5 Sphärische Trigonometrie

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1 $Id: sphaere.tex,v /07/09 15:09:47 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.3 Geographische Koordinaten b γ a P α c β P 2 P 1 λ ϕ ϕ2 Längengrad λ und Breitengrad ϕ Abstand auf Großkreis Wir betrachten wieder eine Kugel, die wir uns diesmal als die Erdkugel vorstellen. Wir wollen die Punkte auf K durch Koordinaten beschreiben. Eine Gerade durch den ittelpunkt der Kugel sei vorgegeben, im Fall der Erde nimmt man hierfür die Rotationsachse der Erde. Die beiden Schnittpunkte der Achse mit K sind die beiden Pole, einen nennen wir ordpol, den anderen den Südpol S. Die Großkreise durch ord- und Südpol, heißen dann die Längenkreise, oder eridiane. Einer von diesen wird willkürlich als ullmeridian ausgewählt, im Fall der Erde wurde hierfür der durch Greenwich laufende eridian gewählt. Die erste geographische Koordinate λ eines Punktes P ist nun der Längengrad, dies ist der Winkel den der eridian durch P mit dem ullmeridian bildet. Dabei zählen wir die östliche Richtung als positiv, also mit steigenden Längengrad. Die Ebene senkrecht auf der Achse durch schneidet die Kugel K in einem Großkreis der der Äquator genannt wird, die Ebene heißt entsprechend die Äquatorebene. Die zweite Koordinate eines Punktes P ist nun der Breitengrad ϕ, d.h. der Winkel den P mit der Äquatorebene bildet. Die Punkte konstanten Breitengrades bilden einen zum Äquator parallelen Kleinkreis, einen sogenannten Breitenkreis. Für die folgenden Beispiele schauen wir uns zwei Punkte an, der Punkt P 1 ist Kiel mit λ 1 = 10 08, ϕ 1 = 54 20, 23-1

2 und der Punkt P 2 ist Peking mit λ 2 = , ϕ 1 = Die achkommastellen bei solchen geographischen Koordinaten werden traditionell sexagesimal zur Basis 60 dargestellt, d.h. 28 meint 28/60 Grad, weitere achkommastellen werden dann mit mehreren Strichen markiert. In dezimales Gradmaß umgerechnet sind auf vier achkommastellen λ 1 = 10, 1333, ϕ 1 = 54, 3333, λ 2 = 116, 4666, ϕ 2 = 39, 9. Angenommen wir haben zwei Punkte P 1 mit Koordinaten λ 1, ϕ 1 und P 2 mit Koordinaten λ 2, ϕ 2. Um den Abstand dieser beiden Punkte auszurechnen, betrachte des sphärische Dreieck P 1 P 2 mit Seiten wie im obigen Bild markiert. Gesucht ist die Seite c. Setzen wir den eridian durch P 2 bis zum Äquator fort, so entstehen insgesamt 90 und der Teil zwischen P 2 und dem Äquator ist dabei der Breitengrad ϕ 2, also haben wir a = π 2 ϕ 2 und analog b = π 2 ϕ 1. Der Winkel γ ist der Winkel zwischen den eridianen durch P 1 und P 2, und da der Längengrad der Winkel zum ullmeridian ist, folgt γ = λ 2 λ 1. Damit haben wir genug Daten zusammen unser Dreieck zu berechnen. it dem Seitencosinussatz Satz 3 folgt cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ ( π = cos 2 ϕ 2 cos 2 ϕ 1 + sin 2 ϕ 2 sin 2 ϕ 2 cos γ = sin ϕ 1 sin ϕ 2 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos(λ 2 λ 1. it dieser Formel lassen sich Abstände von in Längengrad und Breitengrad gegebenen Punkten berechnen. In unserem obigen Beispiel Kiel Peking wird cos c 0, also c 1, Dies ist der Winkelabstand, um den metrischen Abstand zu kriegen müssen wir noch mit dem Radius unserer Kugel multiplizieren, also mit dem Erdradius R = 6371, 2km und der Abstand Kiel Peking längs des verbindenden Großkreises wird P 1 P 2 = Rc 7418, 4km. Auch die beiden Winkel α und β in unserem sphärischen Dreieck P 1 P 2 haben eien Bedeutung. Unter dem Kurswinkel einer Kurve auf K in einem Punkt versteht man den Winkel zum durch den Punkt laufenden eridian, dann sind α der Kurswinkel im Startpunkt P 1 der Strecke P 1 P 2 und β der Kurswinkel im Endpunkt P 2, man nennt 23-2

