Softwarepraktikum WS 2003 Thema: Schnitt von Halbebenen. Markus Esch Jörg Jakoby Alexander Betz

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1 Softwarepraktikum WS 2003 Thema: Schnitt von Halbebenen Markus Esch Jörg Jakoby Alexander Betz Universität Trier Prof. Stefan Näher Algorithms and Data Structures Group

2 Inhaltsverzeichnis I Einleitung...Seite 3 II Theoretische Grundlagen...Seite 4 III Implementierung...Seite 6 IV Probleme/Lösungen...Seite 9 V Bedienung...Seite 10 2

3 I Einleitung Im Rahmen unseres Softwarepraktikums im Hauptstudium befassten wir uns mit dem Thema "Schnitt von Halbebenen". Wir sollten ein Programm erstellen welches eine beliebige Menge von Halbebenen als Eingabe erhält und daraus den Schnitt berechnet und darstellt. Die Realisierung sollte in C++ unter Verwendung der LEDA Bibliothek erfolgen. 3

4 II Theoretische Grundlagen Eine Halbebene ist die Menge aller Punkte auf der gleichen Seite einer Geraden. Also definiert eine Gerade g eine obere und eine untere Halbebene. Der Schnitt mehrerer Halbebenen (HE) ist ein konvexes ( möglicherweise unbeschränktes ) Polygon, da der Schnitt konvexer Mengen wieder konvex ist. Ziel ist es die Folge der Ecken des Schnittpolygons zu berechnen. Dazu führen wir das Problem auf die Berechnung der konvexen Hülle einer geeigneten Punktmenge zurück. Das heißt, wir transformieren die definierenden Geraden in duale Punkte. Zu einer Geraden l : y= ax + b ist der duale Punkt D(l) = (a,b). Die duale Gerade zu dem Punkt p = (a,b) ist definiert als D(p) : y= - ax + b. Der Punkt p liegt oberhalb (auf/unterhalb) einer Geraden l genau dann wenn die Gerade D(p) oberhalb (auf/unterhalb) vom Punkt D(l) liegt. Wir unterteilen das ursprüngliche Problem in zwei Teilprobleme: Zum einen die Berechnung des Schnittes der oberen Halbebene und zum anderen der Berechnung des Schnittes der unteren Halbebene. Die Lösung des Gesamtproblems erhält man dann durch Schnitt der Ergebnismengen der beiden Teilprobleme. Wir beschränken uns hier auf die Beschreibung der Schnittberechnung der oberen Halbebene (S + ), da die Berechnung der unteren Halbebene (S - ) analog erfolgt. Algorithmus zur Berechnung von S + 1. Berechnung der dualen Punkte pi = D(li) für i = 1,..,m (m = # obere HE) 2. Berechnung der oberen konvexen Hülle H von {p 1,...,p m } (Wir verwenden hierzu den Algorithmus Graham's Scan (siehe unten)) 3. Seien e 1,...,e n die Kanten von H von links nach rechts. Nun berechnen wir die Folge der Geraden L 1,...,L n so, dass e i Teilmenge von L ist. 4. Berechnung und Ausgabe von D -1 (L 1 ),...,D -1 (L n ). Dieser Algorithmus hat die Laufzeit O(m*logm). Graham's Scan (zur Berechnung der oberen Hülle (untere Hülle analog)) Seien S = {q 1,...,q n } die Punkte deren obere konvexe Hülle berechnet werden soll. 4

5 1. Finde xy-lexikographisches Maximum a und Minimum b. 2. Ermittlung der Punkte oberhalb der Strecke ab. Dazu verwendet man das Orientation Prädikat (siehe unten). Also ergibt sich: S 1 = Menge der Punkte oberhalb von ab = {q S Orientation (a,b,q) = 0}; S 1 S 3. Initialisiere Stack mit qn,q1,q2 4. Schritt s s+1: while (! x t-1,x t,q s+1 right-turn) do pop(x t ) od push (q s+1 ) Orientation Prädikat Seien die Punkte p,q,r gegeben. Orientation (q,p,r) = sign [( qx-px)(ry-py)-(qy-py)(rx-px)] Ist Orientation (q,p,r) = -1, so liegt der Punkt r rechts der Geraden qp. Ist Orientation (q,p,r) = 0, so liegt der Punkt r auf der Geraden qp. Andernfalls liegt der Punkt r links der Geraden qp. Bestimmung des Durchschnitts von S + und S - Zur Bestimmung des Durchschnitts von S + und S - verwendet, sondern eine eigene Funktion geschrieben. haben wir keinen bekannten Algorithmus 5

