Herausgegeben von: Prof. Dr. Sabine Kaufmann und Prof. Dr. Jens Holger Lorenz Erarbeitet von Prof. Dr. Sabine Kaufmann

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1 Herausgegeben von: Prof. Dr. Sabine Kaufmann und Prof. Dr. Jens Holger Lorenz Erarbeitet von Prof. Dr. Sabine Kaufmann Weitere Titel, die in der mathe:pro-reihe erschienen sind: Elementar Erste Grundlagen in Mathematik ISBN MATHEminis ISBN Kompetenztraining ISBN Kompetenztraining 2 ISBN Kompetenztraining 3 ISBN Kompetenztraining 4 ISBN Sachrechenbox /2 ISBN Sachrechenbox 3/4 ISBN Knobelbox /2 ISBN Knobelbox 3/4 ISBN Förder-/Diagnosebox, Mathematik (Kl. 4) ISBN Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit-Box (Kl. 4) ISBN Fördern ISBN Fördern 2 ISBN Fördern 3 ISBN Fördern 4 ISBN Förderbox (Kl. 2) ISBN Förderbox (Kl. 3 4) ISBN Bildungshaus Schulbuchverlage Westermann Schroedel Diesterweg Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung gescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Druck A / Jahr 202 Alle Drucke der Serie A sind im Unterricht parallel verwendbar. Redaktion: Petra Hartisch Herstellung: Heike Freese Illustrationen: Angelika Çitak, Wipperfürth Layout und Umschlaggestaltung: Visuelle Lebensfreude, Hannover Satz: UMP Utesch Media Processing GmbH, Hamburg Druck: westermann druck GmbH, Braunschweig ISBN

2 Zahlenfolgen ab Klasse 2 Zahlenfolgen ab Klasse 3

3 3 Zahlenfolgen ab Klasse 5. Zur gleichen Zahlenfolge kann die Regel verschieden formuliert werden. 4 Zahlenfolgen ab Klasse Für die Regeln gibt es verschiedene Möglichkeiten. 4

4 5 Zahlenfolgen ab Klasse 2. Zwei aufeinander folgende Zahlen werden addiert. Das Ergebnis ist die darauf folgende Zahl. 3. z. B. Es ist von Bedeutung, welche der beiden Zahlen an erster und an zweiter Stelle steht. Ist die zweite Zahl die größere, wachsen die anderen Zahlen schneller. Wird die erste Zahl um (3) größer, so wird die fünfte Zahl um 2 (6) größer. Allgemein: Die fünfte Zahl wird um doppelt so viel größer, wie die erste Zahl größer wird. Wird die zweite Zahl um (3) größer, so wird die fünfte Zahl um 3 (9) größer. Allgemein: Die fünfte Zahl wird um dreimal so viel größer, wie die erste Zahl größer wird. 5

5 6 Zahlenfolgen ab Klasse 2 7 Zahlenfolgen ab Klasse 3 2. z. B (Regel: 5) (Regel: 3-2) (Regel: ) (Regel: ) 6

6 3. z. B Rechendreiecke ab Klasse. Die Außensumme ist doppelt so groß wie die Innensumme. 2. Die Innensumme muss 0 ergeben. z. B. --8 oder -2-7 oder -3-6 oder -4-5 oder oder oder oder

7 9 Rechendreiecke ab Klasse 2 0 Rechendreiecke ab Klasse 2 3. Das 0. Dreieck hat die Innensumme Das 7. Dreieck hat die Außensumme 50. 8

8 Rechendreiecke ab Klasse 2. b) Das 7. Dreieck hat die Innensumme b) Das 9. Dreieck hat die Außensumme Zahlenpyramiden ab Klasse 2. a) Wenn die mittlere Startzahl um 4 größer wird, wird die Zielzahl um 8 größer. Die Zielzahl wird immer um das Doppelte größer als die mittlere Startzahl. b) Wenn die linke Startzahl um 4 größer wird, wird die Zielzahl auch um 4 größer. Die Zielzahl wird immer um gleich viel größer wie die linke Startzahl. c) Wenn die mittlere Startzahl um 2 größer und die äußeren Startzahlen zusammen um 2 kleiner werden, wird die Zielzahl um 2 größer. Begründung: Durch die mittlere Startzahl wird die Zielzahl um 4 größer, durch die äußeren Startzahlen um 2 kleiner. Also wird die Zielzahl insgesamt um 2 größer. 9

