabhängig), oder unendlich viele hat. Also ergeben sich drei Gleichungen mit drei Unbekannten: () -r + s + t = 0 () r + s + t = 0

4 () -r - s - t = 0 () + () ergibt: () + ÿ() ergibt: () 7s + 7t = 0 () -s - t = 0 ()/7 + ()/ ergibt 0 = 0. Somit sind die Vektoren abhängig und es gibt unendlich viele Lösungen, denn die beiden Gleichung () und () sind nur Vielfache voneinander. Sucht man weiter nach Lösungen, so folgt aus () bzw. () nur, dass s = -t ist. Setzt man dies z.b. in () ein, ergibt sich -r + t - t = 0, womit r = t ist. Für jedes t aus den reellen Zahlen gibt es somit eine Lösung. Z.B. für t = wäre s = - und r =. Bemerkung: Wir hätten auch prüfen können, ob es (reelle) Zahlen s und t gibt, so dass = s + t gilt. Wenn ja, dann sind die Vektoren linear abhängig. Bei dieser Art der Prüfung der linearen Abhängigkeit muss man aber aufpassen, dass die beiden Vektoren auf der rechten Seite nicht kollinear (d.h. Vielfache) sind, denn wenn diese Vielfache sind, dann sind die drei Vektoren automatisch abhängig. In diesem Fall würde man aber allgemein keine s und t finden, obwohl diese abhängig sind. Oben gilt s = / und t = -/. Aufgabe Gauss-Algorithmus Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. r s t rechte Seite Die rechte Seite könnte man hier auch weglassen, da sie nur aus Nullen besteht und somit ein homogenes Gleichungssystem vorliegt. Wir vertauschen nun die erste mit der dritten Zeile, wobei wir die dritte Zeile mit (-) multiplizieren:

5 r s t - Nun addiert man Vielfache der ersten Zeile zu den anderen beiden Zeilen, so dass unterhalb der ersten Zeile in der ersten Spalte Nullen stehen. Wir addieren das (-)-fache der ersten Zeile zur zweiten und das -fache der ersten Zeile zur dritten: r s t Addiert man nun das 9-fache der zweiten Zeile zum -fachen der dritten Zeile, so ergibt sich das folgende Tableau: r s t Da eine Zeile nur mit Nullen entstanden ist, sieht man, dass die Vektoren linear abhängig waren (das Gleichungssystem hat damit unendlich viele Lösungen). Den Gauss-Algorithmus kann man allgemein bei linearen Gleichungssystemen verwenden. Aufgabe Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Lösung : () x - y + z = () x - y + z = 8 () -x + y + z = 7 Wir tragen die Koeffizienten des Gleichungssystems in das Tableau ein, wobei wir die ersten beiden Zeilen vertauschen, was in diesem Fall das eliminieren von x vereinfacht (hier muss dann nur die erste Zeile vervielfacht werden und zu einer anderen addiert werden, denn vor x steht hier der Faktor ):

6 Nun können wir das (-)-fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile und das -fache der ersten Zeile zur dritten Zeile addieren und erhalten unter der ersten Zeile in der Spalte für x nur Nullen: Jetzt addieren wir das (-)-fache der zweiten Zeile zur dritten, wobei wir y in der dritten Zeile eliminieren: Somit wäre z = und z =. Setzen wir z = in die zweite Zeile des umgeformten Gleichungssystem ein, so ergibt sich -y - ÿ = -, womit y = ist. Nun können wir die Lösungen für z und y in die ersten Zeile einsetzen und erhalten x - + ÿ = 8, womit x = ist. Somit haben wir die Lösung Ë = {(; ; )} gefunden. Bemerkung: Hätte sich als letztes Tableau ergeben, so gäbe es keine Lösung (Ë = {}). Hätte sich als letztes Tableau dagegen ergeben, so gäbe es unendlich viele Lösungen. Man könnte z auf einen Parameter z = t setzen und dann in die zweite Zeile einsetzen: -y - t = -. Damit wäre y = - t. Dies in die erste Gleichung eingesetzt (und z = t) liefert x - ( - t) + t = 8, somit x = - 7t ist und wir haben die Lösungsmenge Ë = {( - 7t; - t; t) t œ R} gefunden. Grafisch gesehen ist dies eine Gerade im Raum.

