7. Numerik mit MATLAB

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "7. Numerik mit MATLAB"

Transkript

1 Start Inhalt Numerik mit MATLAB 1(24) 7. Numerik mit MATLAB 7.1 Lineare Algebra Normen. Matrixzerlegungen. Gleichungssysteme. 7.2 Lineare Ausgleichsrechnung qr, svd, pinv, \. 7.3 Interpolation interp1, interp2, spline. 7.4 Polynome Auswertung, NST, Ableitung u.a. Fortsetzung Inhalt Kap. 7 nächste Folie

2 Start Inhalt Numerik mit MATLAB 2(24) 7.5 Nullstellen fzero. 7.6 Optimierung fminsearch, fminbnd. 7.7 Numerische Integration quad und Verwandte. 7.8 Anfangswertaufgaben Die ode...-routinen.

3 Start Inhalt Numerik mit MATLAB 3(24) Normen, Konditionszahl Vektornorm x p norm(x,p) p 1, p = ±inf (Standard: p=2) Matrixnorm A p norm(a,p) p = 1, 2, inf, fro (Standard: p=2) Konditionszahl cond p (A) cond(a,p) außerdem oft nützlich größter bzw. kleinster Eintrag jeder Spalte von A max(a), min(a) Summe bzw. Produkt jeder Spalte von A sum(a), prod(a)

4 Start Inhalt Numerik mit MATLAB 4(24) Matrix Analysis Rang einer Matrix rank(a) Spur einer Matrix trace(a) = sum(diag(a)) Determinante einer Matrix det(a) Orthonormalbasis des Nullraums von A null(a) Orthonormalbasis des Bildraums von A orth(a)

5 Start Inhalt Numerik mit MATLAB 5(24) Inverse und Zerlegungen (1) Inverse A 1 von A inv(a) LU-Zerlegung L U = P A Q [L,U] = lu(a) [L,U,P] = lu(a) [L,U,P,Q] = lu(a) Cholesky-Zerlegung R T R = A R = chol(a) QR-Zerlegung Q R = A [Q,R] = qr(a) [Q,R] = qr(a,0)

6 Start Inhalt Numerik mit MATLAB 6(24) Inverse und Zerlegungen (2), Eigenwerte Singulärwertzelegung U S V T = A [U,S,V] = svd(a) [U,S,V] = svd(a,0) Moore-Penrose-Pseudoinverse A pinv(a) Eigenwerte und Eigenvektoren für Ax = λx oder Ax = λbx d = eig(a,b) [V,D] = eig(a) [V,D] = eig(a,b)

7 Start Inhalt Numerik mit MATLAB 7(24) Lösung linearer Gleichungssyteme (1) Der Backslash Operator \ (left division) Zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = B wird die sogenannte Linksdivision benutzt: x = A\B Bemerkungen: - Das Ergebnis entspricht x = inv(a) B, wird aber anders (effektiver) berechnet. - Besitzt Ax = B keine Lösung oder ist A nicht quadratisch, ist A\B die Lösung des zugehörigen Ausgleichsproblems.

8 Start Inhalt Numerik mit MATLAB 8(24) Lösung linearer Gleichungssyteme (2) Verwendung von linsolve X = linsolve(a,b) löst AX = B mittels LU-Faktorisierung und Pivotisierung, falls A quadratisch ist, ansonsten mittels QR-Faktorisierung mit Spaltenpivotisierung. X = linsolve(a,b,opts) löst AX = B oder A T X = B mit einem geeigneten Algorithmus, der passend zu den in opts spezifizierten Eigenschaften der Matrix A gewählt wird. Details sind der Online-Hilfe zu entnehmen.