9 d) Wenn alle Startzahlen verdoppelt werden, verdoppelt sich auch die Zielzahl. 2. Pyramide mit Startzahlen oder Die 7 muss in der Mitte stehen. 3. z. B. Pyramide mit Startzahlen Es gibt verschiedene Lösungen. Die 0 muss jedoch immer in der Mitte stehen. Die Summe der beiden Eckzahlen muss 20 sein, z. B oder -0-9 oder oder Zahlenpyramiden ab Klasse 2. a) Mögliche Lösung: Es gibt mehrere Lösungen, die 4 und die 5 müssen jedoch auf jeden Fall außen stehen. b) Mögliche Lösung: Es gibt mehrere Lösungen, die 6 und die 5 müssen jedoch auf jeden Fall außen stehen, die 2 als kleinste Zahl muss in der Mitte stehen. 0

10 2. a) Die Eckzahlen sind die 2. b) Es gibt viele verschiedene Lösungen: z. B oder oder oder oder können die Startzahlen sein. 4 Zahlenpyramiden ab Klasse 2 5 Zahlenpyramiden ab Klasse 2

11 6 Zahlenpyramiden ab Klasse 2 4. a) Finde die Regel.. Pyramide 2. Pyramide 3. Pyramide 4. Pyramide 20. Pyramide Zielzahl Mögliche Rechnung = 35 Die 4. Mauer hat die Zielzahl b) Finde die Regel. Startzahlensumme Mögliche Rechnung. Pyramide 2. Pyramide 3. Pyramide 4. Pyramide 20. Pyramide = 20 Die 8. Mauer hat die Startzahlensumme 20. 2

12 7 Zahlenpyramiden ab Klasse 2. c) Bei der 9. Pyramide ist die Summe der Startzahlen c) Bei der. Pyramide ist die Zielzahl Zauberdreiecke ab Klasse 2. a) Es gibt verschiedene Lösungen. Für die größte Summe müssen die Zahlen 4, 5, 6 in den Ecken stehen. 3

13 b) Es gibt verschiedene Lösungen. z. B. Für die kleinste Summe 6 5 müssen die Zahlen, 2, 3 in den Ecken stehen c) Die Summe 3 kann es nicht geben. Die höchste erreichbare Summe ist 2. Dabei stehen die größten Zahlen in den Ecken und werden doppelt gerechnet. 2. a) Es gibt verschiedene Lösungen. Für die größte Summe müssen die Zahlen 7, 8, 9 in den Ecken stehen. b) Es gibt verschiedene Lösungen. z. B. Für die kleinste Summe müssen die Zahlen, 2, 3 in den Ecken stehen a) Es gibt verschiedene Lösungen. Für die kleinste Summe müssen die Zahlen 3, 4, 5 in den Ecken stehen, für die größte Summe müssen die Zahlen 6,7, 8 in den Ecken stehen. z. B. kleinste Summe: z. B. größte Summe: b) Es gibt verschiedene Lösungen. Für die kleinste Summe müssen die Zahlen 4, 5, 6 in den Ecken stehen, für die größte Summe müssen die Zahlen,2,3 in den Ecken stehen. z. B. kleinste Summe: z. B. größte Summe:

14 c) z. B. kleinste Summe: z. B. größte Summe: Verschiedene Zauberformen ab Klasse 2 Es gibt verschiedene Lösungen. z. B. 5

15 Kopiervorlage 20 6

16 20 Zahlengitter ab Klasse 2. a) Es gibt viele verschiedene Zahlengitter. Dabei fällt auf: Die Pluszahlen addiert ergeben die Mittelzahl. Die Mittelzahl ist die Hälfte der Zielzahl. Die Summen der Diagonalen sind gleich groß. Die Summe der mittleren Waagrechten und der mittleren Senkrechten sind gleich groß. b) Es können folgende Pluszahlen eingesetzt werden: z. B

17 2. a) Es gibt viele verschiedene Zahlengitter. Dabei fällt auf: Die Startzahl und die Pluszahlen addiert ergeben die Mittelzahl. Die Mittelzahl ist die Hälfte der Summe von Start- und Zielzahl. Die Summen der Diagonalen sind gleich groß. Die Summen der mittleren Waagrechten und der mittleren Senkrechten sind gleich groß. b) Es können folgende Pluszahlen eingesetzt werden: z. B Zauberquadrate ab Klasse 2. a) und b) Die geraden Zahlen stehen bei diesem Zauberquadrat immer in den Ecken