7 Aufgabe 7 Wie muss a gewählt werden, damit das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist? () x y = 8 () x + ay = Wir übertragen das Gleichungssystem in das Tableau: x y rechte Seite - 8 a Wir addieren das (-)-fache der ersten Zeile zum -fachen der zweiten Zeile und schreiben das Ergebnis in die zweite Zeile: x y rechte Seite a - Damit ist (+a)z = -. Wenn + a 0 ist, d.h. wenn a -/ ist, dann gibst es genau eine Lösung. Wenn a = -/ wäre, dann würde sich 0 = - ergeben, womit wir keine Lösung hätten.

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches

Mehr

Allgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte.

Allgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte. Lineare Gleichungssysteme. Einleitung Lineare Gleichungssysteme sind in der Theorie und in den Anwendungen ein wichtiges Thema. Theoretisch werden sie in der Linearen Algebra untersucht. Die Numerische

Mehr

Das Lösen linearer Gleichungssysteme

Das Lösen linearer Gleichungssysteme Das Lösen linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungen Die Gleichung a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b ist eine lineare Gleichung in den n Variablen x 1, x 2,..., x n. Die Zahlen a 1, a 2,..., a n

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13 4. Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem ist ein System aus Gleichungen mit Unbekannten, die nur linear vorkommen. Dieses kann abkürzend auch in Matrizenschreibweise 1 notiert werden:

Mehr

Lineare Gleichungssysteme: eine Ergänzung

Lineare Gleichungssysteme: eine Ergänzung Lineare Gleichungssysteme: eine Ergänzung Ein lineares Gleichungssystem, bei dem alle Einträge auf der rechten Seite gleich sind heiÿt homogenes lineares Gleichungssystem: a x + a 2 x 2 +... + a n x n

Mehr

Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)

Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1) Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n b a 2 x + a 22 x 2 +...

Mehr

Mathematik 1, Teil B. Inhalt:

Mathematik 1, Teil B. Inhalt: FH Emden-Leer Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre 2.) Matrizen, Determinanten

Mehr

3. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker

3. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Mirjam Dür Dipl. Math. Stefan Bundfuss. Übungsblatt zur Lineare Algebra I für Physiker WS 5/6 6. Dezember 5 Gruppenübung Aufgabe G (Basis und Erzeugendensystem) Betrachte

Mehr

A2.3 Lineare Gleichungssysteme

A2.3 Lineare Gleichungssysteme A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen

Mehr

2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)

2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition 2.2.. Ein LGS über einem Körper K von m Gleichungen in n Unbekannten x,..., x n ist ein Gleichungssystem der Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x +

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung

Mehr

Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz

Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz Hanspeter Horlacher Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz 1. Einführung Eine Grösse, zu deren Festlegung ausser einer Zahl auch noch die Angabe einer Richtung nötig ist, heisst VEKTOR. P 2 P 1 P 1 P 2 P

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de Thema: Lineare Algebra:

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,

Mehr

Analytische Geometrie II

Analytische Geometrie II Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 7 11. Mai 2010 Kapitel 8. Vektoren Definition 76. Betrachten wir eine beliebige endliche Anzahl von Vektoren v 1, v 2,..., v m des R n, so können

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und

Mehr

1 0 1, V 3 = M, und λ A = λa

1 0 1, V 3 = M, und λ A = λa Aufgabe 57. Magische Quadrate Eine reelle 3 3-Matrix A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 heißt magisches Quadrat, falls alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und die beiden Diagonalsummen a 11 + a 22 + a

Mehr

6.2. Prüfungsaufgaben zur Lösbarkeit von LGS

6.2. Prüfungsaufgaben zur Lösbarkeit von LGS 6.. Prüfungsaufgaben zur Lösbarkeit von LGS Aufgabe : Lösbarkeit von LGS () Berechne mit Hilfe des Gauß-Verfahrens die Lösungsmengen der drei folgenden inhomogenen Gleichungssysteme. Gib außerdem die Lösungsmengen

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

Brückenkurs Elementarmathematik

Brückenkurs Elementarmathematik Brückenkurs Elementarmathematik IV. Ungleichungen November 13, 2013 Inhalt 1 Ungleichungen 2 Umformungen von Ungleichungen 2.1 Äquivalenzumformungen 2.2 Addition und Multiplikation von Ungleichungen 3