9 Start Inhalt 9(24) Lineare Ausgleichsrechnung (1) Lösen eines linearen Ausgleichsproblems b Ax 2 min mit A R m n, b R n, i.a. m > n. Normalengleichung (numerisch nicht empfehlenswert) x = (A *A)\(A *b); QR-Faktorisierung [Q,R] = qr(a); c = Q *b; n = size(a,2); x = R(1:n,1:n)\c(1:n); kürzer: [Q,R] = qr(a,0); x = R\Q *b; noch kürzer: x = A\b;

10 Start Inhalt 10(24) Lineare Ausgleichsrechnung (2) Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse [U,S,V] = svd(a); bzw. ökonomische Variante: [U,S,V] = svd(a,0); x = V*(S\U *b); bzw. mit Aufruf der Pseudoinversen x = pinv(a)*b;

11 Start Inhalt 11(24) Interpolation (1) 1D Interpolation: interp1 Grundvariante: yi = interp1(x,y,xi) x - Stützstellenvektor y - Funktion (von x) oder Vektor gleicher Länge wie x xi - Interpolationsstelle(n) Erweiterungen: yi = interp1(x,y,xi,method) yi = interp1(x,y,xi,method, extrap ) pp = interp1(x,y,method, pp ) wobei method eine der folgenden Zeichenketten ist: nearest, linear, cubic, spline

12 Start Inhalt 12(24) Interpolation (2) 1D Interpolation: interp1 Spezialfälle: extrap für Extrapolation verwenden wenn häufiges (nicht gleichzeitiges) Interpolieren nötig ist: pp = interp1(x,y,method, pp ); yi = ppval(pp,xi); äquivalent mit yi = interp1(x,y,xi,method, extrap ); kubische Spline Interpolation statt interp1(x,y,xi, spline ) Aufruf von yi = spline(x,y,xi) oder pp = spline(x,y); yi = ppval(pp,xi);

13 Start Inhalt 13(24) Interpolation (3) 2D Interpolation: interp2 Voraussetzung: 2D Stützstellen auf kartesischem Gitter Grundvariante: zi = interp2(x,y,z,xi,yi,method) mit method = nearest linear spline cubic liefert Interpolationswerte zi an den Stellen (xi,yi) basierend auf den Daten X, Y, Z, wobei X, Y ein gleichmäßiges Gitter bilden müssen, zum Beispiel erzeugt durch [X,Y] = meshgrid(...); Z = func (X,Y).

14 Start Inhalt 14(24) Interpolation (4) Bemerkungen: Zur Interpolation über gestreuten Daten kann die Funktion TriScatteredInterp verwendet werden. Für weitergehende Splineinterpolation gibt es die zusätzliche SPLINE TOOLBOX.

15 Start Inhalt 15(24) Polynome (1) Ein Polynom p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 wird durch den Vektor p = [ a_n... a_1 a_0]; repräsentiert. Auswahl von Funktionen zur Arbeit mit Polynomen. roots - Nullstellenbestimmung p1=[1 2 1]; roots(p1) ans = -1-1

16 Start Inhalt 16(24) Polynome (2) conv, deconv - Multiplikation und Division von Polynomen p1=[1 2 1]; p3 = [1 1]; p4 = [1-1]; w = conv(p3,p4) ==> [1 0-1] v = deconv(p1,p3) ==> [1 1] v = deconv(p1,p4) ==> [1 3] [v,r] = deconv(p1,p4) ==> [1 3] [0 0 4] poly - Erzeugung spezieller Polynome poly(a) ==> charakteristisches Polynom der Matrix A poly(r) ==> p(x) = (x r 1 )(x r 2 )... (x r n ) Bsp.: r = [1 2 3]; p = poly(r); ==> [ ]

17 Start Inhalt 17(24) Polynome (3) polyder - Bestimmung der Ableitung eines Polynoms oder der Ableitung des Produktes bzw. des Quotienten zweier Polynome p1=[1 2 1]; p3 = [1 1]; p4 = [1-1]; polyder(p1) ==> [2 2] polyder(p3,p4) ==> [2 0] [q,d] = polyder(p1,p3) ==> q = [1 2 1] d = [1 2 1] polyval - Polynomauswertung p1=[1 2 1]; y = polyval(p1,[ ]) ==> y = [ ] polyfit - Bestimmung der polynomialen Ausgleichskurve vom Grad n zur Datenmenge (x i, y i ), i = 1,..., m p = polyfit(x,y,n);

