Wirtschaftsmathematik

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1 Wirtschaftsmathematik earbeitet von Prof. Dr. Horst Peters., aktualisierte uflage Taschenbuch. 298 S. Paperback ISN Format ( x L): 5,5 x 23,2 cm Gewicht: 7 g Wirtschaft > etriebswirtschaft: Theorie & llgemeines > Wirtschaftsmathematik und - statistik Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (ücher, Zeitschriften, CDs, eooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von üchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Mathematische Grundlagen Lehrziele Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollen die Studierenden die Grundzüge und den Sinn der Mengenlehre verstehen, die wichtigsten egriffe und Verbindungen der ussagenlogik beherrschen, in der Lage sein, die grundlegenden arithmetischen Rechenregeln und -gesetze sicher anzuwenden, das Umgehen mit dem Summen- und Produktzeichen sicher beherrschen, in der Lage sein, eweise mit Hilfe der vollständigen Induktion durchzuführen, mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen sicher umgehen können, in der Lage sein, Äquivalenzumformungen durchzuführen, lineare Gleichungen und quadratische Gleichungen sicher lösen können, befähigt sein, nichtlineare Gleichungen aufzulösen, ggf. unter nwendung des Horner-Schemas oder der Polynomdivision, in der Lage sein, Ungleichungen zu lösen.

3 20 Mathematische Grundlagen. Mengen und Zahlenmengen Wie gemischt auch immer die Erinnerungen und Gefühle an die Mengenlehre aus der Schulzeit sein mögen: Es ist unbestritten, dass die Mengenlehre ein wichtiges Instrumentarium bereit stellt, mit dessen Hilfe oft umfangreiche und komplizierte Problemstellungen und deren Lösungen kompakt und übersichtlich dargestellt werden können. Deshalb wollen wir uns an dieser Stelle mit den wichtigsten Sachverhalten noch einmal vertraut machen... Mengen und Mengenbeziehungen a) egriff und Darstellung von Mengen Definition Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter unterschiedlicher Objekte (Dinge). Von jedem Objekt muss eindeutig angebbar sein, ob es zur entsprechenden Menge gehört oder nicht. Die einzelnen Objekte, aus denen eine Menge zusammengesetzt ist, heißen Elemente dieser Menge. Mengen werden üblicherweise mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet (,, C, ). Für die ufzählung verwendet man in der Regel geschweifte Klammern { bzw. }. Das Symbol steht für die Elementdarstellung, gelesen ist Element der Menge. Ist ein Element nicht in einer Menge enthalten, verwendet man das Symbol, gelesen ist nicht Element der Menge. Man kann Mengen angeben durch ufzählen, durch graphische Darstellung oder durch eschreibung. emerkungen und eispiele: i) (ufzählung) Die ersten 5 Primzahlen 2, 3, 5, 7, bilden die Menge: Menge der ersten 5 Primzahlen. ezeichnen wir diese Menge mit, so können wir als ufzählung schreiben: = {2,3,5,7,}. Es gilt beispielsweise 7, d.h. die Zahl (also das Element) 7 ist Element der Menge, also Element der ersten 5 Primzahlen. Dagegen gilt beispielsweise 6, d.h. 6 ist nicht Element von. ii) (graphische Darstellung) Für die graphische Darstellung verwendet man sogenannte Venn-Diagramme. ezogen auf die Menge = {2,3,5,7,} sähe es folgendermaßen aus: bbildung.: Venn-Diagramm am eispiel Die Mengenlehre wurde begründet von dem deutschen Mathematiker Georg Cantor (85 98).