6 III Implementierung Unser Programm besteht aus den beiden Dateien halbebenen.c und halbebenen.h. Die Datei halbebenen.h enthält die Funktionen upperhull, lowerhull und intersect. Als Eingabe erhalten upperhull und lowerhull jeweils eine Punktliste. Die Funktionen berechnen mit dem oben beschriebenen Graham's Scan Algorithmus die obere bzw. untere konvexe Hülle der Eingabepunkte und geben das Ergebnis als Punktliste zurück. Der Funktion intersect werden die Segmente des oberen und unteren Halbebenenschnittes übergeben. Die Segmente sind die Strecken zwischen den einzelnen Ecken des Schnittpolygons. Da die Polygone nach links und rechts ins Unendliche verlaufen, werden sie künstlich durch den linken bzw. rechten Fensterrand beschränkt. Außerdem werden noch die Eckpunkte des oberen und des unteren Schnittes übergeben. Die Funktion berechnet den Durchschnitt des oberen und des unteren Halbraumschnittes. Unsere selbstgeschriebene Funktion zur Berechnung des Durchschnitts von S + und S - bestimmt zunächst vier Punkte: "upleft", "upright", "lowleft" und "lowright". Wobei "upleft" der linke Endpunkt des am weitesten links liegenden Segmentes des oberen Schnittpolygons ist. Die anderen Punkte ergeben sich analog. Nun wird in einer doppelten Forschleife der Punkt "left", dies ist der linke Schnittpunkt von S + und S -, berechnet. (beachte: Dieser Schnittpunkt existiert unter Umständen nicht, nämlich dann wenn sich S + und S - außerhalb des Fensters schneiden). forall (currend_low, lower_segs){ forall (currend_up, upper_segs){ if (currend_low.intersection (currend_up, left)){ stop = true; break; } } if (stop) break; } 6

7 Die äußere Forschleife durchläuft die unteren Segmente von links, die innere Forschleife durchläuft die oberen Segmente von links. In der If - Abfrage wird geprüft ob sich die beiden Segmente schneiden. Ist dies der Fall, wird der Schnittpunkt in "left" gespeichert und die Schleifen werden verlassen. Analog wird der rechte Schnittpunkt berechnet. Beide Schnittpunkte können natürlich auch gleich sein, nämlich dann wenn der Schnittpunkt von S + und S - auf der linken oder rechten Seite außerhalb des Fensters liegt. Mit den folgenden Abfragen wird nun überprüft ob der Schnittpunkt von S + und S - auf der linken oder rechten Seite außerhalb des Fensters liegt: i) if(upleft.ycoord() < lowleft.ycoord()) ii) if(upright.ycoord() < lowright.ycoord()) Ergibt die erste Abfrage "true", so liegt der Schnittpunkt von S + und S - auf der linken Seite außerhalb des Fensters. Ist die zweite Abfrage "true" liegt der Schnittpunkt auf der rechten Seite außerhalb des Fensters. Nun können vier Fälle auftreten: 1) i) und ii) sind true: Dann besteht der Schnitt von S + und S - aus allen Punkten von S + und S -, sowie den Punkten upleft, upright, lowleft, lowright. 2) i) und ii) sind false: Dann besteht der Schnitt von S + und S - aus den Punkten "left" und "right", sowie den Eckpunkten p von S + und S - für deren y - Koordinate gilt: left.ycoord() < p.ycoord() < right.ycoord() 3) i )true und ii) false; Dann besteht der Schnitt von S + und S - aus den Punkten "upleft", "upright", "right" sowie den Eckpunkten von S + und S - für deren y - Koordinate gilt: p.ycoord() < right.ycoord() 4) i) false und ii) true: Analog zu Fall 3) Die Funktion liefert nun die entsprechend dieser Unterscheidung ermittelte Punktmenge zurück. 7