18 Start Inhalt 18(24) Nullstelle von f (x) fzero - Nullstelle einer Funktion einer Veränderlichen x = fzero(fun,x0) Ist x0 skalar, wird eine Nullstelle von fun(x) in der Nähe von x0 gesucht. Ist x0 = [a b] mit fun(a)*fun(b) < 0, wird eine Nullstelle im Intervall [a b] gesucht. Beispiel: f (x) = x 2 + 2x 8 = (x 2)(x + 4) x^2 + 2*x - 8; fzero(fun,2.5) ==> 2 fzero(fun, -3) ==> -4 fzero(fun,[1 3]) ==> 2 zero(fun,[-5 3]) ==>??? Error using ==> fzero at 293

19 Start Inhalt 19(24) Optimierung Minimum einer Funktion f (x) fminbnd - Minimum einer Funktion einer Veränderlichen auf einem Intervall x = fminbnd(fun,x1,x2,options) fminsearch - Minimum einer Funktion mehrerer Veränderlicher x = fminsearch(fun,x0,options) Für weitergehende Optimierungsaufgaben gibt es die zusätzliche OPTIMIZATION TOOLBOX. (Tipp: fsolve zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme.)

20 Start Inhalt 20(24) Numerische Integration Numerische Approximation für b f (x) dx a quad - Basisvariante q = quad(fun,a,b) oder quad(fun,a,b,tol) fun sin(x.^2); quad(fun,0,pi) ==> quad(fun,0,pi,1.e-2) ==> quad(fun,0,pi,1.e-8) ==> quadl, quadv, quadgk Anwendungsbereiche siehe Online Hilfe Für mehrdimensionale Integrale (Kubatur): dblquad, quad2d, triplequad

21 Start Inhalt 21(24) Anfangswertaufgaben (1) Näherungsweise Lösung von Anfangswertaufgaben y (t) = f (t, y), y(t 0 ) = y 0 wobei y(t) und f (t, y) Vektoren sein können. Beispiel einer AWA für eine skalare Funktion y(t) y (t) = 2ty, y(0) = 1, t [0, 1.2] func 2*t*y ; ode23(func,[0 1.2],1) % oder [T,Y] = ode23(func,[0 1.2],1); Bem.: Erster Aufruf plottet sofort die Lösung, kein Zugriff auf Lösungsdaten T,Y. Im zweiten Beispiel stehen T,Y zur Weiterverarbeitung zur Verfügung, aber kein unmittelbarer Plot.

22 Start Inhalt 22(24) Anfangswertaufgaben (2) Lösungsroutinen für Anfangswertaufgaben für nichtsteife Differentialgleichungen ode23, ode45, ode113 für steife Differentialgleichungen ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb für implizit gegebene Differentialgleichungen ode15i Aufruf: [t,y] = ode...(odefun,tspan,y0,options) options kann entfallen, fehlt [t,y] = wird die Lösung der AWA sofort geplottet.

23 Start Inhalt 23(24) Anfangswertaufgaben (3) Ergänzende Funktionen zur Arbeit mit Lösungsroutinen für Anfangswertaufgaben deval - Auswertung der Lösung einer AWA sol = ode23(func,[0 1.2],1); x = linspace(0,1.2,100); y = deval(sol,x,1); plot(x,y) odextend - Erweiterung der Lösung einer AWA

24 Start Inhalt 24(24) Anfangswertaufgaben (4) Ergänzende Funktionen zur Arbeit mit Lösungsroutinen für Anfangswertaufgaben odeget - Abfrage von Optionen für die ode...-routinen allgemein opt = = odeget(options, name ) Beispiel Abfrage relative Toleranz odeget(options, RelTol ) odeset - Setzen von Optionen für die ode...-routinen allgemein options = odeset( name1,value1, name2,value2,...) Beispiel Setzen der rel. Toleranz und einer Output-Funktion options = odeset( RelTol,1.e-5, OutputFcn,odeplot)