4 . Mengen und Zahlenmengen 2 iii) (eschreibung) Mit Menge der am heutigen Tag geschlossenen Ehen in Nordrhein-Westfalen liegt eine beschreibende Darstellung einer Menge vor. Es wäre hingegen sehr mühevoll, jedes Element dieser Menge einzeln aufzuzählen. iv) Die Menge Fußballfans von orussia Mönchengladbach ist keine Menge nach Cantor, da nicht eindeutig angebbar ist, ob ein Element ( Fußballfan ) zu der Menge gehört oder nicht (ob man sich selbst als Fan sieht oder als solcher von seiner Umwelt wahrgenommen wird, ist subjektiv und nicht objektiv entscheidbar). v) In der Statistik, insbesondere in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wird Ihnen die Mengenlehre wieder begegnen. Sie wird dort insbesondere angewandt zur Verdeutlichung von Ereignissen und deren Wahrscheinlichkeiten. Wir wollen noch zwei spezielle Mengen definieren: Definition Die Menge, in der alle betrachteten Elemente enthalten sind, wird als Grundmenge G bezeichnet. Eine Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Für die leere Menge schreibt man entweder {} oder. eispiele: i) sei die Menge der ersten 8 uchstaben unseres lphabets. Dann ist die Grundmenge die Menge der uchstaben unseres lphabets: G = {,,C,...,X,Y,Z} und für gilt: = {,,C,D,E,F,G,H}. ii) Die Menge =Menge der Primzahlen zwischen 23 und 29 ist die leere Menge, also ={}, da die Zahlen 2, 25, 26, 27 und 28 alle keine Primzahlen sind. iii) Die Menge der vollkommenen Zahlen zwischen 0 und 20 ist leer. 2 b) Mengenbeziehungen Wir wollen uns im folgenden die eziehungen zwischen zwei oder mehreren Mengen ansehen. i) Gleichheit von Mengen Zwei Mengen und heißen gleich, geschrieben =, wenn sie dieselben Elemente enthalten. eispiel: Für die Mengen = {,3,5}, = {5,3,}und C = {7 0, 3 27,5 0} gilt: ==C ii) Teilmengen Die Menge heißt Teilmenge der Menge, wenn jedes Element der Menge zugleich auch Element von ist. Schreibweise: 2 Für alle Freunde der Zahlen ein wenig Zahlentheorie am Rande: Unter einer vollkommenen Zahl versteht man eine Zahl, die gleich der Summe ihrer Teiler (einschließlich der, aber ohne die Zahl selbst) ist. Hiervon gibt es nicht besonders viel. Die erste vollkommene Zahl ist die 6 (=+2+3). Die nächste vollkommene Zahl ist 28 (=+2++7+). Für den Fall, dass Sie sich selbst auf die Suche machen: Die nächsten vollkommenen Zahlen sind 96 und 8 28.

5 22 Mathematische Grundlagen emerkungen und eispiele: i) Für die Mengen = {,3,5,7} und = {,2,3,,5,6,7} gilt: ii) Die Menge der Stürmer in einer Fußballmannschaft ist eine Teilmenge der gesamten Mannschaft. iii) Sei = {x x ist eine Stadt in Nordrhein-Westfalen} = {y y ist eine Stadt in Deutschland} C = {z z ist eine Stadt in sien} Dann gilt:, aber C und C. iv) Man vereinbart, dass die leere Menge {} Teilmenge jeder Menge ist. v) Jede Menge ist auch Teilmenge von sich selbst. iii) Potenzmenge Die Menge P() aller Teilmengen M einer gegebenen Menge heißt Potenzmen- P() = M M ge der Menge, geschrieben: { } eispiel: Es sei = {,2,3} P() =,,2,3,,2,,3,2,3,,2,3 Dann ist {{}{}{}{}{ }{ }{ }{ } Hat die Menge n Elemente, dann besitzt die Potenzmenge P() 2 n Elemente, d.h. 2 n verschiedene Teilmengen. Die leere Menge {} und die Menge sind hierbei entsprechend der Eigenschaft einer Teilmenge mitgezählt. Im obigen eispiel besitzt die Potenzmenge der Menge mit n=3 Elementen 2 3 = 8 Elemente. ufgabe : a) Gegeben sei die Menge {a;b;c}. estimmen Sie die Potenzmenge! b) Gegeben sei die Menge {a;b;c;d;e;f;g;h}. us wie viel Elementen besteht die Potenzmenge?..2 Mengenoperationen Wir kennen Verknüpfungen von Zahlen z.. durch ddition, Subtraktion etc. Ähnliche ussagen lassen sich auch für Mengen machen. i) Durchschnitt zweier Mengen Unter dem Durchschnitt zweier Mengen (der Schnittmenge) versteht man die Menge aller Elemente, die sowohl zu als auch zu gehören. Schreibweise: Es gilt: : = { x x x }. Es liegt also hier die und -Verknüpfung vor, also x in und x in. Das -Zeichen ist das mathematische Symbol für und. Ferner gilt für n Mengen (i=, n, n ): n 2 3 = = x x liegt in allen Mengen... n i { i} i=