8 Die Datei halbebenen.c enthält die Methoden: calc_lower_average, calc_upper_average, dispay_time und main. Die Methode calc_upper_average bzw. calc_lower_average erhält als Eingabe eine Liste von Linien und eine Liste der dazugehörigen dualen Punkte. Daraus wird der obere bzw. untere Halbebenenschnitt errechnet. Dazu wird der in Teil II beschriebene Algorithmus zur Berechnung von S + bzw. S - verwendet. Die Spezialfälle, in denen weniger als drei Linien eingegeben wurden, werden abgefangen und gesondert behandelt, da der Graham's Scan Algorithmus mindestens drei Punkte als Eingabe benötigt. Wurde nur eine Gerade eingegeben, ist der Schnitt Trivialerweise die gesamte obere bzw. untere Halbebene. Bei zwei Geraden muss nur der Schnittpunkt zwischen diesen beiden Geraden berechnet werden. Dazu wird die LEDA Methode "bool intersection(line g, point& p)" verwendet. Zurückgegeben wird eine Liste der Eckpunkte des Schnittpolygons. Die display_time Methode erhält als Eingabe einen Pointer eines Windowobjektes und flusht die Eingabe des Objektes. In der main Methode wird ein Window Objekt der LEDA Bibliothek verwendet um ein Eingabefenster zu realisieren. In einer Forschleife wird ständig auf Mauseingaben geachtet, die dann entsprechend verarbeitet werden. Wird einer der Buttons betätigt, werden die entsprechenden oben beschriebenen Methoden zur Berechnung des Schnittes aufgerufen. Wird in das Eingabefenster geklickt, wird der default - Zweig der switch Anweisung ausgeführt. Darin werden die Koordinaten der eingegebenen Punkte eingelesen und in Listen gespeichert. Es gibt zwei Linienlisten: Die erste speichert die Geraden welche obere Halbebenen definieren, die zweite Liste speichert entsprechend die Geraden, welche untere Halbebenen definieren. Zu allen Geraden werden auch die dualen Punkte berechnet und in Listen gespeichert. Wurde eine vertikale Linie eingegeben, wird die gesamte Eingabe um ein Epsilon gedreht. 8

9 IV Probleme / Lösung Probleme traten insbesondere dadurch auf, da der obere bzw. untere Halbebenenschnitt unbegrenzt ist. Um dieses Problem zu lösen beschränkten wir die Schnittpolygone künstlich durch den Rand des Eingabefensters. Ein weiteres Problem entstand, wenn mehrere parallele Linien eingegeben wurden, die den gleichen Halbraum beschrieben. Da sich diese Linien nicht schneiden, funktionierten die verwendeten Algorithmen nicht. Aus diesem Grund haben wir diesen Fall gesondert behandelt. Die irrelevanten parallelen Linien wurden aus den Linienlisten gelöscht. Hierbei ist es einfach festzustellen welche Linien in diesem Sinne irrelevant sind. Im Fall von oberen Halbebenen ist nur die parallele Linie mit der höchsten y-koordinaten relevant. Im Fall der unteren Halbebenen ist dementsprechend die Linie mit der niedrigsten y-koordinate relevant. 9

10 V Bedienung Dies ist das GUI unseres Programms: Die Buttons Exit: Beendet das Programm Clear: Löscht den Inhalt des Eingabefensters S+: Berechnet den oberen Halbebenenschnitt und stellt ihn in dem Ein- /Ausgabefenster dar S-: Analog zu S+ Schnitt(S+,S-): Berechnet den Durchschnitt des oberen und unteren Halbebenenschnittes 10

11 Bedienung des Eingabefensters In dem Eingabefenster können beliebige Halbebenen definiert werden. Eine Halbebene wird jeweils durch drei Mausklicks beschrieben. Die ersten beiden eingegebenen Punkte definieren die Gerade, der dritte Punkt legt fest ob es sich um eine obere oder untere Halbebene handelt. Klickt man oberhalb der Gerade handelt es sich um eine obere Halbebene, die Gerade wird dann blau eingefärbt dargestellt. Untere Halbebenen werden durch einen Punkt unterhalb der Geraden festgelegt, diese Geraden werden sodann gelb dargestellt. 11

12 Dementsprechend wird der obere Halbebenenschnitt blau angezeigt, der untere Halbebenenschnitt gelb und der Durchschnitt von S + und S - grün. 12