1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse

1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung A sei eine Matrix mit n Spalten und m Zeilen. Zunächst sei n m. Bilde B = A A. Dies ist eine n n-matrix. Berechne die Eigenwerte von B. Diese

Mehr

Einführung in MATLAB

Einführung in MATLAB Kapitel 4 Einführung in MATLAB 41 Allgemeines MATLAB ist eine kommerzielle mathematische Software zur Lösung mathematischer Probleme und zur graphischen Darstellung der Ergebnisse Die Verfahren in MATLAB

Mehr

3 Schnellkurs in MATLAB

3 Schnellkurs in MATLAB 3 Schnellkurs in MATLAB 3.1 Einführung MATLAB (= Matrix laboratory) Softwarepaket für numerische Berechnungen und Visualisierungen 1980 ( Cleve Moler; www.mathworks.com ) Ursprung in LINPACK und EISPACK

Mehr

http://www.mathematik.uni-kl.de/ gramlich

http://www.mathematik.uni-kl.de/ gramlich Vorwort MATLAB ist inzwischen in vielen Hochschulen, Universitäten und Fachhochschulen gleichermaßen ein etabliertes Programmsystem, das sowohl im Fach Mathematik selbst als auch in noch stärkerem Maße

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Numerische Behandlung des Eigenwertproblems

Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Zusammenfassung Das Ziel dieses Vortrages ist, zwei gute Methoden für die numerische Bestimmung der Eigenwerte zu zeigen und wie man diese mit Matlab anwenden

Mehr

Dipl.-Math. Robert Offinger Wintersemester 2006/07 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Mathematik

Dipl.-Math. Robert Offinger Wintersemester 2006/07 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Mathematik Dipl.-Math. Robert Offinger Wintersemester 6/7 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Mathematik Materialien zur Vorlesung Mathematik III für Ingenieure Ergänzungen zur Einführung in Matlab

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten:

KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten: KAPITEL 4 Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 41 Das Ohmsche Gesetz: Eine Meßreihe von Daten: U = RI (U i, I i ) (Spannung, Stromstärke), i = 1,, m Aufgabe: man bestimme aus diesen Meßdaten den Widerstand

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

Klausur zur Vordiplom-Prüfung

Klausur zur Vordiplom-Prüfung Technische Universität Hamburg-Harburg SS 25 Arbeitsbereich Mathematik Dr. Jens-Peter M. Zemke Klausur zur Vordiplom-Prüfung Numerische Verfahren 22. Juli 25 Sie haben 9 Minuten Zeit zum Bearbeiten der

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Anwendungen der Linearen Algebra

Anwendungen der Linearen Algebra Anwendungen der Linearen Algebra mit MATLAB Bearbeitet von Günter M. Gramlich 1. Auflage 4. Buch. 179 S. Hardcover ISBN 978 3 446 22655 5 Format (B x L): 14,5 x 21 cm Gewicht: 265 g Weitere Fachgebiete

Mehr

Was ist MATLAB? Typische Anwendungen

Was ist MATLAB? Typische Anwendungen Computational Physics 1, Seminar 01 Seite 1 Was ist MATLAB? numerisches Berechnungs- und Simulationswerkzeug integriert Berechnung, Visualisierung und Programmierung gleichzeitig höhere Programmiersprache

Mehr

2 Lineare Gleichungssysteme

2 Lineare Gleichungssysteme Beispiel.5: Funktion von Runge (V) Beispiel Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, NWF III, Institut für Mathematik Martin Arnold: Grundkurs Numerische Mathematik (WiS 27/8) Abbildung.3: Interpolation

Mehr

MC-Serie 11: Eigenwerte

MC-Serie 11: Eigenwerte D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion

Mehr

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2

Mehr

i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch.

i) ii) iii) iv) i) ii) iii) iv) v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - Für schreibt man auch. Abbildungen Rechnen Matrizen Rechnen Vektoren Äquivalenzrelation Addition: Skalarmultiplikation: Skalarprodukt: Länge eines Vektors: Vektorprodukt (im ): i ii i ii v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung):