6 . Mengen und Zahlenmengen 23 Haben zwei Mengen und kein gemeinsames Element, d.h. es ist = {}, dann heißen diese Mengen disjunkt oder auch elementfremd. eispiele: i) { 2,3,5,7,,3} = {,2,3,,5,6,7,8} = { 2,3,5,7} = und ii) Grundmenge G = natürliche Zahlen = {,2,3,,5,6,...}. In G seien seien: = Menge der durch 3 teilbaren Zahlen = {3,6,9,2,5,2,2,27,30...} = Menge der durch 7 teilbaren Zahlen = {7,,2,28,35...} = {2,2,63,8,...} = Menge der durch 2 teilbaren Zahlen. ii) Vereinigung zweier Mengen Unter der Vereinigungsmenge der Mengen und versteht man die Menge aller Elemente, die entweder zu oder zu (oder zu beiden) gehören. Schreibweise: Es gilt: : = { x x x }. Es gilt hier die oder -Verknüpfung, also x in oder x in. Das -Zeichen ist das mathematische Symbol für oder. Ferner gilt für n Mengen (i =, n, n ): n 2 3 n = i = x x liegt in min destens einer der Mengen i... { } i= eispiele: i) = {2,3,5,7,,3}und = {,2,3,,5,6,7,8} = {,2,3,,5,6,7,8,,3} ii) Grundmenge G = natürliche Zahlen = {,2,3,,5,6,...}. In G seien: = Menge der durch 3 teilbaren Zahlen = {3,6,9,2,5,8,2,2,27,30...} = Menge der durch 7 teilbaren Zahlen = {7,,2,28,35...} = {3,6,7,9,2,,5,8,2,2,27,28,30,33,35,36,39,2,5,...} iii) Differenz- und Komplementärmenge Unter der Differenzmenge der Mengen und versteht man die Menge aller Elemente, die zu, aber nicht zu gehören. Schreibweise: / (gelesen ohne ) \: = { xx x } Falls eine Teilmenge von ist, so bezeichnet man die Differenzmenge \ auch als die Komplementärmenge von bezüglich. Sie besteht aus denjenigen Elementen, die zu, aber nicht zu gehören. C : = x x x, falls Schreibweise: C { }

7 2 Mathematische Grundlagen Immer möglich ist die Komplementbildung bezüglich der Grundmenge G, hier wird zumeist das Symbol verwendet. = C = G\ = x x G x Schreibweise: G { } eispiele: i) = {,2,3,,5,6} = {5,6,7,8,9,0} D = {,2,3,,5,6,7,8,9}, D \ = {,2,3,} Differenzmenge \ = {7,8,9,0} Differenzmenge C D = D \ = {7,8,9} Komplementärmenge \ D \ D\ = ii) G = Kinder einer Schulklasse = Menge (nzahl) der Mädchen in dieser Klasse, G = Menge (nzahl) der Jungen in dieser Klasse Wir wollen abschließend noch einige Gesetze und Rechenregeln der Mengenalgebra zusammenfassen. Wie an anderer Stelle schon einmal erwähnt, werden Sie einige dieser Regeln in der Statistik im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung wieder sehen. Regel Name eispiel Formel. = = 2. ( ) C = ( C) ( ) C = ( C) Kommutativgesetze ssoziativgesetze ( ) Es seien = {,2,3,,5,6,7} = {5,6,7,8,9,0} C = {2,,6,8,0,2} G = (natürliche Zahlen) = {5,6,7} = = {,2,3,,5,6,7,8,9,0} = {} ( ) C= 6 = C ; { 5,6,7} { 6,8,0} ( ) C=,2,3,,8,9,0,2 {,2,3,,8,9,0} = C ( ) { } (.) (.2)