3 α den Abfahrts- und β den Ankunftswinkel. Wir können diese beispielsweise mit dem sphärischen Sinussatz Satz 6 berechnen, es ist sin c/ sin γ 0, und somit sin α = sin a 0, = cos ϕ 2 0, , und der Abfahrtswinkel wird α 53, Für den Ankunftswinkel berechnen wir analog β 37, b γ a β P 2 α P Berechnung der Tageslänge In diesem letzten Abschnitt wollen wir als eine weitere Anwendung der sphärischen Trigonometrie die Berechnung der Tageslänge durchführen. Angenommen wir haben eine Kugel E mit ittelpunkt und Radius R > 0 die von einer Lichtquelle in der Entfernung S beleuchtet wird. Denken wir uns der Einfachheit halber das alle Lichtstrahlen vom ittelpunkt der Quelle ausgehen, so bilden wir einen Kegel mit Spitze in S der tangential an der Kugel anliegt, und der beleuchtete Teil unserer Sphäre ist dann das Innere des Kleinkreises in dem der Kegel die Kugel berührt. Ekliptik R H φ S Äquator F δ 0 Lichtquelle Ekliptik 23-3

4 Dieser Kleinkreis bildet mit S einen Winkel φ und lesen wir den Cosinus von φ im oben links gezeigten rechtwinkligen Dreieck ab, so ergibt sich cos φ = R S. Sind nun E die Erde und unsere Lichtquelle die Sonne, so ist R der Erdradius R = 6371, 2 km und S ist der Abstand zur Sonne. Der genaue Wert von S hängt von der Jahreszeit ab, der kleinste auftretende Wert sind S = km. Für den Winkel φ ergibt sich φ 89, , und für alle praktischen Zwecke sind dies 90. Wir können also davon ausgehen das immer auf einer Hälfte der Erdoberfläche Tag ist. Wenn wir einen einzelnen Tag betrachten, so können wir uns die Sonne als im Raum fixiert denken. Durch die Drehung der Erde um ihre Achse ändert sich die Hälfte der Erde auf der gerade Tag ist. Die Verbindungsstrecke von Erdmittelpunkt und Sonnenmittelpunkt trifft die Erdoberfläche in einem Punkt Q und der Großkreis k der die Grenze zwischen Tag und acht markiert hat Q als einen Pol. Liegt Q auf dem Äquator, so ist die Tag acht Grenze k ein eridian, also wird jeder Breitenkreis von k genau halbiert und damit sind Tag und acht in jedem Punkt der Erdoberfläche gleich lang. Da wir allerdings wissen das die Länge des Tages mit der Jahreszeit variiert kann Q in der Regel nicht auf dem Äquator liegen. Die Bewegung der Erde um die Sonne findet in einer Ebene statt, und diese Ebene nennt man die Ekliptik. Schneiden wir die Ekliptik mit der Erdoberfläche so entsteht ein Großkreis q auf dem sich unser Punkt Q bewegt. Wäre die Drehachse der Erde senkrecht auf der Ekliptik, so wäre q der Äquator und Tag und acht wären immer gleich lang. In der Wirklichkeit sind die beiden aber verschieden, der Großkreis q bildet mit dem Äquator einen Winkel δ 0, und dies führt dazu das sich die Tageslänge mit der Jahreszeit ändert. Den Winkel δ 0 kann man genau messen, er hat auf zwei achkommastellen den Wert δ 0 = 23, 44. Der Großkreis q schneidet den Äquator in zwei diametralen Punkten F und H, in diesen beiden Punkten fällt der Einstrahlpunkt Q auf den Äquator und Tag und acht sind überall auf der Erde gleich lang. an nennt F den Frühlingspunkt und H den Herbstpunkt, diese sind die beiden Äquinoktien oder Tagundnachtgleichen. Wir betrachten nun einen fixierten Tag und an diesem Tag habe die Sonne zum Äquator den Winkel δ, d.h. ist Q der Einstrahlpunkt so hat die Strecke Q zur Äquatorebene den Winkel δ. an nennt δ die Deklination. Ist Q der Frühlingspunkt, so ist δ = 0 und mit fortschreitenden Jahr läuft Q den Großkreis q entlang und δ wird größer. Dies geht bis die Deklination ihren maximalen Wert δ = δ 0 erreicht, dies geschieht wenn die senkrecht auf dem Äquator stehende Ebene durch Q auch senkrecht auf der Ekliptik ist, dann ist die Deklination der Winkel zwischen Äquator und Ekliptik und die sogenannte Sommersonnenwende ist erreicht. Danach wird δ wieder kleiner bis der Herbstpunkt erreicht wird und δ = 0 ist. ach Durchlaufen des Herbstpunktes wird δ negativ, d.h. ab diesem Punkt ist die Südhalbkugel der Sonne zugewandt. Der kleinste Wert der Deklination wird dann bei δ = δ 0 erreicht und dann ist die 23-4

