Übung 4: Gleichgewicht und Effizienz

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1 Übung 4: Gleichgewicht und Effizienz Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 1 / 25

2 Aufgabe 1 Worum geht es? Marktangebotsfunktion aus der Lösung der Gewinnmaximierungsprobleme der einzelnen Unternehmen ableiten können. Unterschied zwischen kurzfristiger und langfristiger Reaktion bei einer Änderung der Inputpreise verstehen. Produktionsfunktionen sind gegeben: f (x 1,x 2 ) = x 1 + x 2. Anzahl der Unternehmen im Markt ist gegeben: m = 20. Marktnachfragefunktion ist gegeben: D(p) = p. Zu untersuchen ist die Auswirkung einer Änderung eines Inputpreises in der kurzen (Einsatzmenge von Input 2 ist fix) und der langen (Einsatszmengen beider Inputs variabel) Frist. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 2 / 25

3 Aufgabe 1 1. Bestimmung der langfristigen Marktangebotsfunktionen. Die langfristige Kostenfunktion wurde in Aufgabe 8(c) von Blatt 3 bestimmt: c(w 1,w 2,y) = w 1w 2 w 1 + w 2 y 2. Für (w 1,w 2 ) = (1,1) ist die Kostenfunktion eines Unternehmens also C(y) = y 2 /2 mit Grenzkosten MC(y) = y. die Angebotsfunktion eines Unternehmens s l (p) = p. Die Marktangebotsfunktion ist S l (p) = 20p. Für (w 1,w 2 ) = (2,1) ist die langfristige Kostenfunktion eines Unternehmens also C(y) = 2y 2 /3 mit Grenzkostenfunktion MC(y) = 4y/3. die Angebotsfunktion eines Unternehmens ist s l (p) = 3p/4. Die Marktangebotsfunktion ist S l (p) = 15p. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 3 / 25

4 Aufgabe 1 2. Bestimmung der langfristigen Wettbewerbsgleichgewichte. Für (w 1,w 2 ) = (1,1) ist der langfristige Wettbewerbspreis durch 20p = p gegeben. Also p = 4. die langfristige Wettbewerbsmenge durch q = 20p = 80 gegeben. Für (w 1,w 2 ) = (2,1) ist der langfristige Wettbewerbspreis durch 15p = p gegeben. Also p = 24/5. die langfristige Wettbewerbsmenge durch q = 15p = 72 gegeben. Bestimmung der Unternehmensgewinne: Gewinn = Erlös - Kosten, die jeweils beim Wettbewerbspreis und der dazugehörigen Angebotsmenge zu bestimmen sind: π = p s(p ) C(s(p )). Für (w 1,w 2 ) = (1,1) gilt π = 8. Für (w 1,w 2 ) = (2,1) gilt π = 216/25. Beachte: 216/25 > 8, d.h. der Gleichgewichtsgewinn steigt bei einer Erhöhung des Inputpreises. Woran liegt das? Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 4 / 25

5 Aufgabe 1 3. Bestimmung der kurzfristigen Marktangebotsfunktion Aufgabe 11 von Blatt 3 Die kurzfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens hängt davon ab, welche Menge x 2 als fix unterstellt wird. Hier ist der Fall x 2 = 4 betrachtet,... welches die langfristig optimale Einsatzmenge zur Produktion von 4 Outputeinheiten ist. Aufgabe 8(c) von Blatt 3. Die kurzfristige Produktionsfunktion eines Unternehmens ist: f (x 1,4) = 2 + x 1. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 5 / 25

6 Aufgabe 1 Fixkosten: w 2 x 2 = 4. Variable Kosten sind gleich Null für y 2 Variable Kosten sind w 1 (y 2) 2 für y > 2. Kurzfristige Grenzkostenfunktion ist { 0 für y 2 MC k (y) = w 1 (2y 4) für y > 2. Bestimmung der kurzfristigen Angebotsfunktion eines Unternehmens über die Bedingung Grenzkosten gleich Preis s k (p) = p + 8 2w 1 Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 6 / 25

7 Aufgabe 1 Hier ist der Fall w 1 = 2 zu betrachten. Die kurzfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens nach der Faktorpreiserhöhung ist also s k (p) = p/ Die kurzfristige Marktangebotsfunktion ist S k (p) = 5 p Bestimmung des kurzfristigen Wettbewerbsgleichgewichts: D(p ) = S k (p ) p = 16/3. q = D(p ) q = 200/3. Bestimmung der kurzfristigen Gewinne: π = 160/9 68/9 = 92/9. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 7 / 25