8 . Mengen und Zahlenmengen ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) Regel Name eispiel Formel Distributivgesetze ( C) = ( ) ( C) {,,7} { 6,8,0} = {, 2,,9,0} {,,8,0,2} C C = {, 2,3,,5,6,7,8,0} {,,7} { 5,6,7,8,9,0,2} = { 5,6,7} { 2,,6} = {} 6 C C (.3). /( C) = (/) (/C) /( C) = (/) (/C) = ; = De Morgansche Regeln {,, 7 }\{ 6,8,0} = {, 2, 3, } {, 3, 5, 7} = {, 2, 3,, 5, 7} C \ \C {,,7}\{ 2,,5,6,7,8,9,0,2} = {,2,3,} {,3,5,7} = {,3} C {,2,3, } = { 8,9,0,, } {, 2,3,,,2,3, } \ \C {,2,3,,8,9,0,, } = { 8,9,0,, } {, 2,3,,,2,3, } (.) ufgabe 2: ilden Sie Durchschnitt, Vereinigung und Differenz \ folgender Mengen: a) = {3;;6;7;8}, = {2;;5;6;7} b) = {a;b;c}, = { } c) = { }, = {;3;5;7} ufgabe 3: Gegeben sind folgende Mengen: Grundmenge G = {,3,5,7,9,,3,5}, = {,3,5,9}, = {9,,3,5}. elegen Sie anhand des eispiels die Gültigkeit folgender ussage: =!..3 Zahlenmengen Nachdem wir uns in den obigen bschnitten mit Mengen allgemein befasst haben, betrachten wir nun eine besonders wichtige Kategorie von Mengen, die Zahlenmengen. In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Zahlenmengen, die sinnvoll aufeinander aufgebaut sind. lle diese Mengen haben unendlich viele Elemente, dennoch sind diese Mengen unterschiedlich groß. Man kann sich gedanklich alle Zahlen auf einem Zahlenstrahl untergebracht vorstellen Das einfachste und grundlegendste Zahlensystem sind die natürlichen Zahlen (, 2, 3,...). Schließt man die 0 und die negativen Zahlen mit ein, so bezeichnet man diese Menge als ganze Zahlen. Für die meisten erechnungen reichen jedoch die ganzen Zahlen nicht aus, denn eine Zahl wie etwa 0,5 (= ) oder 2 ist nicht in der Menge der 2 3 ganzen Zahlen enthalten. Hierfür benötigen wir eine neue Zahlenmenge, die wir als

9 26 Mathematische Grundlagen rationale Zahlen bezeichnen. Die rationalen Zahlen umfassen alle rüche und damit auch die ganzen Zahlen (z.. ist = ). Mit den rationalen Zahlen sind allerdings noch nicht alle denkbaren Zahlen erfasst. Der Zahlenstrahl ist noch immer lückenhaft. Es gibt Zahlen, die sich nicht als ruch darstellen lassen, z.. die beiden Naturkonstanten π (= 3,59...) und e (= 2, , Eulersche Zahl ) oder etwa 3, diese Zahlen heißen irrational. Erweitert man die rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen, so erhält man die reellen Zahlen. Sie decken den Zahlenstrahl komplett ab, deshalb ist es sehr praktisch, wenn man für erechnungen die reellen Zahlen zu Grunde legt, denn um etwaige Lücken braucht man sich dann nicht mehr zu sorgen. Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass es noch eine weitere Zahlenmenge gibt, die die Menge der reellen Zahlen umfasst. Sie wird als die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet und im llgemeinen mit abgekürzt. In der Menge der komplexen Zahlen lassen sich usdrücke berechnen wie z.. 7 die in der Menge der reellen Zahlen nicht definiert sind. Für die Wirtschaftsmathematik sind sie jedoch von untergeordneter edeutung, weshalb wir sie nicht weiter behandeln wollen. Zusammenfassung: Zahlen egriff bk., 2,.3, , 2,, 0,, 2, 3,... lle rüche lle rationalen Zahlen plus alle irrationalen Zahlen (z.. π, e, 2) Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen Für die behandelten Zahlenbereiche gilt somit: Wir wollen uns zum bschluss dieses Kapitels noch mit speziellen Mengen reeller Zahlen beschäftigen, nämlich mit den Intervallen. Die Menge der reellen Zahlen, die einer Ungleichung a x b bzw. a < x < b bzw. a x < b bzw. a < x b genügen, nennt man Intervall.