18 2. Hier gibt es unzählige Lösungen. Regel: Wenn du die Zahlen in einer Spalte addierst, erhältst du das Dreifache der mittleren Zahl. 3. Ein Zauberquadrat mit der Zeilensumme 00 kann es nicht geben. 00 lässt sich durch 3 nicht ohne Rest teilen. Zeilensumme 27 Zeilensumme 66 z. B z. B Die Zeilensumme ist das Dreifache von 8, also Zauberquadratfolgen ab Klasse ZQ ZQ ZQ ZQ ZQ ZQ ZQ

19 23 Muster an der Hundertertafel ab Klasse 3. Die Summe bleibt gleich, weil sich die Zahlen entgegengesetzt verändern. So wird im 2. Quadrat in der ersten und letzten Spalte jeweils eine Zahl um 0 größer, die andere um 0 kleiner. 2. Die Summe ist immer durch 3 teilbar. Der kleinste Dreierstreifen hat die Summe 33. Wenn dieser um eins nach rechts verschoben wird, vergrößert sich die Summe um 3, beim Verschieben nach unten um Die Summe ist immer durch 3 teilbar. Wenn du die erste Zahl um eins vergrößerst, die dritte Zahl um eins verkleinerst, ist die Summe des Dreierstreifens das Dreifache der mittleren Zahl Das Viererquadrat aus Aufgabe 4 hat die Summe 82. Verschiebt man es um nach unten, erhält man die Summe 22. Verschiebt man es dann um 3 nach rechts erhält man die Summe Das kleinste Viererquadrat hat die Summe ist nicht durch 4 teilbar. Verschiebt man das kleinste Viererquadrat jeweils um eins nach rechts, erhöht sich die Summe immer 20

20 um 4. Das Ergebnis kann also nie in der Viererreihe liegen. Verschiebt man das kleinste Viererquadrat jeweils um eins nach unten, erhöht sich die Summe immer um 40. Das Ergebnis kann also auch nie in der Viererreihe liegen. 24 Muster an der Hundertertafel ab Klasse 3. a) Alle T-Zahlen sind Vielfache von 5. Verschiebt man das T um ein Feld nach rechts, wird es um 5 größer. Verschiebt man es um ein Feld nach unten, wird es um 50 größer. b) c) Es gibt kein T-Feld mit der Summe 66, weil 66 nicht durch 5 teilbar ist. 2. a) und b) Die Summe ist immer durch 3 teilbar. Beim Verschieben nach rechts oder links verändert sich die Summe um 3, beim Verschieben nach unten oder oben um 30. c) Die Summe ist immer durch 8 teilbar. Beim Verschieben nach rechts oder links verändert sich die Summe um 8, beim Verschieben nach unten oder oben um 80. d) Die Summe ist immer durch 5 teilbar. Beim Verschieben nach rechts oder links verändert sich die Summe um 5, beim Verschieben nach unten oder oben um a) Verschiebt man das T um ein Feld nach rechts, wird die Summe um 5 größer. Verschiebt man das T um ein Feld nach unten, wird die Summe um 35 größer. 2

21 Jedes der einzelnen Felder wird um 7 größer, da die Woche 7 Tage hat. b) Die Regel bleibt gleich. c) Mo Di Mi Do Fr Sa So Mo Di Mi Do Fr Sa So Rechentabellen ab Klasse 4. a) b) c) a) In der Spalte 8 ist das Ergebnis die Summe der Ergebnisse von 3 und 5, in der Zeile 2 ist das Ergebnis die Summe von 7 und 5. b) In der Spalte 4 ist das Ergebnis die Differenz der Ergebnisse von 9 und 5, in der Zeile 3 ist das Ergebnis die Differenz der Ergebnisse von 7 und 4. c) In der Spalte 8 ist das Ergebnis das Sechsfache der Ergebnisse von 3, in der Zeile 8 ist das Ergebnis das Doppelte der Ergebnisse von 4. 22

22 2. a) A B C D Die 2 Spalte ist die Summe der 5 und der 7 Spalte. 5 2 = = = = : 2 = 8 b) Die Produkte sind gleich. Es gilt bei jedem Rechteck und bei jeder Multiplikationstabelle. A = a b B = a d C = c b D = c d A D = a b c d B C = a d c b 26 Rechentabellen ab Klasse 4. a) b)