5 Wintersonnenwende erreicht. Anschhließend läuft Q zurück zum Frühlingspunkt, die Deklination steigt also wieder bis δ = 0, und alles geht von vorne los. Wir wollen die Tageslänge in Abhängigkeit von Deklination und Breitengrad berechnen. ehme einmal an das δ 0 ist das also die ordhalbkugel der Sonne zugewandt ist. Ab einem gewissen Breitengrad ϕ ist der Tag dann volle 24 Stunden lang und um ϕ zu berechnen schauen wir uns den unten rechts gezeigten Querschnitt an. H ϕ P Q Q δ ϕ ϕ δ Deklination Querschnitt zu den Polarkreisen S Die Strecke Q bildet mit dem Äquator den Winkel δ, senkrecht zu dieser Strecke ist die Tag acht Grenze k und alle Breitenkreise oberhalb des Schnitts von k mit der Sphäre liegen ganz im beleuchteten Teil der Erde. Die Grenze ϕ ergibt sich damit zu δ + π 2 + ϕ = π, also ϕ = π 2 δ. Im Frühlingspunkt δ = 0 gibt es noch keinen solchen Breitenkreis und zur Sommersonnenwende δ = δ 0 ist nördlich des Breitenkreises π/2 δ 0 = 66, 56 volle 24 Stunden lang Tag. an nennt den Breitenkreis ϕ = π/2 δ 0 den nördlichen Polarkreis. Symmetrisch dazu ist der südliche Polarkreis, südlich des Breitenkreises (π/2 δ ist 24 Stunden lang acht. Wird die Deklination negativ, so ist die Südhalbkugel der Sonne zugewandt und die südlichen Breitenkreise haben permanenten Tag und die nördlichen permanente acht. Für die Breitenkreise ϕ mit ϕ < π/2 δ gibt es dagegen einen Wechsel von Tag und acht und wir betrachten jetzt einen solchen Breitengrad ϕ. Sei P der westliche Schnittpunkt des Breitenkreises zum Breitengrad ϕ mit der Tag acht Grenze k, d.h. im Punkt P haben wir den Sonnenaufgang auf unserem Breitenkreis. Ist der ordpol so bilden wir das oben links gezeigte sphärische Dreieck P Q und sein Winkel H bei heißt der Stundenwinkel, dies ist der Winkel zwischen dem Sonnenaufgang in P und der ittagszeit wenn der eridian durch Q erreicht wird. Insbesondere bildet der Teil des Breitenkreises der von der Sonne beschienen wird mit den Winkel 2H. Der Punkt P ist auf dem Großkreis k mit Pol in Q, also haben P und Q den 23-5