Mehr

Basiswissen Analytische Geometrie

Basiswissen Analytische Geometrie www.matheabitur.de Basiswissen Analytische Geometrie Alle Grundlagen und Rechentechniken der analytischen Geometrie S. und deren beschreibende Verfahren Wissenskatalog der Grundlagen. Lösen einfacher linearer

Mehr

Kommentiertes Beispiel für das Gaußsche Eliminationsverfahren

Kommentiertes Beispiel für das Gaußsche Eliminationsverfahren Kommentiertes Beispiel für das Gaußsche Eliminationsverfahren oder: Wie rechnet eigentlich der TI 84, wenn lineare Gleichungssysteme gelöst werden? Hier wird an einem Beispiel das Gaußsche Verfahren zum

Mehr

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt)

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Name: Seite: 1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Dozent: R. Burkhardt Büro: 4.613 Klasse: 1. Studienjahr Semester: 1 Datum: HS 28/9

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

Mehr

Serie 8: Fakultativer Online-Test

Serie 8: Fakultativer Online-Test Prof Norbert Hungerbühler Lineare Algebra I Serie 8: Fakultativer Online-Test ETH Zürich - D-MAVT HS 215 1 Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen Die Nachbesprechung

Mehr

Analytische Geometrie I

Analytische Geometrie I Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend

Mehr

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01 . Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Interpretation und Verständnis der Gleichungen Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik unter

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe

Mehr

Lösungen zur Mathematik für Informatiker I

Lösungen zur Mathematik für Informatiker I Lösungen zur Mathematik für Informatiker I Wintersemester 00/03 Prof Dr H Lenzing Blatt 7 Sei M Ihre Matrikelnummer mit den Ziffern m, m, m 3, m 4, m 5, m 6, m 7 Aufgabe 6 ( Bonuspunkt): Wir betrachten

Mehr

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A

Beispiele 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix (A 133 e 1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 2. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Matrix 1 3 2 1 1 2 3 0. 1 3 2 1 Schritte des

Mehr

Themenheft mit viel Trainingsmaterial (Siehe Vorwort!) Unabhänge Vektoren und Erzeugung von Vektoren Gauß-Algorithmus Rang einer Matrix.

Themenheft mit viel Trainingsmaterial (Siehe Vorwort!) Unabhänge Vektoren und Erzeugung von Vektoren Gauß-Algorithmus Rang einer Matrix. LINEARE ALGEBRA Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Themenheft mit viel Trainingsmaterial (Siehe Vorwort!) Unabhänge Vektoren und Erzeugung von Vektoren Gauß-Algorithmus Rang einer Matrix Gleichungssysteme

Mehr

Mathematik II für Maschinenbauer

Mathematik II für Maschinenbauer SS 20 Prof. Dr. Michael Dellnitz Dipl.-Math. Sebastian Hage-Packhäuser Dipl.-Math. Katrin Witting Mathematik II für Maschinenbauer Übungsblatt Hausübungen (Abgabe: Di, 9.04.20 bis :00 Uhr) Aufgabe. (5

Mehr

Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene

Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander

Mehr

LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME. Wir besprechen hier, wie MathematikerInnen an das Lösen linearer Gleichungssysteme wie. x + y + z = 1

LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME. Wir besprechen hier, wie MathematikerInnen an das Lösen linearer Gleichungssysteme wie. x + y + z = 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1. Ein kurzes Vorwort Wir besprechen hier, wie MathematikerInnen an das Lösen linearer Gleichungssysteme wie 2 x 1 + 2 x 2 = 3 6 a + 4 b = 3 (a) (b) 4 x 1 + 3 x 2 = 8 3 a + 2

Mehr

( ) Lineare Gleichungssysteme

( ) Lineare Gleichungssysteme 102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv

Mehr

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier

Mehr

Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1

Vektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen,

Mehr

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2 Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Christian Serpé Universität Münster 14. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) 14. September 2011 1 / 56 Gliederung 1 Motivation Beispiele Allgemeines Vorgehen 2 Der Vektorraum R n 3 Lineare

Mehr

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition) Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz

Mehr

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass

Mehr

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen . Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen 2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html

Mehr

7.1 Matrizen und Vektore

7.1 Matrizen und Vektore 7.1 Matrizen und Vektore Lineare Gleichungssysteme bestehen aus einer Gruppe von Gleichungen, in denen alle Variablen nur in der 1. Potenz vorkommen. Beispiel Seite 340 oben: 6 x 2 = -1 + 3x 2 = 4 mit

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein

Mehr

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x = Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.