23 c) d) Plustabellen: Summe der Zeilenzahlen Anzahl der Spaltenzahl Summe der Spaltenzahlen Anzahl der Zeilenzahl = Summe der Tabelle Maltabellen: Summe der = Tabelle Summe der Spaltenzahlen Summe der Zeilenzahlen 3. a) Es gibt verschiedene Lösungen, z. B b) Es gibt verschiedene Lösungen, z. B

24 27 Aufgabenfolgen ab Klasse 3. Bei der folgenden Divisionsaufgabe werden beide Zahlen halbiert. Das Ergebnis bleibt gleich. 8. Aufgabe: 8 : 2 = 4 2. Bei der folgenden Multiplikationsaufgabe wird die erste Zahl halbiert, die zweite Zahl wird verdoppelt. Das Ergebnis bleibt gleich. 8. Aufgabe: = Bei der folgenden Subtraktionsaufgabe werden beide Zahlen um kleiner. Das Ergebnis bleibt gleich. 8. Aufgabe: = Bei der folgenden Additionsaufgabe werden beide Zahlen um kleiner. Das Ergebnis wird um zwei kleiner. 8. Aufgabe: = Bei der folgenden Additionsaufgabe wird die erste Zahl um kleiner, die zweite Zahl um größer. Das Ergebnis bleibt gleich. 8. Aufgabe: = Bei der folgenden Multiplikationsaufgabe wird eine Zahl um kleiner, die andere Zahl um größer. Das Ergebnis wird jeweils um die nächste Zahl aus der Reihe der ungeraden Zahlen kleiner, beginnend bei. 8. Aufgabe: 5 9 = 95 Diese Regel gilt nur, wenn man von Quadratzahlen ausgeht. 25

25 28 Aufgabenfolgen ab Klasse 4. = Bei der achten Aufgabe haben beide Zahlen 8 Einsen. Die ersten Ziffern der Ergebniszahl sind die Ziffern bis 8 aufsteigend, dann folgen die Ziffern 7 bis absteigend = Der Nachfolger von 8 (also 9) wird mit sich selbst multipliziert. Die Nachbarzahlen der 9 werden multipliziert. Die Differenz der Ergebnisse ist immer = 8 8 Die aufeinander folgenden 8 ungeraden Zahlen, beginnend bei der werden addiert. Das Ergebnis ist die Quadratzahl von = 9 8 Die Differenz der Quadratzahl der 9 und der 8 gibt die Summe von 9 und = Multipliziert man die Zahl mit der Zahl 8 und addiert 8, so erhält man = 888 Multipliziert man die 8. Zahl aus der Dreierreihe mit 37, erhält man

26 29 Pascalsches Dreieck ab Klasse 4. Außen steht immer die. Die Zahlen in den Reihen sind symmetrisch angeordnet orange: Die 00. Zahl heißt 00. gelb: Die 00. Zahl heißt = 50 0 = grün: Die 2. Zahl heißt Die 2 wird mit sich selbst multipliziert, in der 5. Zeile 4-mal, in der 0. Reihe 9-mal = Das Ergebnis ist immer eine Quadratzahl. Die Summe der gelben Zahlen aus Zeile 2 und 22 ist =

27 Kopiervorlage 29

28 Kopiervorlage

29 30 Pascalsches Dreieck ab Klasse 4. Es entstehen Dreiecke. 2. Es sind die Fibonacci-Zahlen: Wenn du zwei aufeinander folgende Zahlen addierst, erhältst du die nächste. 3. Multiplizierst du die Zahlen in den roten Feldern miteinander, so erhältst du dasselbe Ergebnis, wie wenn du die Zahlen in den gelben Feldern miteinander multiplizierst. 4. Wenn du alle Zahlen in der schrägen Zeile addierst, erhältst du als Ergebnis die untere Zahl Geheimschrift ab Klasse 2. a) BUCHSTABEN wird zu DWEJUVCDGP, Schlüssel 2 b) SCHLUESSEL wird zu CMRVEOCCOV, Schlüssel 0 c) ALPHABET wird zu ZKOGZADS, Schlüssel 25 d) ALPHABET wird zu WHLDWXAP, Schlüssel Entschlüssele die Wörter. a) Schlüssel 9: KXCBLQJOC heißt entschlüsselt Botschaft b) Schlüssel 7: MVIJKVTB heißt entschlüsselt Versteck c) Schlüssel 25: TGQYDHS heißt entschlüsselt Uhrzeit d) Schlüssel 6: ZXKLLVATQZ heißt entschlüsselt Treffpunkt 30