10 .2 ussagenlogik 27 Definition Seien a und b mit a < b. Dann heißen a) [a, b] = {x a x b} abgeschlossenes Intervall von a bis b, b) (a, b) = {x a < x < b} offenes Intervall von a bis b, c) die Intervalle [a, b) = {x a x < b} und (a, b] = {x a < x b} halboffene Intervalle von a bis b. Insbesondere heißen c) [a, b) = {x a x < b} rechtsoffen-linksabgeschlossenes Intervall von a bis b, c2) (a, b] = {x a < x b} linksoffen-rechtsabgeschlossenes Intervall von a bis b. zu a) eim abgeschlossenen Intervall werden die Endpunkte eingeschlossen. Das Intervall [2,5] umfasst alle reellen Zahlen von 2 bis 5 unter Einschluss der Zahlen 2 und 5. zu b) eim offenen Intervall werden die Endpunkte ausgeschlossen. Das Intervall (2,5) umfasst alle reellen Zahlen von 2 bis 5 unter usschluss der Zahlen 2 und 5. Gelegentlich verwendet man in der Literatur für ein offenes Intervall auch die Schreibweise ]a, b[. zu c) eim halboffenen Intervall gehört jeweils nur ein Endpunkt zum Intervall. Es kann hier an Stelle der reellen Zahlen a oder b auch oder - gesetzt werden. Man spricht dann von einem uneigentlichen Intervall. eispiele: [a, ) = {x x a}, (,a] = {x x a}, (, ):=.2 ussagenlogik.2. ussagen Im Folgenden wollen wir uns mit den Grundbegriffen der ussagenlogik vertraut machen. Sie sind ebenso wie die Mengenlehre grundlegend für das Verständnis weitergehender mathematischer etrachtungen. Die Logik ist die Lehre vom folgerichtigen Denken, d.h. sie befasst sich mit den Regeln des Schließens von gegebenen ussagen auf neue, daraus ableitbare Folgerungen. Sie dient dazu, wissenschaftliche Sachverhalte exakt und widerspruchsfrei zu formulieren. Wer hat nicht schon einmal den in der Umgangssprache geläufigen Satz verwendet Ist ja logisch. In der Regel meint man, dass sich ein neuer Sachverhalt ergeben hat, der sich aus vorausgegangenen erschließt oder erschlossen hat. Ob es sich dabei jedes Mal um einen logischen Vorgang im Sinne der ussagenlogik handelt, darf allerdings bezweifelt werden.

11 28 Mathematische Grundlagen Wir wollen uns in diesem Kapitel auf die wichtigsten Sachverhalte zur ussagenlogik beschränken. Zuvor müssen wir allerdings klären, was im mathematischen Kontext überhaupt unter einer ussage zu verstehen ist. Definition Unter einer ussage versteht man einen Satz (in einer gewöhnlichen Sprache), der entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. eispiele und emerkungen: Der Satz Düsseldorf liegt am Rhein ist eine wahre ussage. Der Satz Der Kölner Dom hat den höchsten Kirchturm der Welt ist eine falsche ussage. 3 Der Satz Jeder dritte Kölner trinkt heimlich ltbier ist keine ussage, denn der Wahrheitsgehalt ist nicht zweifelsfrei festzustellen. Für eine ussage ist nicht erforderlich, dass wir die ntwort kennen, gefordert ist lediglich, dass sie entweder wahr oder falsch ist. So ist zum eispiel der Satz Deutschland wird im Jahre 200 Fußballweltmeister eine ussage. Sie ist entweder wahr oder falsch, obwohl wir den Wahrheitsgehalt heute noch gar nicht ermitteln können. Keine ussage dagegen ist: Deutschland wird mit Wahrscheinlichkeit 0,2 Fußballweltmeister im Jahre 200. ussagen können miteinander verbunden werden. Umgangssprachlich verknüpft man ussagen durch nicht, und, oder, wenn dann, entweder oder etc. In der ussagenlogik lassen sich alle Satz- und Gedankengebilde auf wenige Grundoperationen von höchstens zwei ussagen zurückführen. Man unterscheidet in der ussagenlogik zwischen folgenden egriffen: Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz..2.2 ussagenverbindungen i) Negation (Verneinung, Symbol, gelesen nicht ) Die Negation wird nur auf eine ussage angewendet ( einstellige Operation). Die dazugehörige Wahrheitstafel ist rechts abgebildet. Wenn also wahr ist, dann ist ( nicht ) falsch und umgekehrt. w f f w Die doppelte Negation führt wieder zur ursprünglichen ussage: ( )=. eispiele:. : Das uto ist schwarz. : Das uto ist nicht schwarz. ( ): Das uto ist nicht nicht schwarz, also ist das uto schwarz. Die Negation nicht schwarz sagt keineswegs, dass das uto weiß ist. Es besagt nur, dass es eine andere Farbe als schwarz hat. 3 Der Kölner Dom ist bezogen auf die Kirchturmhöhe mit 57, Metern nur die Nummer 3 in der Welt. Der höchste Kirchturm der Welt steht in Ulm. Das Ulmer Münster hat eine Höhe von 6,5 Metern. Die Kölner kontern jedoch gerne damit, dass ihr Dom dafür 2 Kirchtürme hat, das Ulmer Münster nur einen. Dies soll hier aber nicht weiter vertieft werden.