Mehr

ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dann ist jeder dazu parallele (kollinear) Veka tor d ein Vielfaches von a. + λ 2 a 2

ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dann ist jeder dazu parallele (kollinear) Veka tor d ein Vielfaches von a. + λ 2 a 2 II. Basis und Dimension ================================================================= 2.1 Linearkombination und Basis -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Rang einer Matrix. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Rang einer Matrix. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Rang einer Matrix 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Unterdeterminante einer nichtquadratischen Matrix M ist eine nichtquadratische 2,3-Matrix: M = 6 2 3 0 5 7 Durch Streichen einer der drei Spalten kann man

Mehr

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. 1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit

Mehr

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an

Mehr

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit

Mehr

Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix

Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Inhaltsverzeichnis Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Auf dieser Seite werden Matrizen und Vektoren fett gedruckt, um sie von Zahlen zu unterscheiden. Betrachtet wird das

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 5.4

Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 5.4 A Filler: Elementare Lineare Algebra Lösungen zu Abschnitt 54 Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 54 B ist linear unabhängig, wenn die Vektorgleichung ( ) ( ) ( ) ( ) 456 λ + λ + λ = bzw das LGS λ +4λ +λ

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Mathematik Analytische Geometrie

Mathematik Analytische Geometrie Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,

Mehr

Kapitel 13. Lineare Gleichungssysteme und Basen

Kapitel 13. Lineare Gleichungssysteme und Basen Kapitel 13. Lineare Gleichungssysteme und Basen Matrixform des Rangsatzes Satz. Sei A eine m n-matrix mit den Spalten v 1, v 2,..., v n. A habe den Rang r. Dann ist die Lösungsmenge L := x 1 x 2. x n x

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 14

Aufgaben zu Kapitel 14 Aufgaben zu Kapitel 14 1 Aufgaben zu Kapitel 14 Verständnisfragen Aufgabe 14.1 Haben (reelle) lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen? Aufgabe 14.2 Gibt

Mehr

Basistext Lineare Gleichungssysteme. Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten hat die allgemeine Form! #=%

Basistext Lineare Gleichungssysteme. Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten hat die allgemeine Form! #=% Basistext Lineare Gleichungssysteme Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten hat die allgemeine Form! #=% Mit zwei Unbekannten gibt es die allgemeine Form:! #+% '=( Gelten mehrere dieser Gleichungen

Mehr

Vektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)

Vektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) fua3673 Fragen und Antworten Vektorgeometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis Vektorgeometrie im Raum. Fragen................................................. Allgemeines..........................................

Mehr

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen 3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange

Mehr

GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN

GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN Mathematik-Olympiaden in Rheinland-Pfalz GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN Fortgeschrittene Die Aufgaben auf diesem Arbeitsblatt haben alle eine elegante Lösungsidee. Bei vielen Gleichungen ist nach Anwenden

Mehr

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch

Mehr

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Poelchau-Oberschule Berlin A. Mentzendorff September 2007 Lineare Gleichungssysteme Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Das Lösungsverfahren von Gauß 4 3 Kurzschreibweise und Zeilensummenkontrolle 6 4

Mehr

Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra

Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra Vorkurs Mathematik Teil III. Lineare Algebra Inhalt 0. Inhalt 1. Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Verfahren. Vektorrechnung 3. Lagebestimmungen von Punkt, Geraden und Ebenen 4. Skalarprodukt, Längen

Mehr

Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem

Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben /3 Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den

Mehr

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1

Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis

Mehr

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren

Mehr

1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen

1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Technische Universität München Thomas Reifenberger Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Mittwoch WS 2008/09 1 Transponieren, Diagonal- und Dreiecksmatrizen Definition 11 Transponierte Matrix

Mehr

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge.