8 Aufgabe 2 Worum geht es? Bedingung fr Marktzutritt mit quasifixen Kosten verstehen. Zwei Lösungsansätze: 1 Bestimme die effiziente Betriebsgrösse ŷ und die damit verbundenen Durchschnittskosten AC(ŷ). Gilt p AC(ŷ) ist Marktzutritt optimal. 2 Bestimme die kurzfristige Angebotsmenge eines aktiven Unternehmens bei p. Ist der resultierende Gewinn positiv, so ist Marktzutritt optimal. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 8 / 25

9 Aufgabe 2 Hier ist der zweite Lösungsansatz einfacher. Grenzkosten: MC(y) = y. Grenzkosten gleich Preis setzen y = 1. Resultierender Gewinn: 140 VC(1) F = = 30. Also ist es besser, inaktiv zu sein. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 9 / 25

10 Aufgabe 3 Worum geht es? Bestimmung von langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht mit Marktzutritt. Kochrezept: 1 Bestimme die effiziente Betriebsgrsse ŷ eines aktiven Unternehmens. 2 Bestimme die dazugehörigen minimalen Durchschnittskosten langfristiger Wettbewerbspreis ˆp 3 Bestimme die bei ˆp nachgefragte Menge: q = D(ˆp). 4 Teile q durch ŷ, um die Anzahl der aktiven Unternehmen zu bestimmen: m = q /ŷ. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 10 / 25

11 Aufgabe 3 Kostenfunktion für aktive Unternehmen: C(y) = y + 4y 2. Marktnachfragefunktion (im relevanten Bereich): D(p) = 1000 p. Kurzfristiges Wettbewerbsgleichgewicht in Abhängigkeit von der Anzahl m der aktiven Unternehmen? Langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht? Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 11 / 25

12 Aufgabe 3 Bestimmung des kurzfristigen Wettbewerbsgleichgewichts: Grenzkostenfunktion eines aktiven Unternehmen: MC(y) = y. Angebotsfunktion im relevanten Bereich: s(p) = (p 100)/8. Marktangebotsfunktion mit m aktiven Unternehmen: S m (p) = m p Kurzfristiges Wettbewerbsgleichgewicht: p m = m m + 8, q m = 900m m + 8. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 12 / 25

13 Aufgabe 3 Bestimmung des langfristigen Wettbewerbsgleichgewichts: 1 Bestimme die effiziente Betriebsgrsse: ŷ = 5. 2 Bestimme die minimalen Durchschnittskosten: ˆp = Bestimme die Menge, die bei ˆp nachgefragt wird: q = Bestimme die Anzahl der Unternehmen, die erforderlich sind, um q zu minimalen Durchschnittskosten zu produzieren: m = 172. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 13 / 25

14 Aufgabe 3 Ein alternativer Lösungsansatz: Aus der Angebotsfunktion eines aktiven Unternehmens lässt sich die Produzentenrente eines solchen Unternehmens bei Preis p als Dreiecksfläche bestimmen: PR j = 1 (p 100) (p 100) = (p 100)2. Im langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht erzielen die aktiven Unternehmen Nullgewinne, so dass die Produzentenrente den Marktzutrittskosten entsprechen muss: 1 16 (p 100) 2 = 100 p = 140. q und m können dann wie zuvor aus der Marktnachfragefunktion bestimmt werden. Beachte: Dieser Ansatz ist insbesondere dann nützlich, wenn es keine explizite Information zur Kostenfunktion gibt. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 14 / 25

15 3. Steuern und Subventionen Aufgabe 4 Abbildung: Wettbewerbsgleichgewicht mit fixem Angebot. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 15 / 25

16 3. Steuern und Subventionen Aufgabe 4 Abbildung: Bei fixem Angebot entsteht keine Zusatzlast der Besteuerung, da die Mengensteuer keinen Einfluss auf die Allokation des Gutes hat. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 16 / 25

17 3. Steuern und Subventionen Aufgabe 5 Wettbewerbsgleichgewicht Marktnachfragefunktion (im relevanten Bereich): D(p) = 100 p Marktangebotsfunktion: S(p) = 3p. Wettbewerbspreis: D(p ) = S(p ) p = 25. Wettbewerbsmenge: q = D(25) = S(25) = 75. Aggregierte Handelsgewinne im Wettbewerbsgleichgewicht = Aggregierte Produzentenrente im GG + Aggregierte Konsumentenrente im GG. Aggregierte Produzentenrente: PR(25) = 75 25/2 Aggregierte Konsumentenrente: KR(25) = 75 75/2 Aggregierte Handelsgewinne = /2 = Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 17 / 25