Mehr

Rechnerpraktikum Teil 2. 3 Einführung in MATLAB

Rechnerpraktikum Teil 2. 3 Einführung in MATLAB Rechnerpraktikum Teil 2 3 Einführung in MATLAB Matthias Knauer Bremen, 18. April 2007 Inhaltsverzeichnis i Achtung! Diese knappe Zusammenstellung von MATLAB-Befehlen ist nicht als Lehrbuch oder Referenz

Mehr

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl für Numerische Mathematik. MATLAB-Kurs. MATLABKURS (Title01) 1

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl für Numerische Mathematik. MATLAB-Kurs. MATLABKURS (Title01) 1 MATLAB-Kurs MATLABKURS (Title01) 1 Übersicht Einführung in MATLAB Quadratur mit MATLAB Eigenwertberechnung in MATLAB MATLABKURS (Uebersicht01) 2 1. Einführung in MATLAB MATLABKURS (Title02) 3 Plotten von

Mehr

9.1 Eine Gleichung mit einer Unbekannten exakt lösen x Beispiel 1: Die Gleichung x 2 = 4 lösen. solve( x / (x 2) = 4, x ); 8 3

9.1 Eine Gleichung mit einer Unbekannten exakt lösen x Beispiel 1: Die Gleichung x 2 = 4 lösen. solve( x / (x 2) = 4, x ); 8 3 MAPLE_Mini_09_V1-0.doc 9-1 9 Gleichungen 9.1 Eine Gleichung mit einer Unbekannten exakt lösen x Beispiel 1: Die Gleichung x 2 = 4 lösen. solve( x / (x 2) = 4, x ); 8 3 Beispiel 2: Lösen Sie die Gleichung

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

Matlab. Kap. I Basics of Matlab. Variablentypen und Nutzung Visualisierung in 2D und 3D. Jetzt geht s erst richtig los:

Matlab. Kap. I Basics of Matlab. Variablentypen und Nutzung Visualisierung in 2D und 3D. Jetzt geht s erst richtig los: Matlab Jetzt geht s erst richtig los: Kap. I Basics of Matlab Variablentypen und Nutzung Visualisierung in 2D und 3D Matlab Effiziente Programme durch Vektorisierung In Matlab gibt es nur Matrizen: ein

Mehr

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01 Kapitel Komplexe Zahlen Motivation: die Gleichung x = hat offensichtlich keine reellen Lösungen, da x 0 für jedes reelle x gilt Um auch diese Gleichung lösen zu können, muß man neue Zahlen einführen: die

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Lineare Ausgleichsprobleme. Lineare Ausgleichsprobleme. Normalgleichungen. Normalgleichungen

Lineare Ausgleichsprobleme. Lineare Ausgleichsprobleme. Normalgleichungen. Normalgleichungen Wir betrachten in diesem Abschnitt das lineare Ausgleichsproblem Ax b 2 = min! (1) Heinrich Voss voss@tu-harburgde Hamburg University of Technology Institute for Numerical Simulation mit gegebenem A R

Mehr

Modulbezeichnung in Englisch Algebra II Qualifikationsstufe/Geberstudien Bachelormodul/ Lehramt Gymnasium. N.N. verantwortlicher. Modulverantwortung /

Modulbezeichnung in Englisch Algebra II Qualifikationsstufe/Geberstudien Bachelormodul/ Lehramt Gymnasium. N.N. verantwortlicher. Modulverantwortung / Algebra II Modulbezeichnung in Englisch Algebra II Qualifikationsstufe/Geberstudien Bachelormodul/ Lehramt Gymnasium 82-105-L-MAT09-H-0610 N.N. Lehramt (H. Fischer) Leistungspunkte (ECTS-Punkte) 5 Gründliches

Mehr

Lösungsskizzen zur Klausur

Lösungsskizzen zur Klausur sskizzen zur Klausur Mathematik II Sommersemester 4 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren des R 4 gegeben: b = b = b 3 = b 4 = (a) Prüfen Sie ob die Vektoren b b 4 linear unabhängig sind bestimmen Sie