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge. 1. Definition von drei Vektoren sind l.u. 2. Wie überprüft man 3 Vektoren mit Hilfe eines LGS auf lineare Unabhängigkeit? 3. Definition von Basis?... wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK darstellen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Übersicht Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen 1 Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen Beispiele 2 Fakultät Grundlagen Folie: 2 Beispiel I Lineare

Mehr

Gleichungssysteme ersten Grades lösen

Gleichungssysteme ersten Grades lösen Gleichungssysteme ersten Grades lösen Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Einsetzungsmethode 18=10a + b 2=0a + b Durch Isolieren von b in der ersten Gleichung ergibt sich b =18 10a. b wird nun in der

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n

Mehr

Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung

Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung Mathematischer Vorkurs für Physiker und Naturwissenschaftler WS 2014/2015 Grundbegriffe der Linearen Algebra Viele physikalische Größen (Geschwindigkeit,

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem

Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben / Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den

Mehr

Vektorräume und Lineare Abbildungen

Vektorräume und Lineare Abbildungen Vektorräume und Lineare Abbildungen Patricia Doll, Selmar Binder, Lukas Bischoff, Claude Denier ETHZ D-MATL SS 07 11.04.2007 1 Vektorräume 1.1 Definition des Vektorraumes (VR) 1.1.1 Grundoperationen Um

Mehr

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok Kurs über Lineare Gleichungssysteme PD Dr. Karin Halupczok Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg http://home.mathematik.unifreiburg.de/halupczok/diverses.html karin.halupczok@math.uni-freiburg.de

Mehr

Erfolg im Mathe-Abi 2010

Erfolg im Mathe-Abi 2010 Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Vorwort Vorwort Erfolg von Anfang an Das vorliegende Übungsbuch ist speziell auf die grundlegenden

Mehr

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt Version vom 4. Januar 2007 Gleichungen von Geraden in der Ebene 1999 Peter Senn * 1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt In dieser Form lautet die Gleichung der Geraden wie folgt: g:

Mehr

6. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

6. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 6. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 2/ 25..-.2. Aufgabe G (Lineare Gleichungssysteme)

Mehr

Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen.

Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen. Analytische Geometrie Seite 1 von 6 1. Wichtige Formeln AB bezeichnet den Vektor, der die Verschiebung beschreibt, durch die der Punkt A auf den Punkt B verschoben wird. Der Vektor, durch den die Verschiebung

Mehr

Der Kern einer Matrix

Der Kern einer Matrix Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis

Mehr

1 Geometrie - Lösungen von linearen Gleichungen

1 Geometrie - Lösungen von linearen Gleichungen Übungsmaterial Geometrie - Lösungen von linearen Gleichungen Lineare Gleichungen sind von der Form y = f(x) = 3x + oder y = g(x) = x + 3. Zwei oder mehr Gleichungen bilden ein Gleichungssystem. Ein Gleichungssystem

Mehr

Zu zwei Matrizen A R m n und B R p q existiert das Matrizenprodukt A B n = p und es gilt dann. A B = (a ij ) (b jk ) = (c ik ) = C R m q mit c ik =

Zu zwei Matrizen A R m n und B R p q existiert das Matrizenprodukt A B n = p und es gilt dann. A B = (a ij ) (b jk ) = (c ik ) = C R m q mit c ik = H 6. Die Matrizen A, B, C und D seien gegeben durch 5 A =, B =, C = 4 5 4, D =. 5 7 5 4 4 Berechnen Sie (sofern möglich) alle Matrizenprodukte X Y mit X, Y {A, B, C, D}. Zu zwei Matrizen A R m n und B

Mehr

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt: Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1 Analytische Geometrie mit dem Voyage. Vektoren Vektoren lassen sich definieren in eckigen Klammern. Setzt man ein Semikolon zwischen die einzelnen Komponenten, so ergibt sich ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie

Lineare Algebra und analytische Geometrie TI voyage 200 Kompaktwissen Lineare Algebra und analytische Geometrie Eine kleine Hilfe für Schüler der DSB Seite 2 TI voyage 200 Kompaktwissen Algebra/Geometrie Diese Anleitung soll helfen, Aufgaben aus

Mehr

Lösungen zum 5. Aufgabenblatt

Lösungen zum 5. Aufgabenblatt SS 2012, Lineare Algebra 1 Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/

Mehr