18 3. Steuern und Subventionen Aufgabe 5 Preisunterstützung mit Vernichtung des Überschusses: Preis auf p = 30 festgesetzt. Überschussangebot wird vom Staat aufgekauft. Differenz zwischen angebotener und nachgefragter Menge wird vernichtet. Frage: Staatliche Ausgaben? Antwort: 30 [S(30) D(30)]. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 18 / 25

19 3. Steuern und Subventionen Aufgabe 5 Preisunterstützung mit Verkauf des Überschusses: Staat kauft gesamte Angebotsmenge zu p = 30 auf. Verkauft an Konsumenten zu dem Preis weiter, zu dem sie bereit sind, S(30) nachzufragen. Verkaufspreis? Staatsausgaben? Bestimmung des Verkaufspreis: D(p) = S(30) = 90 p = 10. Bestimmung der Staatsausgaben: 90 [30 10] = Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 19 / 25

20 3. Steuern und Subventionen Aufgabe 5 Subventionszahlung: In der Situation aus der vorhergehenden Teilaufgabe stimmen nachgefragte und angebotene Menge überein. Die Differenz zwischen dem Konsumenten- und dem Produzentenpreis beträgt dabei 20, so dass die Situation einem Wettbewerbsgleichgewicht mit einem Mengensubventionssatz von s = 20 entspricht. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 20 / 25

21 3. Steuern und Subventionen Aufgabe 5 Wohlfahrtsanalyse der Eingriffe: Aggregierte Handelsgewinne können in allen Fällen als Aggregierte Konsumentenrente + Aggregierte Produzentenrente - Staatsausgaben berechnet werden. Noch erforderliche Berechnungen: PR(30) = 30 90/2 = KR(30) = 70 70/2 = KR(10) = 90 90/2 = Schlussfolgerung? Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 21 / 25

22 5. Wohlfahrtsanalyse von Preisänderungen Aufgabe 6 Worum geht es? Indirekte Nutzenfunktion bestimmen und zur Berechnung von Hicks-Kompensationen verwenden. Einsetzen der Nachfragefunktion in die Nutzenfunktion ergibt die indirekte Nutzenfunktion. Hier: u(x 1,x 2 ) = x 1 x 2 mit Nachfragefunktion x i = f i (p 1,p 2,m) = m/2p i ergibt m U(p 1,p 2,m) = 2. p 1 p 2 Hicks-Kompensation wird durch Lösung der Gleichung U(p 1,p 2,m) = U(p 1,p 2,m + m) bestimmt. Hier ist bemerkenswert, dass der Absolutwert der Hicks-Kompensation davon abhängt, ob eine Preissenkung von 4 auf 1 oder eine Preiserhöhung von 1 auf 4 betrachtet wird Bei quasilinearen Präferenzen sind diese beiden Werte hingegen gleich gross. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 22 / 25

23 5. Wohlfahrtsanalyse von Preisänderungen Aufgabe 7 Das Güterbündel in dem Basisjahr ist in dem Folgejahr erschwinglich: p t 1 x b 1 + pt 2 x b 2 = = 1020 = mt. Also ist die Konsumentin im Folgejahr besser gestellt. Beachte: Da die Präferenzrelation artig ist, können wir das Budget in der Ausgangssituation als m b = p b 1 x b 1 + pb 2 x b 2 = = 1300 bestimmen. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 23 / 25

24 5. Wohlfahrtsanalyse von Preisänderungen Aufgabe 7 Abbildung: Die rote Budgetgerade stellt die Ausgangssituation dar, die blaue Budgetgerade die neue Situation, Die neue Budgetsituation ist besser als die alte Budgetsituation, da das in der Ausgangssituation gewählte Güterbündel in der neuen Situation weiterhin erschwinglich ist. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 24 / 25

25 5. Wohlfahrtsanalyse von Preisänderungen Aufgabe 8 Abbildung: Bei gleich hohen Subventionszahlungen kann sich der Konsument das bei der Mengensubvention gewählte Güterbündel auch bei der Kopfsubvention leisten. Er stellt sich bei der Kopfsubvention also besser. Mikroökonomie Übung 4 (FS 10) Gleichgewicht und Effizienz 25 / 25