Mehr

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)

(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) (Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:

Mehr

Gliederung. Links-Rechts-Zerlegung Elimination faktorisiert A = L R. Determinante Inverse. Kleinste Quadrate. Lösung durch. Links-Rechts- Zerlegung

Gliederung. Links-Rechts-Zerlegung Elimination faktorisiert A = L R. Determinante Inverse. Kleinste Quadrate. Lösung durch. Links-Rechts- Zerlegung Matrixzerlegungen. 7. Vorlesung 170004 Numerische Methoden I Clemens Brand 29. April 2010 Gliederung Elimination faktorisiert A = L R Die A = L R Faktorisieren: Zerlege A in ein Produkt (einfacherer) Angenommen,

Mehr

Wolfgang Kohn Riza Öztürk. Mathematik für Ökonomen. Ökonomische Anwendungen der linearen. Algebra und Analysis mit Scilab

Wolfgang Kohn Riza Öztürk. Mathematik für Ökonomen. Ökonomische Anwendungen der linearen. Algebra und Analysis mit Scilab Wolfgang Kohn Riza Öztürk Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab 3., erweiterte und überarbeitete Auflage ^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Teil

Mehr

Handreichungen für den Unterricht mit Computeralgebrasystemen (CAS)

Handreichungen für den Unterricht mit Computeralgebrasystemen (CAS) Hessisches Kultusministerium Landesabitur 07 Handreichungen für den Unterricht mit Computeralgebrasystemen (CAS). Methodisch-didaktische Bemerkungen zum Unterricht mit CAS Der Unterricht mit CAS in der

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Mögliche Prüfungsfragen zu VO Mathematische Software

Mögliche Prüfungsfragen zu VO Mathematische Software Mögliche Prüfungsfragen zu VO Mathematische Software SS 2009 Der Prüfungsstoff umfasst alles, was in der Vorlesung vorgetragen wurde. Die folgende Liste soll Ihnen bei der Vorbereitung helfen. Bei der

Mehr

MATLAB im Selbststudium Eine Einführung

MATLAB im Selbststudium Eine Einführung MATLAB im Selbststudium Eine Einführung Christof Büskens Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth 95440 Bayreuth, Germany Vorlesungsbegleite Ausarbeitung Sommersemester 2003 (Unkorrigierte Fassung)

Mehr

Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung.

Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung. Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung. Die heutige Sitzung dient dem ersten Kennenlernen von MATLAB. Wir wollen MATLAB zuerst

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Ergänzung Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Definitionen Beispiele im IR 2 Beispiele im IR 3 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Lineare Abbildungen

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/

Mehr

Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte

Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte Von Prof. Dr. Heinrich Bader und Prof. Dr. Siegbert Fröhlich Mit 45 A bbildungen 8. A uflage R. Oldenbourg Verlag München Wien INHALTSVERZEICHNIS

Mehr

Weiterbildung für Ingenieure Numerische Methoden für Differentialgleichungen Prinzipien und Praxis Taubert, Heitmann Universität Hamburg WS03/04

Weiterbildung für Ingenieure Numerische Methoden für Differentialgleichungen Prinzipien und Praxis Taubert, Heitmann Universität Hamburg WS03/04 Weiterbildung für Ingenieure Numerische Methoden für Differentialgleichungen Prinzipien und Praxis Taubert, Heitmann Universität Hamburg WS03/04 Linearisierung 1 K. Taubert LINEARISIERUNG und das VERHALTEN

Mehr

MATLAB im Selbststudium Eine Einführung

MATLAB im Selbststudium Eine Einführung MATLAB im Selbststudium Eine Einführung Christof Büskens Zentrum für Technomathematik Fachbereich Mathematik Universität Bremen 28359 Bremen, Germany Vorlesungsbegleite Ausarbeitung Sommersemester 2004