6 Winkelabstand P Q = π 2, es liegt ein sogenannte rechtsseitiges sphärisches Dreieck vor. Da P den Breitengrad ϕ und Q den Breitengrad δ hat, ist P = π 2 ϕ und Q = π 2 δ. Wenden wir in P Q den Seitencosinussatz Satz 3 an, so ergibt sich ( π 0 = cos P Q = cos 2 ϕ cos 2 δ + sin 2 ϕ sin 2 δ cos H also ist sin ϕ sin δ cos H = cos ϕ cos δ = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos H, = tan ϕ tan δ. Wir hatten schon festgehalten das der in der Sonne liegende Teil des Breitenkreises den doppelten Stundenwinkel 2H einnimmt, und da die Drehung der Erde um ihre Achse konstante Winkelgeschwindigkeit hat ist die Tageslänge auf dem Breitengrad ϕ damit gegeben als T 1 = T 1 (ϕ, δ = 2H = arccos( tan ϕ tan δ. 2π π Diese geometrische Tageslänge weicht aber noch recht deutlich von der wirklich beobachteten Tageslänge ab. Dies liegt an zwei Hauptgründen. Zum einen ist die Sonne keine punktförmige Lichtquelle sondern hat eine Ausdehnung und nimmt eine Winkel von etwa 16 ein. Die Sonne ist also schon um den Winkel 16 vor Erreichen des Punktes P sichtbar. Weiter hat die Erde eine Atmosphäre an der sich die eingehenden Lichtstrahlen brechen, und essungen dieses Effekts ergeben einen weiteren Korrekturwinkel 34. Insgesamt kommen wir auf den Korrekturwinkel ( 5 ɛ := = 50 = 0, In unserem Dreieck P Q haben wir bei Sonnenaufgang also tatsächlich P Q = π/2+ɛ und der Seitencosinussatz ergibt ( π sin ɛ = cos 2 + ɛ = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos H und somit cos H = tan ϕ tan δ Als genaueren Wert für die Tageslänge erhalten wir ( tan ϕ tan δ T 2 = 24 π arccos 23-6 sin ɛ cos ϕ cos δ. sin ɛ, cos ϕ cos δ

7 und um diesen Wert mit T 1 zu vergleichen machen wir eine kleine Approximationsüberlegung. Zunächst erinnern wir uns daran das die Differenzierbarkeit einer Funktion f in einem Punkt x bedeutet das für kleine Inkremente h die äherung gilt. Die Ableitung des Arcus Cosinus ist f(x + h f(x + f (xh d dx arccos x = 1 1 x 2, also haben wir arccos(x + h arccos x h 1 x 2. Der Wert sin ɛ/(cos ϕ cos δ ist vergleichsweise klein, also wird T 2 T π 1 tan 2 ϕ tan 2 δ sin ɛ cos ϕ cos δ. Weiter haben wir für kleine Winkel φ die übliche äherung sin φ φ und es wird ( 5 sin ɛ ɛ = = π 180 = π 216, und somit T 2 T cos2 ϕ cos 2 δ sin 2 ϕ sin 2 δ = T cos2 ϕ sin 2 δ. Wir wollen uns dies einmal am Beispiel des durch Kiel laufenden Breitenkreises anschauen, dieser hatte den Breitengrad ϕ = Dies ist südlich des Polarkreises bei 66, 56 also gibt es stets eine Tag und eine achtphase. In der folgenden Tabelle geben wir die Tageslänge in Kiel als Funktion der Deklination δ für einige Werte von δ an δ 0 4, 69 9, 37 14, 06 18, 75 δ 0 = 23, 44 T 1 12 : : : : : : 57 T 2 12 : : : : : : 12 Diese Tabelle gibt uns Werte zwischen dem Frühlingsanfang und der Sommersonnenwende, für andere Werte der Deklination δ lassen sich die Werte durch Symmetrieüberlegungen gewinnen. 23-7