30 3. Verschlüssele die Wörter. a) MATHEMATIK (Schlüssel 0) wird zu WKDROWKDSU b) MATHEMATIK (Schlüssel 2) wird zu YMFTQYMFUW c) MUSTER (Schlüssel 23) wird zu JRPQBO d) GEHEIMSCHRIFT (Schlüssel 25) wird zu FDGDHLRBGQHES 32 Morsenachrichten ab Klasse 2. a) Parkplatz b) Schatzkiste 2. Verschlüssele die Botschaft. Treffpunkt um Mitternacht an der großen Eiche. Verschlüsselt sieht die Botschaft so aus (die Schrägstriche können auch durch Lücken ersetzt werden): -/.-././..-./..-./.--./..-/-./-.-/-//..-/--//--/../-/-/./.-./.-/.-/-.-./.../-//.- /-.//-.././.-.//--./.-./---/.../..././-.//./../-.-./.../. 33 Freimaurercode. 3

31 34 Spielstrategien ab Klasse 3. Du musst darauf achten, dass in jeder Runde insgesamt 4 Spielsteine weggenommen werden. 2. a) Du musst früher oder später eine der Zahlen 2, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89 erreichen. b) Du musst versuchen, eine der Zahlen 3, 0, 7 oder 24 zu erreichen. 35 Zahlen erraten ab Klasse 4. Die gedachte Zahl wird zum Schluss wieder subtrahiert. Man muss sie also gar nicht erst addieren! = 34. Also ist das Ergebnis immer Das Ergebnis ist immer. 3. Das Ergebnis ist immer das 0-fache der gedachten Zahl plus : 2 5 : 3 = 5 Die Ergebniszahl ist das 5-fache der gedachten Zahl. Die gedachte Zahl wird mit 6 und mit 5 multipliziert, also insgesamt mit 30. Es wird durch 2 und durch 3 geteilt, insgesamt durch : 6 =5 5. Es gibt verschiedene Möglichkeiten. 32

32 36 Zeichen erraten ab Klasse 2 37 Rechenregeln erkennen ab Klasse 2. Erst die Zahlen addieren, dann das Ergebnis verdoppeln. 2. Erst die Zahlen dividieren, dann das Ergebnis mit 7 multiplizieren. 3. Erst die Zahlen subtrahieren, dann das Ergebnis durch 3 teilen. 4. Erst die erste Zahl halbieren, dann die zweite Zahl addieren. 5. Erst die Zahlen multiplizieren, dann von dem Ergebnis 9 subtrahieren. 6. Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten. 33

33 38 Besondere Zahlen ab Klasse 4. Diese Zahlen bleiben übrig: 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29, 3, 37, 4, 43, 47, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89 und 97. Alle Zahlen lassen sich nur durch und durch sich selbst ohne Rest teilen. Diese Zahlen heißen Primzahlen. 2. Die Zahl 6 ist eine vollkommene Zahl, denn 2 3 = 6. Die Zahl 28 ist eine vollkommene Zahl, denn = Umkehrzahlen ab Klasse 3. a) b) Alle Ergebnisse sind durch 9 teilbar. Die Differenz der Ziffern multipliziert mit 9 ist das Ergebnis der Aufgabe, zum Beispiel: Zifferndifferenz : Z E 0 = (0 ) = 9 oder Zifferndifferenz 3: Z E = 3 (0 ) =

34 2. Alle Ergebnisse sind durch 99 teilbar. Die Differenz der ersten und der dritten Ziffer multipliziert mit 99 ist das Ergebnis der Aufgabe, zum Beispiel: Zifferndifferenz : H Z E 00 = (00 ) = 99 oder Zifferndifferenz 4: H Z E = 4 (00 ) = Vertauschte Ziffern ab Klasse 4. Es gibt viele mögliche Lösungen. 2. Alle Ergebnisse sind Vielfache von 99. Der Unterschied zwischen der Zahl aus den TH-Ziffern und der Zahl mit den ZE-Ziffern wird mit 99 multipliziert. 3. Es gibt viele Möglichkeiten. 35