Mehr

Vorlesung, 26. Mai 2011, Inhalt. Eigenwerte und Eigenvektoren. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Vorlesung, 26. Mai 2011, Inhalt. Eigenwerte und Eigenvektoren. Gewöhnliche Differentialgleichungen Vorlesung, 26. Mai 2011, Inhalt Eigenwerte und Eigenvektoren Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Es sei A eine n n-matrix, x ein vom Nullvektor verschiedener Vektor und λ

Mehr

II. Lineare Gleichungssysteme. 10 Matrizen und Vektoren. 52 II. Lineare Gleichungssysteme

II. Lineare Gleichungssysteme. 10 Matrizen und Vektoren. 52 II. Lineare Gleichungssysteme 52 II Lineare Gleichungssysteme II Lineare Gleichungssysteme 10 Matrizen und Vektoren 52 11 Der Gaußsche Algorithmus 58 12 Basen, Dimension und Rang 62 13 Reguläre Matrizen 66 14 Determinanten 69 15 Skalarprodukte

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Fluch und Segen der Computermathematik

Fluch und Segen der Computermathematik Global J. of Engng. Educ., Vol.8, No.3 Published in Australia 004 UICEE Fluch und Segen der Computermathematik Dieter Schott Hochschule Wismar University of Technology, Business and Design Fachbereich

Mehr

Brückenkurs Mathematik Mathe: Das 1x1 der Ingenieurwissenschaften

Brückenkurs Mathematik Mathe: Das 1x1 der Ingenieurwissenschaften Brückenkurs Mathematik Mathe: Das x der Ingenieurwissenschaften Gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare Algebra oder Integralrechnung vertiefte Kenntnisse der Mathematik sind Voraussetzung für den

Mehr

Kapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.

Kapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn. Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich

Mehr

Aufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ).

Aufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ). Aufgabe Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(3A E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A 3E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Bild(A

Mehr

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11.

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. ETH EIDGENÖSSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE ZÜRICH Analysis mit dem Computer-Algebra-System des TI-92 Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. November 1997 Eidgenössische Technische

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

MATLAB Kurs SS Boris von Loesch. Technische Universität München Center for Mathematical Sciences, Chair of Mathematical Optimization

MATLAB Kurs SS Boris von Loesch. Technische Universität München Center for Mathematical Sciences, Chair of Mathematical Optimization MATLAB Kurs SS 2010 Boris von Loesch Technische Universität München Center for Mathematical Sciences, Chair of Mathematical Optimization 27. April 2010 Ablauf Theorie 1 Do, 9:30 Uhr - 10:45 Uhr HS 1 Übung

Mehr

Mathematik am Computer 7. Vorlesung: Matlab, Teil II

Mathematik am Computer 7. Vorlesung: Matlab, Teil II Mathematik am Computer 7. Vorlesung: Matlab, Teil II Helmut Harbrecht Universität Stuttgart 27. Januar 2011 Helmut Harbrecht (Universität Stuttgart) Mathematik am Computer 27. Januar 2011 1 / 35 Übersicht

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

Zur Numerik linearer Gleichungssysteme. Werner Vogt Technische Universität Ilmenau Institut für Mathematik Postfach 100565 98684 Ilmenau

Zur Numerik linearer Gleichungssysteme. Werner Vogt Technische Universität Ilmenau Institut für Mathematik Postfach 100565 98684 Ilmenau Zur Numerik linearer Gleichungssysteme Werner Vogt Technische Universität Ilmenau Institut für Mathematik Postfach 100565 98684 Ilmenau Ilmenau, den 1.11.2004 1 Direkte Verfahren für lineare Gleichungssysteme

Mehr

INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB

INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB Einführung in MATLAB Überblick Was ist MATLAB? Abkürzung für matrix laboratory. Reines Numerikprogramm für das Rechnen mit großen Zahlenfeldern (arrays) bzw. Matrizen.

Mehr

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar.

