6 Bestimmung linearer Funktionen

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1 1 Bestimmung linearer Funktionen Um die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion zu bestimmen, muss man ihre Steigung ermitteln. Dazu sind entweder Punkte gegeben oder man wählt zwei Punkte P 1 ( 1 1 ) und P ( ) auf der Geraden aus, deren Koordinaten gut ablesbar sind. Dann bestimmt man die Steigung mithilfe der Steigungsformel m = 1 } 1 Neben der Steigung benötigt man den -Achsenabschnitt b. Man errechnet ihn, indem man in die Geradengleichung = m + b die bereits berechnete Steigung m sowie die Koordinaten eines Punktes (z. B. P 1 ) einsetzt und nach b auflöst: b = 1 m 1 Abschließend wird die Geradengleichung in der üblichen Form = m + b mit den für m und b ermittelten Zahlenwerten notiert. Wie lautet die Geradengleichung einer linearen Funktion, die durch die Punkte A ( 5) und B (4 7) verläuft? 1. Berechnung der Steigung: m = 1 } =. Berechnung des -Achsenabschnitts: b = 5 () () = 5 4 = 1 3. Aufstellen der Geradengleichung: = = } 7 5 = } 1 4 () Bei der Berechnung der Steigung ist es ohne Bedeutung, welchen der beiden Punkte man als ersten und welchen als zweiten Punkt in die Formel einsetzt. 1. Bestimme die Gleichungen der eingezeichneten linearen Funktionen. 8 rot: 4 blau: grün: hellblau: pink: schwarz: 8

2 17. Berechne die Geradengleichung, indem du zwei Kurvenpunkte abliest m = b = } = = Gegeben sind die lineare Funktion = 3 + b und der Geradenpunkt (5 8). Bestimme b: b =. 4. Gegeben sind die lineare Funktion = m + 8 und der Geradenpunkt (4 1). Bestimme m: m =. 5. Gegeben ist die Gerade g: = a) Zeige, dass der Punkt (5 9) nicht auf der Geraden liegt. b) Berechne die Gerade durch den Punkt (5 9), die parallel zur Geraden = + 10 ist.. Trage die Punkte und deren Geraden in ein Koordinatensstem ein. Stelle die Geraden in der Form = m + b dar, falls dies möglich ist. a) P (,5,5); Q (3 14) b) R ( ); S ( 14) c) T ( 10 ); U (18 )

3 18 7 Anwendungsaufgaben zu linearen Funktionen Bei Anwendungsaufgaben zu linearen Funktionen geht es in der Regel darum, eine geeignete Funktionsvorschrift für den dargestellten Sachverhalt zu finden, um dann anschließend unbekannte Werte für oder zu errechnen. Gehe wie folgt vor: 1. Welche beiden Größen werden in einen Zusammenhang gebracht? Welches ist die vorgegebene Größe () und welches die zugeordnete Größe ()?. Welche Informationen finden sich über die Steigung der linearen Funktion? Ist sie direkt gegeben oder muss sie über zwei gegebene Punkte errechnet werden? 3. Welche Informationen finden sich über den -Achsenabschnitt? Ist er direkt gegeben (als Startwert an der Stelle 0) oder muss man ihn ebenfalls errechnen? 4. Stelle die Geradengleichung auf. 5. Berechne fehlende Werte durch Einsetzen gegebener - und -Werte in die Geradengleichung. Ein Taiunternehmer berechnet 3,50 Standgebühr sowie 0,40 je gefahrenem Kilometer. a) Wie viel muss Herr Wahl für eine 14 km lange Taifahrt bezahlen? b) Wie weit ist Frau Hinz gefahren, wenn sie,30 bezahlen muss? 1. Hier wird der zurückgelegten Strecke der Fahrtpreis zugeordnet.. Die Steigung ist mit 0,4 ( je gefahrenem Kilometer) bereits gegeben. 3. Die Standgebühr ist der Preis für 0 km, also der -Achsenabschnitt. 4. Die Geradengleichung lautet: = 0,4 + 3,50 5. a) = 14 = 0, ,50 = 9,10 Herr Wahl muss 9,10 bezahlen. b) =,3,3 = 0,4 + 3,5,8 = 0,4 = 7 Frau Hinz ist eine Strecke von 7 km gefahren. 1. Ein Passagierflugzeug hat noch Liter Kerosin an Bord. Es verbraucht pro Minute 00 Liter Kraftstoff. Wie viel Kerosin befindet sich nach 15 Minuten noch im Tank?

4 19. Eine 0 cm lange brennende Kerze wird pro Stunde,5 cm kürzer. Wann ist die Kerze abgebrannt? 3. Gegeben ist die Funktion = f () = } Der Eckpunkt eines Rechtecks liegt auf der Geraden wie im Bild gezeigt. a) Wie lang können die Seiten des Rechtecks höchstens sein? = b) Berechne den Umfang U = U () des Rechtecks allgemein und für = 15. c) Berechne die Fläche A = A () des Rechtecks allgemein und für = 15. d) Für welches ist das Rechteck ein Quadrat? e) Wie groß ist die Fläche des Quadrats? f) Für welches und hat der Umfang 4 Längeneinheiten? g) Wie groß ist die Fläche des Rechtecks, wenn der Umfang 4 Längeneinheiten beträgt? 4. Holger probiert sein neues Fahrrad auf einer geraden Strecke aus. Er fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von v 1 = 4 } m s von Punkt A nach B. Nach 10 s startet sein Freund Malte. Er fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v = } m s von A nach B. a) Gib eine Funktion an, die Holgers zurückgelegten Weg (in Abhängigkeit von der Zeit) beschreibt. b) Gib eine Funktion an, die Maltes zurückgelegten Weg (in Abhängigkeit von der Zeit) beschreibt. c) Zeichne die Funktionen aus a) und b) im Intervall [0; 40 s] in ein gemeinsames Koordinatensstem. Lege dabei die Zeit t auf die -Achse. d) Wann wird Holger von Malte eingeholt? e) Wo treffen sich die beiden Freunde? 5. Firma Klotz will Ware einkaufen und bekommt zwei Angebote. Firma A: Pro Teil 1,0 Euro plus Versandkosten von 0 Euro. Firma B: Pro Teil 1,0 Euro plus Versandkosten von 80 Euro. a) Stelle für die beiden Angebote die Funktion auf und zeichne die Graphen in ein gemeinsames Koordinatensstem. b) Ab welcher Menge ist das Angebot von Firma B günstiger?

5 0 8 Gleichungen mit zwei Variablen Gleichungen des Tps a + b = c nennt man lineare Gleichungen mit zwei Variablen. Ihre Lösungen bestehen immer aus Wertepaaren ( ). Jede Gleichung hat unendlich viele Lösungen, die man durch Einsetzen überprüfen kann. Alle Wertepaare, die zur Lösungsmenge gehören, liegen im Koordinatensstem auf einer Geraden. Gesucht sind die Lösungen der Gleichung = 50. Häufig findet man zwei Lösungspaare durch Probieren, hier z. B. ( 4) oder (4 3), denn das Einsetzen liefert = 50 und = 50. Da alle Lösungen auf einer Geraden liegen, muss sie durch diese beiden Punkte verlaufen. Jetzt kannst du weitere Lösungen der Gleichung als Geraden punkte ablesen, z. B. (0 5) oder ( ). Alle Lösungen findest du durch Umstellen der Gleichung zu einer Geradengleichung, d. h. Auflösen nach der Variablen = = : 10 = 0,5 + 5 Jetzt kannst du zu jedem beliebigen den zugehörigen -Wert des Lösungspaares berechnen. 3 ( ) (0 5) ( 4) (4 3) Prüfe, welche der angegebenen Wertepaare Lösungen zu der gegebenen Gleichung mit zwei Variablen sind. Streiche die falschen Lösungen. a) 4 + = 1 ( 1); ( 1 3); (0 ); ( 3 4); ( 0,5 3); (3 0) b) 3 7 = 1 (7 0); (0 3); (8 5); ( 14 3); ( 4 1) c) 1 } 4 = 5 (4 ); ( 8 3); ( 4,5); (40 5); } 4 d) 1, 0,4 = 4 (10 40); (0 10); (1 14); ( 5 10); (0,5 11) e) + = 3 } } 4 1 ; 1 3 } 1 } ; 1 3 } 4 0 ; } 4 ; ( 3)

6 1. Löse zuerst nach auf und berechne dann die dazugehörigen -Werte. a) + 4 = 0 = 4 1 0, 0,4 0,75 b) + 4 = 1 = ,7 c) 4 + = 1 = d) 3 + = 1 = ,44 0,15 3. Löse zuerst nach auf und berechne dann die dazugehörigen -Werte. a) + 4 = 0 = b) + 4 = 1 = , 0,5 0,75 c) + 4 = = , 0,4 4 d) + 8 = 1 = 7 3 1,3 3,

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