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar. Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzungen zur Vorlesung: Hinweis:

Mehr

Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung)

Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung) Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung) Michael Karow Juli 2008 1 Zweck, Herkunft, Terminologie des CG-Algorithmus Zweck: Numerische Berechnung der Lösung x des linearen Gleichungssystems Ax = b für eine

Mehr

Mathematik für Ökonomen

Mathematik für Ökonomen Springer-Lehrbuch Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab Bearbeitet von Wolfgang Kohn, Riza Öztürk 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xv, 377 S. Paperback

Mehr

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Kapitel 5 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 5.1 Einführung Bemerkung 5.1 Aufgabenstellung. Diese Kapitel behandelt numerische Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems. Gegeben sei A R n n.

Mehr

Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011

Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011 Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011 1. Fermat Teil I : Berechnen Sie die Fläche eines rechtwinkeligen Dreiecks mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes. Die beiden Katheten sollen

Mehr

Determinanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird,

Determinanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird, Determinanten Wir entwickeln eine Lösungsformel für Gleichungssysteme mit zwei Variablen. ax + cy = e b bx + y = f a } abx bcy = be + abx + ay = af ya bc = af be Man schreibt y = af be a bc = a e b f analog

Mehr

10:Exkurs MATLAB / Octave

10:Exkurs MATLAB / Octave 10:Exkurs MATLAB / Octave MATLAB (bzw. Octave als freie Version) ist eine numerische Berechnungsumgebung wurde vorrangig zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen entworfen ist interaktiv benutzbar, vergleichbar

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13)

Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13) Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. ) Sei V Vektorraum über R. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (x, y) x, y mit den Eigenschaften () x, y = y, x (symmetrisch), () ax, y = a x, y und x +

Mehr

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z R Es sei f : R n D R eine einmal stetig differenzierbare Funktion, für die in einer Umgebung eines Punkte a = a 1, a,, a n D gilt: fa 1, a,, a n = 0, f xn a 1, a,, a n 0 Dann gibt es eines Umgebung U des

Mehr

PRÜFUNG AUS ALGEBRA UND DISKRETE MATHEMATIK F. INF. U. WINF.

PRÜFUNG AUS ALGEBRA UND DISKRETE MATHEMATIK F. INF. U. WINF. Zuname: Vorname: Matrikelnummer: PRÜFUNG AUS ALGEBRA UND DISKRETE MATHEMATIK F. INF. U. WINF. (GITTENBERGER) Wien, am 5. Februar 2013 (Ab hier freilassen!) Arbeitszeit: 100 Minuten 1) 2) 3) 4) 5) 1)(8

Mehr

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012

Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.2012 Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra II für Lehramt 30.07.0 Aufgabe : Entscheiden Sie in dieser Aufgabe, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründungen sind nicht erforderlich. Ein korrekt gesetztes

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Aufgabe. Sei A R 3 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Ist det(a =, dann ist A eine orthogonale Matrix. b Ist A eine orthogonale Matrix,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme Kapitel 5 aus meinem Lehrgang ALGEBRA

Lineare Gleichungssysteme Kapitel 5 aus meinem Lehrgang ALGEBRA Lineare Gleichungssysteme Kapitel 5 aus meinem Lehrgang ALGEBRA Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch e-mail: theorie@ronaldbalestra.ch 19. Oktober 2009 Überblick über die bisherigen

Mehr

De Taschäräschnr Casio (Reihe: 9750, 9850,...)

De Taschäräschnr Casio (Reihe: 9750, 9850,...) De Taschäräschnr Casio (Reihe: 9750, 9850,...) Übersicht: 1. Nullstellen 2. Gleichungen 2. oder 3. Grades lösen 3. Gleichungen lösen 4. Schnittpunkte bestimmen 5. Extrempunkte 6. Wendepunkte 7. Steigung

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +

Mehr

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

( ) Lineare Gleichungssysteme

( ) Lineare Gleichungssysteme 102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg Universität Regensburg Wintersemester 2012/13 1 Einführung Anwendungen Finanzwirtschaft: maximale Gewinnrate unter Beschränkungen an das Risiko; Portfolio von Investments Produktion: maximiere Gewinn bei

